On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics
Identifieur interne : 001427 ( Pmc/Corpus ); précédent : 001426; suivant : 001428On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics
Auteurs : E. Ahmed ; A. S. ElgazzarSource :
- Physica a [ 0378-4371 ] ; 2007.
Abstract
A fractional order model for nonlocal epidemics is given. Stability of fractional order equations is studied. The results are expected to be relevant to foot-and-mouth disease, SARS and avian flu.
Url:
DOI: 10.1016/j.physa.2007.01.010
PubMed: NONE
PubMed Central: 7125871
Links to Exploration step
PMC:7125871Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics</title><author><name sortKey="Ahmed, E" sort="Ahmed, E" uniqKey="Ahmed E" first="E." last="Ahmed">E. Ahmed</name><affiliation><nlm:aff id="aff1">Mathematics Department, Faculty of Science, Mansoura University, 35516 Mansoura, Egypt</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Elgazzar, A S" sort="Elgazzar, A S" uniqKey="Elgazzar A" first="A. S." last="Elgazzar">A. S. Elgazzar</name><affiliation><nlm:aff id="aff2">Mathematics Department, Faculty of Science, Al-Jouf University, P.O. Box 2014, Sakaka, Al-Jouf, Saudi Arabia</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="aff3">Mathematics Department, Faculty of Education, 45111 El-Arish, Egypt</nlm:aff></affiliation></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmc">7125871</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7125871</idno><idno type="RBID">PMC:7125871</idno><idno type="doi">10.1016/j.physa.2007.01.010</idno><idno type="pmid">NONE</idno><date when="2007">2007</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">001427</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">001427</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics</title><author><name sortKey="Ahmed, E" sort="Ahmed, E" uniqKey="Ahmed E" first="E." last="Ahmed">E. Ahmed</name><affiliation><nlm:aff id="aff1">Mathematics Department, Faculty of Science, Mansoura University, 35516 Mansoura, Egypt</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Elgazzar, A S" sort="Elgazzar, A S" uniqKey="Elgazzar A" first="A. S." last="Elgazzar">A. S. Elgazzar</name><affiliation><nlm:aff id="aff2">Mathematics Department, Faculty of Science, Al-Jouf University, P.O. Box 2014, Sakaka, Al-Jouf, Saudi Arabia</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="aff3">Mathematics Department, Faculty of Education, 45111 El-Arish, Egypt</nlm:aff></affiliation></author></analytic><series><title level="j">Physica a</title><idno type="ISSN">0378-4371</idno><idno type="eISSN">0378-4371</idno><imprint><date when="2007">2007</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>A fractional order model for nonlocal epidemics is given. Stability of fractional order equations is studied. The results are expected to be relevant to foot-and-mouth disease, SARS and avian flu.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Diekmann, O" uniqKey="Diekmann O">O. Diekmann</name></author><author><name sortKey="Heesterbeek, J A P" uniqKey="Heesterbeek J">J.A.P. Heesterbeek</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Stanislavsky, A A" uniqKey="Stanislavsky A">A.A. Stanislavsky</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Rocco, A" uniqKey="Rocco A">A. Rocco</name></author><author><name sortKey="West, B J" uniqKey="West B">B.J. West</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Matignon, D" uniqKey="Matignon D">D. Matignon</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ahmed, E" uniqKey="Ahmed E">E. Ahmed</name></author><author><name sortKey="El Sayed, A M A" uniqKey="El Sayed A">A.M.A. El-Sayed</name></author><author><name sortKey="Elsaka, H A A" uniqKey="Elsaka H">H.A.A. Elsaka</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mishina, A P" uniqKey="Mishina A">A.P. Mishina</name></author><author><name sortKey="Proskuryakov, I V" uniqKey="Proskuryakov I">I.V. Proskuryakov</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Li, C" uniqKey="Li C">C. Li</name></author><author><name sortKey="Chen, G" uniqKey="Chen G">G. Chen</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Li, C" uniqKey="Li C">C. Li</name></author><author><name sortKey="Chen, G" uniqKey="Chen G">G. Chen</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Edelstein Keshet, L" uniqKey="Edelstein Keshet L">L. Edelstein-Keshet</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kaneko, K" uniqKey="Kaneko K">K. Kaneko</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Barnett, S" uniqKey="Barnett S">S. Barnett</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lajmanovich, A" uniqKey="Lajmanovich A">A. Lajmanovich</name></author><author><name sortKey="Yorke, J A" uniqKey="Yorke J">J.A. Yorke</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ball, F" uniqKey="Ball F">F. Ball</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ahmed, E" uniqKey="Ahmed E">E. Ahmed</name></author><author><name sortKey="Hegazi, A S" uniqKey="Hegazi A">A.S. Hegazi</name></author><author><name sortKey="Elgazzar, A S" uniqKey="Elgazzar A">A.S. Elgazzar</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Physica A</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Physica A</journal-id><journal-title-group><journal-title>Physica a</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0378-4371</issn><issn pub-type="epub">0378-4371</issn><publisher><publisher-name>Elsevier B.V.</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmc">7125871</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S0378-4371(07)00062-3</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.physa.2007.01.010</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author"><name><surname>Ahmed</surname><given-names>E.</given-names></name><xref rid="aff1" ref-type="aff">a</xref></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Elgazzar</surname><given-names>A.S.