Physics and proof theory
Identifieur interne : 000074 ( Pmc/Corpus ); précédent : 000073; suivant : 000075Physics and proof theory
Auteurs : Bruno Woltzenlogel PaleoSource :
- Applied Mathematics and Computation [ 0096-3003 ] ; 2012.
Abstract
Axiomatization of Physics (and science in general) has many drawbacks that are correctly criticized by opposing philosophical views of science. This paper shows that, by giving formal proofs a more prominent role in the formalization, many of the drawbacks can be solved and many of the opposing views are naturally conciliated. Moreover, this approach allows, by means of proof theory, to open new conceptual bridges between the disciplines of Physics and Computer Science.
Url:
DOI: 10.1016/j.amc.2011.06.058
PubMed: 24976655
PubMed Central: 4066961
Links to Exploration step
PMC:4066961Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Physics and proof theory</title><author><name sortKey="Paleo, Bruno Woltzenlogel" sort="Paleo, Bruno Woltzenlogel" uniqKey="Paleo B" first="Bruno Woltzenlogel" last="Paleo">Bruno Woltzenlogel Paleo</name></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmid">24976655</idno><idno type="pmc">4066961</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4066961</idno><idno type="RBID">PMC:4066961</idno><idno type="doi">10.1016/j.amc.2011.06.058</idno><date when="2012">2012</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000074</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000074</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Physics and proof theory</title><author><name sortKey="Paleo, Bruno Woltzenlogel" sort="Paleo, Bruno Woltzenlogel" uniqKey="Paleo B" first="Bruno Woltzenlogel" last="Paleo">Bruno Woltzenlogel Paleo</name></author></analytic><series><title level="j">Applied Mathematics and Computation</title><idno type="ISSN">0096-3003</idno><imprint><date when="2012">2012</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>Axiomatization of Physics (and science in general) has many drawbacks that are correctly criticized by opposing philosophical views of science. This paper shows that, by giving formal proofs a more prominent role in the formalization, many of the drawbacks can be solved and many of the opposing views are naturally conciliated. Moreover, this approach allows, by means of proof theory, to open new conceptual bridges between the disciplines of Physics and Computer Science.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Aerts, Diederik" uniqKey="Aerts D">Diederik Aerts</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Andreka, Hajnal" uniqKey="Andreka H">Hajnal Andréka</name></author><author><name sortKey="Madarasz, Judit X" uniqKey="Madarasz J">Judit X. Madarász</name></author><author><name sortKey="Nemeti, Istvan" uniqKey="Nemeti I">István Németi</name></author><author><name sortKey="Szekely, Gergely" uniqKey="Szekely G">Gergely Székely</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Baaz, Matthias" uniqKey="Baaz M">Matthias Baaz</name></author><author><name sortKey="Hetzl, Stefan" uniqKey="Hetzl S">Stefan Hetzl</name></author><author><name sortKey="Leitsch, Alexander" uniqKey="Leitsch A">Alexander Leitsch</name></author><author><name sortKey="Richter, Clemens" uniqKey="Richter C">Clemens Richter</name></author><author><name sortKey="Spohr, Hendrik" uniqKey="Spohr H">Hendrik Spohr</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Baaz, Matthias" uniqKey="Baaz M">Matthias Baaz</name></author><author><name sortKey="Leitsch, Alexander" uniqKey="Leitsch A">Alexander Leitsch</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Baaz, Matthias" uniqKey="Baaz M">Matthias Baaz</name></author><author><name sortKey="Richard, Zach" uniqKey="Richard Z">Zach Richard</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Finger, Marcelo" uniqKey="Finger M">Marcelo Finger</name></author><author><name sortKey="Gabbay, Dov M" uniqKey="Gabbay D">Dov M. Gabbay</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Miller, Dale" uniqKey="Miller D">Dale Miller</name></author><author><name sortKey="Nigam, Vivek" uniqKey="Nigam V">Vivek Nigam</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Paleo, Bruno Woltzenlogel" uniqKey="Paleo B">Bruno Woltzenlogel Paleo</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Pudlak, Pavel" uniqKey="Pudlak P">Pavel Pudlak</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sant Nna, Adonai S" uniqKey="Sant Nna A">Adonai S. Sant’Anna</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Shapiro, Ehud" uniqKey="Shapiro E">Ehud Shapiro</name></author><author><name sortKey="Sterling, Leon" uniqKey="Sterling L">Leon Sterling</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Suppe, Frederick" uniqKey="Suppe F">Frederick Suppe</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Suppes, Patrick" uniqKey="Suppes P">Patrick Suppes</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Paleo, Bruno Woltzenlogel" uniqKey="Paleo B">Bruno Woltzenlogel Paleo</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Appl Math Comput</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Appl Math Comput</journal-id><journal-title-group><journal-title>Applied Mathematics and Computation</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0096-3003</issn><publisher><publisher-name>American Elsevier</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmid">24976655</article-id><article-id pub-id-type="pmc">4066961</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S0096-3003(11)00903-9</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.amc.2011.06.058</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Physics and proof theory</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author"><name><surname>Paleo</surname><given-names>Bruno Woltzenlogel</given-names></name><email>Bruno.WoltzenlogelPaleo@loria.fr</email><email>bruno@logic.at</email><xref rid="cor1" ref-type="corresp">⁎</xref></contrib></contrib-group><aff>Institut für Computersprachen, Vienna University of Technology, Austria</aff><aff>INRIA Nancy, Equipe VeriDis, Bâtiment B 615, rue du Jardin Botanique F-54602 Villers-lés-Nancy, France</aff><author-notes><corresp id="cor1"><label>⁎</label>Address: Institut für Computersprachen, Vienna University of Technology, Austria. <email>Bruno.WoltzenlogelPaleo@loria.fr</email><email>bruno@logic.at</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>15</day><month>9</month><year>2012</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><day>15</day><month>9</month><year>2012</year></pub-date><volume>219</volume><issue>1</issue><fpage>45</fpage><lpage>53</lpage><permissions><copyright-statement>© 2011 Elsevier Inc. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2011</copyright-year><copyright-holder>Elsevier Inc.