Links to Exploration step
Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">The effect of incidence functions on the dynamics of a quarantine/isolation model with time delay</title><author><name sortKey="Safi, Mohammad A" sort="Safi, Mohammad A" uniqKey="Safi M" first="Mohammad A." last="Safi">Mohammad A. Safi</name></author><author><name sortKey="Gumel, Abba B" sort="Gumel, Abba B" uniqKey="Gumel A" first="Abba B." last="Gumel">Abba B. Gumel</name></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmid">32288639</idno><idno type="pmc">7105019</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7105019</idno><idno type="RBID">PMC:7105019</idno><idno type="doi">10.1016/j.nonrwa.2010.06.009</idno><date when="2010">2010</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">001304</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">001304</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">The effect of incidence functions on the dynamics of a quarantine/isolation model with time delay</title><author><name sortKey="Safi, Mohammad A" sort="Safi, Mohammad A" uniqKey="Safi M" first="Mohammad A." last="Safi">Mohammad A. Safi</name></author><author><name sortKey="Gumel, Abba B" sort="Gumel, Abba B" uniqKey="Gumel A" first="Abba B." last="Gumel">Abba B. Gumel</name></author></analytic><series><title level="j">Nonlinear Analysis. Real World Applications</title><idno type="ISSN">1468-1218</idno><idno type="eISSN">1468-1218</idno><imprint><date when="2010">2010</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>The problem of the asymptotic dynamics of a quarantine/isolation model with time delay is considered, subject to two incidence functions, namely standard incidence and the Holling type II (saturated) incidence function. Rigorous qualitative analysis of the model shows that it exhibits essentially the same (equilibrium) dynamics regardless of which of the two incidence functions is used. In particular, for each of the two incidence functions, the model has a globally asymptotically stable disease-free equilibrium whenever the associated reproduction threshold quantity is less than unity. Further, it has a unique endemic equilibrium when the threshold quantity exceeds unity. For the case with the Holling type II incidence function, it is shown that the unique endemic equilibrium of the model is globally asymptotically stable for a special case. The permanence of the disease is also established for the model with the Holling type II incidence function. Furthermore, it is shown that adding time delay to and/or replacing the standard incidence function with the Holling type II incidence function in the corresponding autonomous quarantine/isolation model with standard incidence (considered in Safi and Gumel (2010) <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>) does not alter the qualitative dynamics of the autonomous system (with respect to the elimination or persistence of the disease). Finally, numerical simulations of the model with standard incidence show that the disease burden decreases with increasing time delay (incubation period). Furthermore, models with time delay seem to be more suitable for modeling the 2003 SARS outbreaks than those without time delay.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chowell, G" uniqKey="Chowell G">G. Chowell</name></author><author><name sortKey="Hengartner, N W" uniqKey="Hengartner N">N.W. Hengartner</name></author><author><name sortKey="Castillo Chavez, C" uniqKey="Castillo Chavez C">C. Castillo-Chavez</name></author><author><name sortKey="Fenimore, P W" uniqKey="Fenimore P">P.W. Fenimore</name></author><author><name sortKey="Hyman, J M" uniqKey="Hyman J">J.M. Hyman</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hethcote, H W" uniqKey="Hethcote H">H.W. Hethcote</name></author><author><name sortKey="Ma, Zhien" uniqKey="Ma Z">Zhien Ma</name></author><author><name sortKey="Liao, Shengbing" uniqKey="Liao S">Shengbing Liao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lipsitch, M" uniqKey="Lipsitch M">M. Lipsitch</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lloyd Smith, J O" uniqKey="Lloyd Smith J">J.O. Lloyd-Smith</name></author><author><name sortKey="Galvani, A P" uniqKey="Galvani A">A.P. Galvani</name></author><author><name sortKey="Getz, W M" uniqKey="Getz W">W.M. Getz</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mcleod, R G" uniqKey="Mcleod R">R.G. McLeod</name></author><author><name sortKey="Brewster, J F" uniqKey="Brewster J">J.F. Brewster</name></author><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author><author><name sortKey="Slonowsky, D A" uniqKey="Slonowsky D">D.A. Slonowsky</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Riley, S" uniqKey="Riley S">S. Riley</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author><author><name sortKey="Ruan, S" uniqKey="Ruan S">S. Ruan</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Webb, G F" uniqKey="Webb G">G.F. Webb</name></author><author><name sortKey="Blaser, M J" uniqKey="Blaser M">M.J. Blaser</name></author><author><name sortKey="Zhu, H" uniqKey="Zhu H">H. Zhu</name></author><author><name sortKey="Ardal, S" uniqKey="Ardal S">S. Ardal</name></author><author><name sortKey="Wu, J" uniqKey="Wu J">J. Wu</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Yan, X" uniqKey="Yan X">X. Yan</name></author><author><name sortKey="Zou, Y" uniqKey="Zou Y">Y. Zou</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Safi, M A" uniqKey="Safi M">M.A. Safi</name></author><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hethcote, H W" uniqKey="Hethcote H">H.W. Hethcote</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sharomi, O" uniqKey="Sharomi O">O. Sharomi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Anderson, R M" uniqKey="Anderson R">R.M. Anderson</name></author><author><name sortKey="May, R M" uniqKey="May R">R.M. May</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Capasso, V" uniqKey="Capasso V">V. Capasso</name></author><author><name sortKey="Serio, G" uniqKey="Serio G">G. Serio</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hou, J" uniqKey="Hou J">J. Hou</name></author><author><name sortKey="Teng, Z" uniqKey="Teng Z">Z. Teng</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Liu, W" uniqKey="Liu W">W. Liu</name></author><author><name sortKey="Levin, S" uniqKey="Levin S">S. Levin</name></author><author><name sortKey="Iwasa, Y" uniqKey="Iwasa Y">Y. Iwasa</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ruan, S" uniqKey="Ruan S">S. Ruan</name></author><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Cooke, K L" uniqKey="Cooke K">K.L. Cooke</name></author><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P. van den Driessche</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Donnelly, C" uniqKey="Donnelly C">C. Donnelly</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Leung, G" uniqKey="Leung G">G. Leung</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chowell, G" uniqKey="Chowell G">G. Chowell</name></author><author><name sortKey="Castillo Chavez, C" uniqKey="Castillo Chavez C">C. Castillo-Chavez</name></author><author><name sortKey="Fenimore, P W" uniqKey="Fenimore P">P.W. Fenimore</name></author><author><name sortKey="Kribs Zaleta, C M" uniqKey="Kribs Zaleta C">C.M. Kribs-Zaleta</name></author><author><name sortKey="Arriola, L" uniqKey="Arriola L">L. Arriola</name></author><author><name sortKey="Hyman, J M" uniqKey="Hyman J">J.M. Hyman</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kribs Zaleta, C" uniqKey="Kribs Zaleta C">C. Kribs-Zaleta</name></author><author><name sortKey="Velasco Hernandez, J" uniqKey="Velasco Hernandez J">J. Velasco-Hernandez</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Hale, J" uniqKey="Hale J">J. Hale</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mukandavire, Z" uniqKey="Mukandavire Z">Z. Mukandavire</name></author><author><name sortKey="Chiyaka, C" uniqKey="Chiyaka C">C. Chiyaka</name></author><author><name sortKey="Garira, W" uniqKey="Garira W">W. Garira</name></author><author><name sortKey="Musuka, G" uniqKey="Musuka G">G. Musuka</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Smith, H L" uniqKey="Smith H">H.L. Smith</name></author><author><name sortKey="Waltman, P" uniqKey="Waltman P">P. Waltman</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Xu, R" uniqKey="Xu R">R. Xu</name></author><author><name sortKey="Ma, Z" uniqKey="Ma Z">Z. Ma</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Gao, Shujing" uniqKey="Gao S">Shujing Gao</name></author><author><name sortKey="Chenc, Lansun" uniqKey="Chenc L">Lansun Chenc</name></author><author><name sortKey="Teng, Zhidong" uniqKey="Teng Z">Zhidong Teng</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ma, W" uniqKey="Ma W">W. Ma</name></author><author><name sortKey="Song, M" uniqKey="Song M">M. Song</name></author><author><name sortKey="Takeuchi, Y" uniqKey="Takeuchi Y">Y. Takeuchi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Zhang, T" uniqKey="Zhang T">T. Zhang</name></author><author><name sortKey="Teng, Z" uniqKey="Teng Z">Z. Teng</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Xu, R" uniqKey="Xu R">R. Xu</name></author><author><name sortKey="Ma, Z" uniqKey="Ma Z">Z. Ma</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Nonlinear Anal Real World Appl</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Nonlinear Anal Real World Appl</journal-id><journal-title-group><journal-title>Nonlinear Analysis. Real World Applications</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">1468-1218</issn><issn pub-type="epub">1468-1218</issn><publisher><publisher-name>Elsevier Ltd.</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmid">32288639</article-id><article-id pub-id-type="pmc">7105019</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S1468-1218(10)00130-6</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.nonrwa.2010.06.009</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>The effect of incidence functions on the dynamics of a quarantine/isolation model with time delay</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author"><name><surname>Safi</surname><given-names>Mohammad A.</given-names></name></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Gumel</surname><given-names>Abba B.</given-names></name><email>gumelab@cc.umanitoba.ca</email><xref rid="cor000005" ref-type="corresp">⁎</xref></contrib></contrib-group><aff id="af000005">Department of Mathematics, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, R3T 2N2, Canada</aff><author-notes><corresp id="cor000005"><label>⁎</label>Corresponding author. <email>gumelab@cc.umanitoba.ca</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>30</day><month>6</month><year>2010</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><month>2</month><year>2011</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>30</day><month>6</month><year>2010</year></pub-date><volume>12</volume><issue>1</issue><fpage>215</fpage><lpage>235</lpage><history><date date-type="received"><day>20</day><month>1</month><year>2010</year></date><date date-type="accepted"><day>4</day><month>6</month><year>2010</year></date></history><permissions><copyright-statement>Copyright © 2010 Elsevier Ltd. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2010</copyright-year><copyright-holder>Elsevier Ltd</copyright-holder><license><license-p>Since January 2020 Elsevier has created a COVID-19 resource centre with free information in English and Mandarin on the novel coronavirus COVID-19. The COVID-19 resource centre is hosted on Elsevier Connect, the company's public news and information website. Elsevier hereby grants permission to make all its COVID-19-related research that is available on the COVID-19 resource centre - including this research content - immediately available in PubMed Central and other publicly funded repositories, such as the WHO COVID database with rights for unrestricted research re-use and analyses in any form or by any means with acknowledgement of the original source. These permissions are granted for free by Elsevier for as long as the COVID-19 resource centre remains active.</license-p></license></permissions><abstract><p>The problem of the asymptotic dynamics of a quarantine/isolation model with time delay is considered, subject to two incidence functions, namely standard incidence and the Holling type II (saturated) incidence function. Rigorous qualitative analysis of the model shows that it exhibits essentially the same (equilibrium) dynamics regardless of which of the two incidence functions is used. In particular, for each of the two incidence functions, the model has a globally asymptotically stable disease-free equilibrium whenever the associated reproduction threshold quantity is less than unity. Further, it has a unique endemic equilibrium when the threshold quantity exceeds unity. For the case with the Holling type II incidence function, it is shown that the unique endemic equilibrium of the model is globally asymptotically stable for a special case. The permanence of the disease is also established for the model with the Holling type II incidence function. Furthermore, it is shown that adding time delay to and/or replacing the standard incidence function with the Holling type II incidence function in the corresponding autonomous quarantine/isolation model with standard incidence (considered in Safi and Gumel (2010) <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>) does not alter the qualitative dynamics of the autonomous system (with respect to the elimination or persistence of the disease). Finally, numerical simulations of the model with standard incidence show that the disease burden decreases with increasing time delay (incubation period). Furthermore, models with time delay seem to be more suitable for modeling the 2003 SARS outbreaks than those without time delay.</p></abstract><kwd-group><title>Keywords</title><kwd>Isolation</kwd><kwd>Quarantine</kwd><kwd>Time delay</kwd><kwd>Non-linear incidence</kwd><kwd>Stability</kwd><kwd>Equilibria</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec id="s000005"><label>1</label><title>Introduction</title><p id="p000005">The aim of this study is to assess the roles of time delay (to model the incubation period of a disease) and the choice of incidence function in the transmission dynamics of a communicable disease in the presence of quarantine (of exposed individuals) and isolation (of individuals with disease symptoms). Quarantine and isolation measures have been widely used, over the decades, to control the spread of diseases such as yellow fever, smallpox, measles, ebola, pandemic influenza, diphtheria, plague, cholera, and, more recently, severe acute respiratory syndrome (SARS) <xref rid="br000005" ref-type="bibr">[1]</xref>, <xref rid="br000010" ref-type="bibr">[2]</xref>, <xref rid="br000015" ref-type="bibr">[3]</xref>, <xref rid="br000020" ref-type="bibr">[4]</xref>, <xref rid="br000025" ref-type="bibr">[5]</xref>, <xref rid="br000030" ref-type="bibr">[6]</xref>, <xref rid="br000035" ref-type="bibr">[7]</xref>, <xref rid="br000040" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="br000045" ref-type="bibr">[9]</xref>. To achieve the main objective of this study, the autonomous quarantine/isolation presented in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> will be extended to incorporate time delay and two different incidence functions. The functional forms of the incidence functions to be considered are derived on the basis of the framework described below.</p><p id="p000010">Let <inline-formula><mml:math id="M1" altimg="si52.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M2" altimg="si53.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> denote the number of susceptible individuals, the number of infectious individuals and the total size of the population at time <inline-formula><mml:math id="M3" altimg="si54.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></inline-formula>, respectively. Further, let <inline-formula><mml:math id="M4" altimg="si55.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> be the average number of contacts sufficient for transmitting infection (effective contact rate). Then, the force of infection, given by <inline-formula><mml:math id="M5" altimg="si56.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula>, represents the average number of contacts that a susceptible individual makes with infectious individuals <italic>per</italic> unit time. If <inline-formula><mml:math id="M6" altimg="si57.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> (i.e., the contact rate depends on the total population, <inline-formula><mml:math id="M7" altimg="si58.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula>), then the incidence function <inline-formula><mml:math id="M8" altimg="si59.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:math></inline-formula> is called <italic>mass action incidence</italic>. If <inline-formula><mml:math id="M9" altimg="si60.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:math></inline-formula> (a constant), then the incidence function <inline-formula><mml:math id="M10" altimg="si61.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> is called <italic>standard incidence</italic> <xref rid="br000055" ref-type="bibr">[11]</xref>, <xref rid="br000060" ref-type="bibr">[12]</xref>. These two functions are widely used in the modeling the transmission dynamics of the human diseases <xref rid="br000065" ref-type="bibr">[13]</xref>, <xref rid="br000070" ref-type="bibr">[14]</xref>. Another widely used incidence function is the Holling type II incidence function, given by <inline-formula><mml:math id="M11" altimg="si62.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>, with <inline-formula><mml:math id="M12" altimg="si63.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, <xref rid="br000075" ref-type="bibr">[15]</xref>, <xref rid="br000080" ref-type="bibr">[16]</xref>, <xref rid="br000085" ref-type="bibr">[17]</xref>, <xref rid="br000090" ref-type="bibr">[18]</xref>. The non-linear incidence function of type <inline-formula><mml:math id="M13" altimg="si64.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> was first introduced by Capasso and Serio <xref rid="br000075" ref-type="bibr">[15]</xref>, in their study of the cholera epidemic in Bari, Italy. The main justification for using such a functional form of the incidence function stems from the fact that the number of effective contacts between infective individuals and susceptible individuals may saturate at high infective levels due to crowding of infective individuals, or due to the preventive measures taken by (and behavioral changes of) the susceptible individuals in response to the severity of the disease <xref rid="br000080" ref-type="bibr">[16]</xref>, <xref rid="br000085" ref-type="bibr">[17]</xref>, <xref rid="br000090" ref-type="bibr">[18]</xref>.</p><p id="p000015">The paper is organized as follows. The model with standard incidence is formulated in Section <xref rid="s000010" ref-type="sec">2</xref>. The existence and global asymptotic stability of its disease-free equilibrium (DFE), as well as the existence of its endemic equilibrium point (EEP), are established in Section <xref rid="s000020" ref-type="sec">3</xref>. The model with the Holling type II incidence function is formulated and analyzed in Section <xref rid="s000030" ref-type="sec">4</xref>. The permanence of the disease is also established for this model.</p></sec><sec id="s000010"><label>2</label><title>Model formulation: standard incidence</title><p id="p000020">The model to be considered in this study is that for the transmission dynamics of an infectious disease, in the presence of quarantine of exposed individuals and isolation of infected individuals with disease symptoms, and is given by the following delayed system of integro-differential equations: <disp-formula-group id="fd000005"><label>(1)</label><disp-formula id="fd000010"><mml:math id="M14" altimg="si65.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000015"><mml:math id="M15" altimg="si66.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>x</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000020"><mml:math id="M16" altimg="si67.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000025"><mml:math id="M17" altimg="si68.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000030"><mml:math id="M18" altimg="si69.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000035"><mml:math id="M19" altimg="si70.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> where <inline-formula><mml:math id="M20" altimg="si71.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:math></inline-formula> denote the populations of susceptible, exposed, infectious, quarantined, hospitalized and recovered individuals at time <inline-formula><mml:math id="M21" altimg="si72.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></inline-formula>, respectively.</p><p id="p000025">Thus, the total human population at time <inline-formula><mml:math id="M22" altimg="si73.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></inline-formula>, denoted by <inline-formula><mml:math id="M23" altimg="si74.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is given by <disp-formula id="fd000040"><mml:math id="M24" altimg="si75.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> The initial data for the model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref> is given by <disp-formula-group id="fd000045"><label>(2)</label><disp-formula id="fd000050"><mml:math id="M25" altimg="si76.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000055"><mml:math id="M26" altimg="si77.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> where <inline-formula><mml:math id="M27" altimg="si78.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M28" altimg="si79.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M29" altimg="si80.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M30" altimg="si81.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:math></inline-formula> denotes the Banach space <inline-formula><mml:math id="M31" altimg="si82.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> of continuous functions mapping the interval <inline-formula><mml:math id="M32" altimg="si83.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> into <inline-formula><mml:math id="M33" altimg="si84.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>, equipped with the uniform norm defined by <inline-formula><mml:math id="M34" altimg="si85.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Furthermore, it is assumed that <inline-formula><mml:math id="M35" altimg="si86.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> (for <inline-formula><mml:math id="M36" altimg="si87.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn></mml:math></inline-formula>).</p><p id="p000030">In <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref>, the parameter <inline-formula><mml:math id="M37" altimg="si88.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Π</mml:mi></mml:math></inline-formula> represents the rate of recruitment into the population, and <inline-formula><mml:math id="M38" altimg="si89.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math></inline-formula> is the effective contact rate. The delay parameter <inline-formula><mml:math id="M39" altimg="si90.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> represents the associated incubation period <xref rid="br000095" ref-type="bibr">[19]</xref> (see <xref rid="t000005" ref-type="table">Table 1</xref>for a list of some communicable diseases and their respective incubation periods). Exposed individuals are quarantined at a rate <inline-formula><mml:math id="M40" altimg="si91.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Quarantined and infectious individuals are hospitalized at the rates <inline-formula><mml:math id="M41" altimg="si92.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M42" altimg="si93.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, respectively. The parameters <inline-formula><mml:math id="M43" altimg="si94.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M44" altimg="si95.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> represent the recovery rates of infectious and hospitalized individuals, respectively, while <inline-formula><mml:math id="M45" altimg="si96.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula> is the natural death rate. Finally, <inline-formula><mml:math id="M46" altimg="si97.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M47" altimg="si98.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> are the disease-induced death rates for infectious and hospitalized individuals, respectively. A flow diagram of the model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref> is given in <xref rid="f000005" ref-type="fig">Fig. 1</xref>, and the associated variables and parameters are described and estimated in <xref rid="t000010" ref-type="table">Table 2</xref>, <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>. It should be stated that the parameter values in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref> are relevant to the transmission dynamics of SARS <xref rid="br000005" ref-type="bibr">[1]</xref>, <xref rid="br000100" ref-type="bibr">[20]</xref>, <xref rid="br000105" ref-type="bibr">[21]</xref>, <xref rid="br000110" ref-type="bibr">[22]</xref>.
<table-wrap position="float" id="t000005"><label>Table 1</label><caption><p>Incubation period for some of communicable diseases <xref rid="br000070" ref-type="bibr">[14]</xref>, <xref rid="br000115" ref-type="bibr">[23]</xref>.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left">Disease</th><th align="left">Incubation period (days)</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left">Chicken pox</td><td align="left">14–16</td></tr><tr><td align="left">Ebola</td><td align="left">2–21</td></tr><tr><td align="left">Influenza</td><td align="left">1–3</td></tr><tr><td align="left">Measles</td><td align="left">9–12</td></tr><tr><td align="left">SARS</td><td align="left">Up to 10</td></tr><tr><td align="left">Smallpox</td><td align="left">7–17</td></tr></tbody></table></table-wrap><table-wrap position="float" id="t000010"><label>Table 2</label><caption><p>Description of variables and parameters of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left">Variable</th><th align="left">Description</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M48" altimg="si21.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Population of susceptible individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M49" altimg="si22.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Population of exposed individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M50" altimg="si23.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Population of infectious individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M51" altimg="si24.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Population of quarantined individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M52" altimg="si25.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Population of hospitalized individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M53" altimg="si26.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Population of recovered individuals</td></tr><tr><td colspan="2"><hr></hr></td></tr><tr><td align="left">Parameter</td><td align="left">Description</td></tr><tr><td colspan="2"><hr></hr></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M54" altimg="si27.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Π</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Recruitment rate into the community</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M55" altimg="si28.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Natural death rate</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M56" altimg="si29.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Effective contact rate</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M57" altimg="si30.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Incubation period</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M58" altimg="si31.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Parameter for measuring psychological or inhibitory effect</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M59" altimg="si32.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Quarantine rate for exposed individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M60" altimg="si33.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Hospitalization rate for quarantined individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M61" altimg="si34.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Hospitalization rate for infectious individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M62" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Rate of loss of infection-acquired immunity</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M63" altimg="si36.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Recovery rate for infectious individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M64" altimg="si37.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Recovery rate for hospitalized individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M65" altimg="si38.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Disease-induced death rate for infectious individuals</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M66" altimg="si39.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Disease-induced death rate for hospitalized individuals</td></tr></tbody></table></table-wrap><table-wrap position="float" id="t000015"><label>Table 3</label><caption><p>Estimated values of the parameters of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left">Parameter</th><th align="left">Value (<italic>per day</italic>)</th><th align="left">Source</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M67" altimg="si40.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Π</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">136</td><td align="left"><xref rid="br000105" ref-type="bibr">[21]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M68" altimg="si41.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">(0, 0.5)</td><td align="left"><xref rid="br000105" ref-type="bibr">[21]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M69" altimg="si42.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.0000351</td><td align="left"><xref rid="br000105" ref-type="bibr">[21]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M70" altimg="si43.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.03521</td><td align="left"><xref rid="br000120" ref-type="bibr">[24]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M71" altimg="si44.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.042553</td><td align="left"><xref rid="br000120" ref-type="bibr">[24]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M72" altimg="si45.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.04227</td><td align="left"><xref rid="br000110" ref-type="bibr">[22]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M73" altimg="si46.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.027855</td><td align="left"><xref rid="br000120" ref-type="bibr">[24]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M74" altimg="si47.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>κ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.156986</td><td align="left"><xref rid="br000100" ref-type="bibr">[20]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M75" altimg="si48.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.156986</td><td align="left"><xref rid="br000100" ref-type="bibr">[20]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M76" altimg="si49.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.20619</td><td align="left"><xref rid="br000120" ref-type="bibr">[24]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M77" altimg="si50.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>σ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.1</td><td align="left"><xref rid="br000105" ref-type="bibr">[21]</xref></td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M78" altimg="si51.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">0.1</td><td align="left">Assumed</td></tr></tbody></table></table-wrap><fig id="f000005"><label>Fig. 1</label><caption><p>Flow diagram of the delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>.</p></caption><graphic xlink:href="gr1"></graphic></fig></p><p id="p000035">The delayed model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref> is an extension of the autonomous quarantine/isolation model presented in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> by incorporating a time delay (<inline-formula><mml:math id="M79" altimg="si99.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>), but with the assumption of loss of infection-acquired immunity relaxed (i.e., that recovered individuals do not become susceptible again) and the assumption that hospitalized individuals do not transmit infection. One of the main aims of this study is to determine whether or not incorporating time delay (for the incubation period) alters the qualitative dynamics of the autonomous quarantine/isolation model considered in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>. Another major objective is to determine whether replacing the standard incidence function in the model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref> with the Holling type II incidence function <inline-formula><mml:math id="M80" altimg="si100.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> will introduce new (or different) dynamical features for the delayed model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref>.</p><sec id="s000015"><label>2.1</label><title>Basic properties</title><p id="p000040">Using the generalized Leibnitz rule of differentiation <xref rid="br000125" ref-type="bibr">[25]</xref>, the model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref> can be rewritten as a system of delayed differential difference equation given by <disp-formula-group id="fd000060"><label>(3)</label><disp-formula id="fd000065"><mml:math id="M81" altimg="si101.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000070"><mml:math id="M82" altimg="si102.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000075"><mml:math id="M83" altimg="si103.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000080"><mml:math id="M84" altimg="si104.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000085"><mml:math id="M85" altimg="si105.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000090"><mml:math id="M86" altimg="si106.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> The basic qualitative properties of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> will now be investigated.</p><p id="p000045"><statement id="e000005"><label>Lemma 1</label><p id="p000050"><italic>The solution</italic><inline-formula><mml:math id="M87" altimg="si107.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>of the system</italic> <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref><italic>, with the initial data</italic> <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2)</xref><italic>, exists for all</italic><inline-formula><mml:math id="M88" altimg="si108.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>and is unique. Furthermore,</italic><inline-formula><mml:math id="M89" altimg="si109.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>, and</italic><inline-formula><mml:math id="M90" altimg="si110.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>for all</italic><inline-formula><mml:math id="M91" altimg="si111.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000055"><statement id="e000010"><label>Proof</label><p id="p000060">System <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> can be written as (where a dot represents differentiation with respect to <inline-formula><mml:math id="M92" altimg="si112.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></inline-formula>) <disp-formula id="fd000095"><mml:math id="M93" altimg="si113.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M94" altimg="si114.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M95" altimg="si115.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is continuous and Lipschitz in <inline-formula><mml:math id="M96" altimg="si116.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></inline-formula>, it follows, by the Fundamental Theory of Functional Differential Equations <xref rid="br000130" ref-type="bibr">[26]</xref>, that the system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> has a unique solution <inline-formula><mml:math id="M97" altimg="si117.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> satisfying the initial data <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2)</xref>.</p><p id="p000065">It is clear from the first equation of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> that <disp-formula id="fd000100"><mml:math id="M98" altimg="si118.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000105"><mml:math id="M99" altimg="si119.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for all </mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000070">Similarly, it follows from the third equation of the system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> that <inline-formula><mml:math id="M100" altimg="si120.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M101" altimg="si121.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Since the second equation of <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> is equivalent to the second equation of <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(1)</xref>, it follows (by using the fact that <inline-formula><mml:math id="M102" altimg="si122.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M103" altimg="si123.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M104" altimg="si124.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, together with the fact that all the parameters of the model are positive) that <disp-formula id="fd000110"><mml:math id="M105" altimg="si125.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Furthermore, using the same approach as for <inline-formula><mml:math id="M106" altimg="si126.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> above, it can be shown that <inline-formula><mml:math id="M107" altimg="si127.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M108" altimg="si128.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M109" altimg="si129.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. □</p></statement></p><p id="p000075"><statement id="e000015"><label>Lemma 2</label><p id="p000080"><italic>The closed set</italic><disp-formula id="fd000115"><mml:math id="M110" altimg="si130.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><italic>is positively invariant.</italic></p></statement></p><p id="p000085"><statement id="e000020"><label>Proof</label><p id="p000090">Adding all the equations of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> gives <disp-formula id="fd000120"><label>(4)</label><mml:math id="M111" altimg="si131.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M112" altimg="si132.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula>, it follows that <inline-formula><mml:math id="M113" altimg="si133.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> if <inline-formula><mml:math id="M114" altimg="si134.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Thus, <disp-formula id="fd000125"><mml:math id="M115" altimg="si135.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> In particular, <inline-formula><mml:math id="M116" altimg="si136.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula> if <inline-formula><mml:math id="M117" altimg="si137.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Hence, the region <inline-formula><mml:math id="M118" altimg="si138.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula> is positively invariant. Further, if <inline-formula><mml:math id="M119" altimg="si139.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, then either the solution enters <inline-formula><mml:math id="M120" altimg="si140.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula> in finite time, or <inline-formula><mml:math id="M121" altimg="si141.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> approaches <inline-formula><mml:math id="M122" altimg="si142.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula> asymptotically. Hence, the region <inline-formula><mml:math id="M123" altimg="si143.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula> attracts all solutions in <inline-formula><mml:math id="M124" altimg="si144.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. □</p></statement></p></sec></sec><sec id="s000020"><label>3</label><title>Global stability of the DFE</title><p id="p000095">The DFE of the system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, obtained by setting the derivatives in the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> to zero, is given by <disp-formula id="fd000130"><label>(5)</label><mml:math id="M125" altimg="si145.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> The global asymptotic stability property of <inline-formula><mml:math id="M126" altimg="si146.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> will be explored using the methodology given in <xref rid="br000125" ref-type="bibr">[25]</xref>, <xref rid="br000135" ref-type="bibr">[27]</xref>. It is convenient to define <disp-formula id="fd000135"><mml:math id="M127" altimg="si147.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> The quantity <inline-formula><mml:math id="M128" altimg="si148.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> is known as the <italic>basic reproduction number</italic> of the delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>. It measures the average number of new infections generated by a single infectious individual in a completely susceptible population. It is worth noting that <inline-formula><mml:math id="M129" altimg="si149.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is a decreasing function of <inline-formula><mml:math id="M130" altimg="si150.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> (and <inline-formula><mml:math id="M131" altimg="si151.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M132" altimg="si152.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>).</p><p id="p000100"><statement id="e000025"><label>Theorem 1</label><p id="p000105"><italic>The DFE of the model</italic> <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref><italic>, given by</italic> <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(5)</xref><italic>, is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M133" altimg="si153.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M134" altimg="si154.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000110"><statement id="e000030"><label>Proof</label><p id="p000115">Let <inline-formula><mml:math id="M135" altimg="si155.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Furthermore, let <inline-formula><mml:math id="M136" altimg="si156.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> be any positive solution of the system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> with the initial data <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2)</xref>. The third equation of the system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> can be rewritten as <disp-formula id="fd000140"><label>(6)</label><mml:math id="M137" altimg="si157.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>x</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> in </mml:mtext><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> It follows, by using the substitution <inline-formula><mml:math id="M138" altimg="si158.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi></mml:math></inline-formula> in <xref rid="fd000140" ref-type="disp-formula">(6)</xref>, that <disp-formula id="fd000145"><label>(7)</label><mml:math id="M139" altimg="si159.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>s</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Taking the <inline-formula><mml:math id="M140" altimg="si160.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:math></inline-formula> of both sides of <xref rid="fd000145" ref-type="disp-formula">(7)</xref>, and noting that <inline-formula><mml:math id="M141" altimg="si161.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mo>lim sup</mml:mo><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mo>lim sup</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></inline-formula> <xref rid="br000125" ref-type="bibr">[25]</xref>, gives <disp-formula id="fd000150"><label>(8)</label><mml:math id="M142" altimg="si162.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>s</mml:mi><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M143" altimg="si163.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, it follows that <inline-formula><mml:math id="M144" altimg="si164.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. This is a contradiction, unless <inline-formula><mml:math id="M145" altimg="si165.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Thus, for any <inline-formula><mml:math id="M146" altimg="si166.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> sufficiently small, there exists a <inline-formula><mml:math id="M147" altimg="si167.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> such that if <inline-formula><mml:math id="M148" altimg="si168.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M149" altimg="si169.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000120">Using <inline-formula><mml:math id="M150" altimg="si170.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M151" altimg="si171.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, for <inline-formula><mml:math id="M152" altimg="si172.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula>, in the second equation of <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> gives <disp-formula id="fd000155"><mml:math id="M153" altimg="si173.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Furthermore, by the comparison theorem <xref rid="br000140" ref-type="bibr">[28]</xref>, <disp-formula id="fd000160"><mml:math id="M154" altimg="si174.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M155" altimg="si175.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> is arbitrary, it follows (by setting <inline-formula><mml:math id="M156" altimg="si176.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>) that <disp-formula id="fd000165"><mml:math id="M157" altimg="si177.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, for <inline-formula><mml:math id="M158" altimg="si178.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> small, there exists a <inline-formula><mml:math id="M159" altimg="si179.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that if <inline-formula><mml:math id="M160" altimg="si180.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M161" altimg="si181.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. Using <inline-formula><mml:math id="M162" altimg="si182.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, for <inline-formula><mml:math id="M163" altimg="si183.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, in the fourth equation of <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> gives <disp-formula id="fd000170"><mml:math id="M164" altimg="si184.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000175"><mml:math id="M165" altimg="si185.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <disp-formula id="fd000180"><mml:math id="M166" altimg="si186.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> In a similar way, it can be shown that <disp-formula id="fd000185"><mml:math id="M167" altimg="si187.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000125">Finally, it follows from the first equation of <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M168" altimg="si188.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000190"><mml:math id="M169" altimg="si189.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000195"><label>(9)</label><mml:math id="M170" altimg="si190.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, by letting <inline-formula><mml:math id="M171" altimg="si191.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> in <xref rid="fd000195" ref-type="disp-formula">(9)</xref>, <disp-formula id="fd000200"><mml:math id="M172" altimg="si192.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Additionally, since <inline-formula><mml:math id="M173" altimg="si193.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>, it follows that <disp-formula id="fd000205"><mml:math id="M174" altimg="si194.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, <disp-formula id="fd000210"><mml:math id="M175" altimg="si195.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> □</p></statement></p><p id="p000130">This result (<xref rid="e000025" ref-type="statement">Theorem 1</xref>) is consistent with that given for the non-delayed quarantine/isolation model in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> (for the case where recovered individuals do not lose their infection-acquired immunity and hospitalized individuals do not transmit infection for the DFE of the model considered in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>). That is, this result shows that adding time delay to the non-delayed (autonomous) quarantine/isolation model in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> does not alter the global asymptomatic stability property of the DFE (<inline-formula><mml:math id="M176" altimg="si196.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>) of the corresponding non-delayed model given in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>. The epidemiological implication of <xref rid="e000025" ref-type="statement">Theorem 1</xref> is that the combined use of quarantine and isolation can lead to disease elimination from the community if the two interventions can bring (and keep) the threshold quantity, <inline-formula><mml:math id="M177" altimg="si197.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, to a value less than unity (i.e., for the delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, the condition <inline-formula><mml:math id="M178" altimg="si198.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> is necessary and sufficient for disease elimination).</p><p id="p000135">By solving for the delay parameter (<inline-formula><mml:math id="M179" altimg="si199.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>) from the equation <inline-formula><mml:math id="M180" altimg="si200.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> (and noting <xref rid="e000025" ref-type="statement">Theorem 1</xref>), the following result can be obtained.</p><p id="p000140"><statement id="e000035"><label>Lemma 3</label><p id="p000145"><italic>The DFE of the model</italic> <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref><italic>, given by</italic> <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(5)</xref><italic>, is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M181" altimg="si201.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>whenever</italic><disp-formula id="fd000215"><mml:math id="M182" altimg="si202.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></statement> In other words, <xref rid="e000035" ref-type="statement">Lemma 3</xref> shows that the disease will be eliminated from the community if and only if <inline-formula><mml:math id="M183" altimg="si203.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. Furthermore, it follows from <xref rid="e000035" ref-type="statement">Lemma 3</xref> that the longer infected individuals remain in the exposed class (<inline-formula><mml:math id="M184" altimg="si204.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math></inline-formula>), the higher the likelihood of disease elimination from the community. <xref rid="f000010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>depicts the numerical results obtained by simulating the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> using the parameter values in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>, and various initial conditions, for the case when <inline-formula><mml:math id="M185" altimg="si205.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is evident from this figure that all solutions converged to the DFE, <inline-formula><mml:math id="M186" altimg="si206.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> (in line with <xref rid="e000025" ref-type="statement">Theorem 1</xref> and <xref rid="e000035" ref-type="statement">Lemma 3</xref>).<fig id="f000010"><label>Fig. 2</label><caption><p>Simulations of the delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, showing the total number of infected individuals as a function of time. Parameter values used are as given in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>, with <inline-formula><mml:math id="M187" altimg="si1.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>20</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M188" altimg="si2.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.15</mml:mn></mml:math></inline-formula> (so <inline-formula><mml:math id="M189" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.7150</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M190" altimg="si4.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>16.6470</mml:mn></mml:math></inline-formula>).</p></caption><graphic xlink:href="gr2"></graphic></fig></p><sec id="s000025"><label>3.1</label><title>The existence of an EEP</title><p id="p000150">In this section, the possible existence and stability of endemic (positive) equilibria of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> will be explored.</p><p id="p000155">Let <inline-formula><mml:math id="M191" altimg="si207.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> represent any arbitrary endemic equilibrium point of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, so <inline-formula><mml:math id="M192" altimg="si208.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>. Solving the equations of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> at the steady state gives <disp-formula-group id="fd000220"><label>(10)</label><disp-formula id="fd000225"><mml:math id="M193" altimg="si209.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000230"><mml:math id="M194" altimg="si210.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> where <disp-formula id="fd000235"><label>(11)</label><mml:math id="M195" altimg="si211.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> For computational convenience, the expressions in <xref rid="fd000220" ref-type="disp-formula">(10)</xref> are rewritten in terms of <inline-formula><mml:math id="M196" altimg="si212.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> as below: <disp-formula-group id="fd000240"><label>(12)</label><disp-formula id="fd000245"><mml:math id="M197" altimg="si213.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000250"><mml:math id="M198" altimg="si214.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> where <disp-formula-group id="fd000255"><disp-formula id="fd000260"><mml:math id="M199" altimg="si215.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000265"><mml:math id="M200" altimg="si216.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Substituting the expressions in <xref rid="fd000240" ref-type="disp-formula">(12)</xref> into <xref rid="fd000235" ref-type="disp-formula">(11)</xref> gives <disp-formula id="fd000270"><label>(13)</label><mml:math id="M201" altimg="si217.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Dividing each term in <xref rid="fd000270" ref-type="disp-formula">(13)</xref> by <inline-formula><mml:math id="M202" altimg="si218.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> (and noting that, at the endemic steady state, <inline-formula><mml:math id="M203" altimg="si219.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>) gives</p><p id="p000160"><disp-formula id="fd000275"><label>(14)</label><mml:math id="M204" altimg="si220.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <disp-formula id="fd000280"><mml:math id="M205" altimg="si221.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> it follows from <xref rid="fd000275" ref-type="disp-formula">(14)</xref> that <disp-formula id="fd000285"><label>(15)</label><mml:math id="M206" altimg="si222.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>whenever </mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> The components of the endemic equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M207" altimg="si223.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, can then be obtained by substituting the unique value of <inline-formula><mml:math id="M208" altimg="si224.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>, given in <xref rid="fd000285" ref-type="disp-formula">(15)</xref>, into the expressions in <xref rid="fd000220" ref-type="disp-formula">(10)</xref>. Thus, the following result is established.</p><p id="p000165"><statement id="e000040"><label>Lemma 4</label><p id="p000170"><italic>The model</italic> <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> <italic>has a unique endemic (positive) equilibrium, given by</italic><inline-formula><mml:math id="M209" altimg="si225.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>, whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M210" altimg="si226.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000175">Although not proven here, numerical simulations of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> suggest that the EEP (<inline-formula><mml:math id="M211" altimg="si227.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>) of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> is asymptotically stable for <inline-formula><mml:math id="M212" altimg="si228.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> (<xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>). It should be mentioned, however, that the solutions depicted in <xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref> did not converge to zero, as they appear to (see <xref rid="f000020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>for a blow up of the tail end of <xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>). In other words, <xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>, <xref rid="f000020" ref-type="fig">Fig. 4</xref> show convergence of the solutions to the unique EEP, <inline-formula><mml:math id="M213" altimg="si229.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> for the case <inline-formula><mml:math id="M214" altimg="si230.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. The following conjecture is suggested:<statement id="e000045"><label>Conjecture 1</label><p id="p000180"><italic>The unique EEP,</italic><inline-formula><mml:math id="M215" altimg="si231.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>, of the model</italic> <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> <italic>is LAS whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M216" altimg="si232.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement><fig id="f000015"><label>Fig. 3</label><caption><p>Simulations of the delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, showing the total number of infected individuals as a function of time. Parameter values used are as given in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>, with <inline-formula><mml:math id="M217" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>18</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M218" altimg="si6.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1</mml:mn></mml:math></inline-formula> (so <inline-formula><mml:math id="M219" altimg="si7.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.0298</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M220" altimg="si8.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>20.9263</mml:mn></mml:math></inline-formula>).</p></caption><graphic xlink:href="gr3"></graphic></fig><fig id="f000020"><label>Fig. 4</label><caption><p>Blow up of the tail end of <xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>.</p></caption><graphic xlink:href="gr4"></graphic></fig></p><p id="p000185">In summary, the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> has a globally asymptotic stable disease-free equilibrium whenever <inline-formula><mml:math id="M221" altimg="si233.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, and it has a unique endemic equilibrium whenever <inline-formula><mml:math id="M222" altimg="si234.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. These results are consistent with those reported for the corresponding autonomous (non-delayed) quarantine/isolation model in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>. In other words, adding time delay to the non-delayed quarantine/isolation model in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> does not alter its qualitative (equilibrium) dynamics. The next task is to determine whether or not the dynamics of the non-delayed quarantine/isolation model in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> is affected by the combined use of time delay and the substitution of the standard incidence function with the Holling type II incidence function. This is considered below.</p></sec></sec><sec id="s000030"><label>4</label><title>The model with Holling type II incidence</title><p id="p000190">In this section, the delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> will be analyzed subject to the use of the Holling type II incidence function, given by <inline-formula><mml:math id="M223" altimg="si235.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula> (with <inline-formula><mml:math id="M224" altimg="si236.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>), in place of the standard incidence function. The delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, with the standard incidence function replaced by <inline-formula><mml:math id="M225" altimg="si237.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is given by <disp-formula-group id="fd000290"><label>(16)</label><disp-formula id="fd000295"><mml:math id="M226" altimg="si238.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000300"><mml:math id="M227" altimg="si239.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000305"><mml:math id="M228" altimg="si240.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000310"><mml:math id="M229" altimg="si241.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000315"><mml:math id="M230" altimg="si242.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000320"><mml:math id="M231" altimg="si243.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><sec id="s000035"><label>4.1</label><title>Global stability of the DFE</title><p id="p000195">The delayed system <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> has the same DFE, <inline-formula><mml:math id="M232" altimg="si244.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, as the system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>. Further, the invariant region, <inline-formula><mml:math id="M233" altimg="si245.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula>, holds for system <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> as well. The GAS property of the DFE of the system <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> will be explored using the methodology given in <xref rid="br000145" ref-type="bibr">[29]</xref>. Define <disp-formula id="fd000325"><mml:math id="M234" altimg="si246.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> The proof is based on using the following result. <statement id="e000050"><label>Lemma 5</label><title><xref rid="br000145" ref-type="bibr">[29]</xref></title><p id="p000200"><italic>Consider the following delay differential equation:</italic><disp-formula id="fd000330"><label>(17)</label><mml:math id="M235" altimg="si247.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula><italic>where</italic><inline-formula><mml:math id="M236" altimg="si248.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>and</italic><inline-formula><mml:math id="M237" altimg="si249.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>are positive constants,</italic><inline-formula><mml:math id="M238" altimg="si250.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>; then:</italic><list list-type="simple" id="l000005"><list-item id="li000005"><label>(i)</label><p id="p000205"><italic>Eq.</italic><xref rid="fd000330" ref-type="disp-formula">(17)</xref> <italic>has a trivial equilibrium</italic><inline-formula><mml:math id="M239" altimg="si251.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>and it is globally asymptotically stable if</italic><inline-formula><mml:math id="M240" altimg="si252.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></list-item><list-item id="li000010"><label>(ii)</label><p id="p000210"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M241" altimg="si253.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>, Eq.</italic><xref rid="fd000330" ref-type="disp-formula">(17)</xref> <italic>has a unique positive equilibrium</italic><inline-formula><mml:math id="M242" altimg="si254.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula><italic>which is globally asymptotically stable.</italic></p></list-item></list></p></statement></p><p id="p000215"><statement id="e000055"><label>Theorem 2</label><p id="p000220"><italic>The DFE of the model</italic> <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref><italic>, given by</italic> <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(5)</xref><italic>, is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M243" altimg="si255.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M244" altimg="si256.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000225"><statement id="e000060"><label>Proof</label><p id="p000230">Let <inline-formula><mml:math id="M245" altimg="si257.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Furthermore, let <inline-formula><mml:math id="M246" altimg="si258.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> be any positive solution of the system <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> with the initial data <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2)</xref>. Since <inline-formula><mml:math id="M247" altimg="si259.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, it is clear that <disp-formula id="fd000335"><label>(18)</label><mml:math id="M248" altimg="si260.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M249" altimg="si261.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in <inline-formula><mml:math id="M250" altimg="si262.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M251" altimg="si263.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, it follows from the second equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> that <disp-formula id="fd000340"><label>(19)</label><mml:math id="M252" altimg="si264.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Consider, next, the auxiliary (with equality) equation associated with the inequality <xref rid="fd000340" ref-type="disp-formula">(19)</xref> (where <inline-formula><mml:math id="M253" altimg="si265.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi></mml:math></inline-formula> is a dummy variable) <disp-formula id="fd000345"><label>(20)</label><mml:math id="M254" altimg="si266.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Using Item (i) of <xref rid="e000050" ref-type="statement">Lemma 5</xref>, together with Eq. <xref rid="fd000335" ref-type="disp-formula">(18)</xref>, in <xref rid="fd000345" ref-type="disp-formula">(20)</xref> gives <disp-formula id="fd000350"><mml:math id="M255" altimg="si267.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, it follows from <xref rid="fd000340" ref-type="disp-formula">(19)</xref>, using the comparison theorem <xref rid="br000140" ref-type="bibr">[28]</xref>, that <disp-formula id="fd000355"><mml:math id="M256" altimg="si268.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, for any <inline-formula><mml:math id="M257" altimg="si269.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> sufficiently small, there exists a <inline-formula><mml:math id="M258" altimg="si270.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> such that if <inline-formula><mml:math id="M259" altimg="si271.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M260" altimg="si272.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Using <inline-formula><mml:math id="M261" altimg="si273.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in <inline-formula><mml:math id="M262" altimg="si274.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M263" altimg="si275.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, for <inline-formula><mml:math id="M264" altimg="si276.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula>, in the second equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> (note that <inline-formula><mml:math id="M265" altimg="si277.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is monotone increasing) gives <disp-formula id="fd000360"><mml:math id="M266" altimg="si278.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Furthermore, by the comparison theorem, <disp-formula id="fd000365"><mml:math id="M267" altimg="si279.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M268" altimg="si280.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> is arbitrary, it follows (by setting <inline-formula><mml:math id="M269" altimg="si281.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>) that <disp-formula id="fd000370"><mml:math id="M270" altimg="si282.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, for <inline-formula><mml:math id="M271" altimg="si283.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> small, there exists a <inline-formula><mml:math id="M272" altimg="si284.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that if <inline-formula><mml:math id="M273" altimg="si285.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M274" altimg="si286.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. Using <inline-formula><mml:math id="M275" altimg="si287.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, for <inline-formula><mml:math id="M276" altimg="si288.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, in the fourth equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> gives <disp-formula id="fd000375"><mml:math id="M277" altimg="si289.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000380"><mml:math id="M278" altimg="si290.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <disp-formula id="fd000385"><mml:math id="M279" altimg="si291.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> In a similar way, it can be shown that <disp-formula id="fd000390"><mml:math id="M280" altimg="si292.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000235">Finally, it follows from the first equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M281" altimg="si293.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>T</mml:mi></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000395"><mml:math id="M282" altimg="si294.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> so, using the comparison theorem, <disp-formula id="fd000400"><mml:math id="M283" altimg="si295.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence (by letting <inline-formula><mml:math id="M284" altimg="si296.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>) <disp-formula id="fd000405"><mml:math id="M285" altimg="si297.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Additionally, since <inline-formula><mml:math id="M286" altimg="si298.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula> in <inline-formula><mml:math id="M287" altimg="si299.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula> it follows that <disp-formula id="fd000410"><mml:math id="M288" altimg="si300.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, <disp-formula id="fd000415"><mml:math id="M289" altimg="si301.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> □</p></statement> The epidemiological implication of the above result (<xref rid="e000055" ref-type="statement">Theorem 2</xref>) is that the combined use of quarantine and isolation can lead to disease elimination if the two interventions can bring (and keep) the threshold quantity, <inline-formula><mml:math id="M290" altimg="si302.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, to a value less than unity (i.e., the condition <inline-formula><mml:math id="M291" altimg="si303.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> is necessary and sufficient for disease elimination).</p><p id="p000240">By solving for <inline-formula><mml:math id="M292" altimg="si304.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> from the equation <inline-formula><mml:math id="M293" altimg="si305.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> (and noting <xref rid="e000055" ref-type="statement">Theorem 2</xref>), the following result can be obtained. <statement id="e000065"><label>Lemma 6</label><p id="p000245"><italic>The DFE of the model</italic> <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref><italic>, given by</italic> <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(5)</xref><italic>, is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M294" altimg="si306.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M295" altimg="si307.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000250">In other words, like in the case of system <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, the disease will be eliminated from the community if and only if <inline-formula><mml:math id="M296" altimg="si308.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. <xref rid="f000025" ref-type="fig">Fig. 5</xref>depicts the numerical results obtained by simulating the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> using the parameter values in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref> and various initial conditions for the case <inline-formula><mml:math id="M297" altimg="si309.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is evident from this figure that all solutions converged to the DFE, <inline-formula><mml:math id="M298" altimg="si310.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> (in line with <xref rid="e000055" ref-type="statement">Theorem 2</xref> and <xref rid="e000065" ref-type="statement">Lemma 6</xref>).<fig id="f000025"><label>Fig. 5</label><caption><p>Simulations of the delayed model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, showing the total number of infected individuals as a function of time. Parameter values used are as given in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>, with <inline-formula><mml:math id="M299" altimg="si9.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>20</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M300" altimg="si10.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.0025809</mml:mn></mml:math></inline-formula> (so <inline-formula><mml:math id="M301" altimg="si11.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.1599</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M302" altimg="si12.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>16.3340</mml:mn></mml:math></inline-formula>).</p></caption><graphic xlink:href="gr5"></graphic></fig></p></sec><sec id="s000040"><label>4.2</label><title>The existence of an EEP and disease permanence</title><p id="p000255">In this section, the possible existence of endemic (positive) equilibria of the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, and the permanence of the disease, will be explored.</p><sec id="s000045"><label>4.2.1</label><title>The existence of an EEP</title><p id="p000260">Let <inline-formula><mml:math id="M303" altimg="si311.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> represent any arbitrary endemic equilibrium of the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>. Solving the equations of the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> at the steady state gives <disp-formula-group id="fd000420"><label>(21)</label><disp-formula id="fd000425"><mml:math id="M304" altimg="si312.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000430"><mml:math id="M305" altimg="si313.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000435"><mml:math id="M306" altimg="si314.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Equating the first and third equations of <xref rid="fd000420" ref-type="disp-formula">(21)</xref>, and solving for <inline-formula><mml:math id="M307" altimg="si315.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> in terms <inline-formula><mml:math id="M308" altimg="si316.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, gives <disp-formula id="fd000440"><label>(22)</label><mml:math id="M309" altimg="si317.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>whenever </mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Substituting for <inline-formula><mml:math id="M310" altimg="si318.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> from <xref rid="fd000440" ref-type="disp-formula">(22)</xref> into the first equation of <xref rid="fd000420" ref-type="disp-formula">(21)</xref> gives <disp-formula id="fd000445"><label>(23)</label><mml:math id="M311" altimg="si319.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> It follows from <xref rid="fd000420" ref-type="disp-formula">(21)</xref> (noting from <xref rid="fd000440" ref-type="disp-formula">(22)</xref> and <xref rid="fd000445" ref-type="disp-formula">(23)</xref> that both <inline-formula><mml:math id="M312" altimg="si320.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M313" altimg="si321.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> are positive if <inline-formula><mml:math id="M314" altimg="si322.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>) that <inline-formula><mml:math id="M315" altimg="si323.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> whenever <inline-formula><mml:math id="M316" altimg="si324.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Thus, the following result is established. <statement id="e000070"><label>Lemma 7</label><p id="p000265"><italic>The model</italic> <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> <italic>has a unique endemic (positive) equilibrium, given by</italic><inline-formula><mml:math id="M317" altimg="si325.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula><italic>, whenever</italic><inline-formula><mml:math id="M318" altimg="si326.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p></sec><sec id="s000050"><label>4.2.2</label><title>Permanence of the disease</title><p id="p000270">The permanence of the disease will now be explored in the context of the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>. That is, the objective is to determine whether or not the number of infectious cases in the population will persist above a certain positive number for a long time period (for the case when <inline-formula><mml:math id="M319" altimg="si327.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>). <statement id="e000075"><label>Theorem 3</label><p id="p000275"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M320" altimg="si328.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>, then for any solution of</italic> <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> <italic>with the initial data</italic> <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2)</xref><italic>, there exists a positive number</italic><inline-formula><mml:math id="M321" altimg="si329.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula><italic>, such that</italic><inline-formula><mml:math id="M322" altimg="si330.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000280"><statement id="e000080"><label>Proof</label><p id="p000285">The proof of <xref rid="e000075" ref-type="statement">Theorem 3</xref> is based on using the approach given in <xref rid="br000150" ref-type="bibr">[30]</xref>, <xref rid="br000155" ref-type="bibr">[31]</xref>, <xref rid="br000160" ref-type="bibr">[32]</xref>, <xref rid="br000165" ref-type="bibr">[33]</xref>. It should be noted, first of all, that the second equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> can be rewritten as <disp-formula id="fd000450"><label>(24)</label><mml:math id="M323" altimg="si331.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>x</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Consider the following function: <disp-formula id="fd000455"><mml:math id="M324" altimg="si332.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mstyle><mml:mi>x</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Clearly, <inline-formula><mml:math id="M325" altimg="si333.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is bounded (since the variables <inline-formula><mml:math id="M326" altimg="si334.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M327" altimg="si335.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are bounded). Furthermore, it follows, using <xref rid="fd000450" ref-type="disp-formula">(24)</xref>, that <disp-formula id="fd000460"><label>(25)</label><mml:math id="M328" altimg="si336.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since, at the endemic steady state, <inline-formula><mml:math id="M329" altimg="si337.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is given by <inline-formula><mml:math id="M330" altimg="si338.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> whenever <inline-formula><mml:math id="M331" altimg="si339.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, it is clear that for any <inline-formula><mml:math id="M332" altimg="si340.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M333" altimg="si341.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>. Hence, there exists a number <inline-formula><mml:math id="M334" altimg="si342.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M335" altimg="si343.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000290">The next task is to show that <inline-formula><mml:math id="M336" altimg="si344.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M337" altimg="si345.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Suppose, by contradiction, that <inline-formula><mml:math id="M338" altimg="si346.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M339" altimg="si347.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. It then follows, from the first equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M340" altimg="si348.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000465"><mml:math id="M341" altimg="si349.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <disp-formula id="fd000470"><mml:math id="M342" altimg="si350.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so, for <inline-formula><mml:math id="M343" altimg="si351.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, <disp-formula id="fd000475"><label>(26)</label><mml:math id="M344" altimg="si352.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>></mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000295">Since <inline-formula><mml:math id="M345" altimg="si353.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>, it follows from <xref rid="fd000460" ref-type="disp-formula">(25)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M346" altimg="si354.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000480"><label>(27)</label><mml:math id="M347" altimg="si355.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Let <inline-formula><mml:math id="M348" altimg="si356.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>min</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It can be claimed that <inline-formula><mml:math id="M349" altimg="si357.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M350" altimg="si358.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Suppose the claim does not hold. Then there exists a constant <inline-formula><mml:math id="M351" altimg="si359.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M352" altimg="si360.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M353" altimg="si361.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M354" altimg="si362.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> with <inline-formula><mml:math id="M355" altimg="si363.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M356" altimg="si364.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> (see <xref rid="f000030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>). However, it follows from the third equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, when <inline-formula><mml:math id="M357" altimg="si365.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000485"><mml:math id="M358" altimg="si366.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mtext> for </mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext> for </mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> This contradicts the fact that <inline-formula><mml:math id="M359" altimg="si367.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Hence, <inline-formula><mml:math id="M360" altimg="si368.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M361" altimg="si369.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Thus, it follows from <xref rid="fd000480" ref-type="disp-formula">(27)</xref> that <disp-formula id="fd000490"><mml:math id="M362" altimg="si370.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>></mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>ˆ</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for all </mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <inline-formula><mml:math id="M363" altimg="si371.