</given-names></name><email>elgazzar@mans.edu.eg</email><xref rid="aff2" ref-type="aff">b</xref><xref rid="aff3" ref-type="aff">c</xref><xref rid="cor1" ref-type="corresp">⁎</xref></contrib></contrib-group><aff id="aff1"><label>a</label>Mathematics Department, Faculty of Science, Mansoura University, 35516 Mansoura, Egypt</aff><aff id="aff2"><label>b</label>Mathematics Department, Faculty of Science, Al-Jouf University, P.O. Box 2014, Sakaka, Al-Jouf, Saudi Arabia</aff><aff id="aff3"><label>c</label>Mathematics Department, Faculty of Education, 45111 El-Arish, Egypt</aff><author-notes><corresp id="cor1"><label>⁎</label>Corresponding author. Mathematics Department, Al-Jouf University, P.O. Box 2014, Sakaka, Al-Jouf, Saudi Arabia. <email>elgazzar@mans.edu.eg</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>16</day><month>2</month><year>2007</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><day>15</day><month>6</month><year>2007</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>16</day><month>2</month><year>2007</year></pub-date><volume>379</volume><issue>2</issue><fpage>607</fpage><lpage>614</lpage><history><date date-type="received"><day>17</day><month>6</month><year>2006</year></date></history><permissions><copyright-statement>Copyright © 2007 Elsevier B.V. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2007</copyright-year><copyright-holder>Elsevier B.V.</copyright-holder><license><license-p>Since January 2020 Elsevier has created a COVID-19 resource centre with free information in English and Mandarin on the novel coronavirus COVID-19. The COVID-19 resource centre is hosted on Elsevier Connect, the company's public news and information website. Elsevier hereby grants permission to make all its COVID-19-related research that is available on the COVID-19 resource centre - including this research content - immediately available in PubMed Central and other publicly funded repositories, such as the WHO COVID database with rights for unrestricted research re-use and analyses in any form or by any means with acknowledgement of the original source. These permissions are granted for free by Elsevier for as long as the COVID-19 resource centre remains active.</license-p></license></permissions><abstract><p>A fractional order model for nonlocal epidemics is given. Stability of fractional order equations is studied. The results are expected to be relevant to foot-and-mouth disease, SARS and avian flu.</p></abstract><kwd-group><title>Keywords</title><kwd>Fractional order differential equations</kwd><kwd>Stability</kwd><kwd>Applications to nonlocal epidemic models</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec><label>1</label><title>Introduction</title><p>Recently three major epidemic diseases have occurred namely foot-and-mouth disease, severe acute respiratory syndrome (SARS) and avian (bird's) flu. Hopefully this will increase the awareness of modeling infectious diseases spreading that is an important topic in mathematical biology <xref rid="bib1" ref-type="bibr">[1]</xref>. There are different approaches to this topic, e.g. ordinary differential equations, difference equations, partial differential equations and coupled map lattice. Here we use fractional order differential equations (FOD). The reason is that FOD are naturally related to systems with memory which exists in most biological systems. Also they are closely related to fractals which are abundant in biological systems. Consider the following evolution equation <xref rid="bib2" ref-type="bibr">[2]</xref>:<disp-formula><mml:math id="M1" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mo mathvariant="italic">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>If the system has no memory then <italic>k</italic>(<italic>t</italic>−<italic>t</italic>′)=<italic>δ</italic>(<italic>t</italic>−<italic>t</italic>′), and one gets <italic>f</italic>(<italic>t</italic>)=<italic>f</italic><sub>0</sub> exp(−<italic>λ</italic><sup>2</sup><italic>t</italic>). If the system has an ideal memory, then<disp-formula><mml:math id="M2" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">if</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">if</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>hence <italic>f</italic>≈<italic>f</italic><sub>0</sub> cos
<italic>λt</italic>. Using Laplace transform <inline-formula><mml:math id="M3" altimg="si3.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>exp</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">st</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, one gets <italic>L</italic>[<italic>f</italic>]=1 if there is no memory and <italic>L</italic>[<italic>f</italic>]=1/<italic>s</italic> if there is ideal memory hence the case of non-ideal memory is expected to be given by <italic>L</italic>[<italic>f</italic>]=1/<italic>s</italic><sup><italic>α</italic></sup>, 0<<italic>α</italic><1. In this case the above equation becomes<disp-formula><mml:math id="M4" altimg="si4.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mo mathvariant="italic">∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>Γ</italic>(<italic>α</italic>) is the Gamma function. This system has the following solution:<disp-formula><mml:math id="M5" altimg="si5.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>E<sub>α</sub></italic>(<italic>z</italic>) is the Mittag–Leffler function given by<disp-formula><mml:math id="M6" altimg="si6.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>It is direct to see that <italic>E</italic><sub>1</sub>(<italic>z</italic>)=exp(<italic>z</italic>), <italic>E</italic><sub>2</sub>(<italic>z</italic>)=cos
<italic>z</italic>.</p><p>Following a similar procedure to study a random process with memory, one obtains the following fractional evolution equation:<disp-formula><mml:math id="M7" altimg="si7.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>P</italic>(<italic>x</italic>,
<italic>t</italic>) is a measure of the probability to find a particle at time <italic>t</italic> at position <italic>x</italic>. We expect that the above result will be relevant to many complex adaptive systems and to systems where fractal structures are relevant since it is argued that there is a strong relevance between fractals and fractional differentiation <xref rid="bib3" ref-type="bibr">[3]</xref>.</p><p>For the case of fractional diffusion equation the results are<disp-formula><mml:math id="M8" altimg="si8.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>then<disp-formula><mml:math id="M9" altimg="si9.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msqrt><mml:mi>D</mml:mi></mml:msqrt><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>M</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mi>D</mml:mi></mml:msqrt><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M10" altimg="si10.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>!</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>For the case of no memory <italic>α</italic>=0⇒<italic>M</italic>(<italic>z</italic>; 1/2)=exp(−<italic>z</italic><sup>2</sup>/4).</p><p>The paper is organized as follows: in <xref rid="sec2" ref-type="sec">Section 2</xref>, we study the stability of FOD. The stability conditions are derived and several examples are given. The stability conditions for some fractional order differential coupled map lattices are concluded in <xref rid="sec3" ref-type="sec">Section 3</xref>. Applications to nonlocal epidemics is introduced in <xref rid="sec4" ref-type="sec">Section 4</xref>. The stability conditions for the disease-free state are discussed. Some conclusions are presented in <xref rid="sec5" ref-type="sec">Section 5</xref>.</p></sec><sec id="sec2"><label>2</label><title>Stability of fractional order differential equations <xref rid="bib4" ref-type="bibr">[4]</xref>, <xref rid="bib5" ref-type="bibr">[5]</xref>, <xref rid="bib6" ref-type="bibr">[6]</xref></title><p>Consider the following system:<disp-formula id="eq1"><label>(1)</label><mml:math id="M11" altimg="si11.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where the fractional derivative in Eq. <xref rid="eq1" ref-type="disp-formula">(1)</xref> is in the sense of Caputo. The equilibrium solutions are defined by <italic>f</italic>(<italic>x<sub>eq</sub></italic>, <italic>y<sub>eq</sub></italic>)=0, <italic>g</italic>(<italic>x<sub>eq</sub></italic>, <italic>y<sub>eq</sub></italic>)=0 and it is locally asymptotically stable if all the eigenvalues <italic>λ</italic> of the Jacobian matrix <inline-formula><mml:math id="M12" altimg="si12.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> evaluated at the equilibrium point satisfies the following condition <xref rid="bib4" ref-type="bibr">[4]</xref>, <xref rid="bib5" ref-type="bibr">[5]</xref>:<disp-formula id="eq2"><label>(2)</label><mml:math id="M13" altimg="si13.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>arg</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>The condition in Eq. <xref rid="eq2" ref-type="disp-formula">(2)</xref> poses an interesting question namely:</p><p>What are the conditions that all the roots of the polynomial equation<disp-formula id="eq3"><label>(3)</label><mml:math id="M14" altimg="si14.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula>satisfy Eq. <xref rid="eq2" ref-type="disp-formula">(2)</xref> where all the coefficients in Eq. <xref rid="eq3" ref-type="disp-formula">(3)</xref> are real?</p><p>For <italic>α</italic>=1, the solution is the Routh–Hurwitz conditions <xref rid="bib7" ref-type="bibr">[7]</xref><disp-formula id="eq4"><label>(4)</label><mml:math id="M15" altimg="si15.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>For <italic>α</italic>∈[0, 1), these conditions are sufficient but not necessary. Since most biologically interesting systems are 1,2 and 3-dimensions, we will study the problem (3) for <italic>n</italic>=1, 2, 3.</p><p><statement id="def1"><label>Definition 1</label><p>The discriminant <italic>D</italic>(<italic>f</italic>) of a polynomial<disp-formula><mml:math id="M16" altimg="si16.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula>is defined by <italic>D</italic>(<italic>f</italic>)=(−1)<sup><italic>n</italic>(<italic>n</italic>−1)/2</sup><italic>R</italic>(<italic>f</italic>, <italic>f</italic>′), where <italic>f</italic>′ is the derivative of <italic>f</italic>, if <italic>g</italic>(<italic>x</italic>)=<italic>x</italic><sup><italic>n</italic></sup>+<italic>b</italic><sub>1</sub><italic>x</italic><sup><italic>l</italic>−1</sup>+<italic>b</italic><sub>2</sub><italic>x</italic><sup><italic>l</italic>−2</sup>+⋯+<italic>b<sub>l</sub></italic>, <italic>R</italic>(<italic>f</italic>, <italic>g</italic>) is the determinant of the corresponding Sylvester (<italic>n</italic>+<italic>l</italic>)⊗(<italic>n</italic>+<italic>l</italic>) matrix. The Sylvester matrix is formed by filling the matrix beginning with the upper left corner with the coefficients of <italic>f</italic> (<italic>x</italic>), then shifting down one row and one column to the right and filling in the coefficients starting there until they hit the right side. The process is then repeated for the coefficients of <italic>g</italic> (<italic>x</italic>).</p></statement></p><p>Using the results of Ref. <xref rid="bib3" ref-type="bibr">[3]</xref>, if <italic>D</italic>(<italic>f</italic>)>0(<0) then there is an even (odd) number of pairs of complex roots for the equation <italic>f</italic>(<italic>x</italic>)=0. For <italic>n</italic>=3, this implies that <italic>D</italic> (<italic>f</italic>)>0, and all the roots are real while <italic>D</italic> (<italic>f</italic>)<0 implies that there is only one real root and one complex root and its complex conjugate. For <italic>n</italic>=3, we have<disp-formula><mml:math id="M17" altimg="si17.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>18</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>27</mml:mn><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p><statement id="pro2"><label>Proposition 1</label><p><list list-type="simple"><list-item><label>(i)</label><p>For <italic>n</italic>=1, the condition for (3) is <italic>a</italic><sub>1</sub>>0.</p></list-item><list-item><label>(ii)</label><p>For <italic>n</italic>=2, the conditions for (3) are either Routh–Hurwitz conditions or</p><p><disp-formula id="eq5"><label>(5)</label><mml:math id="M18" altimg="si18.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>tan</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item><label>(iii)</label><p>For <italic>n</italic>=3, if the discriminant of <italic>P</italic>(<italic>λ</italic>), <italic>D</italic> (<italic>P</italic>) is positive, then Routh–Hurwitz conditions are the necessary and sufficient conditions for (3) i.e.</p><p><disp-formula id="eq6"><label>(6)</label><mml:math id="M19" altimg="si19.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">if</mml:mi></mml:mrow><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item><label>(iv)</label><p>If <italic>D</italic>(<italic>P</italic>)<0, <italic>a</italic><sub>1</sub>⩾0, <italic>a</italic><sub>2</sub>⩾0, <italic>a</italic><sub>3</sub>>0, <italic>α</italic><2/3, then condition (3) is satisfied. Also if <italic>D</italic>(<italic>p</italic>)<0, <italic>a</italic><sub>1</sub><0, <italic>a</italic><sub>2</sub><0, <italic>α</italic>>2/3, then all roots of <italic>P</italic>(<italic>λ</italic>)=0 satisfies |arg(<italic>λ</italic>)|<<italic>απ</italic>/2.</p></list-item><list-item><label>(v)</label><p>If <italic>D</italic>(<italic>P</italic>)<0, <italic>a</italic><sub>1</sub>>0, <italic>a</italic><sub>2</sub>>0, <italic>a</italic><sub>1</sub><italic>a</italic><sub>2</sub>=<italic>a</italic><sub>3</sub> then condition (3) is satisfied for all <italic>α</italic>∈[0,1).</p></list-item><list-item><label>(vi)</label><p>For general <italic>n</italic>, <italic>a<sub>n</sub></italic>>0 is a necessary condition for condition (3) to be satisfied.</p></list-item><list-item><label>(vii)</label><p>If ∀<italic>λ</italic>, <italic>P</italic>(<italic>λ</italic>)=<italic>P</italic>(−<italic>λ</italic>) then define <italic>x</italic>=<italic>λ</italic><sup>2</sup> and Routh–Hurwitz conditions for the resulting polynomial in <italic>x</italic> are necessary conditions for (3) for all <italic>α</italic>∈[0,1).</p></list-item><list-item><label>(viii)</label><p>For <italic>n</italic>>1, the necessary and sufficient condition for (3) is <inline-formula><mml:math id="M20" altimg="si20.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where <italic>C</italic><sub>1</sub> is the curve <italic>z</italic>=<italic>x</italic>(1−<italic>i</italic> tan
<italic>απ</italic>/2) and <italic>C</italic><sub>2</sub> is the curve <italic>z</italic>=<italic>x</italic>(1+<italic>i</italic> tan
<italic>απ</italic>/2), <inline-formula><mml:math id="M21" altimg="si21.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item></list></p></statement></p><p><statement id="pf3"><label>Proof</label><p>Case (i) is obvious. For (ii), the two roots are <inline-formula><mml:math id="M22" altimg="si22.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>±</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. If both roots are real or complex conjugates with negative real parts then condition (3) is equivalent to the Routh–Hurwitz case. If the two roots are complex conjugate with positive real parts, then the two roots become <inline-formula><mml:math id="M23" altimg="si23.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and one gets Eq. <xref rid="eq5" ref-type="disp-formula">(5)</xref>.</p><p>To prove (iii) not that if <italic>n</italic>=3, <italic>D</italic> (<italic>p</italic>)>0, then all the roots of <italic>p</italic>(<italic>λ</italic>)=0 are real hence Routh–Hurwitz conditions are both necessary and sufficient for (3).</p><p>To prove (iv) not that if <italic>n</italic>=3, <italic>D</italic> (<italic>P</italic>)>0, then the roots of <italic>P</italic>(<italic>λ</italic>)=0 are one real and a complex conjugate pair thus<disp-formula id="eq7"><label>(7)</label><mml:math id="M24" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⇒</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and <italic>a</italic><sub>1</sub>>0⇒<italic>b</italic>>2<italic>β</italic>, <italic>a</italic><sub>2</sub>>0⇒<italic>β</italic><sup>2</sup> sec<sup>2</sup>
<italic>θ</italic>>2b<italic>β</italic>>4<italic>β</italic><sup>2</sup>⇒<italic>θ</italic>><italic>π</italic>/3, where <italic>θ</italic>=|arg(<italic>λ</italic>)|. The second part is proved similarly.</p><p>To prove (v) if <italic>n</italic>=3, <italic>D</italic>(<italic>P</italic>)>0, then Eq. <xref rid="eq7" ref-type="disp-formula">(7)</xref> is valid. Now <italic>a</italic><sub>1</sub><italic>a</italic><sub>2</sub>=<italic>a</italic><sub>3</sub>⇒<italic>b</italic><sup>2</sup><italic>β</italic>+<italic>β</italic>(<italic>β</italic><sup>2</sup>+<italic>γ</italic><sup>2</sup>)=2<italic>bβ</italic><sup>2</sup>⇒<italic>β</italic>=0 or <italic>β</italic><sup>2</sup>+<italic>γ</italic><sup>2</sup>+<italic>b</italic><sup>2</sup>=2<italic>bβ</italic></p><p>The last equality is not valid if both <italic>a</italic><sub>1</sub>>0, <italic>a</italic><sub>2</sub>>0.</p><p>To prove (vi) use the fact that for general <italic>n</italic><disp-formula id="eq8"><label>(8)</label><mml:math id="M25" altimg="si25.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∏</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∏</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>⇒</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∏</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∏</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>To prove (vii) use Eq. <xref rid="eq8" ref-type="disp-formula">(8)</xref> and <italic>P</italic>(<italic>λ</italic>)=<italic>P</italic>(−<italic>λ</italic>)∀<italic>λ</italic>⇒<italic>P</italic>(<italic>λ</italic>) contains only even power of<disp-formula><mml:math id="M26" altimg="si26.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>⇒</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>∀</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>⇒</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∏</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∏</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>And all the roots <italic>x</italic> should be negative.</p><p>To prove (viii) not that if <italic>P</italic>(<italic>z</italic>) has no roots in the region |arg(<italic>λ</italic>)|<<italic>απ</italic>/2, hence the function 1/<italic>P</italic>(<italic>z</italic>) will be analytic in this region. Using Cauchy theorem <inline-formula><mml:math id="M27" altimg="si27.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo mathvariant="italic">∮</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for all <italic>f</italic>(<italic>z</italic>) analytic within and on the curve <italic>C</italic>, and that <italic>P</italic>(<italic>z</italic>) is polynomial of degree >1 this completes the proof. □</p></statement></p><p>One can give explicit examples where the Routh–Hurwitz conditions are not valid yet Eq. <xref rid="eq3" ref-type="disp-formula">(3)</xref> is satisfied for explicit <italic>α,</italic> e.g. <inline-formula><mml:math id="M28" altimg="si28.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="false"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. The first example is<disp-formula><mml:math id="M29" altimg="si29.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mn>2</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mn>2</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msqrt><mml:mn>2</mml:mn></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>For <italic>n</italic>=3, one can solve the polynomial equation explicitly and apply Eq. <xref rid="eq3" ref-type="disp-formula">(3)</xref> to the solutions. The solution method is:</p><p>Define <italic>y</italic>=<italic>λ</italic>−<italic>a</italic><sub>1</sub>/2, then the polynomial becomes <disp-formula><mml:math id="M30" altimg="si30.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">py</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>27</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M31" altimg="si31.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mroot><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mroot><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mroot><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mroot><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>choose the roots such that <italic>ρσ</italic>=−<italic>p</italic>/3.</p><p><statement id="con1"><label>Conjecture 1</label><p>For all <italic>n</italic>>3, if <inline-formula><mml:math id="M32" altimg="si60.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are Routh–Hurwitz determinants<disp-formula><mml:math id="M33" altimg="si32.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mo>…</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>then the conditions<disp-formula id="eq9"><label>(9)</label><mml:math id="M34" altimg="si33.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>are sufficient conditions that Eq. <xref rid="eq3" ref-type="disp-formula">(3)</xref> is valid for all <italic>α</italic>∈[0, 1).</p></statement></p><p>This conjecture can be proved for <italic>n</italic>=4. The case <italic>n</italic>=3 is proved in Proposition 1.</p><p>Now we apply Proposition 1 to derive the value of <italic>α</italic> at which chaos or instability disappears at some models. Fractional order Lotka-Volterra (FLV) predator–rey model is given by<disp-formula><mml:math id="M35" altimg="si34.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xy</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xy</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>β</italic>, <italic>γ</italic> are positive constants. The equilibrium solutions of FLV are (0, 0) and (<italic>γ</italic>, <italic>β</italic>). The eigenvalues corresponding to (0, 0) are <italic>β</italic>, −<italic>γ</italic> respectively hence (0, 0) is unstable for all <italic>α</italic>∈[0, 1]. The eigenvalues corresponding to (<italic>γ</italic>, <italic>β</italic>) are <inline-formula><mml:math id="M36" altimg="si35.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula> hence |arg(<italic>λ</italic>)|=<italic>π</italic>/2, then it is locally asymptotically stable for all <italic>α</italic>∈[0, 1). This agrees with the numerical results of Ref. <xref rid="bib5" ref-type="bibr">[5]</xref>.</p><p>Fractional order Chen (FOC) model is given by <xref rid="bib7" ref-type="bibr">[7]</xref><disp-formula><mml:math id="M37" altimg="si36.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xz</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cy</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xy</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bz</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>a</italic>=35, <italic>b</italic>=3, <italic>c</italic>=28. The equilibrium solutions for FOC are (0, 0, 0) and <inline-formula><mml:math id="M38" altimg="si37.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M39" altimg="si38.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>±</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. The eigenvalues of (0, 0, 0) are <italic>λ</italic>=−<italic>b</italic>, <italic>λ</italic><sup>2</sup>+(<italic>a</italic>−<italic>c</italic>)<italic>λ</italic>−a(2<italic>c</italic>−<italic>a</italic>)=0. Using Proposition 1 part (vi), then (0, 0, 0) is unstable for all <italic>α</italic>∈[0, 1]. The eigenvalues of the internal equilibrium solution is <italic>λ</italic><sup>3</sup>+(<italic>a</italic>−<italic>c</italic>+<italic>b</italic>)<italic>λ</italic><sup>2</sup>+<italic>bcλ</italic>+2<italic>ab</italic>(2<italic>c</italic>−<italic>a</italic>)=0. Since all the coefficients of this polynomial are positive and it is easy to check that <italic>D</italic>(<italic>P</italic>)<0, using Proposition 1 part (iv) then the internal solution of FOC will be stable for <inline-formula><mml:math id="M40" altimg="si39.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mstyle displaystyle="false"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mstyle></mml:mrow></mml:math></inline-formula> which is in excellent agreement with the numerical result obtained by and Chen <xref rid="bib8" ref-type="bibr">[8]</xref>.</p><p>A similar result is obtained for fractional order Lorenz system <disp-formula><mml:math id="M41" altimg="si40.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">rx</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xz</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xy</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bz</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>r</italic>, <italic>b</italic>, <italic>c</italic> are positive constants and <italic>r</italic>>1.</p><p>The fractional order Rossler system (FOR) is defined by <xref rid="bib9" ref-type="bibr">[9]</xref><disp-formula><mml:math id="M42" altimg="si41.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ay</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">xz</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>There are one equilibrium <italic>z</italic>=−<italic>y</italic>, <italic>x</italic>=−<italic>ay</italic>, <inline-formula><mml:math id="M43" altimg="si42.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>100</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.8</mml:mn><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:msqrt><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and the characteristic polynomial is<disp-formula><mml:math id="M44" altimg="si43.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ay</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi mathvariant="italic">ay</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>It is direct to see that <italic>a</italic><sub>2</sub><0, <italic>a</italic><sub>1</sub>>0 hence by solving the characteristic equation directly one gets the following roots:<disp-formula><mml:math id="M45" altimg="si44.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>9.986</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>0.954</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.3</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>0.954</mml:mn><mml:mi>i</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>This implies that the equilibrium solution is locally asymptotically stable if <italic>α</italic><0.8 which is in excellent agreement with the result obtained numerically in Ref. <xref rid="bib9" ref-type="bibr">[9]</xref>: <italic>α</italic>∈(0.7, 0.8).</p><p>Considering the fractional order Chua model<disp-formula><mml:math id="M46" altimg="si45.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">rz</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M47" altimg="si46.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">if</mml:mi></mml:mrow><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">sgn</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">if</mml:mi></mml:mrow><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">sgn</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">if</mml:mi></mml:mrow><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>10</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>a</italic>=0.923 or 1, <italic>b</italic>=0.636, <italic>r</italic> =0.071 or 0, <italic>s</italic>=0.066. The equilibrium solution is <italic>x</italic>≈±(1−<italic>b</italic>)/(<italic>a</italic>−<italic>b</italic>), <italic>y</italic>≈0, <italic>z</italic>≈−<italic>ax</italic>. Linearizing about the quilibrium solution one gets <disp-formula><mml:math id="M48" altimg="si47.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>a</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">sa</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">sa</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>s</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">rc</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>whose eigenvalues for <italic>a</italic>=1, <italic>b</italic>=0.636, <italic>c</italic>=0.779, <italic>s</italic>=0.066, <italic>r</italic>=0.071 are <italic>λ</italic>=−0.486, <italic>λ</italic>=5×10<sup>−4</sup>±0.184<italic>i</italic> which implies that this equilibrium is locally asymptotically stable for <italic>α</italic>∈[0,1). The eigenvalues for <italic>a</italic>=0.923, <italic>b</italic>=0.636, <italic>c</italic>=0.779, <italic>s</italic>=0.066, <italic>r</italic>=0 are <italic>λ</italic>=−0.406, <italic>λ</italic>=0.029±.188<italic>i</italic> which implies that this equilibrium is locally asymptotically stable for <italic>α</italic><0.9.</p></sec><sec id="sec3"><label>3</label><title>Stability conditions for some fractional order differential coupled map lattices</title><p>Spatial effects are important in many biological systems. Thus generalizing fractional order systems (FOS) to include them is important. The standard approach is fractional order partial differential equations. However since most biologically interesting systems are nonlinear <xref rid="bib10" ref-type="bibr">[10]</xref>, one gets fractional order nonlinear partial differential equations whose existence and uniqueness has not been established yet. Therefore, we use coupled map lattices (CML) <xref rid="bib11" ref-type="bibr">[11]</xref> as an alternative approach to include spatial effects in FOS. Consider the 1-system CML<disp-formula id="eq10"><label>(10)</label><mml:math id="M49" altimg="si48.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>D</italic> is a positive constant. The homogeneous equilibrium solution of Eq. <xref rid="eq10" ref-type="disp-formula">(10)</xref> satisfies <italic>f</italic>(<italic>u<sub>eq</sub></italic>)=0 and it is stable if all the eigenvalues of the circulant matrix <xref rid="bib12" ref-type="bibr">[12]</xref><disp-formula><mml:math id="M50" altimg="si49.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>'</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>'</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>'</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></disp-formula>satisfies Eq. <xref rid="eq2" ref-type="disp-formula">(2)</xref>. Since the eigenvalues of the circulant matrices <xref rid="bib12" ref-type="bibr">[12]</xref> are known, the local asymptotic stability conditions become<disp-formula id="eq11"><label>(11)</label><mml:math id="M51" altimg="si50.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>arg</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">eq</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">eq</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>cos</mml:mi><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mspace width=".5em"></mml:mspace><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Generalizing to 2-system CML<disp-formula id="eq12"><label>(12)</label><mml:math id="M52" altimg="si51.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula><italic>j</italic>=1, 2, …,
<italic>n</italic>. The homogeneous equilibrium solutions are given by <italic>f</italic>(<italic>x<sub>eq</sub></italic>, <italic>y<sub>eq</sub></italic>)=0, <italic>g</italic>(<italic>x<sub>eq</sub></italic>, <italic>y<sub>eq</sub></italic>)=0 and is locally asymptotically stable if all the eigenvalues of the following matrix <italic>B</italic> satisfies Eq. <xref rid="eq2" ref-type="disp-formula">(2)</xref>:<disp-formula id="eq13"><label>(13)</label><mml:math id="M53" altimg="si52.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>cos</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>π</mml:mi><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo stretchy="false">/</mml:mo><mml:mrow><mml:mo mathvariant="normal">∂</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where the Jacobian matrix is evaluated at the equilibrium point.</p></sec><sec id="sec4"><label>4</label><title>Application to a nonlocal epidemic model</title><p>Now we present a nonlocal interacting epidemic model. The nonlocal interactions in the epidemic spreading is widely observed in many outbreaks, especially the recent ones of FMD, SARS and bird's flu. The Lajmanovich-Yorke model <xref rid="bib13" ref-type="bibr">[13]</xref>, <xref rid="bib14" ref-type="bibr">[14]</xref> is a special case of coupled map lattices. It is a globally interacting model that emphasizes the diffusion of a disease from other infected farms beside its spread within the same farm. We have generalized it to the inhomogeneous case <xref rid="bib15" ref-type="bibr">[15]</xref> and introduced it as an approximation for the epidemic spreading on small-world networks <xref rid="bib15" ref-type="bibr">[15]</xref>. Consider <italic>n</italic> patches, where each one contains a certain number of individuals (say animals). In general these patches are not identical. Infection spreads from infected animals within the patch and due to those diffusing from other patches. The fractional order form of the model is given by<disp-formula id="eq14"><label>(14)</label><mml:math id="M54" altimg="si53.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width=".16em"></mml:mspace><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <italic>y<sub>i</sub></italic> is the number of infected individuals in the <italic>i</italic>th patch. The first term represents the infection within the patch with a rate <italic>λ<sub>i</sub></italic>. The second term represents the effect of other patches both nearby and far away at a rate <italic>μ<sub>i</sub></italic>. The recovery rate is represented by <italic>γ<sub>i</sub></italic>. Since the effect of other patches (second term in Eq. <xref rid="eq14" ref-type="disp-formula">(14)</xref>) is significantly smaller than the first one, we expect that <italic>μ<sub>i</sub></italic>⪡<italic>λ<sub>i</sub></italic>. The disease is eradicated if <italic>y<sub>i</sub></italic>=0, ∀ <italic>i</italic>=1, 2, …, <italic>n</italic>. So the stability of this solution is studied. Using the same procedures in the previous section, the stability of the zero solution (disease free state) is that all the eigenvalues <italic>x</italic> of the matrix <italic>A</italic> satisfy |arg(<italic>x</italic>)|><italic>απ</italic>/2 where<disp-formula><mml:math id="M55" altimg="si54.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>…</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>For <italic>n</italic>=2, the solutions <italic>y<sub>i</sub></italic>=0, <italic>i</italic> =1, 2 are locally asymptotically stable if <disp-formula><mml:math id="M56" altimg="si55.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>tan</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>For <italic>n</italic>=3, the characteristic polynomial of <italic>A</italic> is<disp-formula><mml:math id="M57" altimg="si56.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where<disp-formula><mml:math id="M58" altimg="si57.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula><mml:math id="M59" altimg="si58.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and<disp-formula><mml:math id="M60" altimg="si59.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></disp-formula></p><p>Using part (vi) in Proposition 1, the disease free state is unstable if <italic>a</italic><sub>3</sub><0.</p><p>Finally vaccination may affect the parameters <italic>λ<sub>i</sub></italic> but not <italic>μ<sub>i</sub></italic>. Also it is important to know whether the vaccine works once administered or it takes time till it becomes effective.</p></sec><sec id="sec5"><label>5</label><title>Conclusions</title><p>A fractional order evolution equation describing a random process with memory is concluded. This will be relevant to many complex adaptive systems. The stability conditions for both fractional order differential equations and fractional order differential coupled map lattices are derived. A fractional order form of Lajmanovich-Yorke model is introduced. This model emphasis the nonlocal interaction beside the local interaction in the epidemic spreading. Both types of interaction are widely observed in the recent FMD, SARS and bird's flu outbreaks.</p></sec></body><back><ref-list><title>References</title><ref id="bib1"><label>1</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Diekmann</surname><given-names>O.</given-names></name><name><surname>Heesterbeek</surname><given-names>J.A.P.</given-names></name></person-group><chapter-title>Mathematical Epidemiology</chapter-title><year>2000</year><publisher-name>Wiley</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib2"><label>2</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Stanislavsky</surname><given-names>A.A.</given-names></name></person-group><article-title>Memory effects and macroscopic manifestation of randomness</article-title><source>Phys. Rev. E</source><volume>61</volume><year>2000</year><fpage>4752</fpage></element-citation></ref><ref id="bib3"><label>3</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Rocco</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>West</surname><given-names>B.J.</given-names></name></person-group><article-title>Fractional calculus and the evolution of fractal phenomena</article-title><source>Physica A</source><volume>265</volume><year>1999</year><fpage>535</fpage></element-citation></ref><ref id="bib4"><label>4</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Matignon</surname><given-names>D.</given-names></name></person-group><article-title>Stability results for fractional differential equations with applications to control processing</article-title><source>Computat. Eng. Syst.</source><volume>2</volume><year>1996</year><comment>(Lille France 963)</comment></element-citation></ref><ref id="bib5"><label>5</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ahmed</surname><given-names>E.</given-names></name><name><surname>El-Sayed</surname><given-names>A.M.A.</given-names></name><name><surname>Elsaka</surname><given-names>H.A.A.</given-names></name></person-group><article-title>Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator–prey and rabies models</article-title><source>Jour. Math. Anal. Appl.</source><volume>325</volume><year>2007</year><fpage>542</fpage></element-citation></ref><ref id="bib6"><label>6</label><mixed-citation publication-type="other">E. Ahmed, A.M.A. El-Sayed, H.A.A. Elsaka, (2005), Submitted.</mixed-citation></ref><ref id="bib7"><label>7</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mishina</surname><given-names>A.P.</given-names></name><name><surname>Proskuryakov</surname><given-names>I.V.</given-names></name></person-group><article-title>Higher algebra</article-title><source>Nauka</source><year>1965</year></element-citation></ref><ref id="bib8"><label>8</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Li</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Chen</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>Chaos in the fractional order Chen model and its control</article-title><source>Chaos Soliton. Fract.</source><volume>22</volume><year>2004</year><fpage>549</fpage></element-citation></ref><ref id="bib9"><label>9</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Li</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Chen</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>Chaos and hyperchaos in fractional order Rossler equations</article-title><source>Physica A</source><volume>341</volume><year>2004</year><fpage>55</fpage></element-citation></ref><ref id="bib10"><label>10</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Edelstein-Keshet</surname><given-names>L.</given-names></name></person-group><article-title>Mathematical models in biology</article-title><source>Siam Classic.Appl. Math.</source><volume>46</volume><year>2004</year></element-citation></ref><ref id="bib11"><label>11</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kaneko</surname><given-names>K.</given-names></name></person-group><chapter-title>Theory and Applications of Coupled Map Lattices</chapter-title><year>1993</year><publisher-name>Wiley</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib12"><label>12</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Barnett</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><chapter-title>Matrices</chapter-title><year>1990</year><publisher-name>Cambridge Univ. Press.</publisher-name><publisher-loc>Cambridge</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="bib13"><label>13</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lajmanovich</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Yorke</surname><given-names>J.A.</given-names></name></person-group><article-title>A deterministic model for gonorrhea in a non-homogeneous population</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>28</volume><year>1976</year><fpage>221</fpage></element-citation></ref><ref id="bib14"><label>14</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ball</surname><given-names>F.</given-names></name></person-group><article-title>Stochastic and deterministic models for SIS epidemics among a population partitioned into households</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>156</volume><year>1999</year><fpage>41</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">10204387</pub-id></element-citation></ref><ref id="bib15"><label>15</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ahmed</surname><given-names>E.</given-names></name><name><surname>Hegazi</surname><given-names>A.S.</given-names></name><name><surname>Elgazzar</surname><given-names>A.S.</given-names></name></person-group><article-title>An epidemic model on small-world networks and ring vaccination</article-title><source>Int. J. Mod. Phys. C</source><volume>13</volume><year>2002</year><fpage>189</fpage></element-citation></ref></ref-list><ack><title>Acknowledgment</title><p>One of us (E. Ahmed) wishes to thank Prof. H. M. Yehia for discussions and help.</p></ack></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/SrasV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 001427 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 001427 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= SrasV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:7125871
|texte= On fractional order differential equations model for nonlocal epidemics
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:NONE" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a SrasV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |