Qualitative study of a quarantine/isolation model with multiple disease stages
Identifieur interne : 000E01 ( Pmc/Corpus ); précédent : 000E00; suivant : 000E02Qualitative study of a quarantine/isolation model with multiple disease stages
Auteurs : Mohammad A. Safi ; Abba B. GumelSource :
- Applied Mathematics and Computation [ 0096-3003 ] ; 2011.
Abstract
Recent studies suggest that, for disease transmission models with latent and infectious periods, the use of gamma distribution assumption seems to provide a better fit for the associated epidemiological data in comparison to the use of exponential distribution assumption. The objective of this study is to carry out a rigorous mathematical analysis of a communicable disease transmission model with quarantine (of latent cases) and isolation (of symptomatic cases), in which the waiting periods in the infected classes are assumed to have gamma distributions. Rigorous analysis of the model reveals that it has a globally-asymptotically stable disease-free equilibrium whenever its associated reproduction number is less than unity. The model has a unique endemic equilibrium when the threshold quantity exceeds unity. The endemic equilibrium is shown to be locally and globally-asymptotically stable for special cases. Numerical simulations, using data related to the 2003 SARS outbreaks, show that the cumulative number of disease-related mortality increases with increasing number of disease stages. Furthermore, the cumulative number of new cases is higher if the asymptomatic period is distributed such that most of the period is spent in the early stages of the asymptomatic compartments in comparison to the cases where the average time period is equally distributed among the associated stages or if most of the time period is spent in the later (final) stages of the asymptomatic compartments. Finally, it is shown that distributing the average sojourn time in the infectious (asymptomatic) classes equally or unequally does not effect the cumulative number of new cases.
Url:
DOI: 10.1016/j.amc.2011.07.007
PubMed: NONE
PubMed Central: 7112307
Links to Exploration step
PMC:7112307Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Qualitative study of a quarantine/isolation model with multiple disease stages</title><author><name sortKey="Safi, Mohammad A" sort="Safi, Mohammad A" uniqKey="Safi M" first="Mohammad A." last="Safi">Mohammad A. Safi</name></author><author><name sortKey="Gumel, Abba B" sort="Gumel, Abba B" uniqKey="Gumel A" first="Abba B." last="Gumel">Abba B. Gumel</name></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmc">7112307</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7112307</idno><idno type="RBID">PMC:7112307</idno><idno type="doi">10.1016/j.amc.2011.07.007</idno><idno type="pmid">NONE</idno><date when="2011">2011</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000E01</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000E01</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Qualitative study of a quarantine/isolation model with multiple disease stages</title><author><name sortKey="Safi, Mohammad A" sort="Safi, Mohammad A" uniqKey="Safi M" first="Mohammad A." last="Safi">Mohammad A. Safi</name></author><author><name sortKey="Gumel, Abba B" sort="Gumel, Abba B" uniqKey="Gumel A" first="Abba B." last="Gumel">Abba B. Gumel</name></author></analytic><series><title level="j">Applied Mathematics and Computation</title><idno type="ISSN">0096-3003</idno><idno type="eISSN">0096-3003</idno><imprint><date when="2011">2011</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>Recent studies suggest that, for disease transmission models with latent and infectious periods, the use of gamma distribution assumption seems to provide a better fit for the associated epidemiological data in comparison to the use of exponential distribution assumption. The objective of this study is to carry out a rigorous mathematical analysis of a communicable disease transmission model with quarantine (of latent cases) and isolation (of symptomatic cases), in which the waiting periods in the infected classes are assumed to have gamma distributions. Rigorous analysis of the model reveals that it has a globally-asymptotically stable disease-free equilibrium whenever its associated reproduction number is less than unity. The model has a unique endemic equilibrium when the threshold quantity exceeds unity. The endemic equilibrium is shown to be locally and globally-asymptotically stable for special cases. Numerical simulations, using data related to the 2003 SARS outbreaks, show that the cumulative number of disease-related mortality increases with increasing number of disease stages. Furthermore, the cumulative number of new cases is higher if the asymptomatic period is distributed such that most of the period is spent in the early stages of the asymptomatic compartments in comparison to the cases where the average time period is equally distributed among the associated stages or if most of the time period is spent in the later (final) stages of the asymptomatic compartments. Finally, it is shown that distributing the average sojourn time in the infectious (asymptomatic) classes equally or unequally does not effect the cumulative number of new cases.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Anderson, R M" uniqKey="Anderson R">R.M. Anderson</name></author><author><name sortKey="May, R M" uniqKey="May R">R.M. May</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chowell, G" uniqKey="Chowell G">G. Chowell</name></author><author><name sortKey="Castillo Chavez, C" uniqKey="Castillo Chavez C">C. Castillo-Chavez</name></author><author><name sortKey="Fenimore, P" uniqKey="Fenimore P">P. Fenimore</name></author><author><name sortKey="Kribs Zaleta, C" uniqKey="Kribs Zaleta C">C. Kribs-Zaleta</name></author><author><name sortKey="Arriola, L" uniqKey="Arriola L">L. Arriola</name></author><author><name sortKey="Hyman, J" uniqKey="Hyman J">J. Hyman</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chowell, G" uniqKey="Chowell G">G. Chowell</name></author><author><name sortKey="Hengartner, N W" uniqKey="Hengartner N">N.W. Hengartner</name></author><author><name sortKey="Castillo Chavez, C" uniqKey="Castillo Chavez C">C. Castillo-Chavez</name></author><author><name sortKey="Fenimore, P W" uniqKey="Fenimore P">P.W. Fenimore</name></author><author><name sortKey="Hyman, J M" uniqKey="Hyman J">J.M. Hyman</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Diekmann, O" uniqKey="Diekmann O">O. Diekmann</name></author><author><name sortKey="Heesterbeek, J A P" uniqKey="Heesterbeek J">J.A.P. Heesterbeek</name></author><author><name sortKey="Metz, J A J" uniqKey="Metz J">J.A.J. Metz</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Donnelly, C" uniqKey="Donnelly C">C. Donnelly</name></author><author><name sortKey="Ghani, A" uniqKey="Ghani A">A. Ghani</name></author><author><name sortKey="Leung, G" uniqKey="Leung G">G. Leung</name></author><author><name sortKey="Hedley, A" uniqKey="Hedley A">A. Hedley</name></author><author><name sortKey="Fraser, C" uniqKey="Fraser C">C. Fraser</name></author><author><name sortKey="Riley, S" uniqKey="Riley S">S. Riley</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Eichner, M" uniqKey="Eichner M">M. Eichner</name></author><author><name sortKey="Schwehm, M" uniqKey="Schwehm M">M. Schwehm</name></author><author><name sortKey="Duerr, H" uniqKey="Duerr H">H. Duerr</name></author><author><name sortKey="Brockmann, S O" uniqKey="Brockmann S">S.O. Brockmann</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Feng, Z" uniqKey="Feng Z">Z. Feng</name></author><author><name sortKey="Xu, D" uniqKey="Xu D">D. Xu</name></author><author><name sortKey="Zhao, H" uniqKey="Zhao H">H. Zhao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hale, J K" uniqKey="Hale J">J.K. Hale</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hethcote, H W" uniqKey="Hethcote H">H.W. Hethcote</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hethcote, H W" uniqKey="Hethcote H">H.W. Hethcote</name></author><author><name sortKey="Zhien, M" uniqKey="Zhien M">M. Zhien</name></author><author><name sortKey="Shengbing, L" uniqKey="Shengbing L">L. Shengbing</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hogg, R V" uniqKey="Hogg R">R.V. Hogg</name></author><author><name sortKey="Craig, A T" uniqKey="Craig A">A.T. Craig</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kao, R R" uniqKey="Kao R">R.R. Kao</name></author><author><name sortKey="Roberts, M G" uniqKey="Roberts M">M.G. Roberts</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kermack, W O" uniqKey="Kermack W">W.O. Kermack</name></author><author><name sortKey="Mckenrick, A G" uniqKey="Mckenrick A">A.G. McKenrick</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kermack, W O" uniqKey="Kermack W">W.O. Kermack</name></author><author><name sortKey="Mckenrick, A G" uniqKey="Mckenrick A">A.G. McKenrick</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Leung, G" uniqKey="Leung G">G. Leung</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lipsitch, M" uniqKey="Lipsitch M">M. Lipsitch</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lloyd Smith, J O" uniqKey="Lloyd Smith J">J.O. Lloyd-Smith</name></author><author><name sortKey="Galvani, A P" uniqKey="Galvani A">A.P. Galvani</name></author><author><name sortKey="Getz, W M" uniqKey="Getz W">W.M. Getz</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mcleod, R G" uniqKey="Mcleod R">R.G. McLeod</name></author><author><name sortKey="Brewster, J F" uniqKey="Brewster J">J.F. Brewster</name></author><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author><author><name sortKey="Slonowsky, D A" uniqKey="Slonowsky D">D.A. Slonowsky</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Podder, C N" uniqKey="Podder C">C.N. Podder</name></author><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author><author><name sortKey="Bowman, C S" uniqKey="Bowman C">C.S. Bowman</name></author><author><name sortKey="Mcleod, R G" uniqKey="Mcleod R">R.G. McLeod</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Riley, S" uniqKey="Riley S">S. Riley</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ross, R A" uniqKey="Ross R">R.A. Ross</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Safi, M A" uniqKey="Safi M">M.A. Safi</name></author><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sharomi, O" uniqKey="Sharomi O">O. Sharomi</name></author><author><name sortKey="Podder, C N" uniqKey="Podder C">C.N. Podder</name></author><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author><author><name sortKey="Elbasha, E" uniqKey="Elbasha E">E. Elbasha</name></author><author><name sortKey="Watmough, J" uniqKey="Watmough J">J. Watmough</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Smith, H L" uniqKey="Smith H">H.L. Smith</name></author><author><name sortKey="Waltman, P" uniqKey="Waltman P">P. Waltman</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Thieme, H R" uniqKey="Thieme H">H.R. Thieme</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P. van den Driessche</name></author><author><name sortKey="Watmough, J" uniqKey="Watmough J">J. Watmough</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author><author><name sortKey="Ruanx, S" uniqKey="Ruanx S">S. Ruanx</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wearing, H J" uniqKey="Wearing H">H.J. Wearing</name></author><author><name sortKey="Rohani, P" uniqKey="Rohani P">P. Rohani</name></author><author><name sortKey="Keeling, M J" uniqKey="Keeling M">M.J. Keeling</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Webb, G F" uniqKey="Webb G">G.F. Webb</name></author><author><name sortKey="Blaser, M J" uniqKey="Blaser M">M.J. Blaser</name></author><author><name sortKey="Zhu, H" uniqKey="Zhu H">H. Zhu</name></author><author><name sortKey="Ardal, S" uniqKey="Ardal S">S. Ardal</name></author><author><name sortKey="Wu, J" uniqKey="Wu J">J. Wu</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Yan, X" uniqKey="Yan X">X. Yan</name></author><author><name sortKey="Zou, Y" uniqKey="Zou Y">Y. Zou</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Yang, Y" uniqKey="Yang Y">Y. Yang</name></author><author><name sortKey="Feng, Z" uniqKey="Feng Z">Z. Feng</name></author><author><name sortKey="Xu, D" uniqKey="Xu D">D. Xu</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Appl Math Comput</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Appl Math Comput</journal-id><journal-title-group><journal-title>Applied Mathematics and Computation</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0096-3003</issn><issn pub-type="epub">0096-3003</issn><publisher><publisher-name>Elsevier Inc.</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmc">7112307</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S0096-3003(11)00926-X</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.amc.2011.07.007</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Qualitative study of a quarantine/isolation model with multiple disease stages</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author"><name><surname>Safi</surname><given-names>Mohammad A.</given-names></name></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Gumel</surname><given-names>Abba B.</given-names></name><email>gumelab@cc.umanitoba.ca</email><xref rid="cor1" ref-type="corresp">⁎</xref></contrib></contrib-group><aff>Department of Mathematics, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, Canada R3T 2N2</aff><author-notes><corresp id="cor1"><label>⁎</label>Corresponding author. <email>gumelab@cc.umanitoba.ca</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>3</day><month>8</month><year>2011</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><day>1</day><month>11</month><year>2011</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>3</day><month>8</month><year>2011</year></pub-date><volume>218</volume><issue>5</issue><fpage>1941</fpage><lpage>1961</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright © 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2011</copyright-year><copyright-holder>Elsevier Inc.</copyright-holder><license><license-p>Since January 2020 Elsevier has created a COVID-19 resource centre with free information in English and Mandarin on the novel coronavirus COVID-19. The COVID-19 resource centre is hosted on Elsevier Connect, the company's public news and information website. Elsevier hereby grants permission to make all its COVID-19-related research that is available on the COVID-19 resource centre - including this research content - immediately available in PubMed Central and other publicly funded repositories, such as the WHO COVID database with rights for unrestricted research re-use and analyses in any form or by any means with acknowledgement of the original source. These permissions are granted for free by Elsevier for as long as the COVID-19 resource centre remains active.