</copyright-holder><license xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/"><license-p>Open Access under <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC BY 4.0</ext-link> license</license-p></license></permissions><abstract><p>Axiomatization of Physics (and science in general) has many drawbacks that are correctly criticized by opposing philosophical views of science. This paper shows that, by giving formal proofs a more prominent role in the formalization, many of the drawbacks can be solved and many of the opposing views are naturally conciliated. Moreover, this approach allows, by means of proof theory, to open new conceptual bridges between the disciplines of Physics and Computer Science.</p></abstract><kwd-group><title>Keywords</title><kwd>Proof theory</kwd><kwd>Physics</kwd><kwd>Formalization of science</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec sec-type="intro" id="s0005"><label>1</label><title>Introduction</title><p><disp-quote><p>“Science is built up with facts, as a house is with stones. But a collection of facts is no more a science than a heap of stones is a house.” – Poincaré</p></disp-quote></p><p>Foundational works on the formalization of Physics typically consider a physical theory as a collection of facts, i.e. as a set of sentences closed under logical consequence. However, not as much attention has been given to studying how these facts are or should be organized or, equivalently, how the physical theory is or should be structured. Usually, the only structure considered is a distinction of facts either as axioms or as derivable theorems (i.e. axiomatization). Although simple, this approach has a few drawbacks.</p><p>Firstly, from an epistemological point of view, the mentioned approach suffers from a logical omniscience problem: although physicists might know the axioms of their theories, it is certainly not the case that they know all the logical consequences of these axioms, simply because they have limited reasoning resources. Therefore, the approach of defining a theory as a set of sentences closed under logical consequence fails to capture the notion of theory as perceived by resource-bounded physicists; it is just an idealized approximation.</p><p>Secondly, the selection of which facts should be taken as axioms is arbitrary and frequently based on subjective criteria such as elegance. For example, there are axiomatizations of Physics that do not rely on the rather natural concepts of space and time <xref rid="b0090" ref-type="bibr">[18]</xref>. Should they be considered more elegant, useful or correct?</p><p>Finally, there are cases of physical theories, such as Newtonian mechanics and Lagrangean mechanics, that are considered equivalent to each other according to the mentioned approach, because their sets of sentences closed under logical equivalence are the same, even though they actually differ significantly in how easily they can be used to solve certain classes of problems.</p><p>The second and third drawbacks mentioned above have been the main reasons for criticism on the whole enterprise of formalizing science <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref>. However, they actually only apply to (unstructured) axiomatization. As a response to the criticism, there was a rise of semantic approaches, which adopted a more model-theoretic approach to the formalization of science <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref>. Advances in the sibling discipline of proof theory, on the other hand, have not been given much attention.</p><p>The main goal of this paper is to advocate in favor of a more prominent role for proofs in the formalization of Physics, and consequently, for proof theory in approaches to Hilbert’s sixth problem <xref rid="b0110" ref-type="bibr">[22]</xref> and in studies of the foundations of Physics. If a physical theory is considered not as a collection of sentences closed under logical consequence, but rather as a collection of proofs, the above mentioned drawbacks are naturally solved. Non-idealized resource-bounded physicists know only what they have proved so far. Axioms are simply the assumptions of the proofs contained in the physical theory. And various physical theories can be objectively compared with respect to the structure of the proofs they contain. This proposal is in line with current work in the formalization of mathematics, where mathematical knowledge is formalized as collections of proofs with the assistance of interactive theorem provers.<xref rid="fn1" ref-type="fn">1</xref></p><p>The use of proofs to formalize computations of solutions of physical problems is exemplified with a simple problem of Newtonian mechanics in Section <xref rid="s0015" ref-type="sec">3</xref>. The proof calculus used, known as sequent calculus, is briefly explained in Section <xref rid="s0010" ref-type="sec">2</xref>. Finally, Section <xref rid="s0020" ref-type="sec">4</xref> discusses the benefits and challenges of using proofs in the formalization of Physics, from philosophical and computational points of view.</p></sec><sec id="s0010"><label>2</label><title>The sequent calculus <bold>LK</bold><sup><bold>P</bold></sup></title><p>The formal proofs in this paper are written in an extension of Gentzen’s sequent calculus <bold>LK</bold><xref rid="b0055" ref-type="bibr">[11]</xref>. A <italic>sequent</italic> is a pair <italic>Γ</italic> ⊢ <italic>Δ</italic>, where <italic>Γ</italic> (the antecedent) and <italic>Δ</italic> (the succedent) are multisets of formulas, with the intuitive intended meaning that the disjunction of the formulas in <italic>Δ</italic> is provable assuming the formulas in <italic>Γ</italic>. An <bold>LK</bold>-proof is a (hyper) tree of sequents, such that the leaves are <italic>axiom sequents</italic> of the form <italic>F</italic> ⊢ <italic>F</italic>, where <italic>F</italic> is an arbitrary formula, and the (hyper) edges are instances of the inference rules specified by the calculus. The sequent calculus <bold>LK</bold> has inference rules for propositional connectives (e.g. ∨, → , ¬ and ∧), as exemplified below for the ∧ connective:<disp-formula id="e0045"><mml:math id="M1" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mi>B</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p>The following inference rules for quantifiers are also available (with the important restriction that the ∀ : <italic>r</italic> and ∃ : <italic>l</italic> rules must satisfy the eigenvariable condition, i.e. the variable <italic>α</italic> must occur neither in <italic>Γ</italic> nor in <italic>Δ</italic> nor in <italic>A</italic>):<disp-formula id="e0005"><mml:math id="M2" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>←</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>←</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>←</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>←</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p>Moreover, the sequent calculus <bold>LK</bold> also provides structural rules such as contraction (<italic>c</italic><sub><italic>l</italic></sub> and <italic>c</italic><sub><italic>r</italic></sub>, needed to indicate when facts must be used more than once in a proof), weakening (<italic>w</italic><sub><italic>l</italic></sub> and <italic>w</italic><sub><italic>r</italic></sub>, needed to indicate when facts are not really needed in the proof) and, most importantly, the cut rule, which, as discussed in Section <xref rid="s0020" ref-type="sec">4</xref>, eases the structured formalization of Physics:<disp-formula id="e0050"><mml:math id="M3" altimg="si3.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>F</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">cut</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p>However, the pure sequent calculus <bold>LK</bold> does not provide any built-in support for equality handling, arithmetical simplifications, and differentiation and integration. Therefore, formalizing Physics in the pure sequent calculus <bold>LK</bold> would be tedious and uncomfortable, since the lack of built-in support would require adding several additional assumptions to the antecedents of the sequents, which would render the proofs large, unreadable and difficult to construct. The sequent calculus <bold>LK</bold><sup><bold>P</bold></sup> addresses this issue by extending <bold>LK</bold> with the following rules:<list list-type="simple"><list-item id="o0005"><label>•</label><p><bold>Built-in Support for Equality:</bold><disp-formula id="e0010"><mml:math id="M4" altimg="si4.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where <italic>s</italic> and <italic>t</italic> do not contain variables that are bound in <italic>A</italic>.</p></list-item><list-item id="o0010"><label>•</label><p><bold>Built-in Support for Definitions</bold><xref rid="fn2" ref-type="fn">2</xref>: They correspond directly to the <italic>extension principle</italic> and introduce new predicate and function symbols as abbreviations for formulas and terms. Let <italic>A</italic>[<italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub>] be an arbitrary formula with free-variables <italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub> and <italic>P</italic> be a <italic>new k</italic>-ary predicate symbol defined by <italic>P</italic>(<italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub>) ↔ <italic>A</italic>[<italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub>]. Let <italic>t</italic>[<italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub>] be an arbitrary term with free-variables <italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub> and <italic>f</italic> be a <italic>new k</italic>-ary function symbol defined by <italic>f</italic>(<italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub>) = <italic>t</italic>[<italic>x</italic><sub>1</sub>, … , <italic>x</italic><sub><italic>k</italic></sub>]. Then, for arbitrary sequences of terms <italic>t</italic><sub>1</sub>, … , <italic>t</italic><sub><italic>k</italic></sub>, the rules are:<disp-formula id="e0015"><mml:math id="M5" altimg="si5.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="o0015"><label>•</label><p><bold>Built-in Support for Simplification:</bold> Let <italic>t</italic> (or <italic>t</italic>′) be obtainable from <italic>t</italic>′ (<italic>t</italic>) by algebraic or arithmetical simplifications.<xref rid="fn3" ref-type="fn">3</xref> Then the rules are:<disp-formula id="e0055"><mml:math id="M6" altimg="si6.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="o0020"><label>•</label><p><bold>Built-in Support for Integration and Differentiation</bold><xref rid="fn4" ref-type="fn">4</xref>: Let <italic>t</italic><sub>1</sub>(<italic>t</italic><sub>2</sub>) be a term denoting the integral of the function denoted by <inline-formula><mml:math id="M7" altimg="si7.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> on the interval (<italic>x</italic><sub>1</sub>, <italic>x</italic><sub>2</sub>). Then the rules are:<disp-formula id="e0060"><mml:math id="M8" altimg="si8.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>l</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi></mml:math></disp-formula></p></list-item></list></p></sec><sec id="s0015"><label>3</label><title>A simple example: energy conservation as a cut</title><p>To solve problems of Physics, certain invariants (such as energy) are frequently used. This is so because solving problems by using a derived principle (such as the principle of energy conservation) is usually easier than solving them by using the most basic physical laws or axioms. This section intends to exemplify how problem solution can generally be seen from a proof-theoretic perspective in which the use of derived principles corresponds to an implicit use of the cut rule. The following simple problem of Newtonian mechanics shall be considered.</p><p>An object of mass <italic>m</italic> is dropped from height <italic>h</italic><sub>0</sub> and with initial velocity equal to zero. The only force acting on the object is the force of gravity (with an intensity <italic>mg</italic>). What is the velocity of the object when its height is equal to zero?</p><p>A typical solution (Solution 1) to this problem uses the principle of energy conservation, as follows.<list list-type="simple"><list-item id="o0025"><label>1.</label><p>Let <italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub> be the time when the object reaches height zero.</p></list-item><list-item id="o0030"><label>2.</label><p>According to the principle of energy conservation, <italic>e</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub>) = <italic>e</italic>(0), i.e. the energy at <italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub> is equal to the initial energy.</p></list-item><list-item id="o0035"><label>3.</label><p>Hence, by definition of gravitational potential energy in a uniform gravitational field and by definition of kinetic energy, <inline-formula><mml:math id="M9" altimg="si9.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0040"><label>4.</label><p>According to the initial conditions, <italic>h</italic>(0) = <italic>h</italic><sub>0</sub> and <inline-formula><mml:math id="M10" altimg="si10.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Moreover, by assumption, <italic>h</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub>) = 0. Therefore, <inline-formula><mml:math id="M11" altimg="si11.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0045"><label>5.</label><p>Hence, the result is <inline-formula><mml:math id="M12" altimg="si12.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item></list></p><p>Another solution (Solution 2) computes the velocity as a function of time by integrating the acceleration produced by the gravitational force. Then it determines the time when the object reaches height zero, and computes the velocity at that time. The details are shown below.<list list-type="simple"><list-item id="o0050"><label>1.</label><p>According to Newton’s second law of motion, <inline-formula><mml:math id="M13" altimg="si13.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at any time <italic>t</italic>. Moreover, the uniform gravitational field produces a force <italic>f</italic>(<italic>t</italic>) = −<italic>mg</italic>. Hence, <inline-formula><mml:math id="M14" altimg="si14.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0055"><label>2.</label><p>By integration, <inline-formula><mml:math id="M15" altimg="si15.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0060"><label>3.</label><p>According to the initial conditions, <inline-formula><mml:math id="M16" altimg="si16.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and hence <inline-formula><mml:math id="M17" altimg="si17.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0065"><label>4.</label><p>By integration again, <inline-formula><mml:math id="M18" altimg="si18.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0070"><label>5.</label><p>According to the initial conditions, <italic>h</italic>(0) = <italic>h</italic><sub>0</sub>, and hence <inline-formula><mml:math id="M19" altimg="si19.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0075"><label>6.</label><p>For <italic>h</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub>) = 0 to hold, it must be the case that <inline-formula><mml:math id="M20" altimg="si20.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0080"><label>7.</label><p>Hence <inline-formula><mml:math id="M21" altimg="si21.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, which can be simplified to <inline-formula><mml:math id="M22" altimg="si22.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item></list></p><p>Solution 2 is simpler in the sense that it uses only the basic physical laws of motion (here assumed to be Newton’s laws of motion) and of uniform gravitational fields. Solution 1, on the other hand, assumes that energy is conserved, without actually proving it from Newton’s basic laws.</p><p>In order to view problem solving from a proof theoretic perspective, it is necessary to formalize problem solving as theorem proving, as is usual in logic programming. In the example above, the problem can be stated as the following theorem to be proved:<disp-formula id="e0065"><mml:math id="M23" altimg="si23.gif" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p>Solving the given problem then consists of finding a proof of the theorem above such that <italic>v</italic> is instantiated by a ground term. The solution is then contained in the proof, precisely in the instantiations used for the existentially quantified variables. Interestingly, formalizing the problem as a theorem to be proved enforces the explicit mention of the hidden assumption that the height eventually becomes zero; otherwise the variable <italic>t</italic>′ would be free and the theorem would be open.</p><p>Traditionally, works of axiomatization have formalized physical laws as axioms that are supposed to be used as assumptions in proofs <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref>. In a more modern proof-theoretical approach, however, definition rules often provide a more convenient alternative. The axioms corresponding to certain physical laws can be seen as defining new symbols. This is the case, for example, of Newton’s second law, which states that force equals mass times acceleration <inline-formula><mml:math id="M24" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It can be seen as defining the function symbol <italic>f</italic>. Similarly, the equation for energy of a single object in a uniform newtonian gravitational field <inline-formula><mml:math id="M25" altimg="si25.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> can be seen as defining the function symbol <italic>e</italic>. For convenience, the defined predicate symbols below are also used in the following formal proofs:<table-wrap id="t0005" position="float"><table frame="hsides" rules="groups"><tbody><tr><td>Initial conditions:</td><td><inline-formula><mml:math id="M26" altimg="si26.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>↔</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>↔</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td></tr><tr><td>Uniform gravitation:</td><td><italic>G</italic> ↔ <italic>Gravity</italic> ↔ (∀<italic>t</italic>)(<italic>f</italic>(<italic>t</italic>) = −<italic>mg</italic>)</td></tr><tr><td>Fall of the object:</td><td><italic>F</italic> ↔ <italic>Fall</italic> ↔ (∃<italic>t</italic>) <italic>h</italic>(<italic>t</italic>) = 0</td></tr><tr><td>Energy conservation:</td><td><italic>EC</italic> ↔ <italic>EnergyConservation</italic> ↔ (∀<italic>t</italic><sub><italic>i</italic></sub>)(∀<italic>t</italic><sub><italic>j</italic></sub>) <italic>e</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>i</italic></sub>) = <italic>e</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>j</italic></sub>)</td></tr></tbody></table></table-wrap></p><p>Solution 1 can be easily formalized as the proof <italic>φ</italic><sub>1</sub> below (where <inline-formula><mml:math id="M27" altimg="si27.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is a subproof consisting of the single axiom sequent <italic>h</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub>) = 0 ⊢ <italic>h</italic>(<italic>t</italic><sub><italic>f</italic></sub>) = 0):<disp-formula id="e0020"><mml:math id="M28" altimg="si28.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∃</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>∧</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∃</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∃</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>∧</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Fall</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">EnergyConservation</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Solution 2 can be formalized as the following proof <italic>φ</italic><sub>2</sub>:<disp-formula id="e0025"><mml:math id="M29" altimg="si29.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∃</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>∧</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∃</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>∧</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p>As expected <italic>φ</italic><sub>1</sub> is not only smaller than <italic>φ</italic><sub>2</sub>, but also simpler in the sense that it does not use integration. Furthermore, while in <italic>φ</italic><sub>2</sub> the time when the object hits the floor has to be computed explicitly (i.e. <italic>t</italic>′ is instantiated to a ground term), in <italic>φ</italic><sub>1</sub> this is not so (i.e. <italic>t</italic>′ is instantiated to a variable).</p><p>Solution 1 implicitly uses cuts, because <italic>EnergyConservation</italic> and <italic>Fall</italic> are not considered to be basic laws of Physics. In principle, <italic>φ</italic><sub>1</sub> must be composed with a proof <italic>φ</italic><sub><italic>E</italic></sub> of <italic>EnergyConservation</italic> and a proof <italic>φ</italic><sub><italic>F</italic></sub> of <italic>Fall</italic>. This is done with two cuts, as shown in the following proof <italic>φ</italic>:<disp-formula id="e0030"><mml:math id="M30" altimg="si30.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">EC</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Fall</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">EC</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">cut</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">Fall</mml:mi><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Fall</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">cut</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where <italic>φ</italic><sub><italic>F</italic></sub> is the proof below, proving that the object will eventually fall to height zero under the gravitational field and the initial conditions specified in the description of the problem:<disp-formula id="e0035"><mml:math id="M31" altimg="si31.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∃</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>∧</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>∧</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∃</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Init</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">Fall</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>And <italic>φ</italic><sub><italic>E</italic></sub> is the proof that energy is conserved in a uniform gravitational field:<disp-formula id="e0040"><mml:math id="M32" altimg="si32.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gt</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">gh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mgh</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¨</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>l</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">mg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>∀</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="0.35em"></mml:mspace><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">Gravity</mml:mi><mml:mi>⊢</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">EnergyConservation</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p></sec><sec id="s0020"><label>4</label><title>Benefits and challenges of a proof-theoretical approach to the formalization of Physics</title><p>The following subsections are devoted to discussing what proof theory has to offer to the formalization of Physics, with emphasis on computational and philosophical aspects.</p><sec id="s0025"><label>4.1</label><title>Cut-introduction</title><p>The example discussed in the previous section illustrates that an essential task of theoretical science is to invent or discover important concepts that are useful to solve problems, such as the principle of energy conservation in newtonian mechanics. Nevertheless, in a traditional axiomatization approach, such principles have no prominent role, because they are merely theorems derivable from the axioms. In a more proof-theoretic approach, on the other hand, proofs allow a structured formalization of the scientific knowledge, where important principles like energy conservation appear prominently formalized as active formulas in cut inferences, as shown in the formal proof <italic>φ</italic> of Section <xref rid="s0015" ref-type="sec">3</xref>. Indeed, reductionism in science can generally be captured by the proof-theoretical notion of cut. Consequently, a significant part of the usual scientific activity can be formally described as cut-introduction.</p><p>Cut-introduction also leads to the compression of proofs. Although the general problem of finding the shortest proofs by means of cut-introduction is undecidable <xref rid="b0025" ref-type="bibr">[5]</xref>, there are a few preliminary algorithms that introduce simple cuts <xref rid="b0050 b0075 b0120" ref-type="bibr">[10,15,24]</xref>, and it has been shown that some techniques of machine learning, such as decision tree learning, can be seen as cut-introduction techniques from a proof-theoretical point of view <xref rid="b0115" ref-type="bibr">[23]</xref>. Therefore, a potential benefit of using proofs to formalize Physics is the possibility of applying cut-introduction techniques in order to automatically discover useful physical concepts. However, it must be noted that current cut-introduction techniques are still not sophisticated enough to be applied to formalized proofs of Physics.</p></sec><sec id="s0030"><label>4.2</label><title>Cut-elimination</title><p>The problem of eliminating cuts from proofs is much easier than the problem of introducing cuts and has been much more deeply investigated <xref rid="b0055 b0020" ref-type="bibr">[11,4]</xref>. By using cut-elimination algorithms, it might be possible to automatically transform a solution that uses a derived principle (i.e. a cut) such as energy conservation (e.g. Solution 1 in Section <xref rid="s0015" ref-type="sec">3</xref>) into a solution that uses only the basic laws of a theory (e.g. Solution 2 in Section <xref rid="s0015" ref-type="sec">3</xref>). This is advantageous in certain cases, for in a cut-free proof it is easy, via Gentzen’s Midsequent Theorem <xref rid="b0055" ref-type="bibr">[11]</xref> or more general Herbrand sequent extraction algorithms <xref rid="b0080" ref-type="bibr">[16]</xref>, to extract a Herbrand disjunction <xref rid="b0060" ref-type="bibr">[12]</xref> that contains instances of the quantified variables of the problem. For example, in the cut-free proof of Solution 2, the existentially quantified variable for the time when the object reaches height zero is instantiated by a ground term that denotes exactly when this happens. In the proof with cuts that formalizes Solution 1, on the other hand, it is instantiated by an eigenvariable, and hence the time when the object reaches height zero is not known. Therefore, cut-elimination could in principle be used as an algorithm that instantiates the variables of a problem that were left unsolved. However, even though this idea has been successfully used in mathematics <xref rid="b0070" ref-type="bibr">[14]</xref>, the challenge in the case of Physics is to make cut-elimination algorithms work with high-level calculi such as <bold>LK</bold><sup><bold>P</bold></sup>.</p></sec><sec id="s0035"><label>4.3</label><title>Logic programming</title><p>The idea of formalizing a problem as a theorem and in such a way that its solution is in the instances used for the quantified variables in the proof is the fundamental principle behind the logic programming paradigm of computation, of which Prolog <xref rid="b0095" ref-type="bibr">[19]</xref> is the most prominent language. Therefore, the proof-theoretical approach to the formalization of Physics brings a new paradigm of computation that might be the subject of studies from the point of view of Physics itself, as imperative computation, which is modeled by Turing machines, has been.</p></sec><sec id="s0040"><label>4.4</label><title>Functional programming and the Curry–Howard isomorphism</title><p>The Curry-Howard isomorphism <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref> states that there is a correspondence between proofs of the implicational fragment of intuitionistic logic and lambda terms. A proof is essentially a functional program. Cut-elimination corresponds to beta-reduction, which is the execution of the program. Cut-introduction corresponds to structuring of the program and possibly to code reuse. By extrapolating this isomorphism, theories of Physics formalized as collections of proofs can be seen as collections of programs. This kind of computation, which is implicit in the formalization of Physics, is yet another link between Physics and computation that might be the target of future work.</p></sec><sec id="s0045"><label>4.5</label><title>Instrumentalism: truth versus usefulness</title><p>From an instrumentalistic viewpoint, “the most important function of a theory is not to organize or assert statements that are true or false but to furnish material principles of inference that may be used in inferring one set of facts from another”. This idea is supported by the proof-theoretical approach described here, as shown in the formal proof <italic>φ</italic><sub>2</sub> in Section <xref rid="s0015" ref-type="sec">3</xref>, where Newton’s law of motion was not merely a statement; it was used as a principle of inference, in the form of a definition inference rule. Instrumentalism also judges theories by how useful they are in solving problems. The proof-theoretical approach naturally embraces this criterium of usefulness, since solutions to problems can be formalized as proofs, as shown by <italic>φ</italic><sub>1</sub> and <italic>φ</italic><sub>2</sub>. And as the commitment to truth is not given up, it conciliates two opposing positions in the philosophy of science.</p></sec><sec id="s0050"><label>4.6</label><title>The evolution of theories</title><p>Another philosophical viewpoint that opposes axiomatization is that of Welt-anschauungen analyses, according to which science ought to be viewed as “an ongoing social enterprise [and] epistemic understanding of scientific theories could only be had by seeing the dynamics of theory development” <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref>. From this perspective, a proper answer to the question ‘what is a scientific theory?’ cannot be formulated using only concepts such as axiomatization and semantics. It must take pragmatics into account and it must explicitly consider how the producers and consumers of a theory use and change it <xref rid="b0105" ref-type="bibr">[21]</xref>. Proof theory conciliates formalization with this philosophical viewpoint in the following way: by defining scientific theories as collections of proofs, they can evolve by the addition of new proofs, and Kuhn’s major paradigm shifts can be seen as major proof transformations (e.g. cut-elimination, cut-introduction and addition of new definitions).</p></sec><sec id="s0055"><label>4.7</label><title>Algorithmic information theory</title><p>Algorithmic Information Theory (AIT) sees scientific theories as data compressed in the form of programs. It provides a very simple, elegant and general criterium to judge and compare theories: the smaller the program, the better the theory. However, the proponents of AIT are currently making an unfortunate choice of how to encode their data, and this causes the limitations of their approach. Diagrams in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> suggest that theories/programs should correspond to axioms, and the execution of the program by a computer, regarded as an automated theorem prover, should output empirical data in the form of theorems. Therefore, they essentially adhere to the traditional Hilbert-style axiomatization approach, and hence they suffer the same drawbacks, which are nicely explained from a computational point of view in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>. Two of them can be summarized as follows: in current AIT, computation time is ignored, because only program size matters; and the theory/program’s language is static, implying that new concepts can never emerge and the theory can never evolve.</p><p>Fortunately, proof theory can rescue AIT as well, and even provide further insight. The idea is that AIT’s principle of program-size minimality should be applied not to axioms (artificially encoded as programs) but rather to the proofs that formalize a scientific theory. From a conceptual point of view, it is clear that proof theory and AIT fit perfectly together, because proofs are already programs according to the (extrapolated) Curry-Howard isomorphism. The computation time that was previously ignored now appears explicitly as the length of proofs <xref rid="b0085" ref-type="bibr">[17]</xref> and theories can naturally evolve by the addition and transformation of proofs in the collection, with new concepts emerging by the introduction of cuts and definition inferences.</p><p>Another indication that AIT and proof theory fit well together is the natural relation between cut-introduction and Kolmogorov complexity <xref rid="b0065" ref-type="bibr">[13]</xref>. The Kolmogorov complexity <italic>C</italic>(<italic>ψ</italic>) of a proof <italic>ψ</italic> can be defined as the size of the shortest proof <italic>ψ</italic>′ that can be obtained by cut-introduction from <italic>ψ</italic> (and, conversely, such that <italic>ψ</italic> can be reconstructed from <italic>ψ</italic>′ by cut-elimination).</p></sec></sec><sec sec-type="conclusions" id="s0060"><label>5</label><title>Conclusions</title><p>“It is unheard of to find a substantive example of a theory actually worked out as a logical calculus in the writings of most philosophers of science. Much handwaving is indulged in to demonstrate that this […] is simple in principle and only a matter of tedious detail, but concrete evidence is seldom given.” <xref rid="b0105" ref-type="bibr">[21]</xref>. In Section <xref rid="s0015" ref-type="sec">3</xref>, an example of problem solution in Newtonian mechanics has been successfully worked out in a sequent calculus extended with sophisticated simplification, integration and definition rules, inspired by recent advances in proof theory. These extensions are the key to the small size and significantly reduced amount of tedious detail in the obtained formal proofs.</p><p>Section <xref rid="s0020" ref-type="sec">4</xref> showed that this proof-theoretical approach successfully conciliates and unifies various philosophical views of science, such as formalism, instrumentalism and Weltanschauungen analyses. The essence of these achievements lies in seeing scientific theories not just as collections of facts, as assumed by traditional axiomatization. Scientific theories ought to be formalized as collections of proofs. The structure of scientific knowledge can be nicely formalized with cuts, and much of the scientific activity can be formally described as proof generation or proof transformation. The task of organizing knowledge, for example, can be formally described as cut-introduction.</p><p>Moreover, cut-introduction potentially compresses proofs, which can also be seen as programs according to the (extrapolated) Curry–Howard isomorphism. This indicates a tight relation between cut-introduction and Kolmogorov complexity, and thus the use of proofs clarifies, conceptually improves and solves some limitations of the ideas of algorithmic information theory with respect to the formalization of science.</p><p>The proof-theoretical approach advocated here should be seen not as competing against existing axiomatic and semantical approaches, but rather as complementing them by enriching their formalizations with structure.</p><p>Future work should concentrate on applying these proof-theoretical ideas to complement the formalization of more interesting physical theories, such as Relativity (e.g. <xref rid="b0010" ref-type="bibr">[2]</xref>) and Quantum Mechanics (e.g. <xref rid="b0005" ref-type="bibr">[1]</xref>); on improving proof assistants and proof-theoretical techniques, such as cut-elimination and cut-introduction, in order to support logical calculi at least as sophisticated as <bold>LK</bold><sup><bold>P</bold></sup>; and on investigating the new links between Physics and Computation that are opened by proof theory.</p></sec></body><back><ref-list><title>References</title><ref id="b0005"><label>1</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Aerts</surname><given-names>Diederik</given-names></name></person-group><source>Quantum mechanics: Structures, axioms and paradoxes</source><series>Quantum Mechanics and the Nature of Reality</series><year>1999</year><publisher-name>Kluwer Academic</publisher-name></element-citation></ref><ref id="b0010"><label>2</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Andréka</surname><given-names>Hajnal</given-names></name><name><surname>Madarász</surname><given-names>Judit X.</given-names></name><name><surname>Németi</surname><given-names>István</given-names></name><name><surname>Székely</surname><given-names>Gergely</given-names></name></person-group><article-title>Axiomatizing relativistic dynamics without conservation postulates</article-title><source>Studia Logica</source><volume>89</volume><issue>2</issue><year>2008</year><fpage>163</fpage><lpage>186</lpage></element-citation></ref><ref id="b0015"><label>3</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Baaz</surname><given-names>Matthias</given-names></name><name><surname>Hetzl</surname><given-names>Stefan</given-names></name><name><surname>Leitsch</surname><given-names>Alexander</given-names></name><name><surname>Richter</surname><given-names>Clemens</given-names></name><name><surname>Spohr</surname><given-names>Hendrik</given-names></name></person-group><chapter-title>Cut-elimination: experiments with CERES</chapter-title><person-group person-group-type="editor"><name><surname>Baader</surname><given-names>Franz</given-names></name><name><surname>Voronkov</surname><given-names>Andrei</given-names></name></person-group><source>Logic for Programming, Artificial Intelligence, and Reasoning (LPAR) 2004</source><series>Lecture Notes in Computer Science</series><volume>vol. 3452</volume><year>2005</year><publisher-name>Springer</publisher-name><fpage>481</fpage><lpage>495</lpage></element-citation></ref><ref id="b0020"><label>4</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Baaz</surname><given-names>Matthias</given-names></name><name><surname>Leitsch</surname><given-names>Alexander</given-names></name></person-group><article-title>Towards a clausal analysis of cut-elimination</article-title><source>Journal of Symbolic Computation</source><volume>41</volume><issue>3–4</issue><year>2006</year><fpage>381</fpage><lpage>410</lpage></element-citation></ref><ref id="b0025"><label>5</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Baaz</surname><given-names>Matthias</given-names></name><name><surname>Richard</surname><given-names>Zach</given-names></name></person-group><chapter-title>Algorithmic structuring of cut-free proofs</chapter-title><source>CSL’92: Selected Papers from the Workshop on Computer Science Logic</source><year>1993</year><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>London, UK</publisher-loc><fpage>29</fpage><lpage>42</lpage></element-citation></ref><ref id="b0030"><label>6</label><mixed-citation publication-type="other">Paul Brauner, Clement Houtmann, Claude Kirchner, Principles of Superdeduction, in: Twenty-Second Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LiCS), 2007.</mixed-citation></ref><ref id="b0035"><label>7</label><mixed-citation publication-type="other">G. Chaitin, The intelligibility of the universe and the notions of simplicity, complexity and irreducibility, Written for a meeting of the German Philosophical Society, Bonn, September 2002.</mixed-citation></ref><ref id="b0040"><label>8</label><mixed-citation publication-type="other">Philippe De Groote (Ed.), The Curry–Howard Isomorphism, Cahiers du Centre de Logique, vol. 8, Academia, Universite Catholique de Louvain, 1995.</mixed-citation></ref><ref id="b0045"><label>9</label><mixed-citation publication-type="other">Gilles Dowek, Thérèse Hardin, Claude Kirchner, Theorem proving modulo, Rapport de Recherche 3400, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, April 1998.</mixed-citation></ref><ref id="b0050"><label>10</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Finger</surname><given-names>Marcelo</given-names></name><name><surname>Gabbay</surname><given-names>Dov M.</given-names></name></person-group><article-title>Equal rights for the cut: computable non-analytic cuts in cut-based proofs</article-title><source>Logic Journal of the IGPL</source><volume>15</volume><issue>5-6</issue><year>2007</year><fpage>553</fpage><lpage>575</lpage></element-citation></ref><ref id="b0055"><label>11</label><mixed-citation publication-type="other">G. Gentzen, Untersuchungen über das logische Schließen, Mathematische Zeitschrift 39 (1934–1935) 176–210,405–431.</mixed-citation></ref><ref id="b0060"><label>12</label><mixed-citation publication-type="other">J. Herbrand, Recherches sur la Theorie de la Demonstration, Ph.D. Thesis, University of Paris, 1930.</mixed-citation></ref><ref id="b0065"><label>13</label><mixed-citation publication-type="other">Stefan Hetzl, Proof fragments, cut-elimination and cut-introduction, 2009. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.pps.jussieu.fr/hetzl/fragments.pdf"></ext-link> .</mixed-citation></ref><ref id="b0070"><label>14</label><mixed-citation publication-type="other">Stefan Hetzl, Alexander Leitsch, Daniel Weller, Bruno Woltzenlogel Paleo, Herbrand sequent extraction, in: Proceedings of the Conferences on Intelligent Computer Mathematics, LNAI, vol. 5144, 2008.</mixed-citation></ref><ref id="b0075"><label>15</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Miller</surname><given-names>Dale</given-names></name><name><surname>Nigam</surname><given-names>Vivek</given-names></name></person-group><chapter-title>Incorporating tables into proofs</chapter-title><person-group person-group-type="editor"><name><surname>Duparc</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Henzinger</surname><given-names>T.A.</given-names></name></person-group><series>CSL 2007: Computer Science Logic</series><volume>4646</volume><year>2007</year><publisher-name>Springer</publisher-name><fpage>466</fpage><lpage>480</lpage></element-citation></ref><ref id="b0080"><label>16</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Paleo</surname><given-names>Bruno Woltzenlogel</given-names></name></person-group><series>Herbrand Sequent Extraction</series><volume>vol. 1</volume><year>2008</year><publisher-name>VDM-Verlag</publisher-name><publisher-loc>Saarbruecken, Germany</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0085"><label>17</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Pudlak</surname><given-names>Pavel</given-names></name></person-group><chapter-title>The Length of Proofs</chapter-title><source>Elsevier Science B.V.</source><year>1998</year><comment>pp. 548–637 (Chapter The Length of Proofs)</comment></element-citation></ref><ref id="b0090"><label>18</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sant’Anna</surname><given-names>Adonai S.</given-names></name></person-group><article-title>An axiomatic framework for classical particle mechanics without space-time</article-title><source>Philosophia Naturalis</source><volume>36</volume><year>1999</year><fpage>307</fpage><lpage>319</lpage></element-citation></ref><ref id="b0095"><label>19</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Shapiro</surname><given-names>Ehud</given-names></name><name><surname>Sterling</surname><given-names>Leon</given-names></name></person-group><chapter-title>The Art of Prolog: Advanced Programming Techniques</chapter-title><year>1994</year><publisher-name>The MIT Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="b0100"><label>20</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Suppe</surname><given-names>Frederick</given-names></name></person-group><chapter-title>The Structure of Scientific Theories</chapter-title><edition>second ed.</edition><year>1977</year><publisher-name>University of Illinois Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="b0105"><label>21</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Suppes</surname><given-names>Patrick</given-names></name></person-group><article-title>What is a scientific theory?</article-title><source>Philosophy of Science Today</source><year>1967</year><fpage>55</fpage><lpage>67</lpage></element-citation></ref><ref id="b0110"><label>22</label><mixed-citation publication-type="other">A.S. Wightman, Hilbert’s sixth problem: Mathematical treatment of the axioms of physics, in: Proceeding of Symposia in Pure Mathematics, vol. 28, 1976.</mixed-citation></ref><ref id="b0115"><label>23</label><mixed-citation publication-type="other">Bruno Woltzenlogel Paleo, A general analysis of cut-elimination by CERes, Ph.D. Thesis, Vienna University of Technology, 2009.</mixed-citation></ref><ref id="b0120"><label>24</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Paleo</surname><given-names>Bruno Woltzenlogel</given-names></name></person-group><chapter-title>Atomic cut introduction by resolution: proof structuring and compression</chapter-title><person-group person-group-type="editor"><name><surname>Clarke</surname><given-names>Edmund</given-names></name><name><surname>Voronkov</surname><given-names>Andrei</given-names></name></person-group><source>16th International Conference on Logic for Programming Artificial Intelligence and Reasoning (LPAR)</source><series>LNAI</series><volume>vol. 6355</volume><year>2010</year><publisher-name>Springer</publisher-name><fpage>463</fpage><lpage>480</lpage></element-citation></ref></ref-list><fn-group><fn id="fn1"><label>1</label><p>Examples of proof assistants are Mizar (<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://mizar.uwb.edu.pl/">http://mizar.uwb.edu.pl/</ext-link>), Coq (<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://coq.inria.fr/">http://coq.inria.fr/</ext-link>) and Isabelle (<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.cl.cam.ac.uk/research/hvg/Isabelle/">http://www.cl.cam.ac.uk/research/hvg/Isabelle/</ext-link>).</p></fn><fn id="fn2"><label>2</label><p>Definition rules have been successfully used for formalization and analysis of mathematical proofs <xref rid="b0015" ref-type="bibr">[3]</xref>. They are closely related to <italic>superdeduction rules</italic><xref rid="b0030" ref-type="bibr">[6]</xref>, which can provide even more concise, natural and readable formal proofs. However, they are not as simple to describe, and hence definition rules have been used in this paper.</p></fn><fn id="fn3"><label>3</label><p>It is beyond the scope of this paper to define precisely the allowed simplifications. This kind of rule is inspired by <italic>deduction modulo</italic>, whose precise definitions can be found in <xref rid="b0045" ref-type="bibr">[9]</xref>. In principle, simplification rules are not necessary, because they can be simulated by equality rules together with the arithmetical and algebraic axioms as additional assumptions in the antecedents of the sequents. However, the goal of simplification rules (and deduction modulo) is to hide uninteresting computational details of the underlying theories (e.g. arithmetics), in order to obtain concise formal proofs that show only interesting information related to the theory under investigation (e.g. newtonian mechanics).</p></fn><fn id="fn4"><label>4</label><p>Integration and Differentiation Rules have been inspired by emerging idea of integrating computer algebra systems and automated theorem provers.</p></fn></fn-group></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Wicri/Lorraine/explor/InforLorV4/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000074 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000074 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Wicri/Lorraine
|area= InforLorV4
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:4066961
|texte= Physics and proof theory
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:24976655" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a InforLorV4
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |