Effects of limited medical resource on a Filippov infectious disease model induced by selection pressure
Identifieur interne : 000E02 ( Pmc/Corpus ); précédent : 000E01; suivant : 000E03Effects of limited medical resource on a Filippov infectious disease model induced by selection pressure
Auteurs : Wenjie Qin ; Sanyi Tang ; Changcheng Xiang ; Yali YangSource :
- Applied Mathematics and Computation [ 0096-3003 ] ; 2016.
Abstract
We develop a Filippov infectious disease model with limited resources and selection pressures. Sliding mode dynamics and its domain have been investigated. Sliding bifurcations of model have been revealed in more detail. Key parameters and their biological significance are determined. Strategies for the prevention of emerging infectious disease have been addressed.
Url:
DOI: 10.1016/j.amc.2016.02.042
PubMed: NONE
PubMed Central: 7126627
Links to Exploration step
PMC:7126627Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Effects of limited medical resource on a Filippov infectious disease model induced by selection pressure</title><author><name sortKey="Qin, Wenjie" sort="Qin, Wenjie" uniqKey="Qin W" first="Wenjie" last="Qin">Wenjie Qin</name><affiliation><nlm:aff id="aff0001">College of Science, China Three Gorges University, Yichang 443002, PR China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Tang, Sanyi" sort="Tang, Sanyi" uniqKey="Tang S" first="Sanyi" last="Tang">Sanyi Tang</name><affiliation><nlm:aff id="aff0002">College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, PR China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Xiang, Changcheng" sort="Xiang, Changcheng" uniqKey="Xiang C" first="Changcheng" last="Xiang">Changcheng Xiang</name><affiliation><nlm:aff id="aff0003">Department of Mathematics, Hubei University for Nationalities, Enshi 445000, PR China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Yang, Yali" sort="Yang, Yali" uniqKey="Yang Y" first="Yali" last="Yang">Yali Yang</name><affiliation><nlm:aff id="aff0004">College of Science, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, PR China</nlm:aff></affiliation></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmc">7126627</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7126627</idno><idno type="RBID">PMC:7126627</idno><idno type="doi">10.1016/j.amc.2016.02.042</idno><idno type="pmid">NONE</idno><date when="2016">2016</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000E02</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000E02</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Effects of limited medical resource on a Filippov infectious disease model induced by selection pressure</title><author><name sortKey="Qin, Wenjie" sort="Qin, Wenjie" uniqKey="Qin W" first="Wenjie" last="Qin">Wenjie Qin</name><affiliation><nlm:aff id="aff0001">College of Science, China Three Gorges University, Yichang 443002, PR China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Tang, Sanyi" sort="Tang, Sanyi" uniqKey="Tang S" first="Sanyi" last="Tang">Sanyi Tang</name><affiliation><nlm:aff id="aff0002">College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, PR China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Xiang, Changcheng" sort="Xiang, Changcheng" uniqKey="Xiang C" first="Changcheng" last="Xiang">Changcheng Xiang</name><affiliation><nlm:aff id="aff0003">Department of Mathematics, Hubei University for Nationalities, Enshi 445000, PR China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Yang, Yali" sort="Yang, Yali" uniqKey="Yang Y" first="Yali" last="Yang">Yali Yang</name><affiliation><nlm:aff id="aff0004">College of Science, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, PR China</nlm:aff></affiliation></author></analytic><series><title level="j">Applied Mathematics and Computation</title><idno type="ISSN">0096-3003</idno><idno type="eISSN">0096-3003</idno><imprint><date when="2016">2016</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><title>Highlights</title><p><list list-type="simple" id="celist0003"><list-item id="celistitem0001"><label>•</label><p id="para0001">We develop a Filippov infectious disease model with limited resources and selection pressures.</p></list-item><list-item id="celistitem0002"><label>•</label><p id="para0002">Sliding mode dynamics and its domain have been investigated.</p></list-item><list-item id="celistitem0003"><label>•</label><p id="para0003">Sliding bifurcations of model have been revealed in more detail.</p></list-item><list-item id="celistitem0004"><label>•</label><p id="para0004">Key parameters and their biological significance are determined.</p></list-item><list-item id="celistitem0005"><label>•</label><p id="para0005">Strategies for the prevention of emerging infectious disease have been addressed.</p></list-item></list></p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mclean, A R" uniqKey="Mclean A">A.R. McLean</name></author><author><name sortKey="May, R M" uniqKey="May R">R.M. May</name></author><author><name sortKey="Pattison, J" uniqKey="Pattison J">J. Pattison</name></author><author><name sortKey="Weiss, R A" uniqKey="Weiss R">R.A. Weiss</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mangili, A" uniqKey="Mangili A">A. Mangili</name></author><author><name sortKey="Gendreau, M A" uniqKey="Gendreau M">M.A. Gendreau</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Soundararajan, V" uniqKey="Soundararajan V">V. Soundararajan</name></author><author><name sortKey="Tharakaraman, K" uniqKey="Tharakaraman K">K. Tharakaraman</name></author><author><name sortKey="Raman, R" uniqKey="Raman R">R. Raman</name></author><author><name sortKey="Raguram, S" uniqKey="Raguram S">S. Raguram</name></author><author><name sortKey="Shriver, Z" uniqKey="Shriver Z">Z. Shriver</name></author><author><name sortKey="Sasisekharan, V" uniqKey="Sasisekharan V">V. Sasisekharan</name></author><author><name sortKey="Sasisekharan, R" uniqKey="Sasisekharan R">R. Sasisekharan</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Derouich, M" uniqKey="Derouich M">M. Derouich</name></author><author><name sortKey="Boutayeb, A" uniqKey="Boutayeb A">A. Boutayeb</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Matrajt, L" uniqKey="Matrajt L">L. Matrajt</name></author><author><name sortKey="Halloran, M E" uniqKey="Halloran M">M.E. Halloran</name></author><author><name sortKey="Longini, I M" uniqKey="Longini I">I.M. Longini</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sullivan, S P" uniqKey="Sullivan S">S.P. Sullivan</name></author><author><name sortKey="Koutsonanos, D G" uniqKey="Koutsonanos D">D.G. Koutsonanos</name></author><author><name sortKey="Martin, M D P" uniqKey="Martin M">M.D.P. Martin</name></author><author><name sortKey="Lee, L W" uniqKey="Lee L">L.W. Lee</name></author><author><name sortKey="Zarnitsyn, V" uniqKey="Zarnitsyn V">V. Zarnitsyn</name></author><author><name sortKey="Choi, S O" uniqKey="Choi S">S.O. Choi</name></author><author><name sortKey="Murthy, N" uniqKey="Murthy N">N. Murthy</name></author><author><name sortKey="Compans, R W" uniqKey="Compans R">R.W. Compans</name></author><author><name sortKey="Skountzou, J" uniqKey="Skountzou J">J. Skountzou</name></author><author><name sortKey="Prausnitz, M R" uniqKey="Prausnitz M">M.R. Prausnitz</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qin, W J" uniqKey="Qin W">W.J. Qin</name></author><author><name sortKey="Tang, S Y" uniqKey="Tang S">S.Y. Tang</name></author><author><name sortKey="Cheke, R A" uniqKey="Cheke R">R.A. Cheke</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qin, W J" uniqKey="Qin W">W.J. Qin</name></author><author><name sortKey="Tang, S Y" uniqKey="Tang S">S.Y. Tang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Utkin, V I" uniqKey="Utkin V">V.I. Utkin</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Utkin, V I" uniqKey="Utkin V">V.I. Utkin</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Filippov, A F" uniqKey="Filippov A">A.F. Filippov</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Utkin, V I" uniqKey="Utkin V">V.I. Utkin</name></author><author><name sortKey="Guldner, J" uniqKey="Guldner J">J. Guldner</name></author><author><name sortKey="Shi, J X" uniqKey="Shi J">J.X. Shi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Xiao, Y N" uniqKey="Xiao Y">Y.N. Xiao</name></author><author><name sortKey="Xu, X X" uniqKey="Xu X">X.X. Xu</name></author><author><name sortKey="Tang, S Y" uniqKey="Tang S">S.Y. Tang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, A L" uniqKey="Wang A">A.L. Wang</name></author><author><name sortKey="Xiao, Y N" uniqKey="Xiao Y">Y.N. Xiao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, A L" uniqKey="Wang A">A.L. Wang</name></author><author><name sortKey="Xiao, Y N" uniqKey="Xiao Y">Y.N. Xiao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, A L" uniqKey="Wang A">A.L. Wang</name></author><author><name sortKey="Xiao, Y N" uniqKey="Xiao Y">Y.N. Xiao</name></author><author><name sortKey="Cheke, R A" uniqKey="Cheke R">R.A. Cheke</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W D" uniqKey="Wang W">W.D. Wang</name></author><author><name sortKey="Ruan, S G" uniqKey="Ruan S">S.G. Ruan</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W D" uniqKey="Wang W">W.D. Wang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hu, Z X" uniqKey="Hu Z">Z.X. Hu</name></author><author><name sortKey="Liu, S" uniqKey="Liu S">S. Liu</name></author><author><name sortKey="Wang, H" uniqKey="Wang H">H. Wang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Zhang, X" uniqKey="Zhang X">X. Zhang</name></author><author><name sortKey="Liu, X N" uniqKey="Liu X">X.N. Liu</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Cui, J A" uniqKey="Cui J">J.A. Cui</name></author><author><name sortKey="Mu, X X" uniqKey="Mu X">X.X. Mu</name></author><author><name sortKey="Wan, H" uniqKey="Wan H">H. Wan</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wan, H" uniqKey="Wan H">H. Wan</name></author><author><name sortKey="Cui, J A" uniqKey="Cui J">J.A. Cui</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Zhou, L H" uniqKey="Zhou L">L.H. Zhou</name></author><author><name sortKey="Fan, M" uniqKey="Fan M">M. Fan</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Bernardo, M D" uniqKey="Bernardo M">M.d. Bernardo</name></author><author><name sortKey="Budd, C J" uniqKey="Budd C">C.J. Budd</name></author><author><name sortKey="Champneys, A R" uniqKey="Champneys A">A.R. Champneys</name></author><author><name sortKey="Kowalczyk, P" uniqKey="Kowalczyk P">P. Kowalczyk</name></author><author><name sortKey="Nordmark, A B" uniqKey="Nordmark A">A.B. Nordmark</name></author><author><name sortKey="Tost, G O" uniqKey="Tost G">G.O. Tost</name></author><author><name sortKey="Piiroinen, P T" uniqKey="Piiroinen P">P.T. Piiroinen</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Guardia, M" uniqKey="Guardia M">M. Guardia</name></author><author><name sortKey="Seara, T M" uniqKey="Seara T">T.M. Seara</name></author><author><name sortKey="Teixeira, M A" uniqKey="Teixeira M">M.A. Teixeira</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey=" Lebodzi Ski, W" uniqKey=" Lebodzi Ski W">W. Ślebodziński</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Buzzi, C A" uniqKey="Buzzi C">C.A. Buzzi</name></author><author><name sortKey="Silva, P R" uniqKey="Silva P">P.R. Silva</name></author><author><name sortKey="Teixeira, M A" uniqKey="Teixeira M">M.A. Teixeira</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kuznetsov, Y A" uniqKey="Kuznetsov Y">Y.A. Kuznetsov</name></author><author><name sortKey="Rinaldi, S" uniqKey="Rinaldi S">S. Rinaldi</name></author><author><name sortKey="Gragnani, A" uniqKey="Gragnani A">A. Gragnani</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Baer, S M" uniqKey="Baer S">S.M. Baer</name></author><author><name sortKey="Kooi, B W" uniqKey="Kooi B">B.W. Kooi</name></author><author><name sortKey="Kuznetsov, Y A" uniqKey="Kuznetsov Y">Y.A. Kuznetsov</name></author><author><name sortKey="Thieme, H R" uniqKey="Thieme H">H.R. Thieme</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Appl Math Comput</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Appl Math Comput</journal-id><journal-title-group><journal-title>Applied Mathematics and Computation</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0096-3003</issn><issn pub-type="epub">0096-3003</issn><publisher><publisher-name>Elsevier Inc.</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmc">7126627</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S0096-3003(16)30153-9</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.amc.2016.02.042</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Effects of limited medical resource on a Filippov infectious disease model induced by selection pressure</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" id="au0001"><name><surname>Qin</surname><given-names>Wenjie</given-names></name><xref rid="aff0001" ref-type="aff">a</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au0002"><name><surname>Tang</surname><given-names>Sanyi</given-names></name><email>sytang@snnu.edu.cn</email><email>sanyitang219@hotmail.com</email><xref rid="cor0001" ref-type="corresp">*</xref><xref rid="aff0002" ref-type="aff">b</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au0003"><name><surname>Xiang</surname><given-names>Changcheng</given-names></name><xref rid="aff0003" ref-type="aff">c</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au0004"><name><surname>Yang</surname><given-names>Yali</given-names></name><xref rid="aff0004" ref-type="aff">d</xref></contrib></contrib-group><aff id="aff0001"><label>a</label>College of Science, China Three Gorges University, Yichang 443002, PR China</aff><aff id="aff0002"><label>b</label>College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, PR China</aff><aff id="aff0003"><label>c</label>Department of Mathematics, Hubei University for Nationalities, Enshi 445000, PR China</aff><aff id="aff0004"><label>d</label>College of Science, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, PR China</aff><author-notes><corresp id="cor0001"><label>*</label>Corresponding author. Tel.: +86 29 85310232. <email>sytang@snnu.edu.cn</email><email>sanyitang219@hotmail.com</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>22</day><month>3</month><year>2016</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><day>20</day><month>6</month><year>2016</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>22</day><month>3</month><year>2016</year></pub-date><volume>283</volume><fpage>339</fpage><lpage>354</lpage><history><date date-type="received"><day>11</day><month>9</month><year>2015</year></date><date date-type="rev-recd"><day>26</day><month>11</month><year>2015</year></date><date date-type="accepted"><day>21</day><month>2</month><year>2016</year></date></history><permissions><copyright-statement>Copyright © 2016 Elsevier Inc. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2016</copyright-year><copyright-holder>Elsevier Inc.</copyright-holder><license><license-p>Since January 2020 Elsevier has created a COVID-19 resource centre with free information in English and Mandarin on the novel coronavirus COVID-19. The COVID-19 resource centre is hosted on Elsevier Connect, the company's public news and information website. Elsevier hereby grants permission to make all its COVID-19-related research that is available on the COVID-19 resource centre - including this research content - immediately available in PubMed Central and other publicly funded repositories, such as the WHO COVID database with rights for unrestricted research re-use and analyses in any form or by any means with acknowledgement of the original source. These permissions are granted for free by Elsevier for as long as the COVID-19 resource centre remains active.</license-p></license></permissions><abstract abstract-type="author-highlights" id="absh001"><title>Highlights</title><p><list list-type="simple" id="celist0003"><list-item id="celistitem0001"><label>•</label><p id="para0001">We develop a Filippov infectious disease model with limited resources and selection pressures.</p></list-item><list-item id="celistitem0002"><label>•</label><p id="para0002">Sliding mode dynamics and its domain have been investigated.</p></list-item><list-item id="celistitem0003"><label>•</label><p id="para0003">Sliding bifurcations of model have been revealed in more detail.</p></list-item><list-item id="celistitem0004"><label>•</label><p id="para0004">Key parameters and their biological significance are determined.</p></list-item><list-item id="celistitem0005"><label>•</label><p id="para0005">Strategies for the prevention of emerging infectious disease have been addressed.</p></list-item></list></p></abstract><abstract id="abs0001"><p>In reality, the outbreak of emerging infectious diseases including SARS, A/H1N1 and Ebola are accompanied by the common cold and flu. The selective treatment measure for mitigating and controlling the emerging infectious diseases should be implemented due to limited medical resources. However, how to determine the threshold infected cases and when to implement the selective treatment tactics are crucial for disease control. To address this, we derive a non-smooth Filippov system induced by selective treatment measure. The dynamic behaviors of two subsystems have been discussed completely, and the existence conditions for sliding segment, sliding mode dynamics and different types of equilibria such as regular equilibrium, pseudo-equilibrium, boundary equilibrium and tangent point have been provided. Further, numerical sliding bifurcation analyses show that the proposed Filippov system has rich sliding bifurcations. Especially, the most interesting results are those for the fixed parameter set as the bifurcation parameter varies, the sliding bifurcations occur sequentially: crossing → buckling → real/virtual equilibrium → buckling → crossing. The key factors which affect the selective treatment measures and the threshold value of infected cases for emerging infectious disease have been discussed in more detail.</p></abstract><kwd-group id="keys0001"><title>Keywords</title><kwd>Filippov infectious disease model</kwd><kwd>Selective strategy</kwd><kwd>Medical resources limitation</kwd><kwd>Threshold policy</kwd><kwd>Sliding bifurcation</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec id="sec0001"><label>1</label><title>Introduction</title><p id="para0006">In the last few years, frequent outbreaks and quick spread of the emerging infectious disease become a worldwide public healthy problem. It endangers not only people’s health but also the stability of the whole society. In 2003, SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) killed 774 people, infected more than 8000 globally and threatened to spread around the world <xref rid="bib0001" ref-type="bibr">[1]</xref>, <xref rid="bib0002" ref-type="bibr">[2]</xref>. The A/H1N1 (Hemagglutinin 1, Neuraminidase 1) influenza virus, which caused the 2009 pandemic, continues to circulate in some parts of the world, causing variable levels of disease and outbreaks <xref rid="bib0003" ref-type="bibr">[3]</xref>. By September 14, 2014, a total of 4507 probable and confirmed cases, including 2296 deaths from Ebola virus disease (EVD) had been reported from five countries in West Africa-Guinea, Liberia, Nigeria, Senegal, and Sierra Leone <xref rid="bib0004" ref-type="bibr">[4]</xref>. In the early stages of the emerging infectious disease, it is deficient to recognize the emergence of these infectious systematically and comprehensively, the measures of disinfection and isolation are failed to protect and control infected people, so the patients have little resistance to infection of any kind and emerging infectious spread through the camps like wildfire.</p><p id="para0007">The emerging infectious disease including SARS, A/H1N1, Ebola, Dengue fever <xref rid="bib0005" ref-type="bibr">[5]</xref> etc. are often accompanied by other viral diseases such as common flu. Moreover, in the early stages of emerging infectious diseases (taking SARS as an example in the rest of paper) outbreak, there is only a very few number of individuals infected by SARS, and the medical resources are enough at this stage. Meanwhile, the early symptoms are very similar to flu and there is no effective way to identify the infected patients. Thus, patients infected with different viruses can be got treatment in different areas of the hospital at the same time.</p><p id="para0008">With the growing numbers of SARS infected cases, those pose a grave threat to public health. Meanwhile, various kinds of control strategies have constraints based on the limited medical resources such as doctors, vaccines, drugs, hospital beds, isolation places, medical devices, and so on, especially in rural areas in many developing countries <xref rid="bib0006" ref-type="bibr">[6]</xref>, <xref rid="bib0007" ref-type="bibr">[7]</xref>, <xref rid="bib0008" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="bib0009" ref-type="bibr">[9]</xref>, <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref>. The medical resource limitation seriously restricts the prevention and treatment for SARS. At this moment, the department of health or state has to cite the urgency of fighting SARS, adopts green passage policy that speeds for isolation and treatment for SARS, so the doctors have to focus their attentions on the SARS infected cases only. For the patients with common flu, the doctors can only prescribe medicines and advise them to go home for home treatment, which can significantly relieve the pressure of limited medical resources on hospital or doctors.</p><p id="para0009">In order to describe the effects of limited medical resource and selection strategy discussed above, the number of the patients infected by SARS in a compartment has been chosen as an index for hospital or doctors to use decisions. That is, if the number of the patients infected by SARS is below the threshold level which can be determined analytically (see main text for more details), there is no limited medical resource and selection pressure; above the threshold, due to the limited resource, and doctors treat SARS only. This type of control strategy is called as threshold control policy <xref rid="bib0011" ref-type="bibr">[11]</xref>, <xref rid="bib0012" ref-type="bibr">[12]</xref>, which can be described by Filippov systems <xref rid="bib0013" ref-type="bibr">[13]</xref>, <xref rid="bib0014" ref-type="bibr">[14]</xref>. Recently, non-smooth Filippov infectious disease models have been investigated by many researchers <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref>, <xref rid="bib0015" ref-type="bibr">[15]</xref>, <xref rid="bib0016" ref-type="bibr">[16]</xref>, <xref rid="bib0017" ref-type="bibr">[17]</xref>, <xref rid="bib0018" ref-type="bibr">[18]</xref>.</p><p id="para0010">In the present work, a non-smooth Filippov infectious disease model with threshold strategy induced by selective treatment measure is derived. The sliding mode dynamics and the existence of all types equilibria have been discussed. Numerical sliding bifurcation analyses show that the proposed Filippov system has rich sliding bifurcations. The key factors which affect the selective treatment measures and the threshold value of infected cases for emerging infectious disease have been discussed in more detail. Our main results show that reducing the threshold value to an appropriate level could contribute to the efficacy on prevention and treatment of emerging infectious disease, which indicates that the selection pressures can be beneficial to prevent the emerging infectious disease under medical resource limitation.</p></sec><sec id="sec0002"><label>2</label><title>Models and threshold level</title><p id="para0011">Let <italic>S</italic>(<italic>t</italic>), <italic>I</italic><sub>1</sub>(<italic>t</italic>), <italic>I</italic><sub>2</sub>(<italic>t</italic>) and <italic>R</italic>(<italic>t</italic>) denote the numbers of susceptible, the patients with SARS, common flu and recovered individuals at time <italic>t</italic>, respectively. For simplification, we assume that the people can only be infected either by SARS virus or by common flu virus. Further, based on the classical infectious disease model with limited capacity for treatment <xref rid="bib0009" ref-type="bibr">[9]</xref>, <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref>, <xref rid="bib0019" ref-type="bibr">[19]</xref>, <xref rid="bib0020" ref-type="bibr">[20]</xref>, <xref rid="bib0021" ref-type="bibr">[21]</xref>, <xref rid="bib0022" ref-type="bibr">[22]</xref>, <xref rid="bib0023" ref-type="bibr">[23]</xref>, <xref rid="bib0024" ref-type="bibr">[24]</xref>, <xref rid="bib0025" ref-type="bibr">[25]</xref> we propose the following <italic>SI</italic><sub>1</sub><italic>I</italic><sub>2</sub><italic>R</italic> model as the basic model in this study
<disp-formula id="eq0001"><label>(2.1)</label><mml:math id="M1" altimg="si21.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>The parameters of model <xref rid="eq0001" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref> are summarized in <xref rid="tbl0001" ref-type="table">Table 1</xref>. Obviously, two probabilities <italic>p</italic><sub>1</sub>, <italic>p</italic><sub>2</sub> ∈ [0, 1]. Note that some very special cases of model <xref rid="eq0001" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref> have been studied in our previous work <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref>, and the main purpose in this work is to investigate the generalized cases and reveal the rich dynamics and important biological implications concerning emerging infectious disease control.<table-wrap position="float" id="tbl0001"><label>Table 1</label><caption><p>Parameter and definition for model <xref rid="eq0001" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref>.</p></caption><alt-text id="at0009">Table 1</alt-text><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th>Parameters</th><th>Definitions for epidemic dynamics</th></tr></thead><tbody><tr><td><italic>A</italic></td><td>Recruitment rate of susceptible individuals</td></tr><tr><td><italic>β</italic><sub>1</sub></td><td>The basic transmission coefficient of SARS</td></tr><tr><td><italic>β</italic><sub>2</sub></td><td>Basic transmission coefficient of flu</td></tr><tr><td><italic>μ<sub>S</sub></italic></td><td>Natural death rates of susceptible individuals</td></tr><tr><td><italic>μ<sub>R</sub></italic></td><td>Natural death rates of recovered individuals</td></tr><tr><td><italic>μ</italic><sub>1</sub></td><td>Disease-related and natural death of the patients with SARS</td></tr><tr><td><italic>μ</italic><sub>2</sub></td><td>Disease-related and natural death of the patients with flu</td></tr><tr><td><italic>ν</italic><sub>1</sub></td><td>Natural recovery rate for SARS</td></tr><tr><td><italic>ν</italic><sub>2</sub></td><td>Natural recovery rate for flu</td></tr><tr><td><italic>c</italic><sub>1</sub></td><td>The maximal recovery rate per unit time for the patients with SARS</td></tr><tr><td><italic>c</italic><sub>2</sub></td><td>The maximal recovery rate per unit time for the patients with flu</td></tr><tr><td><italic>b</italic><sub>1</sub></td><td>Delayed effects on the treatment for the patients with SARS</td></tr><tr><td><italic>b</italic><sub>2</sub></td><td>Delayed effects on the treatment for the patients with flu</td></tr><tr><td><italic>p</italic><sub>1</sub></td><td>Probability that doctors treat the patients with SARS</td></tr><tr><td><italic>p</italic><sub>2</sub></td><td>Probability that doctors treat the patients with flu</td></tr></tbody></table></table-wrap></p><p id="para0012">It follows from model <xref rid="eq0001" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref> that the total recovery rate
<disp-formula id="eq0002"><label>(2.2)</label><mml:math id="M2" altimg="si22.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></disp-formula>is the major concern for the doctors once the emerging infectious disease outbreaks. Intuitively, how to choose the treatment proportions <italic>p</italic><sub>1</sub> and <italic>p</italic><sub>2</sub> for the patients infected by different virus such that the total recovery rate reaches its maximal value? To address this question, we discuss the selective strategies in the following.</p><p id="para0013">Conditional upon resource limitation, we first assume that medical treatment service for SARS is more than the patients infected by flu, that is
<disp-formula id="eq0003"><label>(2.3)</label><mml:math id="M3" altimg="si23.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Based on the total recovery rate defined by <xref rid="eq0002" ref-type="disp-formula">(2.2)</xref>, we define the function <inline-formula><mml:math id="M4" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:math></inline-formula> with respect to <italic>p</italic><sub>1</sub> and <italic>p</italic><sub>2</sub> as follows
<disp-formula id="eq0004"><label>(2.4)</label><mml:math id="M5" altimg="si25.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0014">Taking the derivatives of the function <inline-formula><mml:math id="M6" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:math></inline-formula> with respect to <italic>p</italic><sub>1</sub> and <italic>p</italic><sub>2</sub> respectively, one yields
<disp-formula id="ueq0001"><mml:math id="M7" altimg="si26.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and it follows from inequality <xref rid="eq0003" ref-type="disp-formula">(2.3)</xref> that <inline-formula><mml:math id="M8" altimg="si27.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and consequently the function <inline-formula><mml:math id="M9" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:math></inline-formula> is monotonically increasing with respect to <italic>p</italic><sub>1</sub>. According to the sign of the function <inline-formula><mml:math id="M10" altimg="si28.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula> with respect to <italic>I</italic><sub>1</sub>, we address the following interesting results concerning the selection strategies. To show this, we define the threshold value for SARS patients as follows
<disp-formula id="eq0005"><label>(2.5)</label><mml:math id="M11" altimg="si29.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></disp-formula>which decides whether the hospital carries out the selective strategy or not. Thus, there are two cases: <list list-type="simple" id="celist0001"><list-item id="celistitem0006"><label>□</label><p id="para0015"><italic>If I</italic><sub>1</sub> < <italic>I<sub>c</sub>, the function</italic><inline-formula><mml:math id="M12" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>can obtain the maximum value at</italic><disp-formula id="ueq0002"><mml:math id="M13" altimg="si30.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="celistitem0007"><label>□</label><p id="para0016"><italic>If I</italic><sub>1</sub> > <italic>I<sub>c</sub>, the function</italic><inline-formula><mml:math id="M14" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>can obtain the maximum value at</italic><disp-formula id="ueq0003"><mml:math id="M15" altimg="si31.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></list-item></list></p><p id="para0017">Therefore, taking into account above facts, in the early stages of SARS outbreak (<italic>I</italic><sub>1</sub> < <italic>I<sub>c</sub></italic>), the patients with flu can be treated simultaneously with SARS, i.e., <inline-formula><mml:math id="M16" altimg="si32.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Then model <xref rid="eq0001" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref> becomes
<disp-formula id="eq0006"><label>(2.6)</label><mml:math id="M17" altimg="si33.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0018">With the increasing number of infected cases with SARS (<italic>I</italic><sub>1</sub> > <italic>I<sub>c</sub></italic>), the doctors have to isolate and treat SARS patients only, i.e., <inline-formula><mml:math id="M18" altimg="si34.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus model <xref rid="eq0001" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref> becomes
<disp-formula id="eq0007"><label>(2.7)</label><mml:math id="M19" altimg="si35.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0019">To simplify models <xref rid="eq0006" ref-type="disp-formula">(2.6)</xref> and <xref rid="eq0007" ref-type="disp-formula">(2.7)</xref>, we assume that the number of the patients infected by flu each year is a constant, i.e., <inline-formula><mml:math id="M20" altimg="si36.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, models <xref rid="eq0006" ref-type="disp-formula">(2.6)</xref> and <xref rid="eq0007" ref-type="disp-formula">(2.7)</xref> can be rewritten as the following Filippov system <xref rid="bib0013" ref-type="bibr">[13]</xref>, <xref rid="bib0014" ref-type="bibr">[14]</xref><disp-formula id="eq0008"><label>(2.8)</label><mml:math id="M21" altimg="si37.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>with
<disp-formula id="eq0009"><label>(2.9)</label><mml:math id="M22" altimg="si38.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M23" altimg="si39.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M24" altimg="si40.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M25" altimg="si41.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M26" altimg="si42.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with vector <inline-formula><mml:math id="M27" altimg="si43.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Model <xref rid="eq0008" ref-type="disp-formula">(2.8)</xref> with <xref rid="eq0009" ref-type="disp-formula">(2.9)</xref> is a description of the threshold control policy, which is referred to as an on-off control, see <xref rid="bib0011" ref-type="bibr">[11]</xref>, <xref rid="bib0012" ref-type="bibr">[12]</xref> for more detailed discussion on Filippov system. Note that the special case (i.e. <italic>b</italic><sub>1</sub> = 0) has been investigated recently <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref>.</p><p id="para0020">Let
<disp-formula id="ueq0004"><mml:math id="M28" altimg="si44.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="ueq0005"><mml:math id="M29" altimg="si45.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">T</mml:mi></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Then model <xref rid="eq0008" ref-type="disp-formula">(2.8)</xref> with <xref rid="eq0009" ref-type="disp-formula">(2.9)</xref> can be rewritten as the following generalized Filippov system <xref rid="bib0013" ref-type="bibr">[13]</xref>, <xref rid="bib0014" ref-type="bibr">[14]</xref><disp-formula id="eq0010"><label>(2.10)</label><mml:math id="M30" altimg="si46.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula id="ueq0006"><mml:math id="M31" altimg="si47.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="2.em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Furthermore, the discontinuity boundary (or manifold) <italic>Σ</italic> separating two regions <italic>G</italic><sub>1</sub> and <italic>G</italic><sub>2</sub> is described as <inline-formula><mml:math id="M32" altimg="si48.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <italic>H</italic>(<italic>Z</italic>) is a smooth scalar function with non-vanishing gradient <italic>H<sub>Z</sub></italic>(<italic>Z</italic>) on <italic>Σ</italic>.</p><p id="para0021">The main characteristics of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> is that selective strategy is suppressed when the number of patients infected by SARS (i.e., <italic>I</italic>(<italic>t</italic>)) is below a previously chosen threshold policy <italic>I<sub>c</sub></italic>. With this number <italic>I</italic>(<italic>t</italic>) increases and exceeds the threshold <italic>I<sub>c</sub></italic>, the hospital will treat severe cases only since the shortage of medical resources, that is, the selective strategy is implemented.</p><p id="para0022">The following definitions on all types of equilibria of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref><xref rid="bib0026" ref-type="bibr">[26]</xref>, <xref rid="bib0027" ref-type="bibr">[27]</xref> are necessary throughout the paper.
<statement id="enun0001"><label>Definition 2.1</label><p id="para0023">A point <italic>Z</italic><sub>*</sub> is called a real equilibrium of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> if <inline-formula><mml:math id="M33" altimg="si49.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M34" altimg="si50.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Similarly, a point <italic>Z</italic><sub>*</sub> is called a virtual equilibrium if <inline-formula><mml:math id="M35" altimg="si51.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M36" altimg="si52.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Both the real and virtual equilibria are called regular equilibria.</p></statement><statement id="enun0002"><label>Definition 2.2</label><p id="para0024">A point <italic>Z</italic><sub>*</sub> is called a pseudo-equilibrium if it is an equilibrium of the sliding mode of system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>, i.e., <inline-formula><mml:math id="M37" altimg="si53.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and 0 < α(<italic>Z</italic>) < 1, and
<disp-formula id="ueq0007"><mml:math id="M38" altimg="si54.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><italic>where</italic> ⟨·, ·⟩ <italic>denotes the standard scalar product.</italic></p></statement><statement id="enun0003"><label>Definition 2.3</label><p id="para0025">A point <italic>Z</italic><sub>*</sub> is called a boundary equilibrium of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> if <inline-formula><mml:math id="M39" altimg="si55.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M40" altimg="si56.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (or <inline-formula><mml:math id="M41" altimg="si57.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>).</p></statement><statement id="enun0004"><label>Definition 2.4</label><p id="para0026">A point <italic>Z</italic><sub>*</sub> is called a tangency point of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> if <italic>Z</italic><sub>*</sub> ∈ <italic>Σ<sub>s</sub></italic> and <inline-formula><mml:math id="M42" altimg="si58.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (or <inline-formula><mml:math id="M43" altimg="si59.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>), where <inline-formula><mml:math id="M44" altimg="si60.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is the Lie derivative <xref rid="bib0028" ref-type="bibr">[28]</xref> for <inline-formula><mml:math id="M45" altimg="si61.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></statement></p></sec><sec id="sec0003"><label>3</label><title>Qualitative analysis of two subsystems</title><p id="para0027">If <italic>I</italic> < <italic>I<sub>c</sub></italic>, then the following system plays a key role in analyzing the Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref><disp-formula id="eq0011"><label>(3.1)</label><mml:math id="M46" altimg="si62.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and the basic reproduction number of subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> reads
<disp-formula id="ueq0008"><mml:math id="M47" altimg="si63.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>It is obvious that subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> always has a unique disease-free equilibrium <inline-formula><mml:math id="M48" altimg="si64.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>0</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> which is globally asymptotically stable if <inline-formula><mml:math id="M49" altimg="si65.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="para0028">The endemic equilibria of subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> are solutions of
<disp-formula id="ueq0009"><mml:math id="M50" altimg="si66.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>which yields
<disp-formula id="eq0012"><label>(3.2)</label><mml:math id="M51" altimg="si67.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula id="ueq0010"><mml:math id="M52" altimg="si68.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Noting that <italic>n</italic><sub>1</sub> < 0 if and only if <inline-formula><mml:math id="M53" altimg="si69.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M54" altimg="si70.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> if and only if <inline-formula><mml:math id="M55" altimg="si71.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>n</italic><sub>1</sub> > 0 if and only if <inline-formula><mml:math id="M56" altimg="si65.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="para0029">For the simplicity and convenience of exposition, we denote
<disp-formula id="ueq0011"><mml:math id="M57" altimg="si72.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msqrt><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><statement id="enun0005"><label>Lemma 3.1</label><p id="para0030"><italic>For subsystem</italic><xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref><italic>, we have</italic><list list-type="simple" id="celist0002"><list-item id="celistitem0008"><label>(1)</label><p id="para0031"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M58" altimg="si69.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>there exists a unique endemic equilibrium</italic><inline-formula><mml:math id="M59" altimg="si73.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>;</italic></p></list-item><list-item id="celistitem0009"><label>(2)</label><p id="para0032"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M60" altimg="si74.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and m</italic><sub>1</sub> < 0, <italic>there exists a unique endemic equilibrium</italic><inline-formula><mml:math id="M61" altimg="si75.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>;</italic></p></list-item><list-item id="celistitem0010"><label>(3)</label><p id="para0033"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M62" altimg="si74.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and m</italic><sub>1</sub> ≥ 0, <italic>there exists no endemic equilibrium;</italic></p></list-item><list-item id="celistitem0011"><label>(4)</label><p id="para0034"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M63" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and Δ</italic><sub>1</sub> > 0, <italic>there exists two endemic equilibria</italic><inline-formula><mml:math id="M64" altimg="si73.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and</italic><inline-formula><mml:math id="M65" altimg="si77.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>;</italic></p></list-item><list-item id="celistitem0012"><label>(5)</label><p id="para0035"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M66" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and</italic><inline-formula><mml:math id="M67" altimg="si78.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>two endemic equilibria</italic><inline-formula><mml:math id="M68" altimg="si73.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and</italic><inline-formula><mml:math id="M69" altimg="si77.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>coalesce at a unique endemic equilibrium of multiplicity</italic> 2<italic>;</italic></p></list-item><list-item id="celistitem0013"><label>(6)</label><p id="para0036"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M70" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and Δ</italic><sub>1</sub> < 0, <italic>there exists no endemic equilibrium;</italic></p></list-item><list-item id="celistitem0014"><label>(7)</label><p id="para0037"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M71" altimg="si65.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and m</italic><sub>1</sub> ≥ 0, <italic>there exists no endemic equilibrium.</italic></p></list-item></list></p></statement></p><p id="para0038">Next, we will study the stability of the endemic equilibria of subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref>. The characteristic equation about the endemic equilibrium <inline-formula><mml:math id="M72" altimg="si79.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is given by
<disp-formula id="eq0013"><label>(3.3)</label><mml:math id="M73" altimg="si80.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula id="eq0014"><label>(3.4)</label><mml:math id="M74" altimg="si81.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>We can obtain the following lemmas from <xref rid="eq0013" ref-type="disp-formula">(3.3)</xref>.
<statement id="enun0006"><label>Lemma 3.2</label><p id="para0039"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M75" altimg="si69.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>then the endemic equilibrium</italic><inline-formula><mml:math id="M76" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>of system</italic><xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref><italic>is a stable node or focus when</italic><inline-formula><mml:math id="M77" altimg="si83.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>;</italic><inline-formula><mml:math id="M78" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>is an unstable node or focus when</italic><inline-formula><mml:math id="M79" altimg="si84.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and system</italic><xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref><italic>has at least one closed orbit in Ω;</italic><inline-formula><mml:math id="M80" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>is a center of the linear system when</italic><inline-formula><mml:math id="M81" altimg="si85.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement><statement id="enun0007"><label>Lemma 3.3</label><p id="para0040"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M82" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and Δ</italic><sub>1</sub> > 0 <italic>and A</italic> > <italic>A</italic><sub>1</sub>, <italic>then the endemic equilibrium</italic><inline-formula><mml:math id="M83" altimg="si86.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>of system</italic><xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref><italic>is a saddle; and</italic><inline-formula><mml:math id="M84" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>is an unstable node or focus when</italic><inline-formula><mml:math id="M85" altimg="si87.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>;</italic><inline-formula><mml:math id="M86" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>is a center of linear system when</italic><inline-formula><mml:math id="M87" altimg="si85.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="para0041">The methods of proving <xref rid="enun0005" ref-type="statement">Lemmas 3.1</xref>–<xref rid="enun0007" ref-type="statement">3.3</xref> are similar to those in Refs. <xref rid="bib0023" ref-type="bibr">[23]</xref>, <xref rid="bib0024" ref-type="bibr">[24]</xref>, see these references for more details.</p><p id="para0042">If <italic>I</italic> > <italic>I<sub>c</sub></italic>, then the Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> becomes
<disp-formula id="eq0015"><label>(3.5)</label><mml:math id="M88" altimg="si88.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and it has a unique disease-free equilibrium <inline-formula><mml:math id="M89" altimg="si89.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>0</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> which is globally asymptotically stable if <inline-formula><mml:math id="M90" altimg="si90.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Here,
<disp-formula id="ueq0012"><mml:math id="M91" altimg="si91.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></disp-formula>is the basic reproduction number of subsystem <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref>.</p><p id="para0043">For convenience, we denote
<disp-formula id="ueq0013"><mml:math id="M92" altimg="si92.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msqrt><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula id="ueq0014"><mml:math id="M93" altimg="si93.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mi>n</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0044">The characteristic equation about <inline-formula><mml:math id="M94" altimg="si94.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M95" altimg="si61.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is given by
<disp-formula id="ueq0015"><mml:math id="M96" altimg="si95.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula id="ueq0016"><mml:math id="M97" altimg="si96.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Similar conclusions as <xref rid="enun0005" ref-type="statement">Lemmas 3.1</xref>–<xref rid="enun0007" ref-type="statement">3.3</xref> for subsystem <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref> can be obtained, and those are not described here.</p></sec><sec id="sec0004"><label>4</label><title>Basic properties of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref></title><sec id="sec0005"><label>4.1</label><title>Existence of sliding domain</title><p id="para0045">It follows from Filippov convex method <xref rid="bib0013" ref-type="bibr">[13]</xref>, <xref rid="bib0014" ref-type="bibr">[14]</xref> that one can define the sliding vector field as a convex combination of the two vector fields
<disp-formula id="eq0016"><label>(4.1)</label><mml:math id="M98" altimg="si97.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>G</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>with
<disp-formula id="ueq0017"><mml:math id="M99" altimg="si98.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="2.em"></mml:mspace><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0046">Noting that the control <inline-formula><mml:math id="M100" altimg="si99.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> indicates that the flow is governed by <inline-formula><mml:math id="M101" altimg="si100.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msub></mml:math></inline-formula> alone, which must be tangent to the switching surface <italic>Σ</italic>. Analogously, <inline-formula><mml:math id="M102" altimg="si101.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> shows a tangency of flow <inline-formula><mml:math id="M103" altimg="si102.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub></mml:math></inline-formula> with <italic>Σ</italic>. Therefore, the sliding subset can be defined as
<disp-formula id="eq0017"><label>(4.2)</label><mml:math id="M104" altimg="si103.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>The boundaries of the sliding subset are <inline-formula><mml:math id="M105" altimg="si104.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M106" altimg="si105.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where one of the vector fields is tangent to <italic>Σ</italic> at the boundaries <inline-formula><mml:math id="M107" altimg="si106.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M108" altimg="si107.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. In particular, we can use the signs of <inline-formula><mml:math id="M109" altimg="si108.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> to define the sewing region, escaping region and sliding region, see Refs. <xref rid="bib0029" ref-type="bibr">[29]</xref>, <xref rid="bib0030" ref-type="bibr">[30]</xref> for more details.</p><p id="para0047">By simple calculation, we have
<disp-formula id="ueq0018"><mml:math id="M110" altimg="si109.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>solving the inequality 0 ≤ <italic>α</italic>(<italic>Z</italic>) ≤ 1 with respect to <italic>S</italic>, one yields
<disp-formula id="ueq0019"><mml:math id="M111" altimg="si110.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0048">Therefore, the sliding segment of Filippov <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> can be defined as
<disp-formula id="eq0018"><label>(4.3)</label><mml:math id="M112" altimg="si111.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></sec><sec id="sec0006"><label>4.2</label><title>Sliding mode dynamics</title><p id="para0049">Here we employ Utkin’s equivalent control method introduced in <xref rid="bib0014" ref-type="bibr">[14]</xref> to obtain the differential equation for sliding dynamics defined in the region <italic>Σ<sub>s</sub></italic>. It follows from <inline-formula><mml:math id="M113" altimg="si112.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> that
<disp-formula id="ueq0020"><mml:math id="M114" altimg="si113.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and solving the above equation with respect to ε yields
<disp-formula id="ueq0021"><mml:math id="M115" altimg="si114.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p id="para0050">According to Utkin’s equivalent control method, we can obtain the dynamics defined in <italic>Σ<sub>s</sub></italic> which can be determined by the following scalar differential equation
<disp-formula id="eq0019"><label>(4.4)</label><mml:math id="M116" altimg="si115.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></sec><sec id="sec0007"><label>4.3</label><title>Equilibria of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref></title><p id="para0051">For the simplicity and convenience of exposition, we denote real equilibrium as <italic>E<sub>R</sub></italic>, virtual equilibrium as <italic>E<sub>V</sub></italic>, pseudo-equilibrium as <italic>E<sub>P</sub></italic>, boundary equilibrium as <italic>E<sub>B</sub></italic> and tangent point as <italic>E<sub>T</sub></italic>, respectively.</p><p id="para0052"><bold>Regular equilibrium:</bold> For convenience, we just consider the subsystem has two endemic equilibria. From <xref rid="enun0005" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref>, subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> has two endemic equilibria <inline-formula><mml:math id="M117" altimg="si73.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M118" altimg="si116.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> provided that <inline-formula><mml:math id="M119" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <italic>Δ</italic><sub>1</sub> > 0. If <inline-formula><mml:math id="M120" altimg="si117.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then both <inline-formula><mml:math id="M121" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M122" altimg="si86.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> are real equilibria for subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref>, denoted by <inline-formula><mml:math id="M123" altimg="si118.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M124" altimg="si119.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>; While if <inline-formula><mml:math id="M125" altimg="si120.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then both <inline-formula><mml:math id="M126" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M127" altimg="si86.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> become virtual equilibria for subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref>, denoted by <inline-formula><mml:math id="M128" altimg="si121.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M129" altimg="si122.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>; Else if <inline-formula><mml:math id="M130" altimg="si123.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then the equilibria <inline-formula><mml:math id="M131" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M132" altimg="si86.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> become the virtual and real equilibria, denoted by <inline-formula><mml:math id="M133" altimg="si121.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M134" altimg="si119.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, respectively.</p><p id="para0053">Analogously, subsystem <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref> has two endemic equilibria <inline-formula><mml:math id="M135" altimg="si124.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M136" altimg="si61.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as <inline-formula><mml:math id="M137" altimg="si125.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <italic>Δ</italic><sub>2</sub> > 0. And <inline-formula><mml:math id="M138" altimg="si126.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> could be a real or virtual equilibrium (denoted by <inline-formula><mml:math id="M139" altimg="si127.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M140" altimg="si128.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, respectively) which depends on the size of <inline-formula><mml:math id="M141" altimg="si129.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <italic>I<sub>c</sub></italic>.</p><p id="para0054"><bold>Pseudo-equilibrium:</bold> For the existence of pseudo-equilibrium, we denote <inline-formula><mml:math id="M142" altimg="si130.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> according to <xref rid="eq0019" ref-type="disp-formula">(4.4)</xref> the <italic>S<sub>P</sub></italic> component of the pseudo-equilibrium of sliding flow satisfies the following equation
<disp-formula id="ueq0022"><mml:math id="M143" altimg="si131.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M144" altimg="si132.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <italic>S<sub>P</sub></italic> is a unique positive steady state of <xref rid="eq0019" ref-type="disp-formula">(4.4)</xref>. That is, if <inline-formula><mml:math id="M145" altimg="si133.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Σ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> holds true, Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> exists a unique pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic>.</p><p id="para0055">For the stability of pseudo-equilibrium <inline-formula><mml:math id="M146" altimg="si130.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> we rewrite sliding mode equation <xref rid="eq0019" ref-type="disp-formula">(4.4)</xref> as
<disp-formula id="eq0020"><label>(4.5)</label><mml:math id="M147" altimg="si134.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≐</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>it follows from <xref rid="eq0020" ref-type="disp-formula">(4.5)</xref> that
<disp-formula id="ueq0023"><mml:math id="M148" altimg="si135.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>which indicates that the pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic> is locally stable in <italic>Σ<sub>s</sub></italic>.</p><p id="para0056"><bold>Boundary equilibrium:</bold> The boundary equilibria of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> satisfy equations
<disp-formula id="ueq0024"><mml:math id="M149" altimg="si136.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>which indicates that if
<disp-formula id="eq0021"><label>(4.6)</label><mml:math id="M150" altimg="si137.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>then we have boundary equilibrium <inline-formula><mml:math id="M151" altimg="si138.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. We denote <inline-formula><mml:math id="M152" altimg="si139.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M153" altimg="si140.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> provided <xref rid="eq0021" ref-type="disp-formula">(4.6)</xref> as <inline-formula><mml:math id="M154" altimg="si141.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> i.e., <inline-formula><mml:math id="M155" altimg="si142.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M156" altimg="si143.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (if <inline-formula><mml:math id="M157" altimg="si144.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M158" altimg="si145.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> exists), and <inline-formula><mml:math id="M159" altimg="si146.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M160" altimg="si147.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> provided <xref rid="eq0021" ref-type="disp-formula">(4.6)</xref> as <inline-formula><mml:math id="M161" altimg="si148.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ɛ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> i.e., <inline-formula><mml:math id="M162" altimg="si149.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M163" altimg="si150.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (if <inline-formula><mml:math id="M164" altimg="si151.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M165" altimg="si152.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> exists).</p><p id="para0057"><bold>Tangent point:</bold> According to Definition 2.4, the tangent point <italic>E<sub>T</sub></italic> on sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic> satisfies equations
<disp-formula id="ueq0025"><mml:math id="M166" altimg="si153.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and
<disp-formula id="ueq0026"><mml:math id="M167" altimg="si154.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Hence, there may be two possible tangent points including <inline-formula><mml:math id="M168" altimg="si155.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M169" altimg="si156.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="para0058">The richness of equilibria of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> could result in a number of equilibrium bifurcations as the key parameter varies. Thus, in the coming section, we would like to investigate the local and global sliding bifurcations of system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>.</p></sec></sec><sec id="sec0008"><label>5</label><title>Sliding bifurcation analysis of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref></title><p id="para0059">By employing numerical methods to investigate the qualitative behaviors of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>, the sliding bifurcation analyses including local and global bifurcations of one parameter Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> are provided in this section. Therefore, we fix all other parameters and choose the maximal recovery rate for the patients with flu (i.e., <italic>c</italic><sub>2</sub>) as a bifurcation parameter, noting that <italic>c</italic><sub>2</sub> is directly related to the threshold value <italic>I<sub>c</sub></italic>.</p><sec id="sec0009"><label>5.1</label><title>Local sliding bifurcation</title><p id="para0060">Throughout this section, we will investigate the local sliding bifurcation of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Boundary equilibrium bifurcation, as a type of local sliding bifurcation in Filippov system, is characterized by the collision of pseudo-equilibrium, tangent point, and real equilibrium (or tangent point and real equilibrium) at the discontinuity surface when one parameter passes through a critical value, and includes boundary node, focus and saddle bifurcations which will be addressed in the following.</p><p id="para0061">Noting that the boundary equilibrium bifurcation occurs at <italic>E<sub>B</sub></italic> if <inline-formula><mml:math id="M170" altimg="si157.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is invertible (or equivalently the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M171" altimg="si158.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have real part different from zero and <inline-formula><mml:math id="M172" altimg="si159.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>〈</mml:mo><mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>Z</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>〉</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Here the symbol <inline-formula><mml:math id="M173" altimg="si158.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is the characteristic polynomial of subsystems <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> or <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref> about the boundary equilibrium <italic>E<sub>B</sub></italic>). These bifurcations are classified as boundary saddle, boundary node and boundary focus in <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>. It follows from Section <xref rid="sec0006" ref-type="sec">4.2</xref> that Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> maybe have boundary equilibria <inline-formula><mml:math id="M174" altimg="si160.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M175" altimg="si161.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> if <inline-formula><mml:math id="M176" altimg="si162.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M177" altimg="si129.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> exist for <inline-formula><mml:math id="M178" altimg="si61.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. For the boundary equilibria <inline-formula><mml:math id="M179" altimg="si139.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M180" altimg="si163.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> by simple calculations we have
<disp-formula id="eq0022"><label>(5.1)</label><mml:math id="M181" altimg="si164.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="eq0023"><label>(5.2)</label><mml:math id="M182" altimg="si165.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>12</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and from <xref rid="enun0007" ref-type="statement">Lemma 3.3</xref>, we know that <inline-formula><mml:math id="M183" altimg="si158.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> possesses complex eigenvalues with nonzero real part <inline-formula><mml:math id="M184" altimg="si166.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> if <inline-formula><mml:math id="M185" altimg="si160.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> is an saddle (a note, or a focus). Again, similar argument as above will yield for the boundary equilibria <inline-formula><mml:math id="M186" altimg="si146.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M187" altimg="si147.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. Hence, a boundary equilibrium bifurcation occurs at <inline-formula><mml:math id="M188" altimg="si167.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="para0062"><bold>Boundary-saddle bifurcation:</bold> This type of bifurcation may occur for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> if three types of equilibria <italic>E<sub>R</sub>, E<sub>T</sub></italic> and <italic>E<sub>P</sub></italic> collide together simultaneously as parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> passes through a critical value <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>. For example, when the parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> passes through a critical value <inline-formula><mml:math id="M189" altimg="si168.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>≈</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> a saddle <inline-formula><mml:math id="M190" altimg="si169.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> a tangent point <inline-formula><mml:math id="M191" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and a pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic> collide together, so the boundary-saddle bifurcation occurs at <inline-formula><mml:math id="M192" altimg="si171.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as shown in <xref rid="fig0001" ref-type="fig">Fig. 1</xref>(B). In this case, the critical value
<disp-formula id="eq0024"><label>(5.3)</label><mml:math id="M193" altimg="si172.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>A saddle <inline-formula><mml:math id="M194" altimg="si173.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> (an unstable real equilibrium), a stable pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic> and an invisible tangent <inline-formula><mml:math id="M195" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> can coexist for <inline-formula><mml:math id="M196" altimg="si174.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as shown in <xref rid="fig0001" ref-type="fig">Fig. 1</xref>(A) with <inline-formula><mml:math id="M197" altimg="si175.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.8</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. They collide together simultaneously as <inline-formula><mml:math id="M198" altimg="si176.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and are substituted by a virtual equilibrium <inline-formula><mml:math id="M199" altimg="si177.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>22</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> an invisible tangent <inline-formula><mml:math id="M200" altimg="si178.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> while the pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic> is disappeared, when the parameter <inline-formula><mml:math id="M201" altimg="si179.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> see <xref rid="fig0001" ref-type="fig">Fig. 1</xref>(C) with <inline-formula><mml:math id="M202" altimg="si180.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for more details.<fig id="fig0001"><label>Fig. 1</label><caption><p>Boundary-saddle bifurcation for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M203" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>363</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>15</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>13.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and (A)<inline-formula><mml:math id="M204" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.8</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (B)<inline-formula><mml:math id="M205" altimg="si3.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (C)<inline-formula><mml:math id="M206" altimg="si4.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><alt-text id="at0001">Fig. 1</alt-text><graphic xlink:href="gr1"></graphic></fig></p><p id="para0063"><bold>Boundary-node bifurcation:</bold> From <xref rid="fig0002" ref-type="fig">Fig. 2</xref>, we can see that the stable note <inline-formula><mml:math id="M207" altimg="si118.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and a tangent point <inline-formula><mml:math id="M208" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> collide together as the parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> passes through the critical value <inline-formula><mml:math id="M209" altimg="si182.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>≈</mml:mo><mml:mn>0.355</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> the boundary node bifurcation occurs at <inline-formula><mml:math id="M210" altimg="si183.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where the critical value <inline-formula><mml:math id="M211" altimg="si184.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> is
<disp-formula id="eq0025"><label>(5.4)</label><mml:math id="M212" altimg="si185.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>A stable note <inline-formula><mml:math id="M213" altimg="si118.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and a tangent point <inline-formula><mml:math id="M214" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> coexist, as shown in <xref rid="fig0002" ref-type="fig">Fig. 2</xref>(A) with <inline-formula><mml:math id="M215" altimg="si186.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M216" altimg="si187.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. They collide at <inline-formula><mml:math id="M217" altimg="si176.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (see <xref rid="fig0002" ref-type="fig">Fig. 2</xref>(B)) and are substituted by a pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic>, a tangent point <inline-formula><mml:math id="M218" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and a virtual equilibrium <inline-formula><mml:math id="M219" altimg="si121.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>11</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> as <inline-formula><mml:math id="M220" altimg="si174.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> see <xref rid="fig0002" ref-type="fig">Fig. 2</xref>(C) with <inline-formula><mml:math id="M221" altimg="si188.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for more details.<fig id="fig0002"><label>Fig. 2</label><caption><p>Boundary-node bifurcation for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M222" altimg="si5.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and (A)<inline-formula><mml:math id="M223" altimg="si6.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (B)<inline-formula><mml:math id="M224" altimg="si7.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.355</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (C)<inline-formula><mml:math id="M225" altimg="si8.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><alt-text id="at0002">Fig. 2</alt-text><graphic xlink:href="gr2"></graphic></fig></p><p id="para0064"><bold>Boundary-focus bifurcation:</bold> Similarly, a boundary focus bifurcation of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> occurs at <inline-formula><mml:math id="M226" altimg="si146.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> as <inline-formula><mml:math id="M227" altimg="si189.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>≈</mml:mo><mml:mn>0.635</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> see <xref rid="fig0003" ref-type="fig">Fig. 3</xref>, and
<disp-formula id="eq0026"><label>(5.5)</label><mml:math id="M228" altimg="si190.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>A stable focus <inline-formula><mml:math id="M229" altimg="si191.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and a tangent point <inline-formula><mml:math id="M230" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> coexist, as shown in <xref rid="fig0003" ref-type="fig">Fig. 3</xref>(A) when <italic>c</italic><sub>2</sub> < 0.635. They collide at <inline-formula><mml:math id="M231" altimg="si176.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (see <xref rid="fig0003" ref-type="fig">Fig. 3</xref>(B) with <inline-formula><mml:math id="M232" altimg="si186.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) and are substituted by a pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic>, a tangent point <inline-formula><mml:math id="M233" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and a virtual equilibrium <inline-formula><mml:math id="M234" altimg="si192.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>21</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> when <italic>c</italic><sub>2</sub> > 0.635, as shown in <xref rid="fig0003" ref-type="fig">Fig. 3</xref>(C) with <inline-formula><mml:math id="M235" altimg="si193.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.7</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<fig id="fig0003"><label>Fig. 3</label><caption><p>Boundary-focus bifurcation for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M236" altimg="si9.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and (A)<inline-formula><mml:math id="M237" altimg="si6.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (B)<inline-formula><mml:math id="M238" altimg="si10.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.635</mml:mn><mml:mo>;</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (C)<inline-formula><mml:math id="M239" altimg="si11.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mspace width="0.33em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.7</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><alt-text id="at0003">Fig. 3</alt-text><graphic xlink:href="gr3"></graphic></fig></p></sec><sec id="sec0010"><label>5.2</label><title>Global sliding bifurcation</title><p id="para0065">Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> could have standard periodic solutions that lie entirely in regions <italic>G</italic><sub>1</sub> or <italic>G</italic><sub>2</sub> through a Hopf bifurcation, respectively <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>, <xref rid="bib0032" ref-type="bibr">[32]</xref>. Meanwhile, as mentioned in Refs. <xref rid="bib0026" ref-type="bibr">[26]</xref>, <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>, Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> may have additional two types of new periodic solutions: periodic solutions which have a sliding segment in sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic> (i.e., sliding periodic solutions) and those which have only isolated points in common with <italic>Σ<sub>s</sub></italic> (i.e., crossing periodic solutions). Noting that a crossing periodic solution can pass through the boundary of the sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic>. Accordingly, the orbits corresponding to periodic solutions will be called standard, sliding and crossing cycles. In this section, we focus on the global sliding bifurcations such as grazing bifurcation (i.e., touching bifurcation), buckling bifurcation and crossing bifurcation.</p><p id="para0066"><bold>Grazing (or touching) bifurcation:</bold> It follows from the Refs. <xref rid="bib0026" ref-type="bibr">[26]</xref>, <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>, a standard periodic solution can collide with the sliding segments, and this type of bifurcation is called grazing or touching bifurcation. Noting that Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> has a stable periodic solution in the interior of region <italic>G</italic><sub>2</sub>, as shown in <xref rid="fig0004" ref-type="fig">Fig. 4</xref>(A) with <inline-formula><mml:math id="M240" altimg="si186.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. At this moment, Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> has two tangent points <inline-formula><mml:math id="M241" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M242" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> lying on the boundary of the sliding mode, subsystem <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref> has an unstable real equilibrium <inline-formula><mml:math id="M243" altimg="si194.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> while subsystem <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> has one unstable virtual equilibrium <inline-formula><mml:math id="M244" altimg="si195.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. As the parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> increases and passes through around 0.85, a grazing or touching bifurcation occurs, as shown in <xref rid="fig0004" ref-type="fig">Fig. 4</xref>(B), which indicates that the standard period solution of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> collides with its tangent point <inline-formula><mml:math id="M245" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. As <italic>c</italic><sub>2</sub> continues to increase the cycle becomes a sliding cycle, where a piece of sliding segment belongs to the cycle, as shown in <xref rid="fig0004" ref-type="fig">Fig. 4</xref>(C) with <inline-formula><mml:math id="M246" altimg="si196.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<fig id="fig0004"><label>Fig. 4</label><caption><p>Grazing (or touching) bifurcation for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M247" altimg="si12.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.15</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><alt-text id="at0004">Fig. 4</alt-text><graphic xlink:href="gr4"></graphic></fig></p><p id="para0067">Especially, as the bifurcation parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> is increased to 1.6, the stable periodic cycle is disappeared, and pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic> appears at <inline-formula><mml:math id="M248" altimg="si197.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Meanwhile, for subsystem <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref>, the real equilibrium <inline-formula><mml:math id="M249" altimg="si194.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> becomes a virtual equilibrium <inline-formula><mml:math id="M250" altimg="si198.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> the real/virtual equilibrium bifurcation occurs at <inline-formula><mml:math id="M251" altimg="si199.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as shown in <xref rid="fig0004" ref-type="fig">Fig. 4</xref>(D). Meanwhile, <xref rid="fig0004" ref-type="fig">Fig. 4</xref>(D)also shows that pseudo-equilibrium of Filippov system cannot coexist with the real equilibria.</p><p id="para0068"><bold>Buckling bifurcation:</bold> This type of bifurcation is defined as a standard piece of the cycle starts to pass the invisible quadratic tangent point as the bifurcation parameter varies <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>, as shown in <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(C). <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(B) clearly shows that Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> has a stable sliding periodic solution, an invisible quadratic tangent point <inline-formula><mml:math id="M252" altimg="si200.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> an unstable regular equilibria <inline-formula><mml:math id="M253" altimg="si195.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>V</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M254" altimg="si194.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. As <italic>c</italic><sub>2</sub> increases and exceeds 0.7 the piece of the cycle starts to pass the invisible quadratic tangent point <inline-formula><mml:math id="M255" altimg="si200.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and consequently the cycle passes through the whole piece of the sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic>, and the sliding cycle does exist in region <italic>G</italic><sub>2</sub> and sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic>, see <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(C) for details. It follows from <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(B)–(D) that a buckling bifurcation occurs at <inline-formula><mml:math id="M256" altimg="si201.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.05</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Similarly, <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(F)–(H) also shows there exists a buckling bifurcation as <inline-formula><mml:math id="M257" altimg="si202.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.7</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> unlike <xref rid="fig0005" ref-type="fig">5</xref>(B)–(D), the sliding cycle as shown in <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(G) does exists in region <italic>G</italic><sub>1</sub> and <italic>Σ<sub>s</sub></italic>.<fig id="fig0005"><label>Fig. 5</label><caption><p>Buckling and crossing bifurcations for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M258" altimg="si13.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.9</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.052</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></caption><alt-text id="at0005">Fig. 5</alt-text><graphic xlink:href="gr5a"></graphic><graphic xlink:href="gr5b"></graphic></fig></p><p id="para0069"><bold>Crossing bifurcation:</bold> Along with the variation of bifurcation parameter, a stable sliding periodic solution becomes a stable crossing periodic solution, this type bifurcation is called crossing bifurcation. It is interesting to note that a sliding cycle with a single sliding segment ending at <inline-formula><mml:math id="M259" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> does exists in both regions <italic>G</italic><sub>1</sub>, <italic>G</italic><sub>2</sub> and sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic>, see <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(H). As <italic>c</italic><sub>2</sub> increases and reaches 3.45 the sliding cycle only passes the tangent point <inline-formula><mml:math id="M260" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mi>E</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> on the sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic>. At this moment, the stable sliding periodic solution becomes a stable crossing periodic solution, as shown in <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(I) with <inline-formula><mml:math id="M261" altimg="si203.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3.45</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(J) shows that the sliding crossing cycle becomes a crossing cycle as <italic>c</italic><sub>2</sub> continues to increase and reach 4. Noting that the sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic> is located within the crossing cycle which exists in both regions <italic>G</italic><sub>1</sub> and <italic>G</italic><sub>2</sub>. It follows from <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(H)–(J) that a crossing bifurcation occurs at <inline-formula><mml:math id="M262" altimg="si203.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3.45</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Similarly, Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> must exist one crossing bifurcation from <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(A) to (B).</p><p id="para0070">In summary, as bifurcation parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> increases from 0.5 to 4 and all other parameters are fixed as those in <xref rid="fig0005" ref-type="fig">Fig. 5</xref>, Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> has rich sliding bifurcations, the following local and global sliding bifurcations occur sequentially: crossing → buckling → real/virtual equilibrium → buckling → crossing. Especially, as the bifurcation parameter <italic>c</italic><sub>2</sub> changes around 1.6, the stable periodic cycle is disappeared, and pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic> appears at <inline-formula><mml:math id="M263" altimg="si199.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> all the orbits tend to the pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic>, which is locally asymptotically stable. There exists a real/virtual equilibrium bifurcation for Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> in such case.</p></sec></sec><sec id="sec0011"><label>6</label><title>Key parameters and biological significance</title><p id="para0071">Previous analysis indicates that limited medical resources, the basic reproduction numbers <inline-formula><mml:math id="M264" altimg="si204.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and threshold values <italic>I<sub>c</sub></italic> (or the selective strategy) are significant factors affecting the spread of the emerging infectious disease. In this section, we first investigate how the limited medical resources (i.e., <italic>b</italic><sub>1</sub>) affects the dynamic behaviors of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> or the spread of SARS.</p><p id="para0072">As the medical resource limitation (i.e., <italic>b</italic><sub>1</sub> ≠ 0) is taken into account, then the dynamical behaviors of both subsystems <xref rid="eq0011" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> and <xref rid="eq0015" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref> of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> become much more complex. Meanwhile, the dynamic behavior of the Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> could be dramatically affected by the existence of medical resource limitation. In fact, the sliding mode could change as threshold value <italic>I<sub>c</sub></italic> changes, as shown in <xref rid="fig0006" ref-type="fig">Fig. 6</xref>(A), the length of sliding segment is increased with growing recovery rate <italic>c</italic><sub>1</sub> from 0.6 to 1.5. Meanwhile, noting that Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> does not have pseudo-equilibrium in this case <inline-formula><mml:math id="M265" altimg="si205.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. However, with the medical resource limitation (i.e., <italic>b</italic><sub>1</sub> ≠ 0), there exists a pseudo-equilibrium <italic>E<sub>P</sub></italic>, which is globally stable with respect to the sliding segment <italic>Σ<sub>s</sub></italic>, as shown in <xref rid="fig0006" ref-type="fig">Fig. 6</xref>(B). Those indicates that the emerging infectious disease will become endemic instead of elimination.<fig id="fig0006"><label>Fig. 6</label><caption><p>The impacts of <italic>b</italic><sub>1</sub> on the existence of pseudo-equilibrium of Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M266" altimg="si14.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M267" altimg="si15.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0.7</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><alt-text id="at0006">Fig. 6</alt-text><graphic xlink:href="gr6"></graphic></fig></p><p id="para0073">Meanwhile, as seen in <xref rid="fig0007" ref-type="fig">Fig. 7</xref>, the rate of growth in the number of the patients with SARS is far more quickly before than after controlling. By comparing the red line with the blue one in <xref rid="fig0007" ref-type="fig">Fig. 7</xref>, the limited medical resource has been a great influence on the time when the peak of patients appears and how long does the spread of SARS last. In fact, the blue line (with sufficient medical resources, i.e., <inline-formula><mml:math id="M268" altimg="si205.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) shows that there is a peak of patients in rapid and a sharp decline, the spread of SARS lasts only for a short time. The red line (with limited resources, i.e., <inline-formula><mml:math id="M269" altimg="si206.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) shows there is a delay in appearance of the peak of patients, and the peak value increases obviously, which indicates that the limited medical resources does not facilitate the treatment of infectious disease.<fig id="fig0007"><label>Fig. 7</label><caption><p>The time series of <italic>I</italic> with different parameter value <italic>b</italic><sub>1</sub>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M270" altimg="si16.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.71</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>20</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and initial value <inline-formula><mml:math id="M271" altimg="si17.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. (For interpretation of the references to color in this figure legend, the reader is referred to the web version of this article.)</p></caption><alt-text id="at0007">Fig. 7</alt-text><graphic xlink:href="gr7"></graphic></fig></p><p id="para0074">Therefore, in order to prevent and control the spread of emerging infectious disease, it is crucial to implement the selective strategy timely to control the basic reproduction numbers <inline-formula><mml:math id="M272" altimg="si207.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Then, the key parameters and threshold value <italic>I<sub>c</sub></italic> which affect the basic reproduction numbers <inline-formula><mml:math id="M273" altimg="si208.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></inline-formula> and selective strategy are investigated, respectively.</p><p id="para0075">Obviously, it follows from the expressions of the basic reproduction numbers <inline-formula><mml:math id="M274" altimg="si208.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></inline-formula> that they are monotonically decreasing functions with respect to <italic>c</italic><sub>1</sub>. Meanwhile, we can solve <inline-formula><mml:math id="M275" altimg="si209.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with respect to <italic>c</italic><sub>1</sub> and derive that
<disp-formula id="eq0027"><label>(6.1)</label><mml:math id="M276" altimg="si210.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>*</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>so <inline-formula><mml:math id="M277" altimg="si211.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>01</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> provided <inline-formula><mml:math id="M278" altimg="si212.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>*</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as shown in <xref rid="fig0008" ref-type="fig">Fig. 8</xref>(A). An improved the maximum cure rate for SARS will help prevent and control the spread of SARS.<fig id="fig0008"><label>Fig. 8</label><caption><p>The monotonicity of <inline-formula><mml:math id="M279" altimg="si18.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M280" altimg="si19.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math></inline-formula> with respect to <italic>c</italic><sub>1</sub> and <italic>I<sub>c</sub></italic>. Parameters are: <inline-formula><mml:math id="M281" altimg="si20.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><alt-text id="at0008">Fig. 8</alt-text><graphic xlink:href="gr8"></graphic></fig></p><p id="para0076">Furthermore, the threshold value <italic>I<sub>c</sub></italic> is a monotonically decreasing function with respect to <italic>c</italic><sub>1</sub>. Therefore, in order to control the spread of SARS, it is crucial to reduce the threshold value <italic>I<sub>c</sub></italic> to <inline-formula><mml:math id="M282" altimg="si213.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> here
<disp-formula id="eq0028"><label>(6.2)</label><mml:math id="M283" altimg="si214.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>*</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>*</mml:mo></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>That is, the smaller the threshold value <italic>I<sub>c</sub></italic> is, the more beneficial to prevent and control SARS, as shown in <xref rid="fig0008" ref-type="fig">Fig. 8</xref>(B). Those indicate that it is best to timely selective treatment for SARS infected cases so as not to miss the best timing of treatment.</p></sec><sec id="sec0012"><label>7</label><title>Concluding remarks</title><p id="para0077">In order to understand the effect of the delayed treating (<italic>b</italic><sub>1</sub> ≠ 0) for the patients with emerging infectious disease on control strategy, we have deduced a non-smooth infectious disease model induced by selection pressures. Analysis of this model reveals rich dynamics including local and global sliding bifurcations. Our main results show that reducing the threshold value to an appropriate level could contribute to the efficacy on prevention and treatment of emerging infectious disease, which indicates that the selection pressures can be beneficial to prevent the emerging infectious disease under medical resource limitation.</p><p id="para0078">Comparing the results for the model with <inline-formula><mml:math id="M284" altimg="si205.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> we have studied in Ref. <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref> with <italic>b</italic><sub>1</sub> ≠ 0, we conclude that the term <italic>b</italic><sub>1</sub> makes the dynamical behavior of the system change more interesting and complicated. By using theoretical techniques <xref rid="bib0026" ref-type="bibr">[26]</xref>, <xref rid="bib0027" ref-type="bibr">[27]</xref>, <xref rid="bib0031" ref-type="bibr">[31]</xref>, the existence conditions for sliding segment, sliding mode dynamics and different types of equilibria such as regular equilibrium, pseudo-equilibrium, boundary equilibrium and tangent point have been provided. Further, numerical sliding bifurcation analyses show that the proposed Filippov system has more rich local and global sliding bifurcations than the case studied in Ref. <xref rid="bib0010" ref-type="bibr">[10]</xref>, as shown in <xref rid="fig0001" ref-type="fig">Figs. 1</xref>–<xref rid="fig0005" ref-type="fig">5</xref> for more details. Especially, the most interesting results are those for the fixed parameter set as the bifurcation parameter varies, the sliding bifurcations occur sequentially: crossing → buckling → real/virtual equilibrium → buckling → crossing.</p><p id="para0079">According to the analyses of key parameters and biological significance, the results indicate that the dynamic behavior of the Filippov system <xref rid="eq0010" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref> could be dramatically affected by the existence of medical resource limitation (i.e., <italic>b</italic><sub>1</sub> ≠ 0), see <xref rid="fig0006" ref-type="fig">Fig. 6</xref>(B) for more detail, the existence and stability of pseudo-equilibrium shows that the emerging infectious disease will become endemic. That is, the case shown in <xref rid="fig0004" ref-type="fig">Figs. 4</xref>(D) and <xref rid="fig0005" ref-type="fig">5</xref>(E), which reveals that there are several hidden factors that can adverse affect the control strategy under medical resource limitation. Therefore, it is very necessary to implement the selective strategy in the control and treatment of SARS, see <xref rid="fig0008" ref-type="fig">Fig. 8</xref>. Meanwhile, this points to the urgent need for improvement in medical facilities, access to rapid diagnosis and treatment with more effective drugs for SARS.</p></sec></body><back><ref-list id="cebibsec1"><title>References</title><ref id="bib0001"><label>1</label><element-citation publication-type="book" id="sbref0001"><person-group person-group-type="author"><name><surname>McLean</surname><given-names>A.R.</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>R.M.</given-names></name><name><surname>Pattison</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Weiss</surname><given-names>R.A.</given-names></name></person-group><source>SARS: A Case Study in Emerging infections</source><year>2005</year><publisher-name>Oxford University Press</publisher-name><publisher-loc>Oxford</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib0002"><label>2</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0002"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mangili</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Gendreau</surname><given-names>M.A.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission of infectious diseases during commercial air travel</article-title><source>Lancet</source><volume>365</volume><year>2005</year><fpage>989</fpage><lpage>996</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">15767002</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0003"><label>3</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0003"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Soundararajan</surname><given-names>V.</given-names></name><name><surname>Tharakaraman</surname><given-names>K.</given-names></name><name><surname>Raman</surname><given-names>R.</given-names></name><name><surname>Raguram</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Shriver</surname><given-names>Z.</given-names></name><name><surname>Sasisekharan</surname><given-names>V.</given-names></name><name><surname>Sasisekharan</surname><given-names>R.</given-names></name></person-group><article-title>Extrapolating from sequence the 2009 h1n1 ’swine’ influenza virus</article-title><source>Nat. Biotechnol.</source><volume>27</volume><year>2009</year><fpage>510</fpage><lpage>513</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">19513050</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0004"><label>4</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0004"><article-title>WHO ebola response team, ebola virus disease in west Africa-the first 9 months of the epidemic and forward projections</article-title><source>N. Engl. J. Med.</source><volume>371</volume><year>2014</year><fpage>1481</fpage><lpage>1495</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">25244186</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0005"><label>5</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0005"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Derouich</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Boutayeb</surname><given-names>A.</given-names></name></person-group><article-title>Dengue fever: Mathematical modelling and computer simulation</article-title><source>Appl. Math. Comput.</source><volume>117</volume><year>2006</year><fpage>528</fpage><lpage>544</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0006"><label>6</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0006"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Matrajt</surname><given-names>L.</given-names></name><name><surname>Halloran</surname><given-names>M.E.</given-names></name><name><surname>Longini</surname><given-names>I.M.</given-names><suffix>Jr.</suffix></name></person-group><article-title>Optimal vaccine allocation for the early mitigation of pandemic influenza</article-title><source>PLoS Comput. Biol.</source><volume>9</volume><year>2013</year><fpage>e1002964</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">23555207</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0007"><label>7</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0007"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sullivan</surname><given-names>S.P.</given-names></name><name><surname>Koutsonanos</surname><given-names>D.G.</given-names></name><name><surname>Martin</surname><given-names>M.D.P.</given-names></name><name><surname>Lee</surname><given-names>L.W.</given-names></name><name><surname>Zarnitsyn</surname><given-names>V.</given-names></name><name><surname>Choi</surname><given-names>S.O.</given-names></name><name><surname>Murthy</surname><given-names>N.</given-names></name><name><surname>Compans</surname><given-names>R.W.</given-names></name><name><surname>Skountzou</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Prausnitz</surname><given-names>M.R.</given-names></name></person-group><article-title>Dissolving polymer microneedle patches for influenza vaccination</article-title><source>Nat. Med.</source><volume>16</volume><year>2010</year><fpage>915</fpage><lpage>920</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">20639891</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0008"><label>8</label><mixed-citation publication-type="other" id="othref0001">Vaccine-delivery patch with dissolving microneedles eliminates sharps boosts protection, <<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.sciencedaily.com/releases/2010/07/100718204733.htm%3E" id="interref0001">http://www.sciencedaily.com/releases/2010/07/100718204733.htm></ext-link> (accessed 19.07.10).</mixed-citation></ref><ref id="bib0009"><label>9</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0008"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qin</surname><given-names>W.J.</given-names></name><name><surname>Tang</surname><given-names>S.Y.</given-names></name><name><surname>Cheke</surname><given-names>R.A.</given-names></name></person-group><article-title>Nonlinear pulse vaccination in an SIR epidemic model with resource limitation</article-title><source>Abstr. Appl. Anal.</source><year>2013</year></element-citation><note><p>Article ID 670263, 13pp.</p></note></ref><ref id="bib0010"><label>10</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0009"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qin</surname><given-names>W.J.</given-names></name><name><surname>Tang</surname><given-names>S.Y.</given-names></name></person-group><article-title>The selection pressures induced non-smooth infectious disease model and bifurcation analysis</article-title><source>Chaos Solitons Fractals</source><volume>69</volume><year>2014</year><fpage>160</fpage><lpage>171</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0011"><label>11</label><element-citation publication-type="book" id="sbref0010"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Utkin</surname><given-names>V.I.</given-names></name></person-group><source>Sliding Modes and Their Applications in Variable Structure Systems</source><year>1978</year><publisher-name>Mir Publishers</publisher-name><publisher-loc>Moscow</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib0012"><label>12</label><element-citation publication-type="book" id="sbref0011"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Utkin</surname><given-names>V.I.</given-names></name></person-group><source>Sliding Modes in Control and Optimization</source><year>1992</year><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>Berlin</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib0013"><label>13</label><element-citation publication-type="book" id="sbref0012"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Filippov</surname><given-names>A.F.</given-names></name></person-group><source>Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides</source><year>1988</year><publisher-name>Kluwer Academic Publishers</publisher-name><publisher-loc>Dordrecht</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib0014"><label>14</label><element-citation publication-type="book" id="sbref0013"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Utkin</surname><given-names>V.I.</given-names></name><name><surname>Guldner</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Shi</surname><given-names>J.X.</given-names></name></person-group><source>Sliding Model Control in Electromechanical Systems</source><year>2009</year><publisher-name>Taylor Francis Group</publisher-name><publisher-loc>London</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib0015"><label>15</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0014"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Xiao</surname><given-names>Y.N.</given-names></name><name><surname>Xu</surname><given-names>X.X.</given-names></name><name><surname>Tang</surname><given-names>S.Y.</given-names></name></person-group><article-title>Sliding mode control of outbreaks of emerging infectious diseases</article-title><source>Bull. Math. Biol.</source><volume>74</volume><year>2012</year><fpage>2403</fpage><lpage>2422</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">22836868</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0016"><label>16</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0015"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>A.L.</given-names></name><name><surname>Xiao</surname><given-names>Y.N.</given-names></name></person-group><article-title>Sliding bifurcation and global dynamics of a filippov epidemic model with vaccination</article-title><source>Int. J. Bifurc. Chaos</source><volume>23</volume><year>2013</year><fpage>1350144</fpage></element-citation></ref><ref id="bib0017"><label>17</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0016"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>A.L.</given-names></name><name><surname>Xiao</surname><given-names>Y.N.</given-names></name></person-group><article-title>A Filippov system describing media effects on the spread of infectious diseases</article-title><source>Nonlinear Anal. Hybrid Syst.</source><volume>11</volume><year>2014</year><fpage>84</fpage><lpage>97</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0018"><label>18</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0017"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>A.L.</given-names></name><name><surname>Xiao</surname><given-names>Y.N.</given-names></name><name><surname>Cheke</surname><given-names>R.A.</given-names></name></person-group><article-title>Global dynamics of a piece-wise epidemic model with switching vaccination strategy</article-title><source>Discret. Contin. Dyn. Syst. Ser. B</source><volume>19</volume><year>2014</year><fpage>2915</fpage><lpage>2940</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0019"><label>19</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0018"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.D.</given-names></name><name><surname>Ruan</surname><given-names>S.G.</given-names></name></person-group><article-title>Bifurcation in an epidemic model with constant removal rate of the infectives</article-title><source>J. Math. Anal. Appl.</source><volume>291</volume><year>2004</year><fpage>775</fpage><lpage>793</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0020"><label>20</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0019"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.D.</given-names></name></person-group><article-title>Backward bifurcation of an epidemic model with treatment</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>201</volume><year>2006</year><fpage>58</fpage><lpage>71</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">16466756</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0021"><label>21</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0020"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hu</surname><given-names>Z.X.</given-names></name><name><surname>Liu</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>H.</given-names></name></person-group><article-title>Backward bifurcation of an epidemic model with standard incidence rate and treatment rate</article-title><source>Nonlinear Anal. Real World Appl.</source><volume>9</volume><year>2008</year><fpage>2302</fpage><lpage>2312</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0022"><label>22</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0021"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Zhang</surname><given-names>X.</given-names></name><name><surname>Liu</surname><given-names>X.N.</given-names></name></person-group><article-title>Backward bifurcation of an epidemic model with saturated treatment function</article-title><source>J. Math. Anal. Appl.</source><volume>348</volume><year>2008</year><fpage>433</fpage><lpage>443</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0023"><label>23</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0022"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Cui</surname><given-names>J.A.</given-names></name><name><surname>Mu</surname><given-names>X.X.</given-names></name><name><surname>Wan</surname><given-names>H.</given-names></name></person-group><article-title>Saturation recovery leads to multiple endemic equilibria and backward bifurcation</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>254</volume><year>2008</year><fpage>275</fpage><lpage>283</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">18586277</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib0024"><label>24</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0023"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wan</surname><given-names>H.</given-names></name><name><surname>Cui</surname><given-names>J.A.</given-names></name></person-group><article-title>Rich dynamics of an epidemic model with saturation recovery</article-title><source>J. Appl. Math.</source><year>2013</year></element-citation><note><p>Article ID 314958, 9pp.</p></note></ref><ref id="bib0025"><label>25</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0024"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Zhou</surname><given-names>L.H.</given-names></name><name><surname>Fan</surname><given-names>M.</given-names></name></person-group><article-title>Dynamics of an SIR epidemic model with limited medical resources revisited</article-title><source>Nonlinear Anal. Real World Appl.</source><volume>13</volume><year>2012</year><fpage>312</fpage><lpage>324</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0026"><label>26</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0025"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Bernardo</surname><given-names>M.d.</given-names></name><name><surname>Budd</surname><given-names>C.J.</given-names></name><name><surname>Champneys</surname><given-names>A.R.</given-names></name><name><surname>Kowalczyk</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Nordmark</surname><given-names>A.B.</given-names></name><name><surname>Tost</surname><given-names>G.O.</given-names></name><name><surname>Piiroinen</surname><given-names>P.T.</given-names></name></person-group><article-title>Bifurcations in nonsmooth dynamical systems</article-title><source>SIAM Rev.</source><volume>50</volume><year>2008</year><fpage>629</fpage><lpage>701</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0027"><label>27</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0026"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Guardia</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Seara</surname><given-names>T.M.</given-names></name><name><surname>Teixeira</surname><given-names>M.A.</given-names></name></person-group><article-title>Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems</article-title><source>J. Differ. Equ.</source><volume>250</volume><year>2011</year><fpage>1967</fpage><lpage>2023</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0028"><label>28</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0027"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ślebodziński</surname><given-names>W.</given-names></name></person-group><article-title>Sur les équations de Hamilton</article-title><source>Bull. Acad. R. Belg.</source><volume>17</volume><year>1931</year><fpage>864</fpage><lpage>870</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0029"><label>29</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0028"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Buzzi</surname><given-names>C.A.</given-names></name><name><surname>Silva</surname><given-names>P.R.</given-names></name><name><surname>Teixeira</surname><given-names>M.A.</given-names></name></person-group><article-title>A singular approach to discontinuous vector fields on the plane</article-title><source>J. Differ. Equ.</source><volume>231</volume><year>2006</year><fpage>633</fpage><lpage>655</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0030"><label>30</label><mixed-citation publication-type="other" id="othref0002">C.A. Buzzi, T.D. Carvalho, P.R. Silva, Canard cycles and Poincar index of non-smooth vector fields on the plane, <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://arxiv.org/pdf/1002.4169%3E" id="interref0002">http://arxiv.org/pdf/1002.4169</ext-link>, 2010.</mixed-citation></ref><ref id="bib0031"><label>31</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0029"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kuznetsov</surname><given-names>Y.A.</given-names></name><name><surname>Rinaldi</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Gragnani</surname><given-names>A.</given-names></name></person-group><article-title>One parameter bifurcations in planar Filippov systems</article-title><source>Int. J. Bifurc. Chaos</source><volume>13</volume><year>2003</year><fpage>2157</fpage><lpage>2188</lpage></element-citation></ref><ref id="bib0032"><label>32</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref0030"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Baer</surname><given-names>S.M.</given-names></name><name><surname>Kooi</surname><given-names>B.W.</given-names></name><name><surname>Kuznetsov</surname><given-names>Y.A.</given-names></name><name><surname>Thieme</surname><given-names>H.R.</given-names></name></person-group><article-title>Multiparametric bifurcation analysis of a basic two-stage population model</article-title><source>SIAM J. Appl. Math.</source><volume>66</volume><year>2006</year><fpage>1339</fpage><lpage>1365</lpage></element-citation></ref></ref-list><ack id="ack0001"><title>Acknowledgments</title><p>This work is supported by <funding-source id="GS501100001809">the National Natural Science Foundation of China</funding-source> (NSFCs: 11471201, 11171199, 11301320, 11371030), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (GK201305010, GK201401004), the Youth Foundation of China Three Gorges University (KJ2015A006), and <funding-source id="GS501100003819">the Natural Science Foundation of Hubei province</funding-source> (2015CFB264).</p></ack></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/SrasV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000E02 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000E02 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= SrasV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:7126627
|texte= Effects of limited medical resource on a Filippov infectious disease model induced by selection pressure
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:NONE" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a SrasV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |