Optimization of the Sampling Periods and the Quantization Bit Lengths for Networked Estimation
Identifieur interne : 001D20 ( Ncbi/Merge ); précédent : 001D19; suivant : 001D21Optimization of the Sampling Periods and the Quantization Bit Lengths for Networked Estimation
Auteurs : Young Soo Suh ; Young Sik Ro ; Hee Jun KangSource :
- Sensors (Basel, Switzerland) [ 1424-8220 ] ; 2010.
Abstract
This paper is concerned with networked estimation, where sensor data are transmitted over a network of limited transmission rate. The transmission rate depends on the sampling periods and the quantization bit lengths. To investigate how the sampling periods and the quantization bit lengths affect the estimation performance, an equation to compute the estimation performance is provided. An algorithm is proposed to find sampling periods and quantization bit lengths combination, which gives good estimation performance while satisfying the transmission rate constraint. Through the numerical example, the proposed algorithm is verified.
Url:
DOI: 10.3390/s100706406
PubMed: 22163557
PubMed Central: 3231148
Links toward previous steps (curation, corpus...)
- to stream Pmc, to step Corpus: 002507
- to stream Pmc, to step Curation: 002507
- to stream Pmc, to step Checkpoint: 001E07
Links to Exploration step
PMC:3231148Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Optimization of the Sampling Periods and the Quantization Bit Lengths for Networked Estimation</title><author><name sortKey="Suh, Young Soo" sort="Suh, Young Soo" uniqKey="Suh Y" first="Young Soo" last="Suh">Young Soo Suh</name></author><author><name sortKey="Ro, Young Sik" sort="Ro, Young Sik" uniqKey="Ro Y" first="Young Sik" last="Ro">Young Sik Ro</name></author><author><name sortKey="Kang, Hee Jun" sort="Kang, Hee Jun" uniqKey="Kang H" first="Hee Jun" last="Kang">Hee Jun Kang</name></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmid">22163557</idno><idno type="pmc">3231148</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3231148</idno><idno type="RBID">PMC:3231148</idno><idno type="doi">10.3390/s100706406</idno><date when="2010">2010</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">002507</idno><idno type="wicri:Area/Pmc/Curation">002507</idno><idno type="wicri:Area/Pmc/Checkpoint">001E07</idno><idno type="wicri:Area/Ncbi/Merge">001D20</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Optimization of the Sampling Periods and the Quantization Bit Lengths for Networked Estimation</title><author><name sortKey="Suh, Young Soo" sort="Suh, Young Soo" uniqKey="Suh Y" first="Young Soo" last="Suh">Young Soo Suh</name></author><author><name sortKey="Ro, Young Sik" sort="Ro, Young Sik" uniqKey="Ro Y" first="Young Sik" last="Ro">Young Sik Ro</name></author><author><name sortKey="Kang, Hee Jun" sort="Kang, Hee Jun" uniqKey="Kang H" first="Hee Jun" last="Kang">Hee Jun Kang</name></author></analytic><series><title level="j">Sensors (Basel, Switzerland)</title><idno type="eISSN">1424-8220</idno><imprint><date when="2010">2010</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>This paper is concerned with networked estimation, where sensor data are transmitted over a network of limited transmission rate. The transmission rate depends on the sampling periods and the quantization bit lengths. To investigate how the sampling periods and the quantization bit lengths affect the estimation performance, an equation to compute the estimation performance is provided. An algorithm is proposed to find sampling periods and quantization bit lengths combination, which gives good estimation performance while satisfying the transmission rate constraint. Through the numerical example, the proposed algorithm is verified.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Zhao, F" uniqKey="Zhao F">F Zhao</name></author><author><name sortKey="Guibas, L" uniqKey="Guibas L">L Guibas</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Choi, Dh" uniqKey="Choi D">DH Choi</name></author><author><name sortKey="Kim, Ds" uniqKey="Kim D">DS Kim</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wu, W" uniqKey="Wu W">W Wu</name></author><author><name sortKey="Arapostathis, A" uniqKey="Arapostathis A">A Arapostathis</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="He, X" uniqKey="He X">X He</name></author><author><name sortKey="Wang, Z" uniqKey="Wang Z">Z Wang</name></author><author><name sortKey="Zhou, Dh" uniqKey="Zhou D">DH Zhou</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wei, G" uniqKey="Wei G">G Wei</name></author><author><name sortKey="Wang, Z" uniqKey="Wang Z">Z Wang</name></author><author><name sortKey="Shu, H" uniqKey="Shu H">H Shu</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Dong, H" uniqKey="Dong H">H Dong</name></author><author><name sortKey="Wang, Z" uniqKey="Wang Z">Z Wang</name></author><author><name sortKey="Gao, J" uniqKey="Gao J">J Gao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lee, I" uniqKey="Lee I">I Lee</name></author><author><name sortKey="Choi, S" uniqKey="Choi S">S Choi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Miskowicz, M" uniqKey="Miskowicz M">M Miskowicz</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Suh, Ys" uniqKey="Suh Y">YS Suh</name></author><author><name sortKey="Nguyen, Vh" uniqKey="Nguyen V">VH Nguyen</name></author><author><name sortKey="Ro, Ys" uniqKey="Ro Y">YS Ro</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mehra, Rk" uniqKey="Mehra R">RK Mehra</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Do, Lmk" uniqKey="Do L">LMK Do</name></author><author><name sortKey="Suh, Ys" uniqKey="Suh Y">YS Suh</name></author><author><name sortKey="Nguyen, Vh" uniqKey="Nguyen V">VH Nguyen</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kadu, Sc" uniqKey="Kadu S">SC Kadu</name></author><author><name sortKey="Bhushan, M" uniqKey="Bhushan M">M Bhushan</name></author><author><name sortKey="Gudi, R" uniqKey="Gudi R">R Gudi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Gersho, A" uniqKey="Gersho A">A Gersho</name></author><author><name sortKey="Gray, Rm" uniqKey="Gray R">RM Gray</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Elia, N" uniqKey="Elia N">N Elia</name></author><author><name sortKey="Mitter, Sk" uniqKey="Mitter S">SK Mitter</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Luong Van, D" uniqKey="Luong Van D">D Luong-Van</name></author><author><name sortKey="Tordon, Mj" uniqKey="Tordon M">MJ Tordon</name></author><author><name sortKey="Katupitiya, J" uniqKey="Katupitiya J">J Katupitiya</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sun, S" uniqKey="Sun S">S Sun</name></author><author><name sortKey="Lin, J" uniqKey="Lin J">J Lin</name></author><author><name sortKey="Xie, L" uniqKey="Xie L">L Xie</name></author><author><name sortKey="Xiao, W" uniqKey="Xiao W">W Xiao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wen, C" uniqKey="Wen C">C Wen</name></author><author><name sortKey="Tang, X" uniqKey="Tang X">X Tang</name></author><author><name sortKey="Ge, Q" uniqKey="Ge Q">Q Ge</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lee, Dj" uniqKey="Lee D">DJ Lee</name></author><author><name sortKey="Tomizuka, M" uniqKey="Tomizuka M">M Tomizuka</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chen, T" uniqKey="Chen T">T Chen</name></author><author><name sortKey="Francis, B" uniqKey="Francis B">B Francis</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Brown, Rg" uniqKey="Brown R">RG Brown</name></author><author><name sortKey="Hwang, Pyc" uniqKey="Hwang P">PYC Hwang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Clements, Dj" uniqKey="Clements D">DJ Clements</name></author><author><name sortKey="Wimmer, Hk" uniqKey="Wimmer H">HK Wimmer</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Sensors (Basel)</journal-id><journal-title-group><journal-title>Sensors (Basel, Switzerland)</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="epub">1424-8220</issn><publisher><publisher-name>Molecular Diversity Preservation International (MDPI)</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmid">22163557</article-id><article-id pub-id-type="pmc">3231148</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.3390/s100706406</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">sensors-10-06406</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Optimization of the Sampling Periods and the Quantization Bit Lengths for Networked Estimation</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author"><name><surname>Suh</surname><given-names>Young Soo</given-names></name><xref ref-type="corresp" rid="c1-sensors-10-06406">⋆</xref></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Ro</surname><given-names>Young Sik</given-names></name></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Kang</surname><given-names>Hee Jun</given-names></name></contrib><aff id="af1-sensors-10-06406">Department of Electrical Engineering, University of Ulsan, Namgu, Ulsan 680-749, Korea; E-Mails:<email>ysro@ulsan.ac.kr</email> (Y.S.R.);<email>hjkang@ulsan.ac.kr</email> (H.J.K.)</aff></contrib-group><author-notes><corresp id="c1-sensors-10-06406"><label>⋆</label>Author to whom correspondence should be addressed; E-Mail: <email>yssuh@ulsan.ac.kr</email>; Tel: +82-52-259-2196; Fax: +82-52-259-1686.</corresp></author-notes><pub-date pub-type="collection"><year>2010</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>29</day><month>6</month><year>2010</year></pub-date><volume>10</volume><issue>7</issue><fpage>6406</fpage><lpage>6420</lpage><history><date date-type="received"><day>1</day><month>2</month><year>2010</year></date><date date-type="rev-recd"><day>17</day><month>4</month><year>2010</year></date><date date-type="accepted"><day>12</day><month>5</month><year>2010</year></date></history><permissions><copyright-statement>© 2010 by the authors licensee MDPI, Basel, Switzerland.</copyright-statement><copyright-year>2010</copyright-year><license><license-p><pmc-comment>CREATIVE COMMONS</pmc-comment>This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution license (<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/">http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/</ext-link>).</license-p></license></permissions><abstract><p>This paper is concerned with networked estimation, where sensor data are transmitted over a network of limited transmission rate. The transmission rate depends on the sampling periods and the quantization bit lengths. To investigate how the sampling periods and the quantization bit lengths affect the estimation performance, an equation to compute the estimation performance is provided. An algorithm is proposed to find sampling periods and quantization bit lengths combination, which gives good estimation performance while satisfying the transmission rate constraint. Through the numerical example, the proposed algorithm is verified.</p></abstract><kwd-group><kwd>networked estimation</kwd><kwd>sampling periods</kwd><kwd>quantization</kwd><kwd>Kalman filter</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec><label>1.</label><title>Introduction</title><p>Recently, networked monitoring systems are becoming increasingly popular, where sensor data are transmitted to a monitoring station through wired or wireless networks [<xref ref-type="bibr" rid="b1-sensors-10-06406">1</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="b2-sensors-10-06406">2</xref>]. In a monitoring station, estimation algorithms (such as a Kalman filter) are used to estimate the system states. A network between sensor nodes and a monitoring station can induce many problems such as time delays, packet dropouts, and limited bandwidth, where they depend on network types and scheduling methods. We note that the network issue (for example, what kinds of scheduling methods should be used?) itself is a big research area [<xref ref-type="bibr" rid="b3-sensors-10-06406">3</xref>]. Also time delays and packet dropouts [<xref ref-type="bibr" rid="b4-sensors-10-06406">4</xref>–<xref ref-type="bibr" rid="b7-sensors-10-06406">7</xref>] are one of most important problems in networked estimation problems.</p><p>In this paper we focus on the case where there are many sensors and the network bandwidth is limited. For example, suppose there are three sensors (A,B,C) and 90 bytes/s can be transmitted over a network. How does one assign 90 bytes/s to each sensor? One method is to assign 30 bytes/s to each sensor. If sensor A monitors fast changing value and sensor B monitors slowly changing value, it might not be the best strategy: more data rate should be assigned to sensor A and the data rate of sensor B should be reduced. These issues are discussed quantitatively in this paper.</p><p>Note that the data rate of each sensor depends on the sampling frequency and the quantization bit length. For example, (100 Hz, 8 bit) case and (50 Hz, 16 bit) case have the same data rate (100 bytes/s). Thus given the same data rate, we have many possible combinations of the sampling frequencies and the quantization bit lengths. We first investigate how the sampling frequency and the quantization bit length affect the estimation performance and then propose a method to choose the sampling frequency and the quantization bit length of each sensor.</p><p>Using different sampling frequencies for different sensors is discussed in [<xref ref-type="bibr" rid="b10-sensors-10-06406">10</xref>], where the sampling frequencies is chosen by minimizing the Kalman filter error covariance. In [<xref ref-type="bibr" rid="b11-sensors-10-06406">11</xref>], the sampling frequency assignment algorithm is given, where a sampling frequency is chosen from a finite discrete set. In [<xref ref-type="bibr" rid="b12-sensors-10-06406">12</xref>], a similar sampling frequency assignment is considered, where location of sensors and cost of measurement are also considered in the optimization problem. We note there are other attempts, where an event-based transmission method [<xref ref-type="bibr" rid="b8-sensors-10-06406">8</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="b9-sensors-10-06406">9</xref>] is used instead of a periodic transmission. In this paper, we assume that periodic sampling of sensor data.</p><p>Quantization is an extensively studied area [<xref ref-type="bibr" rid="b13-sensors-10-06406">13</xref>]. Relating the estimation problem, a logarithm quantizer is proposed in [<xref ref-type="bibr" rid="b14-sensors-10-06406">14</xref>]. Although theoretically appealing, the quantizer is applied to the innovation of a filter rather than to an output directly. The effect of quantization can be reduced by treating the quantization error as measurement noises as in [<xref ref-type="bibr" rid="b15-sensors-10-06406">15</xref>]. In [<xref ref-type="bibr" rid="b16-sensors-10-06406">16</xref>] and [<xref ref-type="bibr" rid="b17-sensors-10-06406">17</xref>], quantization bit length assignment algorithms are proposed, where the bit length is computed by minimizing a performance index. The performance index is not directly related to estimation performance (e.g., the filter error covariance).</p><p>Simultaneous optimization of the sampling frequency and the quantization bit length has not been reported yet. In this paper, both parameters are selected so that the estimation performance is optimized given the transmission rate constraint.</p><p>The paper is organized as follows. In Section 2., estimation performance <italic>P</italic> is defined, which depends on the sampling periods and quantization bit lengths. In Section 3., a suboptimal algorithm to compute sampling period and quantization bit length combination is proposed. Through numerical examples, the proposed method is verified in Section 4. and conclusion is given in Section 5.</p></sec><sec><label>2.</label><title>Problem Formulation</title><p>In this section, estimation performance is defined when the sampling frequency and the quantization bit length of each sensor are given. How to optimize the sampling frequency and the quantization bit length is discussed in Section 3.</p><p>Consider a linear time-invariant system given by
<disp-formula id="FD1"><label>(1)</label><mml:math id="M1"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>x</italic> ∈ <italic>R<sup>n</sup></italic> is the state we want to estimate and <italic>y</italic> ∈ <italic>R<sup>p</sup></italic> is the measurement. Process noise <italic>w</italic>(<italic>t</italic>) and measurement noise <italic>υ</italic>(<italic>t</italic>), which are uncorrelated, zero mean white Gaussian random processes, satisfy:
<disp-formula><mml:math id="M2"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where E{·} denotes the mean and <italic>Q</italic> and <italic>R</italic> are a process noise covariance and a measurement noise covariance, respectively.</p><p>Let <italic>T<sub>i</sub></italic> be the sampling period of the <italic>i</italic>-th output and thus the corresponding sampling frequency is 1/<italic>T<sub>i</sub></italic>. We assume that <italic>T<sub>i</sub></italic> is an integer multiple of constant <italic>T</italic>: that is, <italic>T<sub>i</sub></italic> satisfies the following condition:
<disp-formula id="FD2"><label>(2)</label><mml:math id="M3"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>M<sub>i</sub></italic> is an integer and <italic>T</italic> is the base sampling period.</p><p>Let <italic>l<sub>i</sub></italic> be the quantization bit length of the <italic>i</italic>-th output. Let <italic>y<sub>max,i</sub></italic> be the absolute maximum value of the <italic>i</italic>-th output: that is,
<disp-formula id="FD3"><label>(3)</label><mml:math id="M4"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>y<sub>k,i</sub></italic> is the <italic>i</italic>-th element of <italic>y<sub>k</sub></italic>. The index <italic>k</italic> is used to denote the discrete time index. We assume that the uniform quantizer is used. Let <italic>δ<sub>i</sub></italic> be the quantization level of the <italic>i</italic>-th output, which is given by
<disp-formula id="FD4"><label>(4)</label><mml:math id="M5"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>y</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Let <italic>q<sub>k</sub></italic> be the quantization error in <italic>y<sub>k</sub></italic>, then the following is satisfied
<disp-formula id="FD5"><label>(5)</label><mml:math id="M6"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>q<sub>k,i</sub></italic> is the <italic>i</italic>-th element of <italic>q<sub>k</sub></italic>.</p><p>Now we are going to model <xref ref-type="disp-formula" rid="FD1">(1)</xref> in the discrete time considering the sampling period <italic>T<sub>i</sub></italic> and the quantization length bit <italic>l<sub>i</sub></italic>. Assume <italic>M<sub>i</sub></italic> = 1 (1 <italic>≤ i ≤ p</italic>) temporarily:
<disp-formula id="FD6"><label>(6)</label><mml:math id="M7"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>x<sub>k</sub></italic> ≜ <italic>x</italic>(<italic>kT</italic>), Φ ≜ exp(<italic>AT</italic>) and <italic>y<sub>k</sub></italic> is the quantized output of <italic>y</italic>(<italic>kT</italic>). Process noise <italic>w<sub>k</sub></italic> and <italic>υ<sub>k</sub></italic> are uncorrelated and satisfy
<disp-formula id="FD7"><label>(7)</label><mml:math id="M8"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>}</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>}</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula><mml:math id="M9"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>T</mml:mi></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mtext>exp</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Ar</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mtext>exp</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Ar</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">dr</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>We treat the quantization error as an additional measurement noise as in <xref ref-type="disp-formula" rid="FD6">(6)</xref>, which is also considered in [<xref ref-type="bibr" rid="b15-sensors-10-06406">15</xref>]. The quantization error <italic>q<sub>k</sub></italic> is assumed to be uncorrelated with <italic>w<sub>k</sub></italic> and <italic>υ<sub>k</sub></italic>. If the uniform distribution is assumed, the covariance is given by
<disp-formula id="FD8"><label>(8)</label><mml:math id="M10"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>Δ</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mtext>Diag</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Now the temporary assumption (<italic>M<sub>i</sub></italic> = 1) is removed. The second equation of <xref ref-type="disp-formula" rid="FD6">(6)</xref> is no longer true and <italic>y<sub>k,i</sub></italic> is available if <italic>k</italic> is an integer multiple of <italic>M<sub>i</sub></italic>. Let <italic>ỹ<sub>k</sub></italic> be a collection of all available <italic>y<sub>k,i</sub></italic> at time <italic>k</italic>. To define <italic>ỹ<sub>k</sub></italic> in a more formal way, let {<italic>r<sub>k</sub></italic><sub>,1</sub>, <italic>r<sub>k</sub></italic><sub>,2</sub>, . . ., <italic>r<sub>k,p<sub>k</sub></sub></italic>} be a set of all row numbers of available <italic>y<sub>k</sub></italic>. Then <italic>ỹ<sub>k</sub></italic> is given by
<disp-formula id="FD9"><label>(9)</label><mml:math id="M11"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:munder accentunder="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="true">_</mml:mo></mml:munder></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:munder accentunder="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="true">_</mml:mo></mml:munder></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:munder accentunder="true"><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo stretchy="true">_</mml:mo></mml:munder></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Similarly <italic>υ̃<sub>k</sub></italic> and <italic>q̃<sub>k</sub></italic> can be defined and <italic>C̃<sub>k</sub></italic> is defined as follows:
<disp-formula><mml:math id="M12"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:munder accentunder="true"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mo stretchy="true">_</mml:mo></mml:munder></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:munder accentunder="true"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="true">_</mml:mo></mml:munder></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:munder accentunder="true"><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo stretchy="true">_</mml:mo></mml:munder></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>C<sub>i</sub></italic> is the <italic>i</italic>-th row of <italic>C</italic>. Thus the measurement equation at time <italic>k</italic> is given by
<disp-formula id="FD10"><label>(10)</label><mml:math id="M13"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula id="FD11"><label>(11)</label><mml:math id="M14"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula><italic>R̃<sub>k</sub></italic> ∈ <italic>R<sup>p<sub>k</sub>×p<sub>k</sub></sup></italic> is a matrix extracted from <italic>R</italic> so that <italic>R̃<sub>k</sub></italic>(<italic>i</italic>, <italic>j</italic>) = <italic>R</italic>(<italic>r<sub>k,i</sub></italic>, <italic>r<sub>k,j</sub></italic>). Δ̃<italic><sub>k</sub></italic> is defined in the same way.</p><p>For example, if <italic>M</italic><sub>1</sub> = 1 and <italic>M</italic><sub>2</sub> = 2, then <italic>ỹ<sub>k</sub></italic> and <italic>C̃<sub>k</sub></italic> are given in <xref ref-type="table" rid="t1-sensors-10-06406">Table 1</xref>. We can see that <italic>C̃<sub>k</sub></italic> is periodic with the period 2, which is the least common multiple of <italic>M</italic><sub>1</sub> = 1 and <italic>M</italic><sub>2</sub> = 2.</p><p>Generally <italic>C̃<sub>k</sub></italic> is periodic with the period <italic>M</italic>, where <italic>M</italic> is the least common multiple of {<italic>M</italic><sub>1</sub>, <italic>M</italic><sub>2</sub>, . . ., <italic>M<sub>p</sub></italic>}.</p><p>Using the first equation of <xref ref-type="disp-formula" rid="FD6">(6)</xref> repeatedly <italic>b</italic> times, we have
<disp-formula id="FD12"><label>(12)</label><mml:math id="M15"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mo>Φ</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:msup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>It is known that a periodic system can be transformed into a time-invariant system [<xref ref-type="bibr" rid="b18-sensors-10-06406">18</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="b19-sensors-10-06406">19</xref>]. From <xref ref-type="disp-formula" rid="FD12">(12)</xref> with <italic>a</italic> = <italic>kM</italic> and <italic>b</italic> = <italic>M</italic>, we have
<disp-formula id="FD13"><label>(13)</label><mml:math id="M16"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Also from <xref ref-type="disp-formula" rid="FD12">(12)</xref> with <italic>a</italic> = <italic>kM − j</italic> and <italic>b</italic> = <italic>j</italic>, we have
<disp-formula id="FD14"><label>(14)</label><mml:math id="M17"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mo>Φ</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mo>Φ</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Multiplying Φ<sup>−</sup><italic><sup>j</sup></italic>, we obtain a backward equation:
<disp-formula id="FD15"><label>(15)</label><mml:math id="M18"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mo>Φ</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Let <italic>x̄<sub>k</sub></italic>, <italic>w̄<sub>k</sub></italic> <italic>ȳ<sub>k</sub></italic>, <italic>ῡ<sub>k</sub></italic> and <italic>q̄<sub>k</sub></italic> be defined by
<disp-formula><mml:math id="M19"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M20"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">kM</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Combining <xref ref-type="disp-formula" rid="FD13">(13)</xref>, <xref ref-type="disp-formula" rid="FD15">(15)</xref> and <xref ref-type="disp-formula" rid="FD10">(10)</xref>, we have the following time invariant system:
<disp-formula id="FD16"><label>(16)</label><mml:math id="M21"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula><mml:math id="M22"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M23"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M24"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M25"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋱</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋮</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>Φ</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>⋯</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>We will apply a Kalman filter to <xref ref-type="disp-formula" rid="FD16">(16)</xref>. Note that
<disp-formula id="FD17"><label>(17)</label><mml:math id="M26"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>}</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula><mml:math id="M27"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mtext>Diag</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="FD18"><label>(18)</label><mml:math id="M28"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where
<disp-formula><mml:math id="M29"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mtext>Diag</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mover accent="true"><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mtext>Diag</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="FD19"><label>(19)</label><mml:math id="M30"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">E</mml:mi><mml:mo>{</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>}</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>It is standard to apply a Kalman filter to <xref ref-type="disp-formula" rid="FD16">(16)</xref> using <xref ref-type="disp-formula" rid="FD17">(17)</xref>, <xref ref-type="disp-formula" rid="FD18">(18)</xref> and <xref ref-type="disp-formula" rid="FD19">(19)</xref>: the measurement update and the time update equations are given as follows [<xref ref-type="bibr" rid="b20-sensors-10-06406">20</xref>]:
<list list-type="bullet"><list-item><p>measurement update
<disp-formula><mml:math id="M31"><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M32"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>K</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item><p>time update
<disp-formula><mml:math id="M33"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:msub><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></list-item></list></p><p>We will use <italic>P</italic> as an estimation performance, where <italic>P</italic> is the steady-state value of
<inline-formula><mml:math id="M34"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>:
<disp-formula><mml:math id="M35"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:munder><mml:mrow><mml:mtext>lim</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:munder><mml:mi> </mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></disp-formula>In the steady state, we have
<inline-formula><mml:math id="M36"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Inserting this into the Kalman filter equation, we have the following Riccati equation:
<disp-formula id="FD20"><label>(20)</label><mml:math id="M37"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi>P</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi>P</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi>P</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mi>P</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mover accent="true"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>′</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p>If the sampling period <italic>T<sub>i</sub></italic> and the quantization bit length <italic>l<sub>i</sub></italic> are given, the corresponding estimation performance can be computed from <xref ref-type="disp-formula" rid="FD20">(20)</xref>.</p></sec><sec><label>3.</label><title><italic>T<sub>i</sub></italic> and <italic>l<sub>i</sub></italic> Optimization</title><p>In this section, a method to select the sampling period <italic>T<sub>i</sub></italic> and the quantization bit <italic>l<sub>i</sub></italic> are proposed. The main trade-off is between the transmission rate and the estimation performance.</p><p>The optimization problem can be formulated as follows:
<disp-formula id="FD21"><label>(21)</label><mml:math id="M38"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>min</mml:mtext></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mtext>Diag</mml:mtext><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>subject to</mml:mtext><mml:mi> </mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi> </mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where λ ∈ <italic>R</italic><italic><sup>n</sup></italic> is a weighting vector. Note that the transmission rate <italic>S</italic> is given by
<disp-formula id="FD22"><label>(22)</label><mml:math id="M39"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≜</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and <italic>S<sub>max</sub></italic> is the transmission rate constraint. The transmission rate <italic>S</italic> is defined as the sum of each sensor data rate without considering packet overhead. When we apply the algorithm to a specific network, the transmission rate <italic>S</italic> should be modified to take the packet overhead into account.</p><p>Note that <italic>T<sub>i</sub></italic> = <italic>M<sub>i</sub></italic><italic>T</italic> and <italic>P</italic> depends on <italic>M</italic>, which is the least common multiple of <italic>M</italic><sub>1</sub>, . . ., <italic>M<sub>p</sub></italic>. To make <italic>M</italic> constant, <italic>M<sub>i</sub></italic> is assumed to satisfy
<disp-formula id="FD23"><label>(23)</label><mml:math id="M40"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mtext>is an integer</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>With this assumption, the least common multiple <italic>M</italic> of all possible combinations of <italic>M<sub>i</sub></italic> = 2<italic><sup>m<sub>i</sub></sup></italic> is given by
<disp-formula><mml:math id="M41"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>{</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></disp-formula>We assume <italic>l<sub>i</sub></italic> satisfies
<disp-formula id="FD24"><label>(24)</label><mml:math id="M42"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">min</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>If the number of combinations is small, <italic>P</italic> can be computed for all possible combinations. For a case that the number is too large, we propose a suboptimal algorithm. The proposed algorithm is based on the following lemma.</p><p><bold>Lemma 1</bold> <italic>Let P</italic> (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, . . ., <italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic>, . . ., <italic>m<sub>p</sub></italic>, <italic>l<sub>p</sub></italic>) <italic>be the solution to <xref ref-type="disp-formula" rid="FD20">(20)</xref>. With the assumption <xref ref-type="disp-formula" rid="FD23">(23)</xref>, the following is satisfied.</italic></p><disp-formula id="FD25"><label>(25)</label><mml:math id="M43"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="FD26"><label>(26)</label><mml:math id="M44"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="FD27"><label>(27)</label><mml:math id="M45"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><p>Proof: We will prove with a simple case with <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 <italic>m</italic><sub>2</sub> = 0, <italic>T</italic> = 1, <italic>M</italic> = 2, and <italic>p</italic> = 2: note that <italic>T</italic><sub>1</sub> = 2<sup><italic>m</italic><sub>1</sub></sup><italic>T</italic> = <italic>T</italic> and <italic>T</italic><sub>2</sub> = 2<sup><italic>m</italic><sub>2</sub></sup><italic>T</italic> = <italic>T. C̄</italic> for <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 and <italic>m</italic><sub>2</sub> = 0 is given by
<disp-formula><mml:math id="M46"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>The subscript (<italic>m</italic><sub>1</sub> = 0, <italic>m</italic><sub>2</sub> = 0) is used to emphasize that <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 and <italic>m</italic><sub>2</sub> = 0. Also let <italic>R̄</italic><sub><italic>m</italic><sub>1</sub>=0,<italic>m</italic><sub>2</sub>=0</sub> be <italic>R̄</italic> defined in <xref ref-type="disp-formula" rid="FD18">(18)</xref> and <italic>P</italic>(0, <italic>l</italic><sub>1</sub>, 0, <italic>l</italic><sub>2</sub>) be a solution to <xref ref-type="disp-formula" rid="FD20">(20)</xref> when <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 and <italic>m</italic><sub>2</sub> = 0.</p><p>Now consider a case with <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 and <italic>m</italic><sub>2</sub> = 1 Instead of computing <italic>P</italic>(0, <italic>l</italic><sub>1</sub>, 1, <italic>l</italic><sub>2</sub>) using <xref ref-type="disp-formula" rid="FD20">(20)</xref> with <italic>C̄</italic><sub><italic>m</italic><sub>1</sub>=0,<italic>m</italic><sub>2</sub>=1</sub>, we can compute <italic>P</italic>(0, <italic>l</italic><sub>1</sub>, 1, <italic>l</italic><sub>2</sub>) using <xref ref-type="disp-formula" rid="FD20">(20)</xref> with <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 and <italic>m</italic><sub>2</sub> = 0 except that <italic>R̄</italic><sub><italic>m</italic><sub>1</sub>=0,<italic>m</italic><sub>2</sub>=0</sub> is replaced by <italic>R̄<sub>modified</sub></italic>, which is defined by
<disp-formula><mml:math id="M47"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">modified</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mtext>Diag</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>∞</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>Note that adding ∞ to the (2, 2) element of <italic>R̄</italic><sub><italic>m</italic><sub>1</sub>=0,<italic>m</italic><sub>2</sub>=0</sub> is equivalent to ignoring the second output of <italic>y<sub>k</sub></italic> when <italic>k</italic> is an integer multiple of 2. Thus <italic>P</italic>(0, <italic>l</italic><sub>1</sub>, 1, <italic>l</italic><sub>2</sub>) computed in this way is the estimation error covariance when <italic>m</italic><sub>1</sub> = 0 and <italic>m</italic><sub>2</sub> = 1. Since <italic>R̄<sub>modified</sub></italic> ≥ <italic>R̄</italic>, we have from the monotonicity of the Riccati equation (see Corollary 5.2 in [<xref ref-type="bibr" rid="b21-sensors-10-06406">21</xref>])
<disp-formula><mml:math id="M48"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>The general case for <xref ref-type="disp-formula" rid="FD25">(25)</xref> can be proved similarly.</p><p>Proving the second inequality is more straightforward from the monotonicity of the Riccati equation [<xref ref-type="bibr" rid="b21-sensors-10-06406">21</xref>] and from the fact
<disp-formula><mml:math id="M49"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>The third inequality <xref ref-type="disp-formula" rid="FD27">(27)</xref> is just a combination of <xref ref-type="disp-formula" rid="FD25">(25)</xref> and <xref ref-type="disp-formula" rid="FD26">(26)</xref>:
<disp-formula><mml:math id="M50"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>To explain Lemma 1, we consider a simple example with the following parameters:
<disp-formula id="FD28"><label>(28)</label><mml:math id="M51"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">min</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">min</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">min</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">min</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">max</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>16</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>There are 5 × 8 × 5 × 8 = 1, 600 possible combinations (see <xref ref-type="fig" rid="f1-sensors-10-06406">Figure 1</xref>). Using the result in Lemma 1, we know that <italic>P</italic> is the smallest when (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) = (0, 16, 0, 16) and the largest when (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) = (4, 9, 4, 9). On the other hand, the transmission rate <italic>S</italic> is the largest when (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) = (0, 16, 0, 16) and the smallest when (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) = (4, 9, 4, 9). Note that <italic>m<sub>i</sub></italic> <italic>−</italic> 1 and <italic>l<sub>i</sub></italic> + 1 in Lemma 1 corresponds to the upper and right combination of (<italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic>), respectively. Thus as we move the combination from the left-bottom corner toward the right-top corner, λ′<italic>P</italic> becomes smaller while the transmission rate increases.</p><p>In the proposed algorithm, we start from the left-bottom corner combination and move the combination toward the right-top corner combination while the transmission constrained is satisfied. The proposed algorithm is stated in pseudo-codes.
<list list-type="simple"><list-item><p>(<italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic>) = (<italic>m<sub>i,max</sub></italic>, <italic>l<sub>i,min</sub></italic>), <italic>i</italic> = 1, . . ., <italic>p</italic></p></list-item><list-item><p>compute λ′<italic>P</italic> and <italic>S</italic></p></list-item><list-item><p>(<italic>P</italic> denotes <italic>P</italic>(<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, . . ., <italic>m<sub>p</sub></italic>, <italic>l<sub>p</sub></italic>) and <italic>S</italic> is from <xref ref-type="disp-formula" rid="FD22">(22)</xref>)</p></list-item><list-item><p>while (<italic>S < S<sub>max</sub></italic>)</p></list-item><list-item><p> L = { }</p></list-item><list-item><p> for <italic>i</italic> = 1:<italic>p</italic></p></list-item><list-item><p> if (<italic>m<sub>i</sub></italic> > <italic>m<sub>i,min</sub></italic>)</p></list-item><list-item><p> <italic>L</italic> = <italic>L</italic> ∪ {(<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, . . ., <italic>m<sub>i</sub></italic> − 1, <italic>l<sub>i</sub></italic>, . . ., <italic>m<sub>p</sub></italic>, <italic>l<sub>p</sub></italic>)}</p></list-item><list-item><p> if (<italic>l<sub>i</sub></italic> < <italic>l<sub>i,max</sub></italic>)</p></list-item><list-item><p> <italic>L</italic> = <italic>L</italic> ∪ {(<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, . . ., <italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic> + 1, . . ., <italic>m<sub>p</sub></italic>, <italic>l<sub>p</sub></italic>)}</p></list-item><list-item><p> end</p></list-item><list-item><p> for every element of <italic>L</italic>, compute <italic>G̃<sub>j</sub></italic><disp-formula><mml:math id="M52"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>˜</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></disp-formula> where <italic>P̃<sub>j</sub></italic> = <italic>P</italic> for the <italic>j</italic>-th element of <italic>L</italic></p><p> and <italic>S̃<sub>j</sub></italic> = <italic>S</italic> for the <italic>j</italic>-th element of <italic>L</italic></p></list-item><list-item><p> (<italic>m<sub>i,old</sub></italic>, <italic>l<sub>i,old</sub></italic>) = (m<italic><sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic>), <italic>i</italic> = 1, . . ., <italic>p</italic></p></list-item><list-item><p> Find the maximum of <italic>G<sub>j</sub></italic> and choose the</p><p> corresponding combination as (<italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic>)</p></list-item><list-item><p> compute λ′<italic>P</italic> and <italic>S</italic></p></list-item><list-item><p>end</p></list-item><list-item><p>Choose the combination (<italic>m<sub>i,old</sub></italic>, <italic>l<sub>i,old</sub></italic>)</p></list-item></list></p><p>Note that <italic>G̃<sub>j</sub></italic> represents the estimation performance improvement per transmission rate increase. For each given (<italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic>), we choose (<italic>m<sub>i</sub></italic> − 1, <italic>l<sub>i</sub></italic>) and (<italic>m<sub>i</sub></italic>, <italic>l<sub>i</sub></italic> + 1) for the next combination candidates. There are at most 2<italic><sup>p</sup></italic> combinations. Among the combinations, we find a combination of which <italic>G̃<sub>j</sub></italic> is the largest. This process is continued until the current transmission rate exceeds <italic>S<sub>max</sub></italic>.</p><p>The number of combinations tested in the proposed algorithm is small compared with the brute force search. For example, the proposed algorithm starts with the top-right-most combination (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) = (0, 16, 0, 16) and moves toward bottom-left-most combination (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) = (4, 9, 4, 9) at each step until <italic>S</italic> ≤ <italic>S<sub>max</sub></italic> is no longer satisfied. Unfortunately, there is no guarantee that the solution found by the proposed method is near the optimal solution. In Section 4., it is shown, however, through a numerical example that the gap between the suboptimal and optimal solution is not large.</p><p>We note that the optimization algorithm is applied once when the networked system is designed. Once the sampling period <italic>T<sub>i</sub></italic> and quantization length <italic>l<sub>i</sub></italic> are determined, they are programmed in each sensor node. Thus no additional computation is needed in the sensor node.</p></sec><sec><label>4.</label><title>Numerical Example</title><p>In this section, the proposed method is verified for the one dimensional attitude estimation problem. The state is defined by
<disp-formula><mml:math id="M53"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mover accent="true"><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mover accent="true"><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mover></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>θ</italic> is the attitude we want to estimate. An accelerometer-based inclinometer and a gyroscope are used as sensors. The system model is given by
<disp-formula><mml:math id="M54"><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable columnalign="left"><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr columnalign="left"><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>0.0056</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mn>0.003</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula>The values given in <xref ref-type="disp-formula" rid="FD28">(28)</xref>, <italic>y<sub>max</sub></italic><sub>,1</sub> = 3.1416, <italic>y<sub>max</sub></italic><sub>,2</sub> = 2.6180 and <italic>T</italic> = 1 are used.</p><p>The optimization problem <xref ref-type="disp-formula" rid="FD21">(21)</xref> with <italic>S<sub>max</sub></italic> = 500 and λ = [1 0 0]′ is considered. λ is a natural choice since we want to estimate <italic>θ</italic>.</p><p>First the optimization problem is solved by a brute force search: all possible combinations are examined. The optimal solution is given by
<disp-formula><mml:math id="M55"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and <italic>S</italic> and λ<italic>P</italic> at the combination are
<disp-formula><mml:math id="M56"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>500</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0.00259.</mml:mn></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Secondly the proposed suboptimal algorithm is used, where the solution is given by
<disp-formula><mml:math id="M57"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and <italic>S</italic> and λ<italic>P</italic> at the combination are
<disp-formula><mml:math id="M58"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>450</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0.00260.</mml:mn></mml:mrow></mml:math></disp-formula>The proposed method was able to find a nearly optimal solution with less computation time. In the brute force search, 479 combinations are tested while 21 combinations are tested in the proposed algorithm.</p><p>To test whether the proposed λ<italic>P</italic> is a good indicator of the estimation performance, the data is generated with Matlab and tested with a Kalman filter. The estimation performance is evaluated with the following:
<disp-formula><mml:math id="M59"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">experiment</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi> </mml:mi><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:munderover><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">error</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>N</italic> is the number of data and <italic>θ<sub>error,k</sub></italic> = <italic>θ − θ̂</italic>. Note that <italic>θ̂</italic> is computed by [1 0 0] <italic>◯<sub>k</sub></italic>. We computed <italic>P<sub>experiment</sub></italic> for all possible combinations and the minimizing combination is given by
<disp-formula><mml:math id="M60"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and <italic>S</italic> and <italic>P<sub>experiment</sub></italic> at the combination is
<disp-formula><mml:math id="M61"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>475</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">experiment</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mn>0.00159</mml:mn></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>It can be seen that the optimal solution predicted by λ<italic>P</italic> nearly coincides with the real optimal solution. To see how similar λ<italic>P</italic> and <italic>P<sub>experiment</sub></italic> are, λ<italic>P</italic> and <italic>P<sub>experiment</sub></italic> are plotted for different (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) combinations. Since the parameter space is four dimensional, it is not easy to visualize the result. Thus we fix (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>) = (2, 9) and plot λ<italic>P</italic> and <italic>P<sub>experiment</sub></italic> for (<italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) combinations in <xref ref-type="fig" rid="f2-sensors-10-06406">Figures 2</xref> and <xref ref-type="fig" rid="f3-sensors-10-06406">3</xref>. The data marked with “o” satisfies <italic>S</italic> ≤ <italic>S<sub>max</sub></italic> and the data marked with “*” does not satisfy <italic>S</italic> ≤ <italic>S<sub>max</sub></italic>.</p><p>It can be seen that the trend of λ<italic>P</italic> is almost similar to that of <italic>P<sub>experiment</sub></italic>. Thus λ<italic>P</italic> can be used to predict the estimation performance given the sampling periods and the quantization bit lengths.</p><p>The transmission rate <italic>S</italic> is given in <xref ref-type="fig" rid="f4-sensors-10-06406">Figure 4</xref>. To see the trade-off between <italic>S</italic> and the estimation performance, <italic>S</italic> and λ<italic>P</italic> are given for three (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>, <italic>m</italic><sub>2</sub>, <italic>l</italic><sub>2</sub>) combinations in <xref ref-type="table" rid="t2-sensors-10-06406">Table 2</xref>. We can see that when <italic>S</italic> decreases (that is, if we transmit less data), λ<italic>P</italic> tends to increase (that is, the estimation performance degrades).</p><p>Finally, to test the efficiency of the proposed algorithm, we applied the proposed algorithm to 100 random models, where <italic>A</italic> is randomly generated and the same <italic>C</italic> as in the previous simulation is used. In the brute force method, 479 combinations are tested as in the previous simulation since the same setting is used. In the proposed algorithm, the number of combinations tested is between 13 and 21. That is, the number of combinations tested in the worst case is 21. Thus we can see the convergence rate is relatively fast. To see the accuracy of the proposed algorithm, the following value is computed:
<disp-formula><mml:math id="M62"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext>Accuracy</mml:mtext><mml:mo> </mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo> </mml:mo></mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>100</mml:mn><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">proposed</mml:mi></mml:msub><mml:mi> </mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi> </mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">optimal</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">optimal</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>P<sub>optimal</sub></italic> is computed using the brute force method. In the 100 trials, the worst case accuracy was 7.26% while the average value is 1.73%. Thus we believe the proposed method can find near optimal value while avoiding the large computation.</p></sec><sec><label>5.</label><title>Conclusions</title><p>In this paper, attitude estimation over a network with a transmission rate constraint is considered. The transmission rate depends on the sampling periods and the quantization bit lengths. Basically the problem is trade-off between the estimation performance and the transmission rate, where the parameters are the sampling period and the quantization bit length.</p><p>First, how the sampling period and the quantization bit length affect the estimation performance is investigated. To do this, we introduced an augmented system and defined the estimation performance <italic>P</italic>. Secondly, the trade-off problem is formulated as an optimization problem and a suboptimal algorithm is provided. Through numerical examples, we showed that the defined estimation performance matches the real estimation performance in the sense that graphs of <italic>P</italic> and the real estimation performance are similar. We also showed the proposed algorithm could find a reasonably good solution.</p><p>While defining <italic>P</italic>, we made assumption <xref ref-type="disp-formula" rid="FD23">(23)</xref>, which makes the derivation of <italic>P</italic> easier but not essential. Removing that assumption and obtaining a general result is a future work. Also to test an algorithm using a real network is a future work.</p></sec></body><back><ack><p>This work was supported by National Research Foundation of Korea Grant funded by the Korean Government (No. 2009-0067447).</p></ack><ref-list><title>References</title><ref id="b1-sensors-10-06406"><label>1.</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Zhao</surname><given-names>F</given-names></name><name><surname>Guibas</surname><given-names>L</given-names></name></person-group><source>Wireless Sensor Networks</source><publisher-name>Elsevier</publisher-name><publisher-loc>San Francisco, CA, USA</publisher-loc><year>2004</year></element-citation></ref><ref id="b2-sensors-10-06406"><label>2.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Choi</surname><given-names>DH</given-names></name><name><surname>Kim</surname><given-names>DS</given-names></name></person-group><article-title>Wireless fieldbus for networked control systems using LR-WPAN</article-title><source>Int. J. Control Autom. Syst</source><year>2008</year><volume>6</volume><fpage>119</fpage><lpage>125</lpage></element-citation></ref><ref id="b3-sensors-10-06406"><label>3.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wu</surname><given-names>W</given-names></name><name><surname>Arapostathis</surname><given-names>A</given-names></name></person-group><article-title>Optimal sensor querying: General markovian and LQG models with controlled observations</article-title><source>IEEE Trans. Automat. Contr</source><year>2008</year><volume>53</volume><fpage>1392</fpage><lpage>1405</lpage></element-citation></ref><ref id="b4-sensors-10-06406"><label>4.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>He</surname><given-names>X</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>Z</given-names></name><name><surname>Zhou</surname><given-names>DH</given-names></name></person-group><article-title>Robust fault detection for networked systems with communication delay and data missing</article-title><source>Automatica</source><year>2009</year><volume>45</volume><fpage>2634</fpage><lpage>2639</lpage></element-citation></ref><ref id="b5-sensors-10-06406"><label>5.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wei</surname><given-names>G</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>Z</given-names></name><name><surname>Shu</surname><given-names>H</given-names></name></person-group><article-title>Robust filtering with stochastic nonlinearities and multiple missing measurements</article-title><source>Automatica</source><year>2009</year><volume>45</volume><fpage>836</fpage><lpage>841</lpage></element-citation></ref><ref id="b6-sensors-10-06406"><label>6.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Dong</surname><given-names>H</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>Z</given-names></name><name><surname>Gao</surname><given-names>J</given-names></name></person-group><article-title>Robust <italic>H</italic><sub>∞</sub> Filtering for a class of nonlinear networked systems with multiple stochastic communication delays and packet dropouts</article-title><source>IEEE Trans. Signal Process</source><year>2010</year><volume>58</volume><fpage>1957</fpage><lpage>1966</lpage></element-citation></ref><ref id="b7-sensors-10-06406"><label>7.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lee</surname><given-names>I</given-names></name><name><surname>Choi</surname><given-names>S</given-names></name></person-group><article-title>Discrimination of visual and haptic rendering delays in networked environments</article-title><source>Int. J. Control Autom. Syst</source><year>2009</year><volume>7</volume><fpage>25</fpage><lpage>31</lpage></element-citation></ref><ref id="b8-sensors-10-06406"><label>8.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Miskowicz</surname><given-names>M</given-names></name></person-group><article-title>Send-on-delta concept: An event-based data reporting strategy</article-title><source>Sensors</source><year>2006</year><volume>65</volume><fpage>49</fpage><lpage>63</lpage></element-citation></ref><ref id="b9-sensors-10-06406"><label>9.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Suh</surname><given-names>YS</given-names></name><name><surname>Nguyen</surname><given-names>VH</given-names></name><name><surname>Ro</surname><given-names>YS</given-names></name></person-group><article-title>Modified Kalman filter for networked monitoring systems employing a send-on-delta method</article-title><source>Automatica</source><year>2007</year><volume>43</volume><fpage>332</fpage><lpage>338</lpage></element-citation></ref><ref id="b10-sensors-10-06406"><label>10.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mehra</surname><given-names>RK</given-names></name></person-group><article-title>Optimization of measurement schedules and sensor designs for linear dynamic systems</article-title><source>IEEE Trans. Automat. Contr</source><year>1976</year><volume>21</volume><fpage>55</fpage><lpage>64</lpage></element-citation></ref><ref id="b11-sensors-10-06406"><label>11.</label><element-citation publication-type="confproc"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Do</surname><given-names>LMK</given-names></name><name><surname>Suh</surname><given-names>YS</given-names></name><name><surname>Nguyen</surname><given-names>VH</given-names></name></person-group><article-title>Networked Kalman filter with sensor transmission interval optimization</article-title><conf-name>Proceedings of SICE-ICASE International Joint Conference</conf-name><conf-loc>Busan, Korea</conf-loc><conf-date>18–21 October 2006</conf-date><fpage>1047</fpage><lpage>1052</lpage></element-citation></ref><ref id="b12-sensors-10-06406"><label>12.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kadu</surname><given-names>SC</given-names></name><name><surname>Bhushan</surname><given-names>M</given-names></name><name><surname>Gudi</surname><given-names>R</given-names></name></person-group><article-title>Optimal sensor network design for multirate systems</article-title><source>J. Process Control</source><year>2008</year><volume>18</volume><fpage>594</fpage><lpage>609</lpage></element-citation></ref><ref id="b13-sensors-10-06406"><label>13.</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Gersho</surname><given-names>A</given-names></name><name><surname>Gray</surname><given-names>RM</given-names></name></person-group><source>Vector Quantization and Signal Compression</source><publisher-name>Kluwer Academic Publishers</publisher-name><publisher-loc>Norwell, MA, USA</publisher-loc><year>1992</year></element-citation></ref><ref id="b14-sensors-10-06406"><label>14.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Elia</surname><given-names>N</given-names></name><name><surname>Mitter</surname><given-names>SK</given-names></name></person-group><article-title>Stabilization of linear systems with limited information</article-title><source>IEEE Trans. Automat. Contr</source><year>2001</year><volume>46</volume><fpage>1384</fpage><lpage>1400</lpage></element-citation></ref><ref id="b15-sensors-10-06406"><label>15.</label><element-citation publication-type="confproc"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Luong-Van</surname><given-names>D</given-names></name><name><surname>Tordon</surname><given-names>MJ</given-names></name><name><surname>Katupitiya</surname><given-names>J</given-names></name></person-group><article-title>Covariance profiling for an adaptive Kalman filter to suppress sensor quantization effects</article-title><conf-name>Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control</conf-name><conf-loc>Paradise Island, Bahamas</conf-loc><conf-date>14–17 December 2004</conf-date><fpage>2680</fpage><lpage>2685</lpage></element-citation></ref><ref id="b16-sensors-10-06406"><label>16.</label><element-citation publication-type="confproc"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sun</surname><given-names>S</given-names></name><name><surname>Lin</surname><given-names>J</given-names></name><name><surname>Xie</surname><given-names>L</given-names></name><name><surname>Xiao</surname><given-names>W</given-names></name></person-group><article-title>Quantized Kalman filtering</article-title><conf-name>Proceedings of 22nd IEEE International Symposium on Intelligent Control</conf-name><conf-loc>Singapore</conf-loc><conf-date>26–28 September 2007</conf-date><fpage>7</fpage><lpage>12</lpage></element-citation></ref><ref id="b17-sensors-10-06406"><label>17.</label><element-citation publication-type="confproc"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wen</surname><given-names>C</given-names></name><name><surname>Tang</surname><given-names>X</given-names></name><name><surname>Ge</surname><given-names>Q</given-names></name></person-group><article-title>Decentralized quantized Kalman filter with limited bandwidth</article-title><conf-name>Proceedings of Second International Symposium on Intelligent Information Technology Application</conf-name><conf-loc>Shanghai, China</conf-loc><conf-date>21–22 December 2008</conf-date><fpage>291</fpage><lpage>295</lpage></element-citation></ref><ref id="b18-sensors-10-06406"><label>18.</label><element-citation publication-type="confproc"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lee</surname><given-names>DJ</given-names></name><name><surname>Tomizuka</surname><given-names>M</given-names></name></person-group><article-title>Multirate Optimal State Estimation with Sensor Fusion</article-title><conf-name>Proceedings of the American Control Control Conference</conf-name><conf-loc>Denver, CO, USA</conf-loc><conf-date>4–6 June 2003</conf-date><fpage>2887</fpage><lpage>2892</lpage></element-citation></ref><ref id="b19-sensors-10-06406"><label>19.</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chen</surname><given-names>T</given-names></name><name><surname>Francis</surname><given-names>B</given-names></name></person-group><source>Optimal Sampled-Data Control Systems</source><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>Tokyo, Japan</publisher-loc><year>1995</year></element-citation></ref><ref id="b20-sensors-10-06406"><label>20.</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Brown</surname><given-names>RG</given-names></name><name><surname>Hwang</surname><given-names>PYC</given-names></name></person-group><source>Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering</source><publisher-name>John Wiley & Sons</publisher-name><publisher-loc>New York, NY, USA</publisher-loc><year>1997</year></element-citation></ref><ref id="b21-sensors-10-06406"><label>21.</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Clements</surname><given-names>DJ</given-names></name><name><surname>Wimmer</surname><given-names>HK</given-names></name></person-group><article-title>Monotonicity of the optimal cost in the discrete-time regulator problem and Schur complements</article-title><source>Automatica</source><year>2001</year><volume>37</volume><fpage>1779</fpage><lpage>1786</lpage></element-citation></ref></ref-list></back><floats-group><fig id="f1-sensors-10-06406" position="float"><label>Figure 1.</label><caption><p><italic>P</italic> (estimation error covariance) and <italic>S</italic> (transmission rate) relationship according to combinations.</p></caption><graphic xlink:href="sensors-10-06406f1"></graphic></fig><fig id="f2-sensors-10-06406" position="float"><label>Figure 2.</label><caption><p>λ<italic>P</italic> plot with (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>) = (2, 9) (o: <italic>S</italic> ≤ <italic>S<sub>max</sub></italic>, *: <italic>S > S<sub>max</sub></italic>)</p></caption><graphic xlink:href="sensors-10-06406f2"></graphic></fig><fig id="f3-sensors-10-06406" position="float"><label>Figure 3.</label><caption><p><italic>P<sub>experiment</sub></italic> plot with (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>) = (2, 9) (o: <italic>S</italic> ≤ <italic>S<sub>max</sub></italic>, *: <italic>S > S<sub>max</sub></italic>)</p></caption><graphic xlink:href="sensors-10-06406f3"></graphic></fig><fig id="f4-sensors-10-06406" position="float"><label>Figure 4.</label><caption><p><italic>S</italic> plot with (<italic>m</italic><sub>1</sub>, <italic>l</italic><sub>1</sub>) = (2, 9)</p></caption><graphic xlink:href="sensors-10-06406f4"></graphic></fig><table-wrap id="t1-sensors-10-06406" position="float"><label>Table 1.</label><caption><p><italic>ỹ<sub>k</sub></italic> and <italic>C̃<sub>k</sub></italic> example (<italic>M</italic><sub>1</sub> = 1 and <italic>M</italic><sub>2</sub> = 2)</p></caption><table frame="box" rules="all"><thead><tr><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>k</italic></th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">1</th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">2</th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">3</th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">4</th></tr></thead><tbody><tr><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>ỹ<sub>k</sub></italic></td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">[<italic>y<sub>k,</sub></italic><sub>1</sub>]</td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><inline-formula><mml:math id="M63"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">[<italic>y<sub>k,</sub></italic><sub>1</sub>]</td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><inline-formula><mml:math id="M64"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td></tr><tr><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>C̃<sub>k</sub></italic></td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">[<italic>C</italic><sub>1</sub>]</td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><inline-formula><mml:math id="M65"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">[<italic>C</italic><sub>1</sub>]</td><td align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><inline-formula><mml:math id="M66"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td></tr></tbody></table></table-wrap><table-wrap id="t2-sensors-10-06406" position="float"><label>Table 2.</label><caption><p><italic>S</italic> and λ<italic>P</italic> comparison</p></caption><table frame="box" rules="all"><thead><tr><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>m</italic><sub>1</sub></th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>l</italic><sub>1</sub></th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>m</italic><sub>2</sub></th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>l</italic><sub>2</sub></th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1"><italic>S</italic></th><th align="center" valign="middle" rowspan="1" colspan="1">λ<italic>P</italic></th></tr></thead><tbody><tr><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">0</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">16</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">0</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">16</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">3200</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">0.000080</td></tr><tr><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">2</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">12</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">2</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">12</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">600</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">0.000165</td></tr><tr><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">4</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">9</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">4</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">9</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">112.5</td><td align="center" valign="top" rowspan="1" colspan="1">0.001282</td></tr></tbody></table></table-wrap></floats-group></pmc><affiliations><list></list><tree><noCountry><name sortKey="Kang, Hee Jun" sort="Kang, Hee Jun" uniqKey="Kang H" first="Hee Jun" last="Kang">Hee Jun Kang</name><name sortKey="Ro, Young Sik" sort="Ro, Young Sik" uniqKey="Ro Y" first="Young Sik" last="Ro">Young Sik Ro</name><name sortKey="Suh, Young Soo" sort="Suh, Young Soo" uniqKey="Suh Y" first="Young Soo" last="Suh">Young Soo Suh</name></noCountry></tree></affiliations></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Ticri/CIDE/explor/HapticV1/Data/Ncbi/Merge
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 001D20 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Ncbi/Merge/biblio.hfd -nk 001D20 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Ticri/CIDE
|area= HapticV1
|flux= Ncbi
|étape= Merge
|type= RBID
|clé= PMC:3231148
|texte= Optimization of the Sampling Periods and the Quantization Bit Lengths for Networked Estimation
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Ncbi/Merge/RBID.i -Sk "pubmed:22163557" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Ncbi/Merge/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a HapticV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.23. |  |