</license-p></license></permissions><abstract><p>Recent studies suggest that, for disease transmission models with latent and infectious periods, the use of gamma distribution assumption seems to provide a better fit for the associated epidemiological data in comparison to the use of exponential distribution assumption. The objective of this study is to carry out a rigorous mathematical analysis of a communicable disease transmission model with quarantine (of latent cases) and isolation (of symptomatic cases), in which the waiting periods in the infected classes are assumed to have gamma distributions. Rigorous analysis of the model reveals that it has a globally-asymptotically stable disease-free equilibrium whenever its associated reproduction number is less than unity. The model has a unique endemic equilibrium when the threshold quantity exceeds unity. The endemic equilibrium is shown to be locally and globally-asymptotically stable for special cases. Numerical simulations, using data related to the 2003 SARS outbreaks, show that the cumulative number of disease-related mortality increases with increasing number of disease stages. Furthermore, the cumulative number of new cases is higher if the asymptomatic period is distributed such that most of the period is spent in the early stages of the asymptomatic compartments in comparison to the cases where the average time period is equally distributed among the associated stages or if most of the time period is spent in the later (final) stages of the asymptomatic compartments. Finally, it is shown that distributing the average sojourn time in the infectious (asymptomatic) classes equally or unequally does not effect the cumulative number of new cases.</p></abstract><kwd-group><title>Keywords</title><kwd>Quarantine/isolation</kwd><kwd>Equilibria</kwd><kwd>Reproduction number</kwd><kwd>Stability</kwd><kwd>Gamma distribution</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec id="s0005"><label>1</label><title>Introduction</title><p id="p0005">Since the pioneering works of Sir Ronald Ross, Kermack and McKendrick (see, for instance, <xref rid="b0075" ref-type="bibr">[15]</xref>, <xref rid="b0080" ref-type="bibr">[16]</xref>, <xref rid="b0115" ref-type="bibr">[23]</xref>), numerous mathematical models have been designed and used to gain insight into transmission dynamics of emerging and re-emerging diseases of public health interest. The models, typically of the forms of deterministic or stochastic systems of non-linear differential equations, are used to evaluate various control strategies such as: vaccination, the use of antibiotics or antivirals, quarantine, isolation, etc. Of the aforementioned control strategies, the use of quarantine (of individuals suspected of being exposed to the disease) and isolation (of those with clinical symptoms of the disease) are the most commonly used (since the beginning of recorded human history). These measures have been used in the control of numerous diseases such as leprosy, plague, cholera, typhus, yellow fever, smallpox, diphtheria, tuberculosis, measles, ebola, pandemic influenza and, more recently, severe acute respiratory syndrome (SARS) <xref rid="b0015" ref-type="bibr">[3]</xref>, <xref rid="b0055" ref-type="bibr">[11]</xref>, <xref rid="b0090" ref-type="bibr">[18]</xref>, <xref rid="b0095" ref-type="bibr">[19]</xref>, <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref>, <xref rid="b0025" ref-type="bibr">[5]</xref>, <xref rid="b0110" ref-type="bibr">[22]</xref>, <xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref>, <xref rid="b0155" ref-type="bibr">[31]</xref>, <xref rid="b0160" ref-type="bibr">[32]</xref>. Furthermore, quarantine and isolation are popularly applied to combat the spread of animal diseases such as bovine tuberculosis, rinderpest, foot-and-mouth, psittacosis, Newcastle disease and rabies <xref rid="b0055" ref-type="bibr">[11]</xref>, <xref rid="b0070" ref-type="bibr">[14]</xref>. It is known, however, that quarantine and isolation measures, especially in the context of a new emerging disease, are initially not administered effectively, but are gradually refined (as more data and knowledge of the disease transmission process becomes available (see, for instance, <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>)).</p><p id="p0010">Numerous mathematical modeling work have been carried out to assess the impact of quarantine and isolation in combatting the spread of the diseases (such as some of the aforementioned modeling studies for SARS). However, many of the models used for assessing the impact of the quarantine and isolation measures tend to be built based on the assumption that the disease stages are exponentially distributed. However, some recent studies <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, <xref rid="b0150" ref-type="bibr">[30]</xref> show that it is more realistic to use gamma distribution assumption for the waiting time in the disease stages (rather than exponential distribution assumption). Furthermore, Feng et al. <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> showed that quarantine and isolation models that assume exponential distribution (for the disease stages) may not be suitable for diseases with relatively long latent and/or infectious periods for the case when isolation is not completely effective (i.e., isolated individuals can transmit infection).</p><p id="p0015">The purpose of the current study is to provide a rigorous qualitative analysis of a new deterministic model for transmission dynamics of a communicable disease, subject to the use of quarantine and isolation, where the waiting time in the associated infected classes are assumed to have gamma distribution. The model to be designed extends the SEIQHR model given in <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref> by considering multiple stages of the exposed, infectious, quarantined and hospitalized individuals (unlike in <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref>, it is assumed here that hospitalized individuals do not transmit the infection). Diseases like HIV <xref rid="b0125" ref-type="bibr">[25]</xref> and influenza <xref rid="b0030" ref-type="bibr">[6]</xref> are known to have multiple disease (infection) stages.</p><p id="p0020">The paper is organized as follows. The model is formulated in Section <xref rid="s0010" ref-type="sec">2</xref>. The global asymptotic stability of the disease-free equilibrium (DFE) is established in Section <xref rid="s0020" ref-type="sec">3</xref>. The existence of the endemic equilibrium is analyzed in Section <xref rid="s0030" ref-type="sec">4</xref>. Local and global stability proofs for the endemic equilibrium, for special cases, are also provided using a Krasnoselskii sub-linearity trick and a non-linear Lyapunov function of Goh–Voltera type, respectively.</p></sec><sec id="s0010"><label>2</label><title>Model formulation</title><p id="p0025">The total population at time <italic>t</italic>, denoted by <italic>N</italic>(<italic>t</italic>), is sub-divided into six disjoint classes of susceptible (<italic>S</italic>(<italic>t</italic>)), exposed (<italic>E</italic>(<italic>t</italic>); with <italic>m</italic> exposed stages), quarantined (<italic>Q</italic>(<italic>t</italic>); with <italic>m</italic> quarantined stages), infectious (<italic>I</italic>(<italic>t</italic>); with <italic>n</italic> infectious stages), hospitalized (<italic>H</italic>(<italic>t</italic>); with <italic>n</italic> hospitalized stages) and recovered (<italic>R</italic>(<italic>t</italic>)) individuals, so that<disp-formula id="e0195"><mml:math id="M1" altimg="si5.gif" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0030">In this paper, unlike in <xref rid="b0090" ref-type="bibr">[18]</xref>, it is assumed that the fraction of infected contacts that can be traced and quarantined at the time of infection is very small. Furthermore, it is assumed that the total population is large in comparison to the size of the infected individuals (<italic>N</italic> ≫
<italic>E</italic> +
<italic>I</italic> +
<italic>Q</italic> +
<italic>H</italic> +
<italic>R</italic>). Consequently, the quarantine of susceptible individuals (feared exposed to the disease) is unlikely to have a significant impact on the disease transmission dynamics. Hence, the quarantine of susceptible individuals is not considered in this study (see also <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>). In other words, in this study, quarantine refers to the isolation of exposed (latently-infected) individuals only.</p><p id="p0035">The susceptible population is increased by the recruitment of individuals into the community (assumed susceptible), at a rate <italic>Π</italic>. Susceptible individuals may acquire infection, following effective contact with infectious individuals (in any of the <italic>n</italic> infectious stages) at a rate <italic>λ</italic>, where<disp-formula id="e0005"><label>(1)</label><mml:math id="M2" altimg="si6.gif" overflow="scroll"><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0040">It is assumed that infected individuals in the classes <italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>Q</italic><sub><italic>i</italic></sub> (with <italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>m</italic>) and <italic>H</italic><sub><italic>j</italic></sub> (with <italic>j</italic> = 1, 2, … ,
<italic>n</italic>) do not transmit infection (i.e., it is assumed that exposed individuals do not transmit infection, and that quarantine and isolation measures are implemented in a perfect manner). Although some of these assumptions may not be entirely realistic in some epidemiological settings, such as in the transmission dynamics of influenza (where transmission by infected individuals without disease symptoms occurs), they help in making the mathematical analysis of the resulting large system of non-linear differential equations more tractable. Further, in <xref rid="e0005" ref-type="disp-formula">(1)</xref>, <italic>β</italic> is the effective contact rate (contact capable of leading to infection). The population of susceptible individuals is further decreased by natural death (at a rate <italic>μ</italic>), and increased when recovered individuals lose their infection-acquired immunity (at a rate <italic>ψ</italic>). Thus, the rate of change of the susceptible population is given by<disp-formula id="e0200"><mml:math id="M3" altimg="si7.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0045">The population of exposed individuals in stage 1 (<italic>E</italic><sub>1</sub>) is generated by the infection of susceptible individuals (at the rate <italic>λ</italic>). This population is decreased by progression to the next exposed stage (<italic>E</italic><sub>2</sub>; at a rate <italic>a</italic><sub>1</sub><italic>α</italic>), quarantine (at a rate <italic>σ</italic><sub>1</sub>) and natural death (at the rate <italic>μ</italic>), so that<disp-formula id="e0205"><mml:math id="M4" altimg="si8.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0050">The population of exposed individuals in stage <italic>i</italic> (with 2 ⩽
<italic>i</italic> ⩽
<italic>m</italic>) is generated by the progression of individuals in stage <italic>E</italic><sub><italic>i</italic>−1</sub> into the stage <italic>i</italic> (at a rate <italic>a</italic><sub><italic>i</italic>−1</sub><italic>α</italic>). It is decreased by progression to the next exposed stage (at a rate <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub><italic>α</italic>), quarantine (at a rate <italic>σ</italic><sub><italic>i</italic></sub>) and natural death (at the rate <italic>μ</italic>), so that<disp-formula id="e0210"><mml:math id="M5" altimg="si9.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0055">The population of infectious individuals in stage 1 is generated when exposed individuals in the final (<italic>m</italic>) stage develop symptoms (at the rate <italic>a</italic><sub><italic>m</italic></sub><italic>α</italic>). It is decreased by progression to the next infectious stage (<italic>I</italic><sub>2</sub>; at a rate <italic>d</italic><sub>1</sub><italic>κ</italic>), hospitalization (at a rate <italic>ϕ</italic><sub>1</sub>), natural death (at the rate <italic>μ</italic>) and disease-induced death (at a rate <italic>δ</italic><sub>1</sub>). This gives<disp-formula id="e0215"><mml:math id="M6" altimg="si10.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0060">The population of infectious individuals in stage <italic>j</italic> (with 2 ⩽
<italic>j</italic> ⩽
<italic>n</italic>) is generated by progression of individuals in stage <italic>j</italic> − 1 (at a rate <italic>d</italic><sub><italic>j</italic>−1</sub><italic>κ</italic>). It is decreased by progression to the next infectious stage (at a rate <italic>d</italic><sub><italic>j</italic></sub><italic>κ</italic>), hospitalization (at a rate <italic>ϕ</italic><sub><italic>j</italic></sub>), natural death (at the rate <italic>μ</italic>) and disease-induced death (at a rate <italic>δ</italic><sub><italic>j</italic></sub>). Individuals in the final (<italic>n</italic>) stage of infectiousness recover (at a rate <italic>γ</italic><sub>1</sub> =
<italic>d</italic><sub><italic>n</italic></sub><italic>κ</italic>). Thus,<disp-formula id="e0220"><mml:math id="M7" altimg="si11.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0225"><mml:math id="M8" altimg="si12.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0065">Exposed individuals in stage 1 are quarantined at the rate <italic>σ</italic><sub>1</sub>. The population of quarantined individuals in stage 1 is decreased by progression to the next quarantined stage (at a rate <italic>b</italic><sub>1</sub><italic>α</italic>) and natural death (at the rate <italic>μ</italic>). Thus,<disp-formula id="e0230"><mml:math id="M9" altimg="si13.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0070">Similarly, the population of quarantined individuals in stage <italic>i</italic> (with 2 ⩽
<italic>i</italic> ⩽
<italic>m</italic> − 1) is generated by the quarantine of exposed individuals in stage <italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub> (at the rate <italic>σ</italic><sub><italic>i</italic></sub>) and the progression of quarantined individuals in stage <italic>Q</italic><sub><italic>i</italic>−1</sub> into the stage <italic>Q</italic><sub><italic>i</italic></sub> (at a rate <italic>b</italic><sub><italic>i</italic>−1</sub><italic>α</italic>). It is decreased by progression to the next quarantined stage (at a rate <italic>b</italic><sub><italic>i</italic></sub><italic>α</italic>) and natural death (at the rate <italic>μ</italic>). Thus,<disp-formula id="e0235"><mml:math id="M10" altimg="si14.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It should be mentioned that the parameters <italic>σ</italic><sub><italic>i</italic></sub> (<italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>m</italic>) can be used to model progressive refinement of quarantine measures in the population, by assuming smaller values of <italic>σ</italic><sub><italic>i</italic></sub> at the beginning and higher rates for later stages (e.g., for <italic>m</italic> = 3, we can assume smaller values for <italic>σ</italic><sub>1</sub> and <italic>σ</italic><sub>2</sub>, but a higher value for <italic>σ</italic><sub>3</sub>; i.e., <italic>σ</italic><sub>1</sub> <
<italic>σ</italic><sub>2</sub> <
<italic>σ</italic><sub>3</sub>).</p><p id="p0075">The population of hospitalized individuals in stage 1 is generated by the hospitalization of quarantined individuals in the final stage (<italic>m</italic>; at the rate <italic>b</italic><sub><italic>m</italic></sub><italic>α</italic>) and infectious individuals in stage 1 (at the rate <italic>ϕ</italic><sub>1</sub>). It is decreased by progression to the next hospitalized stage (at a rate <italic>c</italic><sub>1</sub><italic>κ</italic>), natural death (at the rate <italic>μ</italic>), and disease-induced death (at a rate <italic>δ</italic><sub><italic>n</italic>+1</sub>). Thus,<disp-formula id="e0240"><mml:math id="M11" altimg="si15.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0080">The population of hospitalized individuals in stage <italic>j</italic> (with 2 ⩽
<italic>j</italic> ⩽
<italic>n</italic>) is generated by the hospitalization of infectious individuals in stage <italic>j</italic> (<italic>I</italic><sub><italic>j</italic></sub>) (at the rate <italic>ϕ</italic><sub><italic>j</italic></sub>) and the progression of hospitalized individuals in stage <italic>j</italic> − 1 (<italic>H</italic><sub><italic>j</italic>−1</sub>) into the <italic>H</italic><sub><italic>j</italic></sub> class (at a rate <italic>c</italic><sub><italic>j</italic>−1</sub><italic>κ</italic>). It is decreased by the progression to the next hospitalized stage (at a rate <italic>c</italic><sub><italic>j</italic></sub><italic>κ</italic>), natural death (at the rate <italic>μ</italic>) and disease-induced death (at a rate <italic>δ</italic><sub><italic>n</italic>+<italic>j</italic></sub>). Individuals in the final <italic>n</italic> stage of hospitalized recover (at a rate <italic>γ</italic><sub>2</sub> =
<italic>c</italic><sub><italic>n</italic></sub><italic>κ</italic>). Thus,<disp-formula id="e0245"><mml:math id="M12" altimg="si16.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0250"><mml:math id="M13" altimg="si17.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>As in the case for the of quarantine measures discussed above, the parameters <italic>ϕ</italic><sub><italic>i</italic></sub> (<italic>i</italic> = 1, … ,
<italic>n</italic>) can also be used to model the progressive refinement of isolation (in hospital; so that, for <italic>n</italic> = 3, we can have <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> <
<italic>ϕ</italic><sub>2</sub> <
<italic>ϕ</italic><sub>3</sub>). Finally, the population of recovered individuals is generated by the recovery of non-hospitalized and hospitalized infectious individuals in the final <italic>n</italic> stage (at the rates <italic>γ</italic><sub>1</sub> and <italic>γ</italic><sub>2</sub>, respectively). It is decreased by the loss of natural immunity (at the rate <italic>ψ</italic>) and natural death (at the rate <italic>μ</italic>), so that<disp-formula id="e0255"><mml:math id="M14" altimg="si18.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It should be stated that, in the above formulation, <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>b</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>c</italic><sub><italic>j</italic></sub>, <italic>d</italic><sub><italic>j</italic></sub> (<italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>m</italic>; <italic>j</italic> = 1, 2, … ,
<italic>n</italic>) are constants. Furthermore, it is assumed that the distributions of exposed, quarantined, infectious and hospitalized periods are exponential, given by<disp-formula id="e0010"><label>(2)</label><mml:math id="M15" altimg="si19.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>In <xref rid="e0010" ref-type="disp-formula">(2)</xref>, <inline-formula><mml:math id="M16" altimg="si20.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M17" altimg="si21.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M18" altimg="si22.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M19" altimg="si23.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are the mean exposed, quarantined, infectious and hospitalized periods, respectively. The relations in <xref rid="e0010" ref-type="disp-formula">(2)</xref> are such that:<disp-formula id="e0015"><label>(3)</label><mml:math id="M20" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>That is, the respective mean time spent in a given infected compartment (e.g., 1/<italic>κ</italic> for the hospitalized compartment, <italic>H</italic>) is shared among the various stages in that compartment. In other words, the time period 1/<italic>κ</italic> is distributed equally (if <italic>c</italic><sub>1</sub> =
<italic>c</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>c</italic><sub><italic>n</italic></sub> =
<italic>n</italic>) or unequally (if <italic>c</italic><sub>1</sub> ≠
<italic>c</italic><sub>2</sub> ≠ ⋯ ≠
<italic>c</italic><sub><italic>n</italic></sub> ≠
<italic>n</italic>) between all the <italic>H</italic><sub><italic>j</italic></sub> (<italic>j</italic> = 1, 2, … ,
<italic>n</italic>) stages. Hence, this formulation extends the formulation in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, where these periods are equally distributed among the relevant stages (for all the infected compartments, <italic>E</italic>, <italic>Q</italic>, <italic>I</italic>, <italic>H</italic>), by allowing for equal or unequal distribution of the sojourn times in asymptomatic (1/<italic>α</italic>) and symptomatic (1/<italic>κ</italic>) compartments. In line with <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, it is assumed that the mean exposed and quarantined periods are the same (1/<italic>α</italic>) and the mean infectious and hospitalized periods are the same (1/<italic>κ</italic>).</p><p id="p0085">Let,<disp-formula id="e0020"><label>(4)</label><mml:math id="M21" altimg="si25.gif" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It follows from <xref rid="e0010" ref-type="disp-formula">(2)</xref>, <xref rid="e0020" ref-type="disp-formula">(4)</xref>, using the properties of gamma distribution (<xref rid="b0060" ref-type="bibr">[12]</xref>; see also <xref rid="s0050" ref-type="sec">Appendix A</xref> for a brief description), that the compartments <italic>E</italic>, <italic>I</italic>, <italic>Q</italic> and <italic>H</italic> indeed have gamma distributions, given, respectively, by<disp-formula id="e0260"><mml:math id="M22" altimg="si26.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where the associated exposed, infectious, quarantined and hospitalized periods are given, respectively, by (see also <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, <xref rid="b0165" ref-type="bibr">[33]</xref>)<disp-formula id="e0265"><mml:math id="M23" altimg="si27.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>The above formulation (<xref rid="e0015" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, <xref rid="e0020" ref-type="disp-formula">(4)</xref>) reduces to that in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> by setting <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub> =
<italic>b</italic><sub><italic>i</italic></sub> =
<italic>m</italic> (for <italic>i</italic> = 1, … ,
<italic>m</italic>) and <italic>c</italic><sub><italic>j</italic></sub> =
<italic>d</italic><sub><italic>j</italic></sub> =
<italic>n</italic> (for <italic>j</italic> = 1, … ,
<italic>n</italic>). In other words, it should be emphasized that the main distinction between the formulation in the current study and that in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> is that, here, it is assumed that the sojourn periods in each of the four compartments, <italic>E</italic>, <italic>I</italic>, <italic>Q</italic>, and <italic>H</italic>, given by 1/<italic>α</italic>, 1/<italic>κ</italic>, 1/<italic>α</italic> and 1/<italic>κ</italic>, respectively, are distributed (not necessarily equally) among the various sub stages (whereas, these periods are distributed equally at each related stage in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>). Eichner et al. <xref rid="b0030" ref-type="bibr">[6]</xref> considered 9 latent and 19 infectious stages to model the transmission dynamics of pandemic influenza.</p><p id="p0090">It is worth stating that although the sums defined in <xref rid="e0020" ref-type="disp-formula">(4)</xref> are gamma distributed, the actual (true) total number of infected individuals, <italic>E</italic><sub>true</sub>, <italic>I</italic><sub>true</sub>, <italic>Q</italic><sub>true</sub> and <italic>H</italic><sub>true</sub>, given, respectively, by<disp-formula id="e0025"><label>(5)</label><mml:math id="M24" altimg="si28.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>true</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>true</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>true</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>true</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>are not necessarily gamma distributed. However, the different sums in <xref rid="e0020" ref-type="disp-formula">(4)</xref> have the same means, with their respective sums given in <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(5)</xref>, but different variances.</p><p id="p0095">Thus, putting all these formulations and assumptions together, it follows that the model for the transmission dynamics of an infectious disease in the presence of exposed, quarantine, infectious and isolation periods, subject to gamma distributed sojourn periods, is given by the following non-linear system of differential equations (a flow diagram of the model is given in <xref rid="f0005" ref-type="fig">Fig. 1</xref>; and the associated variables and parameters are described in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref>):<disp-formula id="e0030"><label>(6)</label><mml:math id="M25" altimg="si29.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>The model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> extends the multi-stage model given in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> by<list list-type="simple" id="l0005"><list-item id="o0005"><label>(i)</label><p id="p0215">including a term for the loss of infection-acquired immunity (at the rate <italic>ψ</italic>). Although the numerical simulations to be carried out in this study are largely based on the 2003 SARS outbreaks (which was a single season epidemic), the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> is robust enough to enable the assessment of the transmission dynamics of any arbitrary disease where the infection-acquired immunity is lost either during a single season or in multiple seasons (such as the case of influenza, malaria, and some childhood diseases);</p></list-item><list-item id="o0010"><label>(ii)</label><p id="p0220">including disease-induced death (at rates <italic>δ</italic><sub><italic>i</italic></sub>; <italic>i</italic> = 1, 2, … , 2<italic>n</italic>). Most diseases, such as HIV, malaria, influenza, TB, etc., have significant disease-induced mortality. Hence, it is crucial that this feature be incorporated in modeling studies;</p></list-item><list-item id="o0015"><label>(iii)</label><p id="p0225">assuming the average sojourn periods in the exposed, quarantined, infectious and hospitalized classes are distributed (not necessarily equally) among the various stages (these periods are assumed to be equally distributed among each of the aforementioned four infected compartments in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>). Although, to our knowledge, there is no definitive epidemiological data to suggest that these periods are equally or unequally distributed, the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> is general enough to allow for the assessment of each of the two cases;</p></list-item><list-item id="o0020"><label>(iv)</label><p id="p0230">assuming varied rates of quarantine and isolation in each quarantine and isolation stage (same rates are used in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> in all quarantine and isolation stages). This assumption allows for the assessment of progressive refinement of quarantine and isolation measures (this was evident during 2003 SARS outbreaks <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="b0085" ref-type="bibr">[17]</xref>).</p></list-item></list><fig id="f0005"><label>Fig. 1</label><caption><p>Flow diagram of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>.</p></caption><graphic xlink:href="gr1"></graphic></fig><table-wrap position="float" id="t0005"><label>Table 1</label><caption><p>Description of variables and parameters of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th>Variable</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td><italic>S</italic>(<italic>t</italic>)</td><td>Population of susceptible individuals</td></tr><tr><td><italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub>(<italic>t</italic>)</td><td>Population of exposed individuals in <italic>i</italic>th exposed stage (<italic>i</italic> = 1, … , <italic>m</italic>)</td></tr><tr><td><italic>I</italic><sub><italic>j</italic></sub>(<italic>t</italic>)</td><td>Population of infected individuals in <italic>j</italic>th infectious stage (<italic>j</italic> = 1, … , <italic>n</italic>)</td></tr><tr><td><italic>Q</italic><sub><italic>i</italic></sub>(<italic>t</italic>)</td><td>Population of quarantined individuals in <italic>i</italic>th quarantined stage (<italic>i</italic> = 1, … , <italic>m</italic>)</td></tr><tr><td><italic>H</italic><sub><italic>j</italic></sub>(<italic>t</italic>)</td><td>Population of hospitalized individuals in <italic>j</italic>th hospitalized stage (<italic>j</italic> = 1, … , <italic>n</italic>)</td></tr><tr><td><italic>R</italic>(<italic>t</italic>)</td><td>Population of recovered individuals</td></tr><tr><td colspan="2">
</td></tr><tr><td>Parameter</td><td>Description</td></tr><tr><td colspan="2">
</td></tr><tr><td><italic>Π</italic></td><td>Recruitment rate</td></tr><tr><td><italic>β</italic></td><td>Effective contact rate</td></tr><tr><td><italic>d</italic><sub><italic>j</italic></sub><italic>κ</italic></td><td>Progression rate from infectious stage <italic>j</italic> to stage <italic>j</italic> + 1 (<italic>j</italic> = 1, … , <italic>n</italic>)</td></tr><tr><td><italic>c</italic><sub><italic>j</italic></sub><italic>κ</italic></td><td>Progression rate from hospitalized stage <italic>j</italic> to stage <italic>j</italic> + 1 (<italic>j</italic> = 1, … , <italic>n</italic>)</td></tr><tr><td><italic>σ</italic><sub><italic>i</italic></sub></td><td>Quarantine rate of exposed individuals in stage <italic>i</italic></td></tr><tr><td><italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub><italic>α</italic></td><td>Progression rate from exposed stage <italic>i</italic> to stage <italic>i</italic> + 1 (<italic>i</italic> = 1, … , <italic>m</italic> − 1)</td></tr><tr><td><italic>a</italic><sub><italic>m</italic></sub><italic>α</italic></td><td>Progression rate of exposed individuals in stage <italic>m</italic> to first infectious stage</td></tr><tr><td><italic>b</italic><sub><italic>i</italic></sub><italic>α</italic></td><td>Progression rate from quarantined stage <italic>i</italic> to stage <italic>i</italic> + 1 (<italic>i</italic> = 1, … , <italic>m</italic> − 1)</td></tr><tr><td><italic>b</italic><sub><italic>m</italic></sub><italic>α</italic></td><td>Hospitalization rate of quarantined individuals in stage <italic>m</italic></td></tr><tr><td><italic>ϕ</italic><sub><italic>j</italic></sub></td><td>Hospitalization rate of infectious individuals in <italic>j</italic>th infectious stage (<italic>j</italic> = 1, … , <italic>n</italic>)</td></tr><tr><td><italic>ψ</italic></td><td>Rate of loss of infection-acquired immunity</td></tr><tr><td><italic>γ</italic><sub>1</sub></td><td>Recovery rate of infectious individuals in stage <italic>n</italic></td></tr><tr><td><italic>γ</italic><sub>2</sub></td><td>Recovery rate of hospitalized individuals in stage <italic>n</italic></td></tr><tr><td><italic>δ</italic><sub><italic>j</italic></sub> (1 ⩽ <italic>j</italic> ⩽ <italic>n</italic>)</td><td>Disease-induced death rate of individuals in <italic>j</italic>th infectious stage</td></tr><tr><td><italic>δ</italic><sub><italic>j</italic></sub> (<italic>n</italic> + 1 ⩽ <italic>j</italic> ⩽ 2<italic>n</italic>)</td><td>Disease-induced death rate of individuals in (<italic>n</italic> − <italic>j</italic>)th hospitalized stage</td></tr><tr><td><italic>μ</italic></td><td>Natural death rate</td></tr></tbody></table></table-wrap></p><p id="p0100">The model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> is denoted by GD1 for comparison purposes. It is worth emphasizing that the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> reduces to the model in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> by setting <italic>ψ</italic> =
<italic>δ</italic><sub>1</sub> =
<italic>δ</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>δ</italic><sub>2<italic>n</italic></sub> = 0, <italic>a</italic><sub>1</sub> =
<italic>a</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>a</italic><sub><italic>m</italic></sub> =
<italic>b</italic><sub>1</sub> =
<italic>b</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>b</italic><sub><italic>m</italic></sub> =
<italic>m</italic>, <italic>c</italic><sub>1</sub> =
<italic>c</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>c</italic><sub><italic>n</italic></sub> =
<italic>d</italic><sub>1</sub> =
<italic>d</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>d</italic><sub><italic>n</italic></sub> =
<italic>n</italic>, <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = ⋯ =
<italic>ϕ</italic><sub><italic>n</italic></sub> =
<italic>ϕ</italic> and <italic>σ</italic><sub>1</sub> = ⋯ =
<italic>σ</italic>. Also, the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> is an extension of the model given in <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref> by considering <italic>m</italic> stages for the exposed (<italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub>; <italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>m</italic>) and quarantined (<italic>Q</italic><sub><italic>i</italic></sub>; <italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>m</italic>) individuals and <italic>n</italic> stages for the infectious (<italic>I</italic><sub><italic>j</italic></sub>; <italic>j</italic> = 1, 2, … ,
<italic>n</italic>) and the hospitalized (<italic>H</italic><sub><italic>j</italic></sub>; <italic>j</italic> = 1, 2, … ,
<italic>n</italic>) individuals (i.e., the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> reduces to the model in <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref> by setting <italic>n</italic> =
<italic>m</italic> = 1, taking into account the assumption that hospitalized individuals do not transmit infection; this assumption is relaxed in <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref>).</p><p id="p0105">In addition to formulating the model in terms of gamma-distributed waiting times for the associated disease stages, this study contributes by way of carrying out a detailed rigorous mathematical analysis of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>. In particular, global asymptotic stability results for the equilibria of the model will be proven (under certain conditions). Furthermore, the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> is used to evaluate the impact of the use of quarantine and isolation in combatting the spread of a given communicable disease (such as SARS). This study offers not only important extensions to the model presented in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, it also contributes by extending some of the mathematical results presented in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> (particularly global stability proof of the associated endemic equilibrium of the extended model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>).</p><sec id="s0015"><label>2.1</label><title>Basic properties</title><p id="p0110">Since the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> monitors human populations, all its associated parameters are non-negative. Further, the following basic results can be easily established (see, for instance, <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref>, <xref rid="b0135" ref-type="bibr">[27]</xref>):<statement id="n0015"><label>Theorem 1</label><p id="p0300"><italic>The state variables of the model</italic><xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref><italic>are non-negative for all time. In other words, solutions of the model system</italic><xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref><italic>with positive initial data will remain positive for all time t</italic> > 0.</p></statement><statement id="n0030"><label>Lemma 1</label><p id="p0305"><italic>The closed set</italic><disp-formula id="e0035"><label>(7)</label><mml:math id="M26" altimg="si30.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="{" close="}"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mtext>is positively-invariant.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></statement></p></sec></sec><sec id="s0020"><label>3</label><title>Local stability of disease-free equilibrium (DFE)</title><p id="p0115">The model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> has a DFE, obtained by setting the right-hand sides of the equations to zero, given by is given by<disp-formula id="e0040"><label>(8)</label><mml:math id="M27" altimg="si31.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The next generation operator method <xref rid="b0020" ref-type="bibr">[4]</xref>, <xref rid="b0140" ref-type="bibr">[28]</xref> will be used to explore the local stability of <italic>Ω</italic><sub>0</sub>. Using the notation in <xref rid="b0140" ref-type="bibr">[28]</xref>, the non-negative matrix, <italic>F</italic>, of the new infection terms, and the <italic>M</italic>-matrix, <italic>V</italic>, of the transition terms associated with the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, are given, respectively, by<disp-formula id="e0270"><mml:math id="M28" altimg="si32.gif" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0275"><mml:math id="M29" altimg="si33.gif" overflow="scroll"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where, <italic>A</italic><sub><italic>F</italic></sub> is 2(<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) ×
<italic>m</italic> zero matrix, <italic>C</italic><sub><italic>F</italic></sub>, <italic>B</italic><sub><italic>V</italic></sub> are 2(<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) × (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>), (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) × (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) zero matrices, respectively. Furthermore, <italic>B</italic><sub><italic>F</italic></sub> is a 2(<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) ×
<italic>n</italic> matrix, given by<disp-formula id="e0280"><mml:math id="M30" altimg="si34.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The matrices, <italic>A</italic><sub><italic>V</italic></sub>, <italic>C</italic><sub><italic>V</italic></sub> and <italic>D</italic><sub><italic>V</italic></sub> are (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) × (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic>) are given by<disp-formula id="e0285"><mml:math id="M31" altimg="si35.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0290"><mml:math id="M32" altimg="si36.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0295"><mml:math id="M33" altimg="si37.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>with,<disp-formula id="e0300"><mml:math id="M34" altimg="si38.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="{"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Let,<disp-formula id="e0045"><label>(9)</label><mml:math id="M35" altimg="si39.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0180"><mml:math id="M36" altimg="si40.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It follows that the <italic>control reproduction number</italic><xref rid="b0005" ref-type="bibr">[1]</xref>, <xref rid="b0050" ref-type="bibr">[10]</xref>, denoted by <inline-formula><mml:math id="M37" altimg="si41.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">FV</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where <italic>ρ</italic> is the spectral radius, is given by<disp-formula id="e0305"><mml:math id="M38" altimg="si42.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Using <xref rid="n0020" ref-type="statement">Theorem 2</xref> in <xref rid="b0140" ref-type="bibr">[28]</xref>, the following result is established.<statement id="n0035"><label>Lemma 2</label><p id="p0310"><italic>The DFE of the model</italic><xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, <italic>given by</italic><xref rid="e0040" ref-type="disp-formula">(8)</xref>, <italic>is locally-asymptotically stable</italic> (<italic>LAS</italic>) <italic>if</italic><inline-formula><mml:math id="M39" altimg="si43.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <italic>and unstable if</italic><inline-formula><mml:math id="M40" altimg="si44.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></statement></p><p id="p0120">The epidemiological implication of <xref rid="n0035" ref-type="statement">Lemma 2</xref> is that the disease can be eliminated from the community (when <inline-formula><mml:math id="M41" altimg="si45.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) if the initial sizes of the sub-populations of the model are in the basin of attraction of the DFE (<italic>Ω</italic><sub>0</sub>). For disease elimination to be independent of the initial sizes of sub-populations, the global asymptotic stability of the DFE must be established for <inline-formula><mml:math id="M42" altimg="si46.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><sec id="s0025"><label>3.1</label><title>Global stability of DFE</title><p id="p0125"><statement id="n0020"><label>Theorem 2</label><p id="p0315"><italic>The DFE of the model</italic><xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, <italic>given by</italic><xref rid="e0040" ref-type="disp-formula">(8)</xref>, <italic>is globally-asymptotically stable</italic> (<italic>GAS</italic>) <italic>in</italic><inline-formula><mml:math id="M43" altimg="si47.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M44" altimg="si48.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement><statement id="n0005"><label>Proof</label><p id="p0320">Consider the following Lyapunov function (with the coefficients <italic>B</italic>, <italic>C</italic> and <italic>D</italic> as defined in <xref rid="e0045" ref-type="disp-formula">(9)</xref>):<disp-formula id="e0310"><mml:math id="M45" altimg="si49.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></disp-formula>with Lyapunov derivative (where a dot represents differentiation with respect to time) given by<disp-formula id="e0185"><mml:math id="M46" altimg="si50.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>since</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It can be shown, after some lengthy algebraic manipulations, that<disp-formula id="e0315"><mml:math id="M47" altimg="si51.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0320"><mml:math id="M48" altimg="si52.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Hence,<disp-formula id="e0325"><mml:math id="M49" altimg="si53.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Since all the parameters of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> and variables are non-negative, it follows that <inline-formula><mml:math id="M50" altimg="si54.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M51" altimg="si55.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with <inline-formula><mml:math id="M52" altimg="si56.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> if and only if <italic>I</italic><sub>1</sub> =
<italic>I</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>I</italic><sub><italic>n</italic></sub> = 0. Hence, <inline-formula><mml:math id="M53" altimg="si57.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is a Lyapunov function on <inline-formula><mml:math id="M54" altimg="si58.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Therefore, by the LaSalle’s Invariance Principle <xref rid="b0045" ref-type="bibr">[9]</xref>,<disp-formula id="e0050"><label>(10)</label><mml:math id="M55" altimg="si59.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It is clear from <xref rid="e0050" ref-type="disp-formula">(10)</xref> that lim sup<sub><italic>t</italic>→∞</sub><italic>E</italic><sub>1</sub> = 0. Thus, for sufficiently small <italic>ϖ</italic><sub>1</sub> > 0, there exists a constant <italic>N</italic><sub>1</sub> > 0 such that lim sup<sub><italic>t</italic>→∞</sub><italic>E</italic><sub>1</sub> ⩽
<italic>ϖ</italic><sub>1</sub> for all <italic>t</italic> >
<italic>N</italic><sub>1</sub>. It follows from the (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic> + 2)th equation of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> that, for <italic>t</italic> >
<italic>N</italic><sub>1</sub>,<disp-formula id="e0330"><mml:math id="M56" altimg="si60.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϖ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Thus, by comparison theorem <xref rid="b0130" ref-type="bibr">[26]</xref>,<disp-formula id="e0335"><mml:math id="M57" altimg="si61.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">limsup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϖ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>so that, by letting <italic>ϖ</italic><sub>1</sub> → 0,<disp-formula id="e0055"><label>(11)</label><mml:math id="M58" altimg="si62.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">limsup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Similarly (by using lim inf<sub><italic>t</italic>→∞</sub><italic>E</italic><sub>1</sub> = 0), it can be shown that<disp-formula id="e0060"><label>(12)</label><mml:math id="M59" altimg="si63.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">liminf</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Thus, it follows from <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(11)</xref>, <xref rid="e0060" ref-type="disp-formula">(12)</xref> that<disp-formula id="e0340"><mml:math id="M60" altimg="si64.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Hence,<disp-formula id="e0065"><label>(13)</label><mml:math id="M61" altimg="si65.gif" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Similarly, it can be shown that<disp-formula id="e0070"><label>(14)</label><mml:math id="M62" altimg="si66.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Thus, by combining <xref rid="e0050" ref-type="disp-formula">(10)</xref>, <xref rid="e0065" ref-type="disp-formula">(13)</xref>, <xref rid="e0070" ref-type="disp-formula">(14)</xref>, it follows that every solution of the equations in the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, with initial conditions in <inline-formula><mml:math id="M63" altimg="si67.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, approaches the DFE, <italic>Ω</italic><sub>0</sub>, as <italic>t</italic> → ∞ when <inline-formula><mml:math id="M64" altimg="si68.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. □</p></statement></p><p id="p0130"><xref rid="n0020" ref-type="statement">Theorem 2</xref> shows that if the use of quarantine and isolation can bring (and keep) the threshold quantity, <inline-formula><mml:math id="M65" altimg="si69.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, to a value less than unity, then the disease will be eliminated from the community (i.e., the condition <inline-formula><mml:math id="M66" altimg="si70.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is necessary and sufficient for disease elimination). <xref rid="f0010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>depicts numerical results obtained by simulating the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, with <italic>m</italic> = 2 and <italic>n</italic> = 3, using various initial conditions for the case <inline-formula><mml:math id="M67" altimg="si71.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. All solutions converged to the DFE, <italic>Ω</italic><sub>0</sub>, (in line with <xref rid="n0020" ref-type="statement">Theorem 2</xref>). It should be mentioned that, unless otherwise stated, simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> are carried out using the parameter values in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>. These parameter values are consistent with those associated with the 2003 SARS outbreaks <xref rid="b0010" ref-type="bibr">[2]</xref>, <xref rid="b0025" ref-type="bibr">[5]</xref>, <xref rid="b0110" ref-type="bibr">[22]</xref>, <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="b0085" ref-type="bibr">[17]</xref>. It is worth mentioning that the progressive refinement of quarantine and isolation measures is incorporated in all numerical simulations in this study (unless otherwise stated) by using smaller values of <italic>σ</italic><sub>1</sub> and <italic>σ</italic><sub>2</sub>, in comparison to <italic>σ</italic><sub>3</sub>; and also smaller values of <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> and <italic>ϕ</italic><sub>2</sub>, in relation to <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> (see <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>).<fig id="f0010"><label>Fig. 2</label><caption><p>Simulation of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the total number of infected individuals as a function of time for <inline-formula><mml:math id="M68" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref> with <italic>β</italic> = 0.2, <italic>m</italic> = 2, <italic>n</italic> = 3, <italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 1.5, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub> = <italic>c</italic><sub>3</sub> = <italic>d</italic><sub>3</sub> = 3 (so that, <inline-formula><mml:math id="M69" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.4610</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>).</p></caption><graphic xlink:href="gr2"></graphic></fig><table-wrap position="float" id="t0010"><label>Table 2</label><caption><p>Estimated values of the parameters of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th>Parameters</th><th>Values (per day)</th><th>Sources</th></tr></thead><tbody><tr><td><italic>β</italic></td><td>[0.1, 0.5]</td><td><xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="b0105" ref-type="bibr">[21]</xref></td></tr><tr><td><italic>μ</italic></td><td>0.0000351</td><td><xref rid="b0065" ref-type="bibr">[13]</xref></td></tr><tr><td><italic>κ</italic></td><td>0.042553</td><td><xref rid="b0010" ref-type="bibr">[2]</xref></td></tr><tr><td><italic>δ</italic><sub><italic>i</italic></sub>; <italic>i</italic> = 1, … , <italic>n</italic></td><td>0.04227</td><td><xref rid="b0085" ref-type="bibr">[17]</xref></td></tr><tr><td><italic>δ</italic><sub><italic>i</italic></sub>; <italic>i</italic> = <italic>n</italic> + 1, … , 2<italic>n</italic></td><td>0.027855</td><td><xref rid="b0010" ref-type="bibr">[2]</xref></td></tr><tr><td><italic>α</italic></td><td>0.156986</td><td><xref rid="b0025" ref-type="bibr">[5]</xref>, <xref rid="b0110" ref-type="bibr">[22]</xref></td></tr><tr><td><italic>ϕ</italic><sub><italic>n</italic></sub></td><td>0.20619</td><td><xref rid="b0010" ref-type="bibr">[2]</xref></td></tr><tr><td><italic>Π</italic></td><td>136</td><td><xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref></td></tr><tr><td><italic>σ</italic><sub><italic>m</italic></sub></td><td>0.1</td><td><xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref></td></tr><tr><td><italic>ψ</italic></td><td>0.005</td><td>Assumed</td></tr></tbody></table></table-wrap><table-wrap position="float" id="t0015"><label>Table 3</label><caption><p>Values of <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>b</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>c</italic><sub><italic>i</italic></sub> and <italic>d</italic><sub><italic>i</italic></sub> (<italic>i</italic> = 1, 2, 3) for various number of disease stages (<italic>m</italic> and <italic>n</italic>).</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th>Number of stages</th><th>Values of <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>b</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>c</italic><sub><italic>i</italic></sub>, <italic>d</italic><sub><italic>i</italic></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td><italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 1</td><td><italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 1, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = 1</td></tr><tr><td><italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 2</td><td><italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 1.5, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = 1.5, <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub> = 3</td></tr><tr><td><italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 3</td><td><italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 2, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>a</italic><sub>3</sub> = <italic>b</italic><sub>3</sub> = 6, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = 2, <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>c</italic><sub>3</sub> = <italic>d</italic><sub>3</sub> = 6</td></tr></tbody></table></table-wrap><table-wrap position="float" id="t0020"><label>Table 4</label><caption><p>Quarantine and hospitalization rates for various number of disease stages (<italic>m</italic> and <italic>n</italic>).</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th>Number of stages</th><th>Quarantine rates</th><th>Hospitalization rates</th></tr></thead><tbody><tr><td><italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 1</td><td><italic>σ</italic><sub>1</sub> = 0.1</td><td><italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = 0.20619</td></tr><tr><td><italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 2</td><td><italic>σ</italic><sub>1</sub> = 0.05, <italic>σ</italic><sub>2</sub> = 0.1</td><td><italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = 0.1, <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = 0.20619</td></tr><tr><td><italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 3</td><td><italic>σ</italic><sub>1</sub> = 0.03333, <italic>σ</italic><sub>2</sub> = 0.05, <italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1</td><td><italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = 0.0666, <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = 0.1, <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619</td></tr></tbody></table></table-wrap></p></sec></sec><sec id="s0030"><label>4</label><title>Existence and stability of endemic equilibria</title><p id="p0135">In this section, the possible existence and stability of endemic (positive) equilibria of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> (i.e., equilibria where at least one of the infected components of the model is non-zero) will be explored.</p><sec id="s0035"><label>4.1</label><title>Existence of endemic equilibrium point (EEP)</title><p id="p0140">Define<disp-formula id="e0345"><mml:math id="M70" altimg="si72.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math></disp-formula>to be any arbitrary endemic equilibrium of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>. Solving the equations of the model at endemic steady-state gives<disp-formula id="e0075"><label>(15)</label><mml:math id="M71" altimg="si73.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>The force of infection <italic>λ</italic>, given by <xref rid="e0005" ref-type="disp-formula">(1)</xref>, can be expressed at endemic steady-state as<disp-formula id="e0080"><label>(16)</label><mml:math id="M72" altimg="si74.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>As in <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref>, the expressions in <xref rid="e0075" ref-type="disp-formula">(15)</xref> are re-written in terms of <italic>λ</italic><sup>∗∗</sup><italic>S</italic><sup>∗∗</sup>, for computational convenience, as below:<disp-formula id="e0085"><label>(17)</label><mml:math id="M73" altimg="si75.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where,<disp-formula id="e0190"><mml:math id="M74" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0350"><mml:math id="M75" altimg="si77.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Substituting the expressions in <xref rid="e0085" ref-type="disp-formula">(17)</xref> into <xref rid="e0080" ref-type="disp-formula">(16)</xref> gives<disp-formula id="e0090"><label>(18)</label><mml:math id="M76" altimg="si78.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Dividing each term in <xref rid="e0090" ref-type="disp-formula">(18)</xref> by <italic>λ</italic><sup>∗∗</sup><italic>S</italic><sup>∗∗</sup> (and noting that <italic>λ</italic><sup>∗∗</sup><italic>S</italic><sup>∗∗</sup> ≠ 0 at the endemic steady-state) gives<disp-formula id="e0355"><mml:math id="M77" altimg="si79.gif" overflow="scroll"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>W</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where,<disp-formula id="e0360"><mml:math id="M78" altimg="si80.gif" overflow="scroll"><mml:mi>W</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Hence,<disp-formula id="e0095"><label>(19)</label><mml:math id="M79" altimg="si81.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>whenever</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The components of the unique endemic equilibrium <italic>Ω</italic><sub>1</sub> can then be obtained by substituting the unique value of <italic>λ</italic><sup>∗∗</sup>, given in <xref rid="e0095" ref-type="disp-formula">(19)</xref>, into the expressions in <xref rid="e0085" ref-type="disp-formula">(17)</xref>. This result is summarized below.<statement id="n0040"><label>Lemma 3</label><p id="p0325"><italic>The model</italic><xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref><italic>has a unique endemic</italic> (<italic>positive</italic>) <italic>equilibrium, given by Ω</italic><sub>1</sub>, <italic>whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M80" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p></sec><sec id="s0040"><label>4.2</label><title>Global stability of endemic equilibrium for special case</title><p id="p0145">Here, the global stability of the endemic equilibrium of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> is given for the special case where the recovered individuals do not lose their infection-acquired immunity (i.e., <italic>ψ</italic> = 0) and the associated disease-induced mortality in all classes is negligible (so that, <italic>δ</italic><sub>1</sub> =
<italic>δ</italic><sub>2</sub> = ⋯
<italic>δ</italic><sub>2<italic>n</italic></sub> = 0). The model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, with <italic>ψ</italic> =
<italic>δ</italic><sub>1</sub> =
<italic>δ</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>δ</italic><sub>2<italic>n</italic></sub> = 0, then reduces to:<disp-formula id="e0100"><label>(20)</label><mml:math id="M81" altimg="si83.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dQ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dH</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p id="p0150">Adding the equations of the reduced model <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> gives <italic>dN</italic>/<italic>dt</italic> =
<italic>Π</italic> −
<italic>μN</italic>. Hence, <italic>N</italic> →
<italic>Π</italic>/<italic>μ</italic> as <italic>t</italic> → ∞. Thus, <italic>Π</italic>/<italic>μ</italic> is an upper bound of <italic>N</italic>(<italic>t</italic>) provided that <italic>N</italic>(0) ⩽
<italic>Π</italic>/<italic>μ</italic>. Further, if <italic>N</italic>(0) >
<italic>Π</italic>/<italic>μ</italic>, then <italic>N</italic>(<italic>t</italic>) will decrease to this level. Using <italic>N</italic> =
<italic>Π</italic>/<italic>μ</italic> in <xref rid="e0005" ref-type="disp-formula">(1)</xref> gives a limiting (mass action) system given by <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> with<disp-formula id="e0105"><label>(21)</label><mml:math id="M82" altimg="si84.gif" overflow="scroll"><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>where</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It can be shown that the associated reproduction number of the reduced model, <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> with <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref>, is given by<disp-formula id="e0365"><mml:math id="M83" altimg="si85.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true">∼</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true">∼</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where,<disp-formula id="e0370"><mml:math id="M84" altimg="si86.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true">∼</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="true">∼</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It is easy to show, using the technique in Section <xref rid="s0035" ref-type="sec">4.1</xref>, that the reduced model, given by <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> with <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref>, has a unique EEP whenever <inline-formula><mml:math id="M85" altimg="si87.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<statement id="n0045"><label>Lemma 4</label><p id="p0330"><italic>The reduced model, given by</italic><xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref><italic>with</italic><xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref>, <italic>has a unique positive endemic equilibrium whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M86" altimg="si88.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p0155">Furthermore, we claim the following result (see <xref rid="s0055" ref-type="sec">Appendix B</xref> for the proof).<statement id="n0025"><label>Theorem 3</label><p id="p0335"><italic>The unique endemic equilibrium of the reduced model, given by</italic><xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref><italic>with</italic><xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref>, <italic>is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M87" altimg="si89.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>⧹</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>if</italic><inline-formula><mml:math id="M88" altimg="si90.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></statement></p><p id="p0160">Simulations for the case when <inline-formula><mml:math id="M89" altimg="si91.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are depicted in <xref rid="f0015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>, showing convergence of the solutions to the endemic equilibrium (in line with <xref rid="n0025" ref-type="statement">Theorem 3</xref>). <xref rid="f0020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>depicts the cumulative number of new infections as a function of quarantine rates, from which it is evident that the cumulative number of new infections decreases with increasing quarantine rate. Similar result is obtained by increasing the isolation rate (<xref rid="f0025" ref-type="fig">Fig. 5</xref>). It should be mentioned that the simulation results in <xref rid="f0020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>, <xref rid="f0025" ref-type="fig">Fig. 5</xref> are consistent with those reported in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>. Although the global asymptotic stability result given in <xref rid="s0055" ref-type="sec">Appendix B</xref> is for a special case (with <italic>ψ</italic> =
<italic>δ</italic><sub>1</sub> =
<italic>δ</italic><sub>2</sub> = ⋯ =
<italic>δ</italic><sub>2<italic>n</italic></sub> = 0), further extensive numerical simulations suggest that the endemic equilibrium <italic>Ω</italic><sub>1</sub>, of the full model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, is GAS in <inline-formula><mml:math id="M90" altimg="si92.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>⧹</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> whenever <inline-formula><mml:math id="M91" altimg="si93.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, suggesting the following conjecture.<statement id="n0050"><label>Conjecture</label><p id="p0340"><italic>The unique endemic equilibrium of the model</italic><xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, <italic>denoted by Ω</italic><sub>1</sub>, <italic>is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M92" altimg="si94.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>⧹</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>if</italic><inline-formula><mml:math id="M93" altimg="si95.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></statement><fig id="f0015"><label>Fig. 3</label><caption><p>Simulation of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the total number of infected individuals as a function of time for <inline-formula><mml:math id="M94" altimg="si3.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref> with <italic>β</italic> = 0.5, <italic>m</italic> = 2, <italic>n</italic> = 3, <italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 1.5, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub> = <italic>c</italic><sub>3</sub> = <italic>d</italic><sub>3</sub> = 3 (so that, <inline-formula><mml:math id="M95" altimg="si4.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.1526</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>).</p></caption><graphic xlink:href="gr3"></graphic></fig><fig id="f0020"><label>Fig. 4</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of new infections for various values of the quarantine parameters (<italic>σ</italic><sub>1</sub> and <italic>σ</italic><sub>2</sub>). Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, with <italic>β</italic> = 0.15, <italic>m</italic> = 2, <italic>n</italic> = 3, <italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 1.5, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub> = <italic>c</italic><sub>3</sub> = <italic>d</italic><sub>3</sub> = 3 and isolation rates as given in <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>.</p></caption><graphic xlink:href="gr4"></graphic></fig><fig id="f0025"><label>Fig. 5</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of new infections for various values of the isolation parameters (<italic>ϕ</italic><sub>1</sub>, <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> and <italic>ϕ</italic><sub>3</sub>). Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, with <italic>β</italic> = 0.15, <italic>m</italic> = 2, <italic>n</italic> = 3, <italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub> = 1.5, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub> = 3, <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub> = <italic>c</italic><sub>3</sub> = <italic>d</italic><sub>3</sub> = 3 and quarantine rates as given in <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>.</p></caption><graphic xlink:href="gr5"></graphic></fig></p><p id="p0165">The effect of the number of disease stages for the exposed (<italic>m</italic>) and infectious (<italic>n</italic>) classes is monitored by simulating the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> with various values of <italic>m</italic> =
<italic>n</italic>. The results obtained, depicted in <xref rid="f0030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>, show an increase in the cumulative number of disease-related mortality with increasing values of <italic>m</italic> =
<italic>n</italic>. Simulations for the cumulative number of probable SARS cases observed during the 2003 outbreaks in the Greater Toronto Area (GTA) of Canada are also carried out. The results obtained, for the case <italic>m</italic> =
<italic>n</italic> = 3, are compared with those obtained using the exponentially-distributed (ED) equivalent of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> (i.e., model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> with <italic>m</italic> =
<italic>n</italic> = 1) and another gamma-distributed version of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> with <italic>m</italic> =
<italic>n</italic> = 3, denoted by GD2, where the average sojourn time in each of the exposed, quarantined, hospitalized and infectious stages is shared equally among each associated disease stage (this is similar to the model given in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>). It should be mentioned that, in such a setting, the standard ED model has the associated reproduction number given by <inline-formula><mml:math id="M96" altimg="si96.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6506</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Similarly, the GD2 and GD1 models have <inline-formula><mml:math id="M97" altimg="si97.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6962</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M98" altimg="si98.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.9858</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively. Furthermore, about 250 probable SARS cases were reported for the GTA (see Fig. 2 in <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>). The simulation results obtained, depicted in <xref rid="f0035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>, show that while the ED and GD2 models under-estimated the observed number of probable cases, the GD1 model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> gave a very good estimate of the observed data. It should be mentioned that the GD2 model is also competitive if the quarantine and isolation rates are distributed (unequally) to incorporate their progressive refinement (as in the case of the model GD1).<fig id="f0030"><label>Fig. 6</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of disease-induced mortality for various disease stages (<italic>m</italic> = <italic>n</italic>). Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t0015" ref-type="table">Table 3</xref>, <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>, with <italic>β</italic> = 0.15.</p></caption><graphic xlink:href="gr6"></graphic></fig><fig id="f0035"><label>Fig. 7</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of probable SARS for the GTA generated using the GD1, GD2 and ED models. Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t0015" ref-type="table">Table 3</xref>, <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>, with <italic>β</italic> = 0.2, <italic>ψ</italic> = 0. GD1 model: <italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 3, GD2 model: <italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 3; <italic>σ</italic><sub>1</sub> = <italic>σ</italic><sub>2</sub> = <italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1 and <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619; ED model: <italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 1.</p></caption><graphic xlink:href="gr7"></graphic></fig></p><p id="p0170">Similar comparison are made for the cumulative number of cases recorded for the Hong Kong SARS outbreaks (approximately 1750 cases were recorded in Hong Kong <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>). Here, too, the GD1 model is more competitive (<xref rid="f0040" ref-type="fig">Fig. 8</xref>). For these simulations, the ED, GD1 and GD2 models have <inline-formula><mml:math id="M99" altimg="si99.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> given by 0.7345, 0.9710 and 0.7861, respectively. It should be emphasized, however, that the reason why the GD1 model gives different results, compared to the GD2 model (for instance), is that the values of <italic>σ</italic><sub>1</sub> and <italic>σ</italic><sub>2</sub>, and also <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> and <italic>ϕ</italic><sub>2</sub>, used in the simulations of the GD1 model are different from the quarantine (<italic>σ</italic>) and isolation (<italic>ϕ</italic>) rates used in the simulations of the GD2 model. While the values <italic>σ</italic><sub>1</sub> = 0.0333, <italic>σ</italic><sub>2</sub> = 0.05, <italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1 and <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = 0.0666, <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = 0.1, <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619 were used in the simulations of the GD1 model (to account for the gradual refinement of quarantine and isolation), the values <italic>σ</italic><sub>1</sub> =
<italic>σ</italic><sub>2</sub> =
<italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1 and <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> =
<italic>ϕ</italic><sub>2</sub> =
<italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619 were used in the simulations of the GD2 model (that is why the <inline-formula><mml:math id="M100" altimg="si100.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> value for the GD1 model is 0.9710, while that of the GD2 model is 0.7861 for this setting).<fig id="f0040"><label>Fig. 8</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of probable SARS for the Hong Kong generated using the GD1, GD2 and ED models. Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t0015" ref-type="table">Table 3</xref>, <xref rid="t0020" ref-type="table">Table 4</xref>, with <italic>β</italic> = 0.2, <italic>ψ</italic> = 0 and <italic>Π</italic> = 122. GD1 model: <italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 3, GD2 model: <italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 3; <italic>σ</italic><sub>1</sub> = <italic>σ</italic><sub>2</sub> = <italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1 and <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619; ED model: <italic>m</italic> = <italic>n</italic> = 1.</p></caption><graphic xlink:href="gr8"></graphic></fig></p><p id="p0175">The effect of the distribution of sojourn times for the symptomatic period (1/<italic>κ</italic>) is monitored by simulating the GD1 model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> with the parameters in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref> for the case where the periods are either same or varied in each stage (i.e., the case where <italic>d</italic><sub><italic>j</italic></sub> =
<italic>n</italic> =
<italic>c</italic><sub><italic>j</italic></sub> versus the case where <italic>d</italic><sub><italic>j</italic></sub> ≠
<italic>n</italic> ≠
<italic>c</italic><sub><italic>j</italic></sub>). In both cases, the same numerical simulation results were obtained (<xref rid="f0045" ref-type="fig">Fig. 9</xref>). In other words, distributing the average sojourn times equally or unequally between the sub stages of the symptomatic classes (<italic>I</italic> and <italic>H</italic>) does not alter the numerical simulation results obtained. The effect of the distribution of sojourn times in the asymptomatic classes (<italic>E</italic> and <italic>Q</italic>; given by 1/<italic>α</italic>) is also monitored by simulating the model with the parameters in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref> for three different scenarios. An asymptomatic period 1/<italic>α</italic> = 6 days is chosen, and distributed as follows:<list list-type="simple" id="l0010"><list-item id="o0025"><label>(I)</label><p id="p0235">2.5 days in <italic>E</italic><sub>1</sub> and <italic>Q</italic><sub>1</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>1</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>1</sub><italic>α</italic> = 2.5 days), 2 days in <italic>E</italic><sub>2</sub> and <italic>Q</italic><sub>2</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>2</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>2</sub><italic>α</italic> = 2 days) and 1.5 days in <italic>E</italic><sub>3</sub> and <italic>Q</italic><sub>3</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>3</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>3</sub><italic>α</italic> = 1.5 days);</p></list-item><list-item id="o0030"><label>(II)</label><p id="p0240">2 days in <italic>E</italic><sub>1</sub> and <italic>Q</italic><sub>1</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>1</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>1</sub><italic>α</italic> = 2 days), 2 days in <italic>E</italic><sub>2</sub> and <italic>Q</italic><sub>2</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>2</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>2</sub><italic>α</italic> = 2 days) and 2 days in <italic>E</italic><sub>3</sub> and <italic>Q</italic><sub>3</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>3</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>3</sub><italic>α</italic> = 2 days);</p></list-item><list-item id="o0035"><label>(III)</label><p id="p0245">1.5 days in <italic>E</italic><sub>1</sub> and <italic>Q</italic><sub>1</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>1</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>1</sub><italic>α</italic> = 1.5 days), 2 days in <italic>E</italic><sub>2</sub> and <italic>Q</italic><sub>2</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>2</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>2</sub><italic>α</italic> = 2 days) and 2.5 days in <italic>E</italic><sub>3</sub> and <italic>Q</italic><sub>3</sub> classes (i.e., 1/<italic>a</italic><sub>3</sub><italic>α</italic> = 1/<italic>b</italic><sub>3</sub><italic>α</italic> = 2.5 days).</p></list-item></list><fig id="f0045"><label>Fig. 9</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of new cases for various distributions of the symptomatic period (1/<italic>κ</italic>) using different values of <italic>c</italic><sub>1</sub> = <italic>d</italic><sub>1</sub>, <italic>c</italic><sub>2</sub> = <italic>d</italic><sub>2</sub>, and <italic>c</italic><sub>3</sub> = <italic>d</italic><sub>3</sub>. Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, with <italic>β</italic> = 0.2, <italic>ψ</italic> = 0, <italic>σ</italic><sub>1</sub> = <italic>σ</italic><sub>2</sub> = <italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1 and <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619.</p></caption><graphic xlink:href="gr9"></graphic></fig></p><p id="p0180">The simulation results obtained (<xref rid="f0050" ref-type="fig">Fig. 10</xref>) clearly show that if the asymptomatic period is distributed such that more time is spent in the early stages of the asymptomatic (latent and quarantine) classes (i.e., more time is spent in <italic>E</italic><sub>1</sub>, <italic>E</italic><sub>2</sub>, <italic>Q</italic><sub>1</sub>, <italic>Q</italic><sub>2</sub> classes in comparison to in <italic>E</italic><sub>3</sub> and <italic>Q</italic><sub>3</sub> classes), the cumulative number of new cases is higher than for the cases where the asymptomatic period is distributed equally among the stages or if more time is spent in the later asymptomatic stages. In other words, unlike for the case of the sojourn time spent in the symptomatic classes (<italic>I</italic> and <italic>H</italic>), the way the sojourn time is distributed in the asymptomatic compartments (<italic>E</italic> and <italic>Q</italic>) affects the cumulative number of new cases.<fig id="f0050"><label>Fig. 10</label><caption><p>Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> showing the cumulative number of new cases for various distributions of the asymptomatic period (1/<italic>α</italic>) using different values of <italic>a</italic><sub>1</sub> = <italic>b</italic><sub>1</sub>, <italic>a</italic><sub>2</sub> = <italic>b</italic><sub>2</sub>, and <italic>a</italic><sub>3</sub> = <italic>b</italic><sub>3</sub>. Parameter values used are as in <xref rid="t0010" ref-type="table">Table 2</xref>, with <italic>β</italic> = 0.2, <italic>ψ</italic> = 0, <italic>σ</italic><sub>1</sub> = <italic>σ</italic><sub>2</sub> = <italic>σ</italic><sub>3</sub> = 0.1 and <italic>ϕ</italic><sub>1</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>2</sub> = <italic>ϕ</italic><sub>3</sub> = 0.20619.</p></caption><graphic xlink:href="gr10"></graphic></fig></p></sec></sec><sec id="s0045"><label>5</label><title>Conclusions</title><p id="p0185">A new deterministic model for disease transmission, subject to the use of quarantine (of asymptomatic cases) and isolation (of individuals with disease symptoms), is presented and rigorously analyzed. The model, which is based on the assumption that the mean waiting periods in all infected classes obey a gamma distribution, adopts a standard incidence formulation for the infection rate. An important feature of this model is that it allows for equal or unequal distribution of the sojourn time in each of the associated infected compartment. Furthermore, it allows for the gradual refinement of quarantine and isolation measures (this was the case during the 2003 SARS outbreaks). The main theoretical findings of the study are given below:<list list-type="simple" id="l0015"><list-item id="o0040"><label>(i)</label><p id="p0250">The model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> has a globally-asymptotically stable disease-free equilibrium whenever the associated reproduction number <inline-formula><mml:math id="M101" altimg="si101.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is less than unity.</p></list-item><list-item id="o0045"><label>(ii)</label><p id="p0255">The model has a unique endemic equilibrium whenever the reproduction number exceeds unity.</p></list-item><list-item id="o0050"><label>(iii)</label><p id="p0260">The unique endemic equilibrium of the model is shown to be globally-asymptotically stable for a special case.</p></list-item></list></p><p id="p0190">Numerical simulations of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, using data related to the 2003 SARS outbreaks, show the following:<list list-type="simple" id="l0020"><list-item id="o0055"><label>(a)</label><p id="p0265">the cumulative number of new cases of infection decreases with increasing quarantine or isolation rate;</p></list-item><list-item id="o0060"><label>(b)</label><p id="p0270">the cumulative number of disease-related mortality increases with increasing number of disease stages (<italic>m</italic> and <italic>n</italic>);</p></list-item><list-item id="o0065"><label>(c)</label><p id="p0275">unlike the ED and GD2 models, the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> gives numerical results that are consistent with the 2003 SARS outbreaks data for the GTA and Hong Kong;</p></list-item><list-item id="o0070"><label>(d)</label><p id="p0280">distributing the average sojourn time equally or unequally between the respective symptomatic classes does not alter the numerical simulation result obtained (i.e., the cumulative number of new cases);</p></list-item><list-item id="o0075"><label>(e)</label><p id="p0285">if the asymptomatic period is distributed such that more time is spent in the early asymptomatic (latent and quarantine) stages, the cumulative number of new cases is higher than for the cases where the period is distributed equally among the asymptomatic stages or if more time is spent in the later asymptomatic stages.</p></list-item></list></p></sec></body><back><ref-list id="bi005"><title>References</title><ref id="b0005"><label>1</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Anderson</surname><given-names>R.M.</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>R.M.</given-names></name></person-group><chapter-title>Population Biology of Infectious Diseases</chapter-title><year>1982</year><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0010"><label>2</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chowell</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Castillo-Chavez</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Fenimore</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Kribs-Zaleta</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Arriola</surname><given-names>L.</given-names></name><name><surname>Hyman</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Model parameters and outbreak control for SARS</article-title><source>EID</source><volume>10</volume><year>2004</year><fpage>1258</fpage><lpage>1263</lpage></element-citation></ref><ref id="b0015"><label>3</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chowell</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Hengartner</surname><given-names>N.W.</given-names></name><name><surname>Castillo-Chavez</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Fenimore</surname><given-names>P.W.</given-names></name><name><surname>Hyman</surname><given-names>J.M.</given-names></name></person-group><article-title>The basic reproductive number of ebola and the effects of public health measures: the cases of Congo and Uganda</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>1</volume><year>2004</year><fpage>119</fpage><lpage>126</lpage></element-citation></ref><ref id="b0020"><label>4</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Diekmann</surname><given-names>O.</given-names></name><name><surname>Heesterbeek</surname><given-names>J.A.P.</given-names></name><name><surname>Metz</surname><given-names>J.A.J.</given-names></name></person-group><article-title>On the definition and computation of the basic reproduction ratio <inline-formula><mml:math id="M102" altimg="si140.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in models for infectious disease in heterogeneous population</article-title><source>J. Math. Biol.</source><volume>28</volume><year>1990</year><fpage>365</fpage><lpage>382</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">2117040</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0025"><label>5</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Donnelly</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Ghani</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Leung</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Hedley</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Fraser</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Riley</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><article-title>Epidemiological determinants of spread of casual agent of severe acute respiratory syndrome in Hong Kong</article-title><source>Lancet</source><volume>361</volume><year>2003</year><fpage>1761</fpage><lpage>1766</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12781533</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0030"><label>6</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Eichner</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Schwehm</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Duerr</surname><given-names>H.</given-names></name><name><surname>Brockmann</surname><given-names>S.O.</given-names></name></person-group><article-title>The influenza pandemic preparedness planning tool InfluSim</article-title><source>BMC Infec. Dis.</source><volume>7</volume><year>2007</year><fpage>17</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">17355639</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0035"><label>7</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Feng</surname><given-names>Z.</given-names></name><name><surname>Xu</surname><given-names>D.</given-names></name><name><surname>Zhao</surname><given-names>H.</given-names></name></person-group><article-title>Epidemiological models with non-exponentially distributed disease stages and application to disease control</article-title><source>Bull. Math. Biol.</source><volume>69</volume><year>2007</year><fpage>1511</fpage><lpage>1536</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">17237913</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0040"><label>8</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name></person-group><article-title>Modelling strategies for controlling SARS outbreaks</article-title><source>Proc. Roy. Soc. Ser. B</source><volume>271</volume><year>2004</year><fpage>2223</fpage><lpage>2232</lpage></element-citation></ref><ref id="b0045"><label>9</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hale</surname><given-names>J.K.</given-names></name></person-group><chapter-title>Ordinary Differential Equations</chapter-title><year>1969</year><publisher-name>John Wiley and Sons</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0050"><label>10</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hethcote</surname><given-names>H.W.</given-names></name></person-group><article-title>The mathematics of infectious diseases</article-title><source>SIAM Rev.</source><volume>42</volume><year>2000</year><fpage>599</fpage><lpage>653</lpage></element-citation></ref><ref id="b0055"><label>11</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hethcote</surname><given-names>H.W.</given-names></name><name><surname>Zhien</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Shengbing</surname><given-names>L.</given-names></name></person-group><article-title>Effects of quarantine in six endemic models for infectious diseases</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>180</volume><year>2002</year><fpage>141</fpage><lpage>160</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12387921</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0060"><label>12</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hogg</surname><given-names>R.V.</given-names></name><name><surname>Craig</surname><given-names>A.T.</given-names></name></person-group><chapter-title>Introduction to Mathematical Statistics</chapter-title><edition>fourth ed.</edition><year>1978</year><publisher-name>Macmillan</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0065"><label>13</label><mixed-citation publication-type="other">Hong Kong in Figs. ed., Census and Statistics Department, Hong Kong Special Administrative Region, 2006.</mixed-citation></ref><ref id="b0070"><label>14</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kao</surname><given-names>R.R.</given-names></name><name><surname>Roberts</surname><given-names>M.G.</given-names></name></person-group><article-title>Quarantine-based disease control in domesticated animal herds</article-title><source>Appl. Math. Lett.</source><volume>4</volume><year>1998</year><fpage>115</fpage><lpage>120</lpage></element-citation></ref><ref id="b0075"><label>15</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kermack</surname><given-names>W.O.</given-names></name><name><surname>McKenrick</surname><given-names>A.G.</given-names></name></person-group><article-title>A contribution to the mathematical theory of epidemics</article-title><source>Proc. Roy. Soc. Lond.</source><volume>115</volume><year>1927</year><fpage>700</fpage><lpage>721</lpage></element-citation></ref><ref id="b0080"><label>16</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kermack</surname><given-names>W.O.</given-names></name><name><surname>McKenrick</surname><given-names>A.G.</given-names></name></person-group><article-title>A contribution to the mathematical theory of epidemics, Part II</article-title><source>Proc. Roy. Soc. Lond.</source><volume>138</volume><year>1932</year><fpage>55</fpage><lpage>83</lpage></element-citation></ref><ref id="b0085"><label>17</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Leung</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>The epidemiology of severe acute respiratory syndrome in the 2003 Hong Kong epidemic: an analysis of all 1755 patients</article-title><source>Ann. Intern. Med.</source><volume>9</volume><year>2004</year><fpage>662</fpage><lpage>673</lpage></element-citation></ref><ref id="b0090"><label>18</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lipsitch</surname><given-names>M.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission dynamics and control of severe acute respiratory syndrome</article-title><source>Science</source><volume>300</volume><year>2003</year><fpage>1966</fpage><lpage>1970</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12766207</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0095"><label>19</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lloyd-Smith</surname><given-names>J.O.</given-names></name><name><surname>Galvani</surname><given-names>A.P.</given-names></name><name><surname>Getz</surname><given-names>W.M.</given-names></name></person-group><article-title>Curtailing transmission of severe acute respiratory syndrome within a community and its hospital</article-title><source>Proc. Roy. Soc. Lond. B</source><volume>170</volume><year>2003</year><fpage>1979</fpage><lpage>1989</lpage></element-citation></ref><ref id="b0100"><label>20</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>McLeod</surname><given-names>R.G.</given-names></name><name><surname>Brewster</surname><given-names>J.F.</given-names></name><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name><name><surname>Slonowsky</surname><given-names>D.A.</given-names></name></person-group><article-title>Sensitivity and uncertainty analyses for a SARS model with time-varying inputs and outputs</article-title><source>Math. Biosci. Eng.</source><volume>3</volume><year>2006</year><fpage>527</fpage><lpage>544</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">20210378</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0105"><label>21</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Podder</surname><given-names>C.N.</given-names></name><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name><name><surname>Bowman</surname><given-names>C.S.</given-names></name><name><surname>McLeod</surname><given-names>R.G.</given-names></name></person-group><article-title>Mathematical study of the impact of quarantine, isolation and vaccination in curtailing an epidemic</article-title><source>J. Biol. Syst.</source><volume>15</volume><year>2007</year><fpage>185</fpage><lpage>202</lpage></element-citation></ref><ref id="b0110"><label>22</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Riley</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission dynamics of etiological agent of SARS in Hong Kong: the impact of public health interventions</article-title><source>Science</source><volume>300</volume><year>2003</year><fpage>1961</fpage><lpage>1966</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12766206</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0115"><label>23</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ross</surname><given-names>R.A.</given-names></name></person-group><chapter-title>The Prevention of Malaria</chapter-title><edition>second ed.</edition><year>1911</year><publisher-name>Murray</publisher-name><publisher-loc>London</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0120"><label>24</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Safi</surname><given-names>M.A.</given-names></name><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name></person-group><article-title>Global asymptotic dynamics of a model for quarantine and isolation</article-title><source>Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B</source><volume>14</volume><year>2010</year><fpage>209</fpage><lpage>231</lpage></element-citation></ref><ref id="b0125"><label>25</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sharomi</surname><given-names>O.</given-names></name><name><surname>Podder</surname><given-names>C.N.</given-names></name><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name><name><surname>Elbasha</surname><given-names>E.</given-names></name><name><surname>Watmough</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Role of incidence function in vaccine-induced backward bifurcation in some HIV models</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>2</volume><year>2007</year><fpage>436</fpage><lpage>463</lpage></element-citation></ref><ref id="b0130"><label>26</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Smith</surname><given-names>H.L.</given-names></name><name><surname>Waltman</surname><given-names>P.</given-names></name></person-group><chapter-title>The Theory of the Chemostat</chapter-title><year>1995</year><publisher-name>Cambridge University Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="b0135"><label>27</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Thieme</surname><given-names>H.R.</given-names></name></person-group><chapter-title>Mathematics in Population Biology</chapter-title><year>2003</year><publisher-name>Princeton University Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="b0140"><label>28</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>van den Driessche</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Watmough</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>180</volume><year>2002</year><fpage>29</fpage><lpage>48</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12387915</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0145"><label>29</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Ruanx</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><article-title>Simulating the SARS outbreak in Beijing with limited data</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>227</volume><year>2005</year><fpage>369</fpage><lpage>379</lpage></element-citation></ref><ref id="b0150"><label>30</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wearing</surname><given-names>H.J.</given-names></name><name><surname>Rohani</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Keeling</surname><given-names>M.J.</given-names></name></person-group><article-title>Appropriate models for the management of infectious diseases</article-title><source>PLoS Med.</source><volume>2</volume><year>2005</year><fpage>621</fpage><lpage>627</lpage></element-citation></ref><ref id="b0155"><label>31</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Webb</surname><given-names>G.F.</given-names></name><name><surname>Blaser</surname><given-names>M.J.</given-names></name><name><surname>Zhu</surname><given-names>H.</given-names></name><name><surname>Ardal</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Wu</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Critical role of nosocomial transmission in the Toronto SARS outbreak</article-title><source>Math. Biosci. Eng.</source><volume>1</volume><year>2004</year><fpage>1</fpage><lpage>13</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">20369956</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0160"><label>32</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Yan</surname><given-names>X.</given-names></name><name><surname>Zou</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Optimal and sub-optimal quarantine and isolation control in SARS epidemics</article-title><source>Math. Comput. Model.</source><volume>47</volume><year>2008</year><fpage>235</fpage><lpage>245</lpage></element-citation></ref><ref id="b0165"><label>33</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Yang</surname><given-names>Y.</given-names></name><name><surname>Feng</surname><given-names>Z.</given-names></name><name><surname>Xu</surname><given-names>D.</given-names></name></person-group><article-title>Analysis of a model with multiple infectious stages and arbitrary distributed stage durations</article-title><source>Math. Model. Nat. Phenom.</source><volume>3</volume><year>2008</year><fpage>180</fpage><lpage>193</lpage></element-citation></ref></ref-list><sec id="s0050"><label>Appendix A</label><title>Properties of gamma distribution <xref rid="b0060" ref-type="bibr">[12]</xref></title><p id="p0195">A random variable <italic>X</italic> that is gamma-distributed with scale <italic>θ</italic> and shape <italic>k</italic> is denoted by<disp-formula id="e0375"><mml:math id="M103" altimg="si102.gif" overflow="scroll"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>∼</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mtext>or</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>∼</mml:mo><mml:mtext>Gamma</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula><bold>Properties:</bold><list list-type="simple" id="l0025"><list-item id="o0080"><label>(i)</label><p id="p0290"><bold>Summation</bold>: if <italic>X</italic><sub><italic>i</italic></sub> has a <italic>Γ</italic>(<italic>k</italic><sub><italic>i</italic></sub>,
<italic>θ</italic>) distribution for <italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>N</italic>, then <inline-formula><mml:math id="M104" altimg="si103.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∼</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> provided all <italic>X</italic><sub><italic>i</italic></sub> are independent.</p></list-item><list-item id="o0085"><label>(ii)</label><p id="p0295"><bold>Scaling</bold>: if <italic>X</italic> ∼
<italic>Γ</italic>(<italic>k</italic>,
<italic>θ</italic>) then for any <inline-formula><mml:math id="M105" altimg="si104.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>∼</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item></list></p><p id="p0200">For example, we have <italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub> ∼
<italic>Γ</italic>(1,
<italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub><italic>α</italic>) for <italic>i</italic> = 1, 2, … ,
<italic>m</italic>. It follows, from (ii), that <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub><italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub> ∼
<italic>Γ</italic>(1,
<italic>α</italic>). Similarly, <inline-formula><mml:math id="M106" altimg="si105.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>∼</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Finally, by (i), we have <inline-formula><mml:math id="M107" altimg="si106.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>∼</mml:mo><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></sec><sec id="s0055"><label>Appendix B</label><title>Proof of Theorem 4</title><p id="p0205"><statement id="n0010"><label>Proof</label><p id="p0350">Consider the reduced model, given by <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> with <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref>. Let <inline-formula><mml:math id="M108" altimg="si107.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, so that the associated unique endemic equilibrium exists. Further, consider the following non-linear Lyapunov function:<disp-formula id="e0380"><mml:math id="M109" altimg="si108.gif" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where the coefficients <italic>x</italic><sub><italic>i</italic></sub> (<italic>i</italic> = 1, … ,
<italic>m</italic>) and <italic>y</italic><sub><italic>j</italic></sub> (<italic>j</italic> = 1, … ,
<italic>n</italic>) are positive constants to be determined. Thus,<disp-formula id="e0385"><mml:math id="M110" altimg="si109.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Substituting the expressions of the derivatives from the system <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref>, using <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref>, gives (note that the relation <inline-formula><mml:math id="M111" altimg="si110.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, at endemic steady-state, has been used)<disp-formula id="e0390"><mml:math id="M112" altimg="si111.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>which can simplified to<disp-formula id="e0110"><label>(22)</label><mml:math id="M113" altimg="si112.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The coefficients <italic>x</italic><sub><italic>i</italic></sub> (<italic>i</italic> = 2, … ,
<italic>m</italic>) and <italic>y</italic><sub><italic>j</italic></sub> (<italic>j</italic> = 1, … ,
<italic>n</italic>) are chosen such that<disp-formula id="e0115"><label>(23)</label><mml:math id="M114" altimg="si113.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>so that, from <xref rid="e0115" ref-type="disp-formula">(23)</xref>,<disp-formula id="e0120"><label>(24)</label><mml:math id="M115" altimg="si114.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0395"><mml:math id="M116" altimg="si115.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>;</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Using the relations <xref rid="e0120" ref-type="disp-formula">(24)</xref> in Eq. <xref rid="e0110" ref-type="disp-formula">(22)</xref> gives<disp-formula id="e0125"><label>(25)</label><mml:math id="M117" altimg="si116.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It can be shown from <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> that, at endemic steady-state,<disp-formula id="e0130"><label>(26)</label><mml:math id="M118" altimg="si117.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>∏</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0135"><label>(27)</label><mml:math id="M119" altimg="si118.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Using the relations in <xref rid="e0130" ref-type="disp-formula">(26)</xref>, <xref rid="e0135" ref-type="disp-formula">(27)</xref> in Eq. <xref rid="e0125" ref-type="disp-formula">(25)</xref> gives<disp-formula id="e0400"><mml:math id="M120" altimg="si119.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>which can be re-written as<disp-formula id="e0140"><label>(28)</label><mml:math id="M121" altimg="si120.gif" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Finally, since the arithmetic mean exceeds the geometric mean, it follows that<disp-formula id="e0145"><label>(29)</label><mml:math id="M122" altimg="si121.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>and,<disp-formula id="e0150"><label>(30)</label><mml:math id="M123" altimg="si122.gif" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0210">Further, since all parameters of the model <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(6)</xref> are non-negative, it follows from <xref rid="e0145" ref-type="disp-formula">(29)</xref>, <xref rid="e0150" ref-type="disp-formula">(30)</xref>, using <xref rid="e0140" ref-type="disp-formula">(28)</xref>, that <inline-formula><mml:math id="M124" altimg="si123.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M125" altimg="si124.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Hence, <inline-formula><mml:math id="M126" altimg="si125.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is a Lyapunov function for the sub-system of the model <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> consisting of the equations for <italic>S</italic>, <italic>E</italic><sub><italic>i</italic></sub> (<italic>i</italic> = 1, … ,
<italic>m</italic>), <italic>I</italic><sub><italic>j</italic></sub> (<italic>j</italic> = 1, … ,
<italic>n</italic>) of the model <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> on <inline-formula><mml:math id="M127" altimg="si126.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>⧹</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Therefore, by the LaSalle’s Invariance Principle <xref rid="b0045" ref-type="bibr">[9]</xref>,<disp-formula id="e0155"><label>(31)</label><mml:math id="M128" altimg="si127.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It is clear from <xref rid="e0155" ref-type="disp-formula">(31)</xref> that <inline-formula><mml:math id="M129" altimg="si128.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">limsup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, for sufficiently small <italic>ϖ</italic> > 0, there exists a constant <italic>n</italic><sub>1</sub> > 0 such that <inline-formula><mml:math id="M130" altimg="si129.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">limsup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϖ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for all <italic>t</italic> >
<italic>n</italic><sub>1</sub>. It follows from the (<italic>m</italic> +
<italic>n</italic> + 2)th equation of the model <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> that, for <italic>t</italic> >
<italic>n</italic><sub>1</sub>,<disp-formula id="e0405"><mml:math id="M131" altimg="si130.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Thus, by comparison theorem <xref rid="b0130" ref-type="bibr">[26]</xref>,<disp-formula id="e0410"><mml:math id="M132" altimg="si131.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">limsup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϖ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>so that, by letting <italic>ϖ</italic> → 0,<disp-formula id="e0160"><label>(32)</label><mml:math id="M133" altimg="si132.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">limsup</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Similarly (by using <inline-formula><mml:math id="M134" altimg="si133.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">liminf</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>), it can be shown that<disp-formula id="e0165"><label>(33)</label><mml:math id="M135" altimg="si134.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">liminf</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Thus, it follows from <xref rid="e0160" ref-type="disp-formula">(32)</xref>, <xref rid="e0165" ref-type="disp-formula">(33)</xref> that<disp-formula id="e0415"><mml:math id="M136" altimg="si135.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Hence,<disp-formula id="e0170"><label>(34)</label><mml:math id="M137" altimg="si136.gif" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Similarly, it can be shown that<disp-formula id="e0175"><label>(35)</label><mml:math id="M138" altimg="si137.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mtext>for all</mml:mtext><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Thus, by combining <xref rid="e0155" ref-type="disp-formula">(31)</xref>, <xref rid="e0170" ref-type="disp-formula">(34)</xref>, <xref rid="e0175" ref-type="disp-formula">(35)</xref>, it follows that every solution to the equations of the reduced model, with initial condition in <inline-formula><mml:math id="M139" altimg="si138.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>⧹</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, approaches the unique endemic equilibrium of the reduced model <xref rid="e0100" ref-type="disp-formula">(20)</xref> with <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(21)</xref> as <italic>t</italic> → ∞ for <inline-formula><mml:math id="M140" altimg="si139.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cr</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <italic>ψ</italic> = 0. □</p></statement></p></sec><ack><title>Acknowledgments</title><p>One of the authors (ABG) acknowledges, with thanks, the support in part of the Natural Science and Engineering Research Council (NSERC) and Mathematics of Information Technology and Complex Systems (MITACS) of Canada. MAS gratefully acknowledges the support of the Institute of Industrial Mathematical Sciences and the University of Manitoba Graduate Fellowship. The authors are grateful to Alex Leblanc for helpful discussions on the formulation of the gamma distribution.</p></ack></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/SrasV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000E01 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000E01 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= SrasV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:7112307
|texte= Qualitative study of a quarantine/isolation model with multiple disease stages
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:NONE" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a SrasV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |