Transformée de Laplace
Souvent, les équations à dérivées partielles sont difficiles à résoudre dans l'espace normal. Il est alors nécessaire de passer dans un autre espace pour trouver leur solution. C'est le cas quand on utilise l'espace de Laplace, grâce à la transformée de Laplace.
Transformée de Laplace
La transformée de Laplace Tbar(p) d'une fonction T(t) est définie par l'intégrale:
Tbar(x, p) = int_0^∞(exp(-p * t) * T(x,t))dt
Où p est un nombre réel ou complexe.
Transformées usuelles de l'espace normal à l'espace de Laplace
f(x, t) <--> fbar(x, p)
m * f(x,t) + n * g(x,t) <--> m * fbar(x, p) + n * gbar(x, p)
dT / dt <--> p * Tbar - T(0)
dnT / dx^n <--> dnTbar / dx^n
1 <--> 1 / p
En posant: u = x / (2 * sqrt(α * t)), et k^2 = p / α
erfc(u) <--> exp(-k * x) / p
2(α * t / π)^(0.5) * exp(-u^2) - x * erfc(u) <--> exp(-k * x) / (k * p)
(1/b) * (erfc(u) - exp(b * x + b^2 * α * t) * erfc(u + b * (α * t)^(0.5))) <--> exp(-k * x) / p * (k + b)
Application au transfert thermique
En appliquant la transformée de Laplace à l'équation unidimensionnelle de la chaleur, il vient l'équation, en posant T* = T - T0:
d2(Tbar*(x, p)) / dx^2 - (p / α) * Tbar*(x, p) = 0
On passe de dérivée partielle à une équation au dérivée totale, plus simple à résoudre.
Termes liés
Source
Cours de monsieur Michel A. Buès sur les Transferts Thermiques, année 2016-2017, université de Lorraine
25 août 2017 Modifié le 25 août 2017
