Bilan thermique
(Précision: ne sachant pas coder les intégrales, j ai choisi de les indiquer par le symbole int_)
On cherche à définir les équations du bilan thermique. Ainsi, considérons un domaine solide indéformable de volume V et de frontière S, orientée vers l'extérieur par une normale n. De plus, soient:
- ρCp sa chaleur volumique
- λ sa conductivité thermique
- p le taux de chaleur volumique reçu par sources en W/m3
Expression initiale
D'après le théorème de l'énergie cinétique et le premier principe de la thermodynamique, il vient l'expression suivante:
dU = Qext - Wint
Ou encore, en variation temporelle:
dU / dt = Pth_ext - Pint
Où:
- U est l'énergie interne
- Qext est la quantité de chaleur échangée avec l'extérieur
- Wint les travaux des forces intérieurs
Etude des divers parties
Le solide étant indéformable, il vient deux choses:
- D'une part, Wint = 0, donc Pint = 0
- D'autre part, seule la variation locale de la température intervient dans l'expression de dU/dt:
dU / dt = int_V(ρCp(dT/dt))dV
Le taux de chaleur reçu Ph_ext peut avoir deux origines:
- surfacique: puissance échangée sur la surface S: int_S(q*nint)dS
où nint = - n
- volumique: int_V(p)dV
Equation du bilan thermique
Il ressort donc, pour un milieu rigide et immobile:
int_V(ρCp(dT/dt))dV = int_S(q*nint)dS + int_V(p)dV
Equation globale et locale de la conduction
D'après le théorème d'Ostrogradsky, il vient:
int_S(q*nint)dS = - int_S(q*n)dS = - int_V(div(q))dV = int_V(div(λ(T)grad(T)))dV
D'où l'équation globale de la conduction:
int_V(ρCp(dT/dt) - div(λ(T)grad(T)) - p)dV = 0
Etant vraie quelque soit le domaine, même infinitésimal, il vient l'équation locale:
ρCp(dT/dt) - div(λ(T)grad(T)) - p = 0
Cas divers
Si λ uniforme et constant dans D, on peut trouver les différentes équations suivantes:
- Milieu avec source / régime permanent: Equation de Poisson
ΔT + p / λ = 0
- Milieu sans source / régime permanent: Equation de Laplace
ΔT = 0
- Milieu sans source / régime variable: Equation de Fourier
αΔT = dT/dt
Source
Cours de monsieur Michel A. Buès sur les Transferts Thermiques, année 2016-2017, université de Lorraine
24 août 2017 Modifié le 24 août 2017