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:math></inline-formula>, which contradicts the fact that <inline-formula><mml:math id="M364" altimg="si372.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is bounded. Finally, to complete the proof, we need to show that <inline-formula><mml:math id="M365" altimg="si373.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> for sufficiently large <inline-formula><mml:math id="M366" altimg="si374.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></inline-formula>.<fig id="f000030"><label>Fig. 6</label><caption><p>Plot <inline-formula><mml:math id="M367" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M368" altimg="si14.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr6"></graphic></fig></p><p id="p000300">Let <inline-formula><mml:math id="M369" altimg="si375.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> be sufficiently large and <inline-formula><mml:math id="M370" altimg="si376.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>. Consider the following interval, <inline-formula><mml:math id="M371" altimg="si377.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It follows, from the second equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, that <disp-formula id="fd000495"><mml:math id="M372" altimg="si378.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <disp-formula id="fd000500"><label>(28)</label><mml:math id="M373" altimg="si379.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for </mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> It is clear from <xref rid="fd000500" ref-type="disp-formula">(28)</xref> that if <inline-formula><mml:math id="M374" altimg="si380.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M375" altimg="si381.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula>. For the other case (where <inline-formula><mml:math id="M376" altimg="si382.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>), it is easy to see that the inequity <inline-formula><mml:math id="M377" altimg="si383.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> also holds for <inline-formula><mml:math id="M378" altimg="si384.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. We claim that <xref rid="fd000500" ref-type="disp-formula">(28)</xref> also holds for <inline-formula><mml:math id="M379" altimg="si385.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. If not, then there exists a constant <inline-formula><mml:math id="M380" altimg="si386.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M381" altimg="si387.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M382" altimg="si388.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, with <inline-formula><mml:math id="M383" altimg="si389.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M384" altimg="si390.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M385" altimg="si391.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Here, too, it follows from the third equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, when <inline-formula><mml:math id="M386" altimg="si392.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000505"><mml:math id="M387" altimg="si393.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> This contradicts the fact that <inline-formula><mml:math id="M388" altimg="si394.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Hence, <inline-formula><mml:math id="M389" altimg="si395.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M390" altimg="si396.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since this interval and the parameter <inline-formula><mml:math id="M391" altimg="si397.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are chosen arbitrarily, it is concluded that <inline-formula><mml:math id="M392" altimg="si398.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Thus, <inline-formula><mml:math id="M393" altimg="si399.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula>. □</p></statement></p><p id="p000305">The epidemiological implication of <xref rid="e000075" ref-type="statement">Theorem 3</xref> is that the number of infectious cases will persist in the population (as <inline-formula><mml:math id="M394" altimg="si400.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:math></inline-formula>) above a certain positive number (<inline-formula><mml:math id="M395" altimg="si401.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula>) whenever <inline-formula><mml:math id="M396" altimg="si402.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>.</p></sec></sec><sec id="s000055"><label>4.3</label><title>Global stability of the EEP</title><p id="p000310">Here, the global stability of the EEP, <inline-formula><mml:math id="M397" altimg="si403.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, of the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> will be explored. It is convenient to define <disp-formula id="fd000510"><mml:math id="M398" altimg="si404.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000315"><statement id="e000085"><label>Theorem 4</label><p id="p000320"><italic>The unique endemic equilibrium of the model</italic> <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref><italic>, given by</italic> <xref rid="fd000420" ref-type="disp-formula">(21)</xref><italic>, is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M399" altimg="si405.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>∖</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula><italic>if</italic><inline-formula><mml:math id="M400" altimg="si406.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>and</italic><inline-formula><mml:math id="M401" altimg="si407.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000325"><statement id="e000090"><label>Proof</label><p id="p000330">The proof of <xref rid="e000085" ref-type="statement">Theorem 4</xref> is based on using a comparison argument and an iteration technique, as given in <xref rid="br000145" ref-type="bibr">[29]</xref>, <xref rid="br000170" ref-type="bibr">[34]</xref>.</p><p id="p000335">Let <inline-formula><mml:math id="M402" altimg="si408.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> be any solution of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> with initial conditions given by <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2)</xref>. Further, let <disp-formula-group id="fd000515"><disp-formula id="fd000520"><mml:math id="M403" altimg="si409.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000525"><mml:math id="M404" altimg="si410.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000530"><mml:math id="M405" altimg="si411.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> The goal is to show that <disp-formula-group id="fd000535"><disp-formula id="fd000540"><mml:math id="M406" altimg="si412.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000545"><mml:math id="M407" altimg="si413.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> It follows from the first equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> that <disp-formula id="fd000550"><mml:math id="M408" altimg="si414.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so, by the comparison theorem, <disp-formula id="fd000555"><mml:math id="M409" altimg="si415.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000340">Let <inline-formula><mml:math id="M410" altimg="si416.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Thus, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M411" altimg="si417.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M412" altimg="si418.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M413" altimg="si419.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M414" altimg="si420.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. It follows from the third equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> that, for <inline-formula><mml:math id="M415" altimg="si421.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, <disp-formula id="fd000560"><label>(29)</label><mml:math id="M416" altimg="si422.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Consider the auxiliary equation of <xref rid="fd000560" ref-type="disp-formula">(29)</xref>: <disp-formula id="fd000565"><label>(30)</label><mml:math id="M417" altimg="si423.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M418" altimg="si424.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, it follows that, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M419" altimg="si425.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Hence, by Item (ii) of <xref rid="e000050" ref-type="statement">Lemma 5</xref> and <xref rid="fd000565" ref-type="disp-formula">(30)</xref>, <disp-formula id="fd000570"><mml:math id="M420" altimg="si426.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, by the comparison theorem, <disp-formula id="fd000575"><mml:math id="M421" altimg="si427.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000580"><mml:math id="M422" altimg="si428.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Similarly, let <disp-formula id="fd000585"><mml:math id="M423" altimg="si429.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Then, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M424" altimg="si430.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M425" altimg="si431.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M426" altimg="si432.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M427" altimg="si433.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. It follows from the first equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M428" altimg="si434.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000590"><mml:math id="M429" altimg="si435.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so, by the comparison theorem, <disp-formula id="fd000595"><mml:math id="M430" altimg="si436.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <inline-formula><mml:math id="M431" altimg="si437.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M432" altimg="si438.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>. In other words, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M433" altimg="si439.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M434" altimg="si440.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M435" altimg="si441.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M436" altimg="si442.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. It follows from the third equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M437" altimg="si443.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000600"><mml:math id="M438" altimg="si444.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so (by considering the auxiliary equation) <disp-formula id="fd000605"><mml:math id="M439" altimg="si445.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, it follows from Item (ii) of <xref rid="e000050" ref-type="statement">Lemma 5</xref> (since <inline-formula><mml:math id="M440" altimg="si446.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>) that <disp-formula id="fd000610"><mml:math id="M441" altimg="si447.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and the comparison theorem gives <disp-formula id="fd000615"><mml:math id="M442" altimg="si448.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M443" altimg="si449.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M444" altimg="si450.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M445" altimg="si451.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M446" altimg="si452.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <disp-formula id="fd000620"><mml:math id="M447" altimg="si453.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000345">Using <inline-formula><mml:math id="M448" altimg="si454.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M449" altimg="si455.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M450" altimg="si456.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the second equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M451" altimg="si457.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, gives <disp-formula id="fd000625"><mml:math id="M452" altimg="si458.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, by the comparison theorem, <disp-formula id="fd000630"><mml:math id="M453" altimg="si459.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Therefore, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M454" altimg="si460.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M455" altimg="si461.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M456" altimg="si462.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M457" altimg="si463.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <disp-formula id="fd000635"><mml:math id="M458" altimg="si464.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000350">Similarly, by using <inline-formula><mml:math id="M459" altimg="si465.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M460" altimg="si466.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the second equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M461" altimg="si467.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, we have <disp-formula id="fd000640"><mml:math id="M462" altimg="si468.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000645"><mml:math id="M463" altimg="si469.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M464" altimg="si470.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M465" altimg="si471.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M466" altimg="si472.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M467" altimg="si473.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <disp-formula id="fd000650"><mml:math id="M468" altimg="si474.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Using <inline-formula><mml:math id="M469" altimg="si475.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the fourth equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M470" altimg="si476.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, gives <disp-formula id="fd000655"><mml:math id="M471" altimg="si477.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000660"><mml:math id="M472" altimg="si478.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M473" altimg="si479.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M474" altimg="si480.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M475" altimg="si481.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M476" altimg="si482.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M477" altimg="si483.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000355">Similarly, by using <inline-formula><mml:math id="M478" altimg="si484.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the fourth equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M479" altimg="si485.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, we have <disp-formula id="fd000665"><mml:math id="M480" altimg="si486.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and <disp-formula id="fd000670"><mml:math id="M481" altimg="si487.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M482" altimg="si488.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M483" altimg="si489.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M484" altimg="si490.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M485" altimg="si491.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M486" altimg="si492.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>. Using <inline-formula><mml:math id="M487" altimg="si493.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M488" altimg="si494.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the fifth equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M489" altimg="si495.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, gives <disp-formula id="fd000675"><mml:math id="M490" altimg="si496.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and <disp-formula id="fd000680"><mml:math id="M491" altimg="si497.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M492" altimg="si498.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M493" altimg="si499.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M494" altimg="si500.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, for <inline-formula><mml:math id="M495" altimg="si501.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M496" altimg="si502.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>. Similarly, it follows by using <inline-formula><mml:math id="M497" altimg="si503.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M498" altimg="si504.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the fifth equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M499" altimg="si505.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, that <disp-formula id="fd000685"><mml:math id="M500" altimg="si506.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000690"><mml:math id="M501" altimg="si507.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>H</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, for sufficiently small <inline-formula><mml:math id="M502" altimg="si508.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, there exists a <inline-formula><mml:math id="M503" altimg="si509.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> such that <inline-formula><mml:math id="M504" altimg="si510.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M505" altimg="si511.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M506" altimg="si512.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000360">Using <inline-formula><mml:math id="M507" altimg="si513.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M508" altimg="si514.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the last equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M509" altimg="si515.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>9</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, gives <disp-formula id="fd000695"><mml:math id="M510" altimg="si516.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <disp-formula id="fd000700"><mml:math id="M511" altimg="si517.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim sup</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, <inline-formula><mml:math id="M512" altimg="si518.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M513" altimg="si519.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>. Using <inline-formula><mml:math id="M514" altimg="si520.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M515" altimg="si521.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula> in the last equation of <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, for <inline-formula><mml:math id="M516" altimg="si522.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, gives <disp-formula id="fd000705"><mml:math id="M517" altimg="si523.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so (by the comparison theorem) <disp-formula id="fd000710"><mml:math id="M518" altimg="si524.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim inf</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Hence, <inline-formula><mml:math id="M519" altimg="si525.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M520" altimg="si526.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000365">Continuing in this manner leads to the following sequences: <disp-formula-group id="fd000715"><label>(31)</label><disp-formula id="fd000720"><mml:math id="M521" altimg="si527.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000725"><mml:math id="M522" altimg="si528.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000730"><mml:math id="M523" altimg="si529.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000735"><mml:math id="M524" altimg="si530.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000740"><mml:math id="M525" altimg="si531.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000745"><mml:math id="M526" altimg="si532.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000750"><mml:math id="M527" altimg="si533.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><p id="p000370">Finally, since <inline-formula><mml:math id="M528" altimg="si534.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M529" altimg="si535.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M530" altimg="si536.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, the proof is concluded by showing that <disp-formula-group id="fd000755"><disp-formula id="fd000760"><mml:math id="M531" altimg="si537.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000765"><mml:math id="M532" altimg="si538.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000770"><mml:math id="M533" altimg="si539.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Using the first four sequences of <xref rid="fd000715" ref-type="disp-formula">(31)</xref>, it is easy to see that the sequence <inline-formula><mml:math id="M534" altimg="si540.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> can be written in terms of <inline-formula><mml:math id="M535" altimg="si541.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> as <disp-formula id="fd000775"><label>(32)</label><mml:math id="M536" altimg="si542.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M537" altimg="si543.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. Furthermore, it can be shown that whenever <inline-formula><mml:math id="M538" altimg="si544.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:math></inline-formula>, the sequence <inline-formula><mml:math id="M539" altimg="si545.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> is monotone as follows: <disp-formula id="fd000780"><mml:math id="M540" altimg="si546.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M541" altimg="si547.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>, it follows that <disp-formula id="fd000785"><mml:math id="M542" altimg="si548.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mtext>since </mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, <inline-formula><mml:math id="M543" altimg="si549.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> exists.</p><p id="p000375">Let <inline-formula><mml:math id="M544" altimg="si550.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. Then, it follows from <xref rid="fd000775" ref-type="disp-formula">(32)</xref> that <disp-formula id="fd000790"><mml:math id="M545" altimg="si551.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and so <disp-formula id="fd000795"><mml:math id="M546" altimg="si552.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>M</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Taking the limit as <inline-formula><mml:math id="M547" altimg="si553.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:math></inline-formula> of both sides of the third sequence of <xref rid="fd000715" ref-type="disp-formula">(31)</xref> gives <disp-formula id="fd000800"><mml:math id="M548" altimg="si554.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Similarly, taking the limits of both sides of the remaining sequences in <xref rid="fd000715" ref-type="disp-formula">(31)</xref>, and using the previous results, gives <disp-formula-group id="fd000805"><disp-formula id="fd000810"><mml:math id="M549" altimg="si555.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000815"><mml:math id="M550" altimg="si556.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000820"><mml:math id="M551" altimg="si557.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Hence, <inline-formula><mml:math id="M552" altimg="si558.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>H</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>. □</p></statement></p><p id="p000380"><xref rid="e000085" ref-type="statement">Theorem 4</xref> shows that the disease will persist in the population whenever <inline-formula><mml:math id="M553" altimg="si559.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Here, too, by solving for <inline-formula><mml:math id="M554" altimg="si560.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> from <inline-formula><mml:math id="M555" altimg="si561.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, the following result can be shown. <statement id="e000095"><label>Lemma 8</label><p id="p000385"><italic>The unique endemic equilibrium of the model</italic> <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref><italic>, given by</italic> <xref rid="fd000420" ref-type="disp-formula">(21)</xref><italic>, is GAS in</italic><inline-formula><mml:math id="M556" altimg="si562.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi><mml:mo>∖</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula><italic>if</italic><inline-formula><mml:math id="M557" altimg="si563.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mo>ln</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula><italic>and</italic><inline-formula><mml:math id="M558" altimg="si564.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement></p><p id="p000390"><xref rid="e000085" ref-type="statement">Theorem 4</xref> shows that the disease will persist in the population provided that <inline-formula><mml:math id="M559" altimg="si565.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M560" altimg="si566.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>Π</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="normal"><mml:mi>e</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. Thus, <xref rid="e000065" ref-type="statement">Lemma 6</xref>, <xref rid="e000095" ref-type="statement">Lemma 8</xref> suggest that <inline-formula><mml:math id="M561" altimg="si567.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is a sharp epidemiological threshold that governs the persistence (<inline-formula><mml:math id="M562" altimg="si568.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>) and elimination (<inline-formula><mml:math id="M563" altimg="si569.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>) of the disease in the population. <xref rid="f000035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>shows a time series plot of the total number of infected individuals for various initial conditions. This figure clearly shows convergence of the solutions to the EEP for the case <inline-formula><mml:math id="M564" altimg="si570.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (in line with <xref rid="e000085" ref-type="statement">Theorem 4</xref> and <xref rid="e000095" ref-type="statement">Lemma 8</xref>). <xref rid="f000040" ref-type="fig">Fig. 8</xref>depicts of the total number of cases as a function of time for various values of <inline-formula><mml:math id="M565" altimg="si571.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. This figure shows a decreasing number of cases with increasing values of delay parameter <inline-formula><mml:math id="M566" altimg="si572.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. That is, the longer individuals stay in the exposed class, the lower the disease burden.<fig id="f000035"><label>Fig. 7</label><caption><p>Simulations of the delayed model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, showing the total number of infected individuals as a function of time. Parameter values used are as given in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>, with <inline-formula><mml:math id="M567" altimg="si15.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M568" altimg="si16.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.0025809</mml:mn></mml:math></inline-formula> (so <inline-formula><mml:math id="M569" altimg="si17.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.3741</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M570" altimg="si18.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>16.3340</mml:mn></mml:math></inline-formula>).</p></caption><graphic xlink:href="gr7"></graphic></fig><fig id="f000040"><label>Fig. 8</label><caption><p>Simulations of the delayed model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, showing the total number of infected individuals for various values of <inline-formula><mml:math id="M571" altimg="si19.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Parameter values used are as given in <xref rid="t000015" ref-type="table">Table 3</xref>, with <inline-formula><mml:math id="M572" altimg="si20.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.15</mml:mn></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr8"></graphic></fig></p><p id="p000395">To assess the impact of using time delay to model the incubation period on the suitability of the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> for realistically capturing the observed SARS data (cumulative probable cases) for the Greater Toronto Area (GTA) of Canada, the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref> is simulated in the presence and absence of time delay. It should be stated that the GTA recorded about 250 probable cases of SARS during the 2003 outbreaks <xref rid="br000105" ref-type="bibr">[21]</xref>. The simulation results obtained, depicted in <xref rid="f000045" ref-type="fig">Fig. 9</xref>, show that while the model without time delay (considered in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>) underestimated the observed cumulative number of probable cases (about 170 cases), the model with time delay (i.e., model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>) gave a good estimate of the observed data (about 220 cases). Thus, this study suggests that the model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, with time delay, is more appropriate for modeling the SARS outbreaks in the GTA than the corresponding model without time delay (given in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>). Similar simulation results were obtained for the case of the model with Holling type II function <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> (see <xref rid="f000050" ref-type="fig">Fig. 10</xref>).<fig id="f000045"><label>Fig. 9</label><caption><p>Numerical simulations of the standard incidence delayed model <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, showing the cumulative number of probable SARS cases for the GTA, in the presence and absence of time delay.</p></caption><graphic xlink:href="gr9"></graphic></fig><fig id="f000050"><label>Fig. 10</label><caption><p>Numerical simulations of the Holling type II delayed model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, showing the cumulative number of probable SARS cases for the GTA, in the presence and absence of time delay.</p></caption><graphic xlink:href="gr10"></graphic></fig></p></sec></sec><sec id="s000060"><label>5</label><title>Conclusions</title><p id="p000400">A deterministic quarantine/isolation model with time delay is considered, subject to two incidence functions, namely standard incidence and the Holling type II incidence function. The main findings of this study are summarized below: <list list-type="simple" id="l000010"><list-item id="li000015"><label>(i)</label><p id="p000405">The model with standard incidence function, given by <xref rid="fd000060" ref-type="disp-formula">(3)</xref>, has a globally asymptotically stable disease-free solution whenever a certain epidemiological threshold quantity (<inline-formula><mml:math id="M573" altimg="si573.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>) is less than unity (<xref rid="e000025" ref-type="statement">Theorem 1</xref>). Furthermore, this model has a unique positive endemic equilibrium whenever the threshold quantity (<inline-formula><mml:math id="M574" altimg="si574.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>) exceeds unity (<xref rid="e000040" ref-type="statement">Lemma 4</xref>).</p></list-item><list-item id="li000020"><label>(ii)</label><p id="p000410">The model with Holling type II incidence function, given by <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref>, has a globally asymptotically stable disease-free solution whenever its associated epidemiological threshold quantity (<inline-formula><mml:math id="M575" altimg="si575.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>) is less than unity (<xref rid="e000055" ref-type="statement">Theorem 2</xref>). This model has a unique positive endemic equilibrium whenever the threshold quantity (<inline-formula><mml:math id="M576" altimg="si576.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula>) exceeds unity (<xref rid="e000070" ref-type="statement">Lemma 7</xref>). Furthermore, the model system is permanent whenever <inline-formula><mml:math id="M577" altimg="si577.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> (<xref rid="e000075" ref-type="statement">Theorem 3</xref>). The unique endemic equilibrium of the model <xref rid="fd000290" ref-type="disp-formula">(16)</xref> is globally asymptotically stable under certain conditions (<xref rid="e000085" ref-type="statement">Theorem 4</xref>).</p></list-item></list></p><p id="p000415">In summary, the theoretical analyses in this study show that adding time delay to and/or replacing the standard incidence function by a Holling type II incidence function in the autonomous (non-delayed) quarantine/isolation model in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref> does not alter the qualitative dynamics (as regards the elimination or persistence of the disease) of the non-delayed model considered in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>. In other words, the theoretical results in this study show that the quarantine/isolation model with time delay (<inline-formula><mml:math id="M578" altimg="si578.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>) and standard or non-linear incidence function of Holling type II has essentially the same qualitative (equilibrium) dynamics as the corresponding autonomous quarantine/isolation model (<inline-formula><mml:math id="M579" altimg="si579.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>) with the standard incidence function considered in <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>.</p><p id="p000420">Numerical simulations of the delayed model with the standard incidence function show that the associated disease burden decreases with increasing time delay (<inline-formula><mml:math id="M580" altimg="si580.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula>). Furthermore, models with time delay seem to be more appropriate for modeling the SARS epidemic than those without time delay (regardless of which of the incidence functions is used).</p></sec></body><back><ref-list id="b000005"><title>References</title><ref id="br000005"><label>1</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chowell</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Hengartner</surname><given-names>N.W.</given-names></name><name><surname>Castillo-Chavez</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Fenimore</surname><given-names>P.W.</given-names></name><name><surname>Hyman</surname><given-names>J.M.</given-names></name></person-group><article-title>The basic reproductive number of ebola and the effects of public health measures: the cases of Congo and Uganda</article-title><source>Journal of Theoretical Biology</source><volume>1</volume><year>2004</year><fpage>119</fpage><lpage>126</lpage></element-citation></ref><ref id="br000010"><label>2</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hethcote</surname><given-names>H.W.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>Zhien</given-names></name><name><surname>Liao</surname><given-names>Shengbing</given-names></name></person-group><article-title>Effects of quarantine in six endemic models for infectious diseases</article-title><source>Mathematical Biosciences</source><volume>180</volume><year>2002</year><fpage>141</fpage><lpage>160</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12387921</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000015"><label>3</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lipsitch</surname><given-names>M.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission dynamics and control of severe acute respiratory syndrome</article-title><source>Science</source><volume>300</volume><year>2003</year><fpage>1966</fpage><lpage>1970</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12766207</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000020"><label>4</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lloyd-Smith</surname><given-names>J.O.</given-names></name><name><surname>Galvani</surname><given-names>A.P.</given-names></name><name><surname>Getz</surname><given-names>W.M.</given-names></name></person-group><article-title>Curtailing transmission of severe acute respiratory syndrome within a community and its hospital</article-title><source>Proceedings of the Royal Society of London, Series B</source><volume>170</volume><year>2003</year><fpage>1979</fpage><lpage>1989</lpage></element-citation></ref><ref id="br000025"><label>5</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>McLeod</surname><given-names>R.G.</given-names></name><name><surname>Brewster</surname><given-names>J.F.</given-names></name><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name><name><surname>Slonowsky</surname><given-names>D.A.</given-names></name></person-group><article-title>Sensitivity and uncertainty analyses for a SARS model with time-varying inputs and outputs</article-title><source>Mathematical Biosciences and Engineering</source><volume>3</volume><year>2006</year><fpage>527</fpage><lpage>544</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">20210378</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000030"><label>6</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Riley</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission dynamics of etiological agent of SARS in Hong Kong: the impact of public health interventions</article-title><source>Science</source><volume>300</volume><year>2003</year><fpage>1961</fpage><lpage>1966</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12766206</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000035"><label>7</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Ruan</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><article-title>Simulating the SARS outbreak in Beijing with limited data</article-title><source>Journal of Theoretical Biology</source><volume>227</volume><year>2004</year><fpage>369</fpage><lpage>379</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">15019504</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000040"><label>8</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Webb</surname><given-names>G.F.</given-names></name><name><surname>Blaser</surname><given-names>M.J.</given-names></name><name><surname>Zhu</surname><given-names>H.</given-names></name><name><surname>Ardal</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Wu</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Critical role of nosocomial transmission in the Toronto SARS outbreak</article-title><source>Mathematical Biosciences and Engineering</source><volume>1</volume><year>2004</year><fpage>1</fpage><lpage>13</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">20369956</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000045"><label>9</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Yan</surname><given-names>X.</given-names></name><name><surname>Zou</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Optimal and sub-optimal quarantine and isolation control in SARS epidemics</article-title><source>Mathematical and Computer Modelling</source><volume>47</volume><year>2008</year><fpage>235</fpage><lpage>245</lpage></element-citation></ref><ref id="br000050"><label>10</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Safi</surname><given-names>M.A.</given-names></name><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name></person-group><article-title>Global asymptotic dynamics of a model for quarantine and isolation</article-title><source>Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B</source><volume>14</volume><year>2010</year><fpage>209</fpage><lpage>231</lpage></element-citation></ref><ref id="br000055"><label>11</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hethcote</surname><given-names>H.W.</given-names></name></person-group><article-title>The mathematics of infectious diseases</article-title><source>SIAM Review</source><volume>42</volume><year>2000</year><fpage>599</fpage><lpage>653</lpage></element-citation></ref><ref id="br000060"><label>12</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sharomi</surname><given-names>O.</given-names></name></person-group><article-title>Role of incidence function in vaccine-induced backward bifurcation in some HIV models</article-title><source>Mathematical Biosciences</source><volume>210</volume><year>2007</year><fpage>436</fpage><lpage>463</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">17707441</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000065"><label>13</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Anderson</surname><given-names>R.M.</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>R.M.</given-names></name></person-group><chapter-title>Population Biology of Infectious Diseases</chapter-title><year>1982</year><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>Berlin, Heidelberg, New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="br000070"><label>14</label><mixed-citation publication-type="other">R.M. Anderson, R.M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control, Oxford University, London, New York, 1991.</mixed-citation></ref><ref id="br000075"><label>15</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Capasso</surname><given-names>V.</given-names></name><name><surname>Serio</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>A generalization of the Kermack–McKendrick deterministic epidemic model</article-title><source>Mathematical Biosciences</source><volume>42</volume><year>1978</year><fpage>43</fpage><lpage>61</lpage></element-citation></ref><ref id="br000080"><label>16</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hou</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Teng</surname><given-names>Z.</given-names></name></person-group><article-title>Continuous and impulsive vaccination of SEIR epidemic models with saturation incidence rates</article-title><source>Mathematics and Computers in Simulation</source><volume>79</volume><year>2009</year><fpage>3038</fpage><lpage>3054</lpage></element-citation></ref><ref id="br000085"><label>17</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Liu</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Levin</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Iwasa</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Influence of nonlinear incidence rates upon the behavior of SIRS epidemiological models</article-title><source>Journal of Mathematical Biology</source><volume>23</volume><year>1986</year><fpage>187</fpage><lpage>204</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">3958634</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000090"><label>18</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ruan</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name></person-group><article-title>Dynamical behavior of an epidemic model with a nonlinear incidence rate</article-title><source>Journal of Differential Equations</source><volume>188</volume><year>2003</year><fpage>135</fpage><lpage>163</lpage></element-citation></ref><ref id="br000095"><label>19</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Cooke</surname><given-names>K.L.</given-names></name><name><surname>van den Driessche</surname><given-names>P.</given-names></name></person-group><article-title>Analysis of an SEIRS epidemic model with two delays</article-title><source>Journal of Mathematical Biology</source><volume>35</volume><year>1996</year><fpage>240</fpage><lpage>260</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">9008370</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000100"><label>20</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Donnelly</surname><given-names>C.</given-names></name></person-group><article-title>Epidemiological determinants of spread of a causal agent of severe acute respiratory syndrome in Hong Kong</article-title><source>Lancet</source><volume>361</volume><year>2003</year><fpage>1761</fpage><lpage>1766</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12781533</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000105"><label>21</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name></person-group><article-title>Modelling strategies for controlling SARS outbreaks</article-title><source>Proceedings of the Royal Society of London, Series B</source><volume>271</volume><year>2004</year><fpage>2223</fpage><lpage>2232</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">15539347</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000110"><label>22</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Leung</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>The epidemiology of severe acute respiratory syndrome in the 2003 Hong Kong epidemic: an analysis of all 1755 patients</article-title><source>Annals of Internal Medicine</source><volume>9</volume><year>2004</year><fpage>662</fpage><lpage>673</lpage></element-citation></ref><ref id="br000115"><label>23</label><mixed-citation publication-type="other">Wikipedia, Incubation Period. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.en.wikipedia.org" id="ir000005">www.en.wikipedia.org</ext-link> (accessed May 2010).</mixed-citation></ref><ref id="br000120"><label>24</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chowell</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Castillo-Chavez</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Fenimore</surname><given-names>P.W.</given-names></name><name><surname>Kribs-Zaleta</surname><given-names>C.M.</given-names></name><name><surname>Arriola</surname><given-names>L.</given-names></name><name><surname>Hyman</surname><given-names>J.M.</given-names></name></person-group><article-title>Model parameters and outbreak control for SARS</article-title><source>EID</source><volume>10</volume><year>2004</year><fpage>1258</fpage><lpage>1263</lpage></element-citation></ref><ref id="br000125"><label>25</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kribs-Zaleta</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Velasco-Hernandez</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>A simple vaccination model with multiple endemic states</article-title><source>Mathematical Biosciences</source><volume>164</volume><year>2000</year><fpage>183</fpage><lpage>201</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">10748286</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000130"><label>26</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Hale</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><chapter-title>Theory of Functional Differential Equations</chapter-title><year>1977</year><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>Heidelberg</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="br000135"><label>27</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mukandavire</surname><given-names>Z.</given-names></name><name><surname>Chiyaka</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Garira</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Musuka</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>Mathematical analysis of a sex-structured HIV/AIDS model with a discrete time delay</article-title><source>Nonlinear Analysis</source><volume>71</volume><year>2009</year><fpage>1082</fpage><lpage>1093</lpage></element-citation></ref><ref id="br000140"><label>28</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Smith</surname><given-names>H.L.</given-names></name><name><surname>Waltman</surname><given-names>P.</given-names></name></person-group><chapter-title>The Theory of the Chemostat</chapter-title><year>1995</year><publisher-name>Cambridge University Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="br000145"><label>29</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Xu</surname><given-names>R.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>Z.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability of a SIR epidemic model with nonlinear incidence rate and time delay</article-title><source>Nonlinear Analysis: Real World Applications</source><volume>10</volume><year>2009</year><fpage>3175</fpage><lpage>3189</lpage></element-citation></ref><ref id="br000150"><label>30</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Gao</surname><given-names>Shujing</given-names></name><name><surname>Chenc</surname><given-names>Lansun</given-names></name><name><surname>Teng</surname><given-names>Zhidong</given-names></name></person-group><article-title>Pulse vaccination of an SEIR epidemic model with time delay</article-title><source>Nonlinear Analysis: Real World Applications</source><volume>9</volume><year>2008</year><fpage>599</fpage><lpage>607</lpage></element-citation></ref><ref id="br000155"><label>31</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ma</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Song</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Takeuchi</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability of an SIR epidemic model with time delay</article-title><source>Applied Mathematics Letters</source><volume>17</volume><year>2004</year><fpage>1141</fpage><lpage>1145</lpage></element-citation></ref><ref id="br000160"><label>32</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name></person-group><article-title>Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays</article-title><source>Applied Mathematics Letters</source><volume>15</volume><year>2002</year><fpage>423</fpage><lpage>428</lpage></element-citation></ref><ref id="br000165"><label>33</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Zhang</surname><given-names>T.</given-names></name><name><surname>Teng</surname><given-names>Z.</given-names></name></person-group><article-title>Extinction and permanence for a pulse vaccination delayed SEIRS epidemic model</article-title><source>Chaos, Solitons and Fractals</source><volume>39</volume><year>2009</year><fpage>2411</fpage><lpage>2425</lpage></element-citation></ref><ref id="br000170"><label>34</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Xu</surname><given-names>R.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>Z.</given-names></name></person-group><article-title>Stability of a delayed SIRS epidemic model with a nonlinear incidence rate</article-title><source>Chaos, Solitons and Fractals</source><volume>41</volume><year>2009</year><fpage>2319</fpage><lpage>2325</lpage></element-citation></ref></ref-list><ack><title>Acknowledgements</title><p>ABG acknowledges, with thanks, the partial support of the <funding-source id="gs000005">Natural Science and Engineering Research Council (NSERC)</funding-source> and <funding-source id="gs000010">Mathematics of Information Technology and Complex Systems (MITACS) of Canada</funding-source>. MAS gratefully acknowledges the support of the <funding-source id="gs000015">University of Manitoba Graduate Fellowship</funding-source>. The authors are grateful to the anonymous reviewers for their constructive comments.</p></ack></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/SrasV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 0013040 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 0013040 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= SrasV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé=
|texte=
}}
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |