Links to Exploration step
Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">On the dynamics of <italic>SEIRS</italic> epidemic model with transport-related infection</title><author><name sortKey="Denphedtnong, Adisak" sort="Denphedtnong, Adisak" uniqKey="Denphedtnong A" first="Adisak" last="Denphedtnong">Adisak Denphedtnong</name><affiliation><nlm:aff id="af005">Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="af010">Center of Excellence in Mathematics, CHE, Si Ayutthaya Rd., Bangkok 10400, Thailand</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="af015">Mathematics and Statistics Program, Faculty of Science and Technology, Songkla Rajabhat University, Songkla, Thailand</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Chinviriyasit, Settapat" sort="Chinviriyasit, Settapat" uniqKey="Chinviriyasit S" first="Settapat" last="Chinviriyasit">Settapat Chinviriyasit</name><affiliation><nlm:aff id="af005">Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Chinviriyasit, Wirawan" sort="Chinviriyasit, Wirawan" uniqKey="Chinviriyasit W" first="Wirawan" last="Chinviriyasit">Wirawan Chinviriyasit</name><affiliation><nlm:aff id="af005">Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</nlm:aff></affiliation></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmid">23876843</idno><idno type="pmc">7094751</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7094751</idno><idno type="RBID">PMC:7094751</idno><idno type="doi">10.1016/j.mbs.2013.07.001</idno><date when="2013">2013</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">001270</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">001270</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">On the dynamics of <italic>SEIRS</italic> epidemic model with transport-related infection</title><author><name sortKey="Denphedtnong, Adisak" sort="Denphedtnong, Adisak" uniqKey="Denphedtnong A" first="Adisak" last="Denphedtnong">Adisak Denphedtnong</name><affiliation><nlm:aff id="af005">Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="af010">Center of Excellence in Mathematics, CHE, Si Ayutthaya Rd., Bangkok 10400, Thailand</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="af015">Mathematics and Statistics Program, Faculty of Science and Technology, Songkla Rajabhat University, Songkla, Thailand</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Chinviriyasit, Settapat" sort="Chinviriyasit, Settapat" uniqKey="Chinviriyasit S" first="Settapat" last="Chinviriyasit">Settapat Chinviriyasit</name><affiliation><nlm:aff id="af005">Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Chinviriyasit, Wirawan" sort="Chinviriyasit, Wirawan" uniqKey="Chinviriyasit W" first="Wirawan" last="Chinviriyasit">Wirawan Chinviriyasit</name><affiliation><nlm:aff id="af005">Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</nlm:aff></affiliation></author></analytic><series><title level="j">Mathematical Biosciences</title><idno type="ISSN">0025-5564</idno><idno type="eISSN">1879-3134</idno><imprint><date when="2013">2013</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><title>Highlights</title><p><list list-type="simple" id="l0005"><list-item id="u0005"><label>•</label><p id="p0200">We formulate an SEIRS epidemic model for studying the effect of transportrelated infection on disease spread.</p></list-item><list-item id="u0010"><label>•</label><p id="p0205">We derive the basic reproduction number of the formulated model.</p></list-item><list-item id="u0015"><label>•</label><p id="p0210">The movement without transport-relate infection will cause the disease dynamics and break infection out.</p></list-item><list-item id="u0020"><label>•</label><p id="p0215">The transport-related infection is effected to the number of infected individuals and the duration of outbreak.</p></list-item></list></p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Allen, L J S" uniqKey="Allen L">L.J.S. Allen</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Anderson, R M" uniqKey="Anderson R">R.M. Anderson</name></author><author><name sortKey="May, R M" uniqKey="May R">R.M. May</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Arino, J" uniqKey="Arino J">J. Arino</name></author><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P. van den Driessche</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chowella, G" uniqKey="Chowella G">G. Chowella</name></author><author><name sortKey="Fenimorea, P W" uniqKey="Fenimorea P">P.W. Fenimorea</name></author><author><name sortKey="Castillo Garsowc, M A" uniqKey="Castillo Garsowc M">M.A. Castillo-Garsowc</name></author><author><name sortKey="Castillo Chavez, C" uniqKey="Castillo Chavez C">C. Castillo-Chavez</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Cooke, K" uniqKey="Cooke K">K. Cooke</name></author><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P. van den Driessche</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Diekmann, O" uniqKey="Diekmann O">O. Diekmann</name></author><author><name sortKey="Metz, J A J" uniqKey="Metz J">J.A.J. Metz</name></author><author><name sortKey="Heesterbeek, J A P" uniqKey="Heesterbeek J">J.A.P. Heesterbeek</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Fulford, G R" uniqKey="Fulford G">G.R. Fulford</name></author><author><name sortKey="Roberts, M G" uniqKey="Roberts M">M.G. Roberts</name></author><author><name sortKey="Heesterbeek, J A P" uniqKey="Heesterbeek J">J.A.P. Heesterbeek</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Grenhalgh, D" uniqKey="Grenhalgh D">D. Grenhalgh</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Greenhalgh, D" uniqKey="Greenhalgh D">D. Greenhalgh</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Gumel, A B" uniqKey="Gumel A">A.B. Gumel</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Khan, K" uniqKey="Khan K">K. Khan</name></author><author><name sortKey="Arino, J" uniqKey="Arino J">J. Arino</name></author><author><name sortKey="Hu, W" uniqKey="Hu W">W. Hu</name></author><author><name sortKey="Raposo, P" uniqKey="Raposo P">P. Raposo</name></author><author><name sortKey="Sears, J" uniqKey="Sears J">J. Sears</name></author><author><name sortKey="Calderon, F" uniqKey="Calderon F">F. Calderon</name></author><author><name sortKey="Heidebrecht, C" uniqKey="Heidebrecht C">C. Heidebrecht</name></author><author><name sortKey="Macdonald, M" uniqKey="Macdonald M">M. Macdonald</name></author><author><name sortKey="Liauw, J" uniqKey="Liauw J">J. Liauw</name></author><author><name sortKey="Chan, A" uniqKey="Chan A">A. Chan</name></author><author><name sortKey="Gardam, M" uniqKey="Gardam M">M. Gardam</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Murray, G D" uniqKey="Murray G">G.D. Murray</name></author><author><name sortKey="Cliff, A D" uniqKey="Cliff A">A.D. Cliff</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Li, M Y" uniqKey="Li M">M.Y. Li</name></author><author><name sortKey="Muldoweney, J S" uniqKey="Muldoweney J">J.S. Muldoweney</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Li, M Y" uniqKey="Li M">M.Y. Li</name></author><author><name sortKey="Muldoweney, J S" uniqKey="Muldoweney J">J.S. Muldoweney</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Li, M Y" uniqKey="Li M">M.Y. Li</name></author><author><name sortKey="Muldoweney, J S" uniqKey="Muldoweney J">J.S. Muldoweney</name></author><author><name sortKey="Wang, L C" uniqKey="Wang L">L.C. Wang</name></author><author><name sortKey="Karsai, J" uniqKey="Karsai J">J. Karsai</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lipsitch, M" uniqKey="Lipsitch M">M. Lipsitch</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Liu, X" uniqKey="Liu X">X. Liu</name></author><author><name sortKey="Takeuchi, Y" uniqKey="Takeuchi Y">Y. Takeuchi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Liu, J" uniqKey="Liu J">J. Liu</name></author><author><name sortKey="Zhou, Y" uniqKey="Zhou Y">Y. Zhou</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Liu, J" uniqKey="Liu J">J. Liu</name></author><author><name sortKey="Zhou, Y" uniqKey="Zhou Y">Y. Zhou</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Longini, I" uniqKey="Longini I">I. Longini</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ruan, S" uniqKey="Ruan S">S. Ruan</name></author><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author><author><name sortKey="Levin, S A" uniqKey="Levin S">S.A. Levin</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Rvachev, L" uniqKey="Rvachev L">L. Rvachev</name></author><author><name sortKey="Longini, I" uniqKey="Longini I">I. Longini</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sattenspiel, L" uniqKey="Sattenspiel L">L. Sattenspiel</name></author><author><name sortKey="Dietz, K" uniqKey="Dietz K">K. Dietz</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Takeuchi, Y" uniqKey="Takeuchi Y">Y. Takeuchi</name></author><author><name sortKey="Liu, X" uniqKey="Liu X">X. Liu</name></author><author><name sortKey="Cui, J" uniqKey="Cui J">J. Cui</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P. Van den Driessche</name></author><author><name sortKey="Watmough, J" uniqKey="Watmough J">J. Watmough</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wan, H" uniqKey="Wan H">H. Wan</name></author><author><name sortKey="Cui, J" uniqKey="Cui J">J. Cui</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author><author><name sortKey="Zhao, X Q" uniqKey="Zhao X">X.-Q. Zhao</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author><author><name sortKey="Mulone, G" uniqKey="Mulone G">G. Mulone</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wang, W" uniqKey="Wang W">W. Wang</name></author><author><name sortKey="Ruan, S" uniqKey="Ruan S">S. Ruan</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Zhang, J" uniqKey="Zhang J">J. Zhang</name></author><author><name sortKey="Ma, Z" uniqKey="Ma Z">Z. Ma</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Math Biosci</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Math Biosci</journal-id><journal-title-group><journal-title>Mathematical Biosciences</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0025-5564</issn><issn pub-type="epub">1879-3134</issn><publisher><publisher-name>Elsevier Inc.</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmid">23876843</article-id><article-id pub-id-type="pmc">7094751</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S0025-5564(13)00164-8</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.mbs.2013.07.001</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>On the dynamics of <italic>SEIRS</italic> epidemic model with transport-related infection</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" id="au005"><name><surname>Denphedtnong</surname><given-names>Adisak</given-names></name><xref rid="af005" ref-type="aff">a</xref><xref rid="af010" ref-type="aff">b</xref><xref rid="af015" ref-type="aff">c</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au010"><name><surname>Chinviriyasit</surname><given-names>Settapat</given-names></name><xref rid="af005" ref-type="aff">a</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au015"><name><surname>Chinviriyasit</surname><given-names>Wirawan</given-names></name><email>iwirwong@kmutt.ac.th</email><xref rid="af005" ref-type="aff">a</xref><xref rid="cor1" ref-type="corresp">⁎</xref></contrib></contrib-group><aff id="af005"><label>a</label>Department of Mathematics, King Mongkut’s University of Technology, Thonburi, Bangmod, Thungkru, Bangkok 10140, Thailand</aff><aff id="af010"><label>b</label>Center of Excellence in Mathematics, CHE, Si Ayutthaya Rd., Bangkok 10400, Thailand</aff><aff id="af015"><label>c</label>Mathematics and Statistics Program, Faculty of Science and Technology, Songkla Rajabhat University, Songkla, Thailand</aff><author-notes><corresp id="cor1"><label>⁎</label>Corresponding author. Tel.: +66 2 4708833; fax: +66 2 4284025. <email>iwirwong@kmutt.ac.th</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>20</day><month>7</month><year>2013</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><month>10</month><year>2013</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>20</day><month>7</month><year>2013</year></pub-date><volume>245</volume><issue>2</issue><fpage>188</fpage><lpage>205</lpage><history><date date-type="received"><day>30</day><month>4</month><year>2012</year></date><date date-type="rev-recd"><day>18</day><month>3</month><year>2013</year></date><date date-type="accepted"><day>2</day><month>7</month><year>2013</year></date></history><permissions><copyright-statement>Copyright © 2013 Elsevier Inc. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2013</copyright-year><copyright-holder>Elsevier Inc.</copyright-holder><license><license-p>Since January 2020 Elsevier has created a COVID-19 resource centre with free information in English and Mandarin on the novel coronavirus COVID-19. The COVID-19 resource centre is hosted on Elsevier Connect, the company's public news and information website. Elsevier hereby grants permission to make all its COVID-19-related research that is available on the COVID-19 resource centre - including this research content - immediately available in PubMed Central and other publicly funded repositories, such as the WHO COVID database with rights for unrestricted research re-use and analyses in any form or by any means with acknowledgement of the original source. These permissions are granted for free by Elsevier for as long as the COVID-19 resource centre remains active.</license-p></license></permissions><abstract abstract-type="author-highlights" id="ab005"><title>Highlights</title><p><list list-type="simple" id="l0005"><list-item id="u0005"><label>•</label><p id="p0200">We formulate an SEIRS epidemic model for studying the effect of transportrelated infection on disease spread.</p></list-item><list-item id="u0010"><label>•</label><p id="p0205">We derive the basic reproduction number of the formulated model.</p></list-item><list-item id="u0015"><label>•</label><p id="p0210">The movement without transport-relate infection will cause the disease dynamics and break infection out.</p></list-item><list-item id="u0020"><label>•</label><p id="p0215">The transport-related infection is effected to the number of infected individuals and the duration of outbreak.</p></list-item></list></p></abstract><abstract id="ab010"><p>Transportation amongst cities is found as one of the main factors which affect the outbreak of diseases. To understand the effect of transport-related infection on disease spread, an <italic>SEIRS</italic> (Susceptible, Exposed, Infectious, Recovered) epidemic model for two cities is formulated and analyzed. The epidemiological threshold, known as the basic reproduction number, of the model is derived. If the basic reproduction number is below unity, the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable. Thus, the disease can be eradicated from the community. There exists an endemic equilibrium which is locally asymptotically stable if the reproduction number is larger than unity. This means that the disease will persist within the community. The results show that transportation among regions will change the disease dynamics and break infection out even if infectious diseases will go to extinction in each isolated region without transport-related infection. In addition, the result shows that transport-related infection intensifies the disease spread if infectious diseases break out to cause an endemic situation in each region, in the sense of that both the absolute and relative size of patients increase. Further, the formulated model is applied to the real data of SARS outbreak in 2003 to study the transmission of disease during the movement between two regions. The results show that the transport-related infection is effected to the number of infected individuals and the duration of outbreak in such the way that the disease becomes more endemic due to the movement between two cities. This study can be helpful in providing the information to public health authorities and policy maker to reduce spreading disease when its occurs.</p></abstract><kwd-group id="kg005"><title>Keywords</title><kwd><italic>SEIRS</italic> epidemic model</kwd><kwd>Transport-related infection</kwd><kwd>Stability</kwd><kwd>Reproduction number</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec id="s0005"><label>1</label><title>Introduction</title><p id="p0005">The spread of infectious diseases between discrete geographic regions (or cities) is a phenomenon that involves many different compartments. To control the spread of an infectious disease, one has to understand how the growth and spread of the disease affect its outbreak. There are many factors that lead to the dynamics of an infectious disease of humans. They include such human behaviors as population dislocations, living styles, sexual practices and rising international travel. In current, population dispersal by human transportation plays an important role in the spread of infectious disease around the world. SARS (severe acute respiratory syndrome) spread along the routes of international air travel and infection was carried to many places <xref rid="b0165" ref-type="bibr">[33]</xref>, <xref rid="b0170" ref-type="bibr">[34]</xref>. Khan et al. <xref rid="b0070" ref-type="bibr">[14]</xref> pointed out a correlation between inter-regional spread of a novel influenza A (H1N1) virus and travelers. From these observations a number of authors have proposed epidemic models describing disease transmission dynamics among multiple locations due to the population dispersal (see <xref rid="b0015" ref-type="bibr">[3]</xref>, <xref rid="b0020" ref-type="bibr">[4]</xref>, <xref rid="b0050" ref-type="bibr">[10]</xref>, <xref rid="b0115" ref-type="bibr">[23]</xref>, <xref rid="b0120" ref-type="bibr">[24]</xref>, <xref rid="b0125" ref-type="bibr">[25]</xref>, <xref rid="b0130" ref-type="bibr">[26]</xref>, <xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref>, <xref rid="b0150" ref-type="bibr">[30]</xref>, <xref rid="b0155" ref-type="bibr">[31]</xref>, <xref rid="b0160" ref-type="bibr">[32]</xref> and the references therein). Recently, Cui et al. <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref> have proposed a <inline-formula><mml:math id="M1" altimg="si66.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SIS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> epidemic model to understand the effect of transport related infection on disease spread. Takeuchi et al. <xref rid="b0135" ref-type="bibr">[27]</xref> proved the global dynamics of model in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>. They found that the global stabilities of equilibria disease-free and endemic equilibriums, still required additional condition besides the condition for their existence. Considering entry screening and exit screening to detect infected individuals, Liu and Takeuchi <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref> proposed an <inline-formula><mml:math id="M2" altimg="si67.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SIQS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model to study the effect of transport-related infection and entry screening. Subsequently, Liu and Zhou <xref rid="b0105" ref-type="bibr">[21]</xref> analyzed global stability of an <inline-formula><mml:math id="M3" altimg="si68.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> epidemic model with transport-related infection. Their results shown transport-related infection can make the disease endemic even if both the isolated regions are disease free. Obviously, the models in <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, <xref rid="b0100" ref-type="bibr">[20]</xref>, <xref rid="b0135" ref-type="bibr">[27]</xref> assumed that a susceptible individual becomes infectious immediately after infected. However, for many diseases, a host stays in a latent period before becoming infectious after infected, Wan and Cui <xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref> formulated an <inline-formula><mml:math id="M4" altimg="si69.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> epidemic model to describe the transmission of infectious diseases related by transports. When the individuals have immunity to the disease after recover, the <inline-formula><mml:math id="M5" altimg="si70.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIR</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M6" altimg="si71.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> models are more general than the <inline-formula><mml:math id="M7" altimg="si72.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEI</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> or <inline-formula><mml:math id="M8" altimg="si73.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> types depending on whether the acquired immunity is permanent or otherwise. These kinds of models have These kinds of models have been studied to gain insights into the transmission dynamics of disease in community. For example, Greenhalgh <xref rid="b0055" ref-type="bibr">[11]</xref> considered an <inline-formula><mml:math id="M9" altimg="si74.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIR</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model that incorporates density dependence in the death rate. Cooke and Driessche <xref rid="b0030" ref-type="bibr">[6]</xref> introduced and analyzed the <inline-formula><mml:math id="M10" altimg="si75.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with two delays. Greenhalgh <xref rid="b0060" ref-type="bibr">[12]</xref> studied Hopf bifurcations in the <inline-formula><mml:math id="M11" altimg="si76.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> type models with density dependent contact rate and death rate. Li and Muldowney <xref rid="b0080" ref-type="bibr">[16]</xref> and Li et al. <xref rid="b0085" ref-type="bibr">[17]</xref> studied the global dynamics of the <inline-formula><mml:math id="M12" altimg="si77.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIR</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> models with a non-linear incidence rate as well as standard incidence rate. Li et al. <xref rid="b0090" ref-type="bibr">[18]</xref> analyzed the global dynamics of the <inline-formula><mml:math id="M13" altimg="si78.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIR</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with vertical transmission and a bilinear incidence. Recently, Zhang and Ma <xref rid="b0180" ref-type="bibr">[36]</xref> analyzed the global dynamics of the <inline-formula><mml:math id="M14" altimg="si79.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIR</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with saturating contact rate. However, those models have not applied to real data of outbreak to investigate the effect of transport-related infection when individuals travel among two cities.</p><p id="p0010">The aim of this paper is to formulate an <inline-formula><mml:math id="M15" altimg="si80.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> epidemic model to describe the transmission of infectious diseases related by transports. The formulated model is applied to real data of SARS outbreak in 2003 in order to investigate the transmission of disease when individuals in a population suffer from diseases and possibly become infected during the movement between two cities.</p><p id="p0015">This paper is organized as follows. An <inline-formula><mml:math id="M16" altimg="si81.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with transport-related infection is formulated in Section 2. In Section 3, the basic reproduction number of the formulated model is derived and the local stability of the model is analyzed to verify that the equilibria of the model are locally asymptotically stable under the condition of the basic reproduction number. Simulation results are presented in Section 4 to illustrate the effect of transport-related infection on its outbreak and the final size of all individuals for the populations. The <inline-formula><mml:math id="M17" altimg="si82.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model and <inline-formula><mml:math id="M18" altimg="si83.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with transport-related infection are applied to predict the SARS outbreak within a city and if there is the movement of population between two cities, respectively.</p></sec><sec id="s0010"><label>2</label><title>Model formulation</title><p id="p0020">The epidemic model for transmission of a communicable disease with population travel between two cities is based on monitoring the dynamics of the sub–populations (susceptible; <inline-formula><mml:math id="M19" altimg="si84.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, exposed (latent); <inline-formula><mml:math id="M20" altimg="si85.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, infected; <inline-formula><mml:math id="M21" altimg="si86.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and recovered; <inline-formula><mml:math id="M22" altimg="si87.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, in the city <inline-formula><mml:math id="M23" altimg="si88.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M24" altimg="si89.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at time <inline-formula><mml:math id="M25" altimg="si90.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>). Thus, the total population in city <inline-formula><mml:math id="M26" altimg="si91.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at time <inline-formula><mml:math id="M27" altimg="si92.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is given by <inline-formula><mml:math id="M28" altimg="si93.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M29" altimg="si94.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is assumed that both cities are identical, i.e. the demographic parameters are the same for each city.</p><p id="p0025">The population of susceptible individuals is increased by the recruitment of individuals which are all newborn into the population at the rate <inline-formula><mml:math id="M30" altimg="si95.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and the loss of infection–acquired immunity among recovered individuals at the rate <inline-formula><mml:math id="M31" altimg="si96.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and by the susceptible individuals of city <inline-formula><mml:math id="M32" altimg="si97.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> leave to city <inline-formula><mml:math id="M33" altimg="si98.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M34" altimg="si99.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at the rate <inline-formula><mml:math id="M35" altimg="si100.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. In the other hand, it is decreased when the susceptible individuals in city <inline-formula><mml:math id="M36" altimg="si101.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> leave to city <inline-formula><mml:math id="M37" altimg="si102.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at the rate <inline-formula><mml:math id="M38" altimg="si103.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and by natural death at the rate <inline-formula><mml:math id="M39" altimg="si104.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is assumed that susceptible individuals can acquire exposed individuals via effective contacts with infected individuals. The disease is transmitted horizontally within and between cities according to standard the incidence rate (that is, the number of new cases of infection per unit time)<disp-formula id="e0240"><mml:math id="M40" altimg="si105.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">for</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M41" altimg="si106.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is the transmission rate within a city. This population is further decreased when the individuals in city <inline-formula><mml:math id="M42" altimg="si107.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> travel to city <inline-formula><mml:math id="M43" altimg="si108.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and the disease is transmitted with the incidence rate<disp-formula id="e0245"><mml:math id="M44" altimg="si109.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">for</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M45" altimg="si110.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is the transport-related transmission rate. Thus, the rate of change of population of susceptible class is given by<disp-formula id="e0005"><label>(2.1)</label><mml:math id="M46" altimg="si111.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The population of exposed individuals is generated by the infected of susceptible individuals at the rate <inline-formula><mml:math id="M47" altimg="si112.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and at the rate <inline-formula><mml:math id="M48" altimg="si113.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when the individuals in city <inline-formula><mml:math id="M49" altimg="si114.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> travel to city <inline-formula><mml:math id="M50" altimg="si115.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is reduced by progression to symptoms development at the rate <inline-formula><mml:math id="M51" altimg="si116.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, travel to city <inline-formula><mml:math id="M52" altimg="si117.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at the rate <inline-formula><mml:math id="M53" altimg="si118.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and natural death at the rate <inline-formula><mml:math id="M54" altimg="si119.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus<disp-formula id="e0010"><label>(2.2)</label><mml:math id="M55" altimg="si120.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The population of infected individuals in city <inline-formula><mml:math id="M56" altimg="si121.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is generated when exposed individuals develop symptoms at the rate <inline-formula><mml:math id="M57" altimg="si122.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and when infected individuals of city <inline-formula><mml:math id="M58" altimg="si123.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> leave to city <inline-formula><mml:math id="M59" altimg="si124.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at the rate <inline-formula><mml:math id="M60" altimg="si125.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is decreased by progression to the recovered class at the rate <inline-formula><mml:math id="M61" altimg="si126.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, natural death and disease induced mortality at the rate <inline-formula><mml:math id="M62" altimg="si127.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and when infected individuals of city <inline-formula><mml:math id="M63" altimg="si128.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> move to city <inline-formula><mml:math id="M64" altimg="si129.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at the rate <inline-formula><mml:math id="M65" altimg="si130.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus,<disp-formula id="e0015"><label>(2.3)</label><mml:math id="M66" altimg="si131.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The population of recovered individuals is generated when infected individuals recover and move to the recovered class at the rate <inline-formula><mml:math id="M67" altimg="si132.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and when recovered individuals of city <inline-formula><mml:math id="M68" altimg="si133.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> leave to city <inline-formula><mml:math id="M69" altimg="si134.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is decreased by the loss of infection–acquired immunity at the rate <inline-formula><mml:math id="M70" altimg="si135.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, by natural death at the rate <inline-formula><mml:math id="M71" altimg="si136.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and when recovered individuals of city <inline-formula><mml:math id="M72" altimg="si137.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> move to city <inline-formula><mml:math id="M73" altimg="si138.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> at the rate <inline-formula><mml:math id="M74" altimg="si139.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus,<disp-formula id="e0020"><label>(2.4)</label><mml:math id="M75" altimg="si140.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It is assumed that the individuals have no infectious force in the latent period and the exposed individuals cannot recover to susceptible individuals. The individuals who are travelling do not give birth and do not take die. Infected individuals do not recover during travel. Thus, An <inline-formula><mml:math id="M76" altimg="si141.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with transport-related infection consists of the following system of non–linear differential equations:<disp-formula id="e0025"><label>(2.5)</label><mml:math id="M77" altimg="si142.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>A flow diagram of the model is depicted in <xref rid="f0005" ref-type="fig">Fig. 1</xref>. The standard incidence is used in the model. If initial conditions are set as <inline-formula><mml:math id="M78" altimg="si143.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M79" altimg="si144.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M80" altimg="si145.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M81" altimg="si146.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it is easy to check that all solutions of <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> are nonnegative (that is <inline-formula><mml:math id="M82" altimg="si147.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M83" altimg="si148.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M84" altimg="si149.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M85" altimg="si150.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M86" altimg="si151.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M87" altimg="si152.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) under the assumption <inline-formula><mml:math id="M88" altimg="si153.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Note that the last two terms in the first and fifth equations of <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> satisfy that<disp-formula id="e0250"><mml:math id="M89" altimg="si154.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>for any <inline-formula><mml:math id="M90" altimg="si155.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M91" altimg="si156.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M92" altimg="si157.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M93" altimg="si158.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M94" altimg="si159.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. This is reasonable from a biological point of view, since the first term <inline-formula><mml:math id="M95" altimg="si160.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> represents the susceptible individuals leaving city <inline-formula><mml:math id="M96" altimg="si161.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and the second term <inline-formula><mml:math id="M97" altimg="si162.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></inline-formula> denotes individuals in <inline-formula><mml:math id="M98" altimg="si163.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> becoming infected during travel from city <inline-formula><mml:math id="M99" altimg="si164.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> to <inline-formula><mml:math id="M100" altimg="si165.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Hence, the difference between these two numbers should be nonnegative. It is supposed that <inline-formula><mml:math id="M101" altimg="si166.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<fig id="f0005"><label>Fig. 1</label><caption><p>Schematic diagram of the <inline-formula><mml:math id="M102" altimg="si1.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model for the transmission of communicable disease during the movement of population between two cities.</p></caption><graphic xlink:href="gr1"></graphic></fig></p></sec><sec id="s0015"><label>3</label><title>Analysis of the model</title><p id="p0030">In this section, the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is analyzed for stability of its associated equilibrium at some different cases. In particular, the Routh–Hurwitz theorem in <xref rid="b0005" ref-type="bibr">[1]</xref>, reproduced below for convenience, will be used for the kind of the following matrix <inline-formula><mml:math id="M103" altimg="si167.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>:<disp-formula id="e0030"><label>(3.1)</label><mml:math id="M104" altimg="si168.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>13</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>14</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>23</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>24</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>32</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>43</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">aa</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula><statement id="n0045"><label>Lemma 3.1</label><p id="p0220"><inline-formula><mml:math id="M105" altimg="si169.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">tr</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M106" altimg="si170.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M107" altimg="si171.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M108" altimg="si172.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">det</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, where</italic><inline-formula><mml:math id="M109" altimg="si173.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M110" altimg="si174.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>32</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>23</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M111" altimg="si175.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M112" altimg="si176.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M113" altimg="si177.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>,</italic><inline-formula><mml:math id="M114" altimg="si178.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>32</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>13</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>43</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>24</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>32</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>23</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>Then</italic><inline-formula><mml:math id="M115" altimg="si179.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>is stable (i.e. each eigenvalue of</italic><inline-formula><mml:math id="M116" altimg="si180.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>has negative real part) if and only if the following conditions hold:</italic><list list-type="simple" id="l0010"><list-item id="o0005"><label>(i)</label><p id="p0385"><inline-formula><mml:math id="M117" altimg="si181.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,</p></list-item><list-item id="o0010"><label>(ii)</label><p id="p0225"><inline-formula><mml:math id="M118" altimg="si182.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,</p></list-item><list-item id="o0015"><label>(iii)</label><p id="p0230"><inline-formula><mml:math id="M119" altimg="si183.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item></list></p></statement><statement id="n0005"><label>Remark 3.1</label><p id="p0390">The characteristic polynomial of matrix <inline-formula><mml:math id="M120" altimg="si184.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref> is<disp-formula id="e0255"><mml:math id="M121" altimg="si185.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></statement></p><sec id="s0020"><label>3.1</label><title>No individual travel</title><p id="p0035">The movement of individuals is neglected, this case <inline-formula><mml:math id="M122" altimg="si186.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> reduces to the <inline-formula><mml:math id="M123" altimg="si187.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model:<disp-formula id="e0035"><label>(3.2)</label><mml:math id="M124" altimg="si188.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">SI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bS</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="italic">SI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cE</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>From biological considerations, we study <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> in the closed set<disp-formula id="e0260"><mml:math id="M125" altimg="si189.gif" overflow="scroll"><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>E</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">}</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M126" altimg="si190.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> denotes the non–negative cone of <inline-formula><mml:math id="M127" altimg="si191.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> including its lower dimensional faces. It can be verified that <inline-formula><mml:math id="M128" altimg="si192.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is positively invariant with respect to <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>.</p><p id="p0040">The disease-free equilibrium, obtained by setting the right–hand sides of equations in <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> to zero, is given by<disp-formula id="e0040"><label>(3.3)</label><mml:math id="M129" altimg="si193.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>The linear stability of <inline-formula><mml:math id="M130" altimg="si194.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> can be established using the next generation method <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="b0050" ref-type="bibr">[10]</xref> by writing the right hand sides of second and third equation in <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> in term of two matrices <inline-formula><mml:math id="M131" altimg="si195.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M132" altimg="si196.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M133" altimg="si197.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is a matrix consisting of all term with <inline-formula><mml:math id="M134" altimg="si198.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M135" altimg="si199.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is M-matrix consisting of the remaining transition term in two equations (it should be recalled that a matrix A is an M-matrix if and only if every off-diagonal entry of A is non-positive and the diagonal entries are all non-negative). That is, for the model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>, the next generation matrices <inline-formula><mml:math id="M136" altimg="si200.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M137" altimg="si201.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are given by<disp-formula id="e0265"><mml:math id="M138" altimg="si202.gif" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Using the next generation method, the local stability of disease-free equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M139" altimg="si203.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is based on whether or not <inline-formula><mml:math id="M140" altimg="si204.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">FV</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where <inline-formula><mml:math id="M141" altimg="si205.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is the spectral radius. If <inline-formula><mml:math id="M142" altimg="si206.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">FV</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then all eigenvalues of the linearized model have negative real parts, so that the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable (<inline-formula><mml:math id="M143" altimg="si207.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">LAS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>). For <inline-formula><mml:math id="M144" altimg="si208.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">FV</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, at least one of the eigenvalues of the linearization has positive real part, thus, the disease-free equilibrium is unstable in this case. Let <inline-formula><mml:math id="M145" altimg="si209.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">FV</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it is easy to show that<disp-formula id="e0045"><label>(3.4)</label><mml:math id="M146" altimg="si210.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Consequently, using Theorem 2 of <xref rid="b0140" ref-type="bibr">[28]</xref>, the following results is established.<statement id="n0025"><label>Theorem 3.1</label><p id="p0395"><italic>The disease-free equilibrium (DFE),</italic><inline-formula><mml:math id="M147" altimg="si211.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, of the system (</italic><xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">3.2</xref><italic>) is locally asymptotically stable (LAS) if</italic><inline-formula><mml:math id="M148" altimg="si212.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and unstable if</italic><inline-formula><mml:math id="M149" altimg="si213.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></statement>The quantity <inline-formula><mml:math id="M150" altimg="si214.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in <xref rid="e0045" ref-type="disp-formula">(3.4)</xref> is called the basic reproduction number of infection <xref rid="b0010" ref-type="bibr">[2]</xref>. It is generally known that if <inline-formula><mml:math id="M151" altimg="si215.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable (and the disease will be eradicate from the community if the initial sizes of the four state variables are within the vicinity of <inline-formula><mml:math id="M152" altimg="si216.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>). Therefore, in the event of an epidemic, the theoretical determination of conditions that can make <inline-formula><mml:math id="M153" altimg="si217.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> less than unity is of great public health interest. If <inline-formula><mml:math id="M154" altimg="si218.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, the system <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> has an endemic equilibrium <inline-formula><mml:math id="M155" altimg="si219.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where<disp-formula id="e0105"><label>(3.5)</label><mml:math id="M156" altimg="si220.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="{" close="}"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0110"><label>(3.6)</label><mml:math id="M157" altimg="si221.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ac</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">acd</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>with <inline-formula><mml:math id="M158" altimg="si222.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">be</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M159" altimg="si223.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p><p id="p0045">Evaluating the Jacobian of <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> at <inline-formula><mml:math id="M160" altimg="si224.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> gives<disp-formula id="e0050"><label>(3.7)</label><mml:math id="M161" altimg="si225.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0115"><label>(3.8)</label><mml:math id="M162" altimg="si226.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Note that Jacobian matrix <xref rid="e0050" ref-type="disp-formula">(3.7)</xref> has the form as <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref>, using <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref> (see Appendix A), we have the following result:<statement id="n0030"><label>Theorem 3.2</label><p id="p0400"><italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M163" altimg="si227.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, the endemic equilibrium,</italic><inline-formula><mml:math id="M164" altimg="si228.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, is LAS</italic>.</p></statement></p></sec><sec id="s0025"><label>3.2</label><title>Only susceptible and exposed individuals travel</title><p id="p0050">When the infected and recovered individuals are inhibited from traveling to another city, that is <inline-formula><mml:math id="M165" altimg="si229.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> becomes<disp-formula id="e0055"><label>(3.9)</label><mml:math id="M166" altimg="si230.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cE</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dR</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dt</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dI</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>From calculations, there are possible two steady states for model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref>; namely, disease-free equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M167" altimg="si231.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and endemic equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M168" altimg="si232.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively. Here <inline-formula><mml:math id="M169" altimg="si233.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are given by Eqs. <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref>, <xref rid="e0110" ref-type="disp-formula">(3.6)</xref>.</p><p id="p0055">According to the concept of next generation matrix <xref rid="b0040" ref-type="bibr">[8]</xref> and reproduction number presented in van den Driessche and Watmough <xref rid="b0140" ref-type="bibr">[28]</xref>, the matrices <inline-formula><mml:math id="M170" altimg="si234.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M171" altimg="si235.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are given by<disp-formula id="e0270"><mml:math id="M172" altimg="si236.gif" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi mathvariant="normal">respectively</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Therefore, the basic reproduction number of model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> is given by<disp-formula id="e0060"><label>(3.10)</label><mml:math id="M173" altimg="si237.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">FV</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></disp-formula>Note that the basic reproduction numbers of <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>, <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> are identical.</p><p id="p0060">The Jacobian matrix of the model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> at equilibrium point, <inline-formula><mml:math id="M174" altimg="si238.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is given by<disp-formula id="e0065"><label>(3.11)</label><mml:math id="M175" altimg="si239.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where, for <inline-formula><mml:math id="M176" altimg="si240.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula><disp-formula id="e0275"><mml:math id="M177" altimg="si241.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and <inline-formula><mml:math id="M178" altimg="si242.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> From calculations in Appendix B, the following result is established:<statement id="n0035"><label>Theorem 3.3</label><p id="p0405">(i) <italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M179" altimg="si243.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, then</italic><inline-formula><mml:math id="M180" altimg="si244.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>is LAS.</italic> (ii) <italic>If</italic><inline-formula><mml:math id="M181" altimg="si245.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, then</italic><inline-formula><mml:math id="M182" altimg="si246.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>is LAS.</italic></p></statement><statement id="n0010"><label>Remark 3.2</label><p id="p0410">There is, from <xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref>, some import implications. First, if the disease have appeared in both cities then the travel of susceptible and exposed individuals does not change the dynamics of disease spreading, and the final size of susceptible, exposed, infected and recovered individuals does not change, see <xref rid="f0020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>. Second, if a disease has appeared only in city 1 with <inline-formula><mml:math id="M183" altimg="si247.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M184" altimg="si248.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M185" altimg="si249.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M186" altimg="si250.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M187" altimg="si251.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (see <xref rid="f0020" ref-type="fig">Figs. 4</xref>(b)–(c)), the traveling of exposed individuals will bring the disease to city 2 and the disease will break out later in city 2 (see <xref rid="f0020" ref-type="fig">Figs. 4</xref>(f)–(g)). On the contrary, if <inline-formula><mml:math id="M188" altimg="si252.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, there is not the possibility for disease spreading in both cities, as shown in <xref rid="f0020" ref-type="fig">Figs. 4</xref>(b)–(c)), and <xref rid="f0015" ref-type="fig">Figs. 3</xref>(f)–(g).</p></statement></p></sec><sec id="s0030"><label>3.3</label><title>All individuals travel between two cities</title><p id="p0065">In this section, the full model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is explored to study the effect of transport-related infection when all individuals can travel between two cities. The extended model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> has a disease-free equilibrium, given by <inline-formula><mml:math id="M189" altimg="si253.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Here, the next generation matrices, <inline-formula><mml:math id="M190" altimg="si254.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M191" altimg="si255.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, are given by<disp-formula id="e0280"><mml:math id="M192" altimg="si256.gif" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It follows that, using the next generation approach, the basic reproduction number of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref>, denoted by <inline-formula><mml:math id="M193" altimg="si257.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is<disp-formula id="e0070"><label>(3.12)</label><mml:math id="M194" altimg="si258.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Consequently, using Theorem 2 of <xref rid="b0140" ref-type="bibr">[28]</xref>, the following result is established.<statement id="n0050"><label>Lemma 3.2</label><p id="p0415"><italic>The disease-free equilibrium,</italic><inline-formula><mml:math id="M195" altimg="si259.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, of the model</italic><xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref><italic>is LAS if</italic><inline-formula><mml:math id="M196" altimg="si260.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, and unstable if</italic><inline-formula><mml:math id="M197" altimg="si261.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></statement></p><p id="p0070">The model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> has a unique coexistence endemic equilibrium denoted by <inline-formula><mml:math id="M198" altimg="si262.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0120"><label>(3.13)</label><mml:math id="M199" altimg="si263.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="{" close="}"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0125"><label>(3.14)</label><mml:math id="M200" altimg="si264.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ac</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>*</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">acd</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>with <inline-formula><mml:math id="M201" altimg="si265.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">be</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p><p id="p0075">The local stability of the coexistence endemic equilibrium is now explored. The Jacobian matrix of system <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> at the equilibrium point, <inline-formula><mml:math id="M202" altimg="si266.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is given by<disp-formula id="e0075"><label>(3.15)</label><mml:math id="M203" altimg="si267.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where, for <inline-formula><mml:math id="M204" altimg="si268.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M205" altimg="si269.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0285"><mml:math id="M206" altimg="si270.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0290"><mml:math id="M207" altimg="si271.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>From calculations in Appendix C, we have the following results:<statement id="n0040"><label>Theorem 3.4</label><p id="p0420"><italic>The endemic equilibrium,</italic><inline-formula><mml:math id="M208" altimg="si272.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, of</italic><xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref><italic>is LAS if</italic><inline-formula><mml:math id="M209" altimg="si273.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></statement></p><p id="p0080">From <xref rid="n0040" ref-type="statement">Theorem 3.4</xref>, the disease eradication is possible for a sufficient small parameter <inline-formula><mml:math id="M210" altimg="si274.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when the both cities are disease-free without traveling (that is, <inline-formula><mml:math id="M211" altimg="si275.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for small <inline-formula><mml:math id="M212" altimg="si276.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M213" altimg="si277.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>). Comparing <inline-formula><mml:math id="M214" altimg="si278.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with <inline-formula><mml:math id="M215" altimg="si279.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, on the other hand, we find that even a small transmission rate <inline-formula><mml:math id="M216" altimg="si280.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is unfavorable or harmful to disease eradication since <inline-formula><mml:math id="M217" altimg="si281.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M218" altimg="si282.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. In fact, if <inline-formula><mml:math id="M219" altimg="si283.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M220" altimg="si284.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> hold, then infectious disease should disappear in both cities from <xref rid="e0070" ref-type="disp-formula">(3.12)</xref> (see <xref rid="f0025" ref-type="fig">Fig. 5</xref>, <xref rid="f0030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>). Further, if infected individuals can travel and there is transport-related infection such that <inline-formula><mml:math id="M221" altimg="si285.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then the endemic steady state <inline-formula><mml:math id="M222" altimg="si286.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> appears in two cities to become stable. This situation is illustrated in <xref rid="f0035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>, <xref rid="f0040" ref-type="fig">Fig. 8</xref>.</p><p id="p0085">As above results, it can be concluded that if the disease is endemic in both isolated cities, then transport-related infection will surely lead to the disease becoming endemic. When the two isolated cities are disease-free, transport-related infection may also have the possibility to lead to the disease becoming endemic. In addition, to see clearly the effect of transport-related infection, the relations among two reproduction number, <inline-formula><mml:math id="M223" altimg="si287.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in <xref rid="e0045" ref-type="disp-formula">(3.4)</xref> and <inline-formula><mml:math id="M224" altimg="si288.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in <xref rid="e0070" ref-type="disp-formula">(3.12)</xref>, are compared. It is found that <inline-formula><mml:math id="M225" altimg="si289.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M226" altimg="si290.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M227" altimg="si291.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M228" altimg="si292.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M229" altimg="si293.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M230" altimg="si294.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it implies that <inline-formula><mml:math id="M231" altimg="si295.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> increases with the increase of <inline-formula><mml:math id="M232" altimg="si296.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Consider the coexistence steady state <inline-formula><mml:math id="M233" altimg="si297.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> given by Eqs. <xref rid="e0120" ref-type="disp-formula">(3.13)</xref>, <xref rid="e0125" ref-type="disp-formula">(3.14)</xref>, it is clear that <inline-formula><mml:math id="M234" altimg="si298.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M235" altimg="si299.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M236" altimg="si300.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M237" altimg="si301.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as <inline-formula><mml:math id="M238" altimg="si302.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Comparing coexistence steady state values of susceptible, exposed, infected and recovered individuals in the case of <inline-formula><mml:math id="M239" altimg="si303.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with those of <inline-formula><mml:math id="M240" altimg="si304.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively, give <inline-formula><mml:math id="M241" altimg="si305.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M242" altimg="si306.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M243" altimg="si307.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M244" altimg="si308.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M245" altimg="si309.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> because of<disp-formula id="e0130"><mml:math id="M246" altimg="si310.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ac</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ac</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>with <inline-formula><mml:math id="M247" altimg="si311.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Λ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bc</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">be</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is also found that <inline-formula><mml:math id="M248" altimg="si312.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M249" altimg="si313.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M250" altimg="si314.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M251" altimg="si315.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M252" altimg="si316.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. This implies that, at steady–state, the total number of susceptible individuals in the both cities decreases with the increase of <inline-formula><mml:math id="M253" altimg="si317.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, while the total number of exposed, infected and recovered individuals increase with the increase of <inline-formula><mml:math id="M254" altimg="si318.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p0090">Next, the effect of transport-related infection to the final size of population is discussed. Note that<disp-formula id="e0080"><label>(3.16)</label><mml:math id="M255" altimg="si319.gif" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℵ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M256" altimg="si320.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">be</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bd</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ce</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ce</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M257" altimg="si321.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>ℵ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p0095">The partial derivative of <inline-formula><mml:math id="M258" altimg="si322.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with respect to <inline-formula><mml:math id="M259" altimg="si323.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is given by<disp-formula id="e0295"><mml:math id="M260" altimg="si324.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ℵ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>ℵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math></disp-formula>with<disp-formula id="e0300"><mml:math id="M261" altimg="si325.gif" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>ℵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Since <inline-formula><mml:math id="M262" altimg="si326.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then <inline-formula><mml:math id="M263" altimg="si327.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>ℵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It follows that <inline-formula><mml:math id="M264" altimg="si328.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> Therefore, <inline-formula><mml:math id="M265" altimg="si329.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M266" altimg="si330.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M267" altimg="si331.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M268" altimg="si332.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. This implies that the final size of populations decreases with the increase of <inline-formula><mml:math id="M269" altimg="si333.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p0100">By the way, it is found that<disp-formula id="e0135"><mml:math id="M270" altimg="si334.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>since <inline-formula><mml:math id="M271" altimg="si335.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. These imply that the proportion of the total number of exposed, infected and recovered individuals (i.e. the total number of individuals affected by the disease) increases with the increase of <inline-formula><mml:math id="M272" altimg="si336.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. On the contrary, the proportion of the susceptible individuals decreases with the increase of <inline-formula><mml:math id="M273" altimg="si337.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Therefore, as above described, it can be suggested that transport-related infection will cause an endemic disease more seriously on spreading disease. Moreover, from these epidemiological implications, it is very essential to strengthen restrictions of passengers once when an infectious disease appears.</p></sec></sec><sec id="s0035"><label>4</label><title>Numerical experiments</title><p id="p0105">The models <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref>, <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>, <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> are solved by using fourth–order Runge kutta method with the parameter values/ranges in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref>. The results are shown in two experiments. Experiment 1 presents the various theoretical results under the conditions of the basic reproduction numbers, <inline-formula><mml:math id="M274" altimg="si338.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M275" altimg="si339.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, in order to illustrate the effect of transport-related infection on its outbreak. Experiment 2 shows the <inline-formula><mml:math id="M276" altimg="si340.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> is applied to study the outbreak of SARS in a city and the <inline-formula><mml:math id="M277" altimg="si341.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with transport-related infection <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is applied to study the SARS outbreak during the movement between two cities.<table-wrap position="float" id="t0005"><label>Table 1</label><caption><p>Description and parameter values for the models <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref>, <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>, <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref>.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th>Parameters</th><th>Descriptions</th><th>Values</th><th>References</th></tr></thead><tbody><tr><td><inline-formula><mml:math id="M278" altimg="si53.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Recruitment rate</td><td>1</td><td><xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref></td></tr><tr><td></td><td>(by birth and by immigration)</td><td></td><td></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M279" altimg="si54.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Natural death rate</td><td>0.2</td><td><xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M280" altimg="si55.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Rate that exposed individuals</td><td>0.3</td><td><xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref></td></tr><tr><td></td><td>become infected individuals</td><td></td><td></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M281" altimg="si56.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Transfer rate from infected</td><td>0.1</td><td><xref rid="b0110" ref-type="bibr">[22]</xref></td></tr><tr><td></td><td>individuals to recovered individuals</td><td></td><td></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M282" altimg="si57.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Mortality rate for infected individuals</td><td>0.4</td><td><xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M283" altimg="si58.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Rate that recovered individuals</td><td>0.03</td><td><xref rid="b0110" ref-type="bibr">[22]</xref></td></tr><tr><td></td><td>become susceptible individuals</td><td></td><td></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M284" altimg="si59.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Rate that individuals of city <inline-formula><mml:math id="M285" altimg="si60.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> leave</td><td>0.9</td><td><xref rid="b0145" ref-type="bibr">[29]</xref></td></tr><tr><td></td><td>to city <inline-formula><mml:math id="M286" altimg="si61.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mspace width="0.25em"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td></td><td></td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M287" altimg="si62.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Transmission rate</td><td><inline-formula><mml:math id="M288" altimg="si63.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Assumed</td></tr><tr><td><inline-formula><mml:math id="M289" altimg="si64.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Transport-related transmission rate</td><td><inline-formula><mml:math id="M290" altimg="si65.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula></td><td>Assumed</td></tr></tbody></table></table-wrap></p><sec id="s0040"><label>4.1</label><title>Experiment 1: numerical simulations of the models</title><p id="p0110">Firstly, the dynamics of model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> which neglects the movement of individuals are investigated by setting the transmission rate within a city, <inline-formula><mml:math id="M291" altimg="si342.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, 0.95 due to give <inline-formula><mml:math id="M292" altimg="si343.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M293" altimg="si344.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.14</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively. The typical behaviors of all individuals at steady-states as a function of <inline-formula><mml:math id="M294" altimg="si345.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are shown in <xref rid="f0010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>. <xref rid="f0010" ref-type="fig">Figs. 2</xref>(a)–(d) verifies that the numerical solutions of the model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> converge to disease-free equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M295" altimg="si346.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, whenever <inline-formula><mml:math id="M296" altimg="si347.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and to endemic equilibrium in <xref rid="e0105" ref-type="disp-formula">(3.5)</xref>, <xref rid="e0110" ref-type="disp-formula">(3.6)</xref>, <inline-formula><mml:math id="M297" altimg="si348.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4.219</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.317</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.19</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.083</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, if <inline-formula><mml:math id="M298" altimg="si349.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, (see <xref rid="f0010" ref-type="fig">Figs. 2</xref>(e)–(h)), respectively. These results are in line with <xref rid="n0025" ref-type="statement">Theorem 3.1</xref>, <xref rid="n0030" ref-type="statement">Theorem 3.2</xref>, respectively.<fig id="f0010"><label>Fig. 2</label><caption><p>Time series plot of the model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> with parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> and initial conditions <inline-formula><mml:math id="M299" altimg="si2.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M300" altimg="si3.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M301" altimg="si4.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M302" altimg="si5.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) profiles of all populations for <inline-formula><mml:math id="M303" altimg="si6.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> = 0.6, <inline-formula><mml:math id="M304" altimg="si7.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>; (e)–(h) profiles of all populations for <inline-formula><mml:math id="M305" altimg="si8.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> = 0.95, <inline-formula><mml:math id="M306" altimg="si9.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.14</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr2"></graphic></fig></p><p id="p0115">Next, assume that only susceptible and exposed individuals travel to another city at the same rate <inline-formula><mml:math id="M307" altimg="si350.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> while the infected and recovered individuals are inhibited from traveling to another city. Thus, model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> is extend to model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref>. The model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> is simulated with parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table
1</xref>. For numerical simulation purposes, the transmission rate within a city, <inline-formula><mml:math id="M308" altimg="si351.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is set to be 0.6 and 0.95, respectively. The initial conditions are used: <inline-formula><mml:math id="M309" altimg="si352.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M310" altimg="si353.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M311" altimg="si354.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M312" altimg="si355.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M313" altimg="si356.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M314" altimg="si357.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M315" altimg="si358.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M316" altimg="si359.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. The profiles of susceptible, exposed, infected and recovered individuals at steady–state are depicted in <xref rid="f0015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>, <xref rid="f0020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>. Let <inline-formula><mml:math id="M317" altimg="si360.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M318" altimg="si361.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is seen that the obtained results convergence to the disease-free equilibrium <inline-formula><mml:math id="M319" altimg="si362.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>5</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> if <inline-formula><mml:math id="M320" altimg="si363.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, as shown in <xref rid="f0015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>. According to <xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref>, the disease-free equilibrium <inline-formula><mml:math id="M321" altimg="si364.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is locally asymptotically stable whenever <inline-formula><mml:math id="M322" altimg="si365.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It interprets that the infected individuals in city 1 decrease while the infected individuals in city 2 appear to be pandemic initially, and are eventually extinct. Therefore, the disease die out separately in two cities if <inline-formula><mml:math id="M323" altimg="si366.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. When <inline-formula><mml:math id="M324" altimg="si367.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M325" altimg="si368.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.14</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. All solutions of the model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> admit an endemic equilibrium <inline-formula><mml:math id="M326" altimg="si369.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>4.219</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.317</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.19</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.083</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4.219</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.317</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.19</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.083</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, see <xref rid="f0020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>. This confirms that the endemic equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M327" altimg="si370.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is locally asymptotically stable whenever <inline-formula><mml:math id="M328" altimg="si371.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (as guaranteed by <xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref>).<fig id="f0015"><label>Fig. 3</label><caption><p>Simulations of the model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> showing the number of all individuals in two cities as a function of time using the parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> with <inline-formula><mml:math id="M329" altimg="si10.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M330" altimg="si11.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) the profiles of all populations in city 1; (e)–(h) the profiles of all populations in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr3"></graphic></fig><fig id="f0020"><label>Fig. 4</label><caption><p>Simulations of the model <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> showing the number of all individuals in two cities as a function of time using the parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> with <inline-formula><mml:math id="M331" altimg="si12.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M332" altimg="si13.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.14</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) the profiles of all populations in city 1; (e)–(h) the profiles of all populations in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr4"></graphic></fig></p><p id="p0120">Finally, two basic reproductions numbers, <inline-formula><mml:math id="M333" altimg="si372.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M334" altimg="si373.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, are compared,<disp-formula id="e0085"><label>(4.17)</label><mml:math id="M335" altimg="si374.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It is clear that, from <xref rid="e0085" ref-type="disp-formula">(4.17)</xref>, <inline-formula><mml:math id="M336" altimg="si375.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M337" altimg="si376.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> depends on <inline-formula><mml:math id="M338" altimg="si377.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and transport-related infection rate, <inline-formula><mml:math id="M339" altimg="si378.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. When <inline-formula><mml:math id="M340" altimg="si379.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and the other parameters <inline-formula><mml:math id="M341" altimg="si380.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>c</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>d</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>e</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> given in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref>, it is found that <inline-formula><mml:math id="M342" altimg="si381.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M343" altimg="si382.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> whenever <inline-formula><mml:math id="M344" altimg="si383.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>27</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M345" altimg="si384.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M346" altimg="si385.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> whenever <inline-formula><mml:math id="M347" altimg="si386.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>27</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Whereas <inline-formula><mml:math id="M348" altimg="si387.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then <inline-formula><mml:math id="M349" altimg="si388.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M350" altimg="si389.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for all <inline-formula><mml:math id="M351" altimg="si390.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, this experiment investigates the dynamics of disease transmission into two cases by solving model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> with various values of <inline-formula><mml:math id="M352" altimg="si391.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M353" altimg="si392.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: <inline-formula><mml:math id="M354" altimg="si393.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M355" altimg="si394.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.09</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, whilst retaining the same values of the other parameters. In all computations, the initial conditions are taken to be <inline-formula><mml:math id="M356" altimg="si395.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M357" altimg="si396.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M358" altimg="si397.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M359" altimg="si398.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M360" altimg="si399.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M361" altimg="si400.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M362" altimg="si401.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M363" altimg="si402.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<list list-type="simple" id="l0015"><list-item id="o0020"><label>Case 1.</label><p id="p0235">When <inline-formula><mml:math id="M364" altimg="si403.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M365" altimg="si404.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, the parameters <inline-formula><mml:math id="M366" altimg="si405.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M367" altimg="si406.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are chosen to be <inline-formula><mml:math id="M368" altimg="si407.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M369" altimg="si408.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.09</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively. The profiles of susceptible, exposed, infected and recovered individuals, as depicted in <xref rid="f0025" ref-type="fig">Fig. 5</xref>, <xref rid="f0030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>, reveal that the numerical solutions of model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> converge to disease-free equilibrium, <inline-formula><mml:math id="M370" altimg="si409.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, whenever <inline-formula><mml:math id="M371" altimg="si410.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (as guaranteed by <xref rid="n0050" ref-type="statement">Lemma 3.2</xref>). This study suggests that the transport-related infection may not lead to the disease becoming endemic when <inline-formula><mml:math id="M372" altimg="si411.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M373" altimg="si412.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for small <inline-formula><mml:math id="M374" altimg="si413.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<fig id="f0025"><label>Fig. 5</label><caption><p>Simulations of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> showing the number of all individuals in two cities as a function of time using the parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> with <inline-formula><mml:math id="M375" altimg="si14.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M376" altimg="si15.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.09</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M377" altimg="si16.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M378" altimg="si17.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.82</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) the profiles of all populations in city 1; (e)–(h) the profiles of all populations in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr5"></graphic></fig><fig id="f0030"><label>Fig. 6</label><caption><p>Simulations of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> showing the number of all individuals in two cities as a function of time using the parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> with <inline-formula><mml:math id="M379" altimg="si18.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M380" altimg="si19.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M381" altimg="si20.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M382" altimg="si21.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.936</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) the profiles of all populations in city 1; (e)–(h) the profiles of all populations in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr6"></graphic></fig></p></list-item><list-item id="o0025"><label>Case 2.</label><p id="p0240">Taking the values of <inline-formula><mml:math id="M383" altimg="si414.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M384" altimg="si415.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M385" altimg="si416.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M386" altimg="si417.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> give <inline-formula><mml:math id="M387" altimg="si418.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M388" altimg="si419.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.8</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M389" altimg="si420.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.14</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M390" altimg="si421.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.22</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively. These lead to study the dynamics of model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> in the cases <inline-formula><mml:math id="M391" altimg="si422.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M392" altimg="si423.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. All experiments are guaranteed by <xref rid="n0040" ref-type="statement">Theorem 3.4</xref> in the way that the number of all individuals asymptotically approach to coexistence endemic equilibrium for <inline-formula><mml:math id="M393" altimg="si424.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, see <xref rid="f0035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>, <xref rid="f0040" ref-type="fig">Fig. 8</xref>. Therefore, the results suggest that if there is transport – related infection such that <inline-formula><mml:math id="M394" altimg="si425.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then the disease is endemic in both two cities.<fig id="f0035"><label>Fig. 7</label><caption><p>Simulations of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> showing the number of all individuals in two cities as a function of time using the parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> with <inline-formula><mml:math id="M395" altimg="si22.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.6</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M396" altimg="si23.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M397" altimg="si24.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.72</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M398" altimg="si25.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.8</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) the profiles of all populations in city 1; (e)–(h) the profiles of all populations in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr7"></graphic></fig><fig id="f0040"><label>Fig. 8</label><caption><p>Simulations of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> showing the number of all individuals in two cities as a function of time using the parameter values in <xref rid="t0005" ref-type="table">Table 1</xref> with <inline-formula><mml:math id="M399" altimg="si26.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M400" altimg="si27.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M401" altimg="si28.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.14</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M402" altimg="si29.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.22</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a)–(d) the profiles of all populations in city 1; (e)–(h) the profiles of all populations in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr8"></graphic></fig></p></list-item></list></p></sec><sec id="s0045"><label>4.2</label><title>Experiment 2: effect of transport-related infection to SARS outbreak in Hongkong 2003</title><p id="p0125">The <inline-formula><mml:math id="M403" altimg="si426.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> is first applied to study the SARS outbreak in Hongkong 2003 by adding the cumulative number of SARS cases <xref rid="b0025" ref-type="bibr">[5]</xref> which is given by<disp-formula id="e0090"><label>(4.18)</label><mml:math id="M404" altimg="si427.gif" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">kI</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M405" altimg="si428.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> denotes cumulative number of SARS cases and <inline-formula><mml:math id="M406" altimg="si429.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is the rate of progression from infective to diagnosed. Simulations are obtained by choosing the most proper parameters (base-case estimates) to SARS on 17 March 2003 to 26 April 2003 <xref rid="b0175" ref-type="bibr">[35]</xref>:<disp-formula id="e0095"><label>(4.19)</label><mml:math id="M407" altimg="si430.gif" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.000034</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6.4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.007934</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.001</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>The values of <inline-formula><mml:math id="M408" altimg="si431.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M409" altimg="si432.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M410" altimg="si433.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> correspond to life expectancy of 80 years <xref rid="b0065" ref-type="bibr">[13]</xref>, an average incubation period of 6.4 days and infectious period of approximately 4 days <xref rid="b0045" ref-type="bibr">[9]</xref>, respectively. The rate of SARS induced mortality is 0.0079 <inline-formula><mml:math id="M411" altimg="si434.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula><xref rid="b0065" ref-type="bibr">[13]</xref>. The rate <inline-formula><mml:math id="M412" altimg="si435.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is progression from infective to diagnosed and is set to be 1/3 <inline-formula><mml:math id="M413" altimg="si436.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula><xref rid="b0025" ref-type="bibr">[5]</xref>. The natural death rate is 0.000034 <inline-formula><mml:math id="M414" altimg="si437.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula><xref rid="b0065" ref-type="bibr">[13]</xref>, then the rate <inline-formula><mml:math id="M415" altimg="si438.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is 0.007934 <inline-formula><mml:math id="M416" altimg="si439.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (summation of natural death rate and SARS induced mortality rate). The basic reproduction number (<inline-formula><mml:math id="M417" altimg="si440.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) values for SARS is in the range 2.2 to 3.7 <xref rid="b0095" ref-type="bibr">[19]</xref>, then <inline-formula><mml:math id="M418" altimg="si441.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is selected as 2.7 <xref rid="b0095" ref-type="bibr">[19]</xref>. Substituting <inline-formula><mml:math id="M419" altimg="si442.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2.7</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in <xref rid="e0045" ref-type="disp-formula">(3.4)</xref> give the transmission rate<disp-formula id="e0100"><label>(4.20)</label><mml:math id="M420" altimg="si443.gif" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.679</mml:mn><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>For numerical simulations, the initial conditions are assumed to be <inline-formula><mml:math id="M421" altimg="si444.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>100</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M422" altimg="si445.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M423" altimg="si446.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M424" altimg="si447.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M425" altimg="si448.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. For <inline-formula><mml:math id="M426" altimg="si449.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> corresponds to number of infectious cases on 17 March 2003. The numerical results of model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>, <xref rid="e0090" ref-type="disp-formula">(4.18)</xref> are shown in <xref rid="f0045" ref-type="fig">Fig. 9</xref>, <xref rid="f0050" ref-type="fig">Fig. 10</xref>. <xref rid="f0045" ref-type="fig">Fig. 9</xref> shows that the number of susceptible individuals decrease whereas the number of exposed, infected and recovered individuals increase. This means that when the disease spread occurs, the number of susceptible individuals decrease since the susceptible individuals contact with infected individuals. Thus, susceptible individuals can require exposed individuals. After 2–10 days <xref rid="b0045" ref-type="bibr">[9]</xref>, the exposed individuals is progression to symptoms development, therefore, exposed individual is called infected individuals. After that infected individuals is hospitalized about 3–5 days <xref rid="b0045" ref-type="bibr">[9]</xref> and then infected individuals is becomes recovered individuals. It can be concluded that SARS is highly infectious base on the gradient of the susceptible curve. <xref rid="f0050" ref-type="fig">Fig. 10</xref> shows the predicted total cases obtained by <xref rid="e0090" ref-type="disp-formula">(4.18)</xref>. The resulting curve for <inline-formula><mml:math id="M427" altimg="si450.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> fits very well with the observed total cases from 17 March 2003 to 26 April 2003 (totally 54 days). This implies that <inline-formula><mml:math id="M428" altimg="si451.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> can be used to predict the SARS transmission in Hongkong 2003.<fig id="f0045"><label>Fig. 9</label><caption><p>The number of all populations in a city produced by the model <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> with the parameter values: <inline-formula><mml:math id="M429" altimg="si30.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M430" altimg="si31.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.000034</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M431" altimg="si32.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6.4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M432" altimg="si33.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M433" altimg="si34.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.007934</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M434" altimg="si35.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.001</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M435" altimg="si36.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M436" altimg="si37.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.679</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr9"></graphic></fig><fig id="f0050"><label>Fig. 10</label><caption><p>Comparison the cumulative numbers of SARS between actual data by WHO <xref rid="b0175" ref-type="bibr">[35]</xref> (dotted lines) and predicted by <inline-formula><mml:math id="M437" altimg="si38.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model<xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> (solid lines).</p></caption><graphic xlink:href="gr10"></graphic></fig></p><p id="p0130">Next, an <inline-formula><mml:math id="M438" altimg="si452.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with transport-related infection <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is applied to study the dynamic of SARS during the movement among two cities. It is assumed that the all individuals can travel from one city to another city at the rate <inline-formula><mml:math id="M439" altimg="si453.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is also assumed that both cities are identical, i.e. the demographic are the same for each city. When the disease spread occurs, the disease is transmitted with transition rate <inline-formula><mml:math id="M440" altimg="si454.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, the effect of transport-related infection, <inline-formula><mml:math id="M441" altimg="si455.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is monitored to forecast the total number of infected individuals and duration of its outbreak. In this case the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is simulated by using parameter values <inline-formula><mml:math id="M442" altimg="si456.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.9</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and various values of <inline-formula><mml:math id="M443" altimg="si457.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: <inline-formula><mml:math id="M444" altimg="si458.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M445" altimg="si459.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M446" altimg="si460.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, whilst retaining the same values of other parameters in the previous experiment. The initial conditions are used <inline-formula><mml:math id="M447" altimg="si461.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>100</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M448" altimg="si462.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M449" altimg="si463.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M450" altimg="si464.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M451" altimg="si465.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>95</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M452" altimg="si466.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>100</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M453" altimg="si467.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M454" altimg="si468.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M455" altimg="si469.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M456" altimg="si470.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. The cumulative number of cases and trajectory of infected individuals, in two cities, are shown in <xref rid="f0055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>, <xref rid="f0060" ref-type="fig">Fig. 12</xref>, respectively. The results show that the total number of SARS in both cities increases with increase of <inline-formula><mml:math id="M457" altimg="si471.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> (see <xref rid="f0055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>). It is also seen that the maximum number of infected individuals are 130, 150, 240 and the outbreak reached its peak about 22 days, 20 days, 10 days as <inline-formula><mml:math id="M458" altimg="si472.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> increase, <inline-formula><mml:math id="M459" altimg="si473.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M460" altimg="si474.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M461" altimg="si475.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively (see <xref rid="f0060" ref-type="fig">Fig. 12</xref>). This confirms that the size and duration of an outbreak can be influenced by transport-related infection. Thus, to reduction and to prevention the spread of SARS, it should have the control measure of the traveling of individual from one city to another city.<fig id="f0055"><label>Fig. 11</label><caption><p>The cumulative number of SARS cases obtained by the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> with various of <inline-formula><mml:math id="M462" altimg="si39.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: <inline-formula><mml:math id="M463" altimg="si40.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M464" altimg="si41.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.2</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M465" altimg="si42.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>: (a) the cumulative number of SARS cases in city 1; (b) the cumulative number of SARS cases in city 2.</p></caption><graphic xlink:href="gr11"></graphic></fig><fig id="f0060"><label>Fig. 12</label><caption><p>The trajectory of infected individuals of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> with various of <inline-formula><mml:math id="M466" altimg="si43.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and other parameter values: <inline-formula><mml:math id="M467" altimg="si44.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M468" altimg="si45.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.000034</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M469" altimg="si46.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6.4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M470" altimg="si47.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M471" altimg="si48.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.007934</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M472" altimg="si49.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.001</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M473" altimg="si50.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M474" altimg="si51.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.679</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M475" altimg="si52.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.9</mml:mn><mml:mspace width="0.5em"></mml:mspace><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">day</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr12"></graphic></fig></p></sec></sec><sec id="s0050"><label>5</label><title>Conclusions</title><p id="p0135">This paper presents an <inline-formula><mml:math id="M476" altimg="si476.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with transport-related infection for studying the spreading disease during the movement between two cities. The model was rigorously analyzed into three cases in order to gain insights into their qualitative dynamics. The following results are obtained:<list list-type="simple" id="l0020"><list-item id="o0030"><label>(i)</label><p id="p0245">Each of the three models considered in this study has a locally asymptotically stable if a certain threshold quantity, known as the basic reproduction number, is less than unity; indicating that the number of infectious individual in the community will be brought to zero if public health measures that make (and keep) the threshold to a value less than unity are carried out;</p></list-item><list-item id="o0035"><label>(ii)</label><p id="p0250">The basic reproduction number of the models <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref>, <xref rid="e0055" ref-type="disp-formula">(3.9)</xref> are identical, then the traveling of susceptible and exposed (means exposed but not yet infectious) individuals does not change the dynamics of the corresponding epidemic model when the disease had appeared in both regions. But if the basic reproduction number is greater than unity, the traveling of the exposed individuals can bring the disease from one region to other regions according to <xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref>;</p></list-item><list-item id="o0040"><label>(iii)</label><p id="p0255">If there is no restriction on the traveling of the exposed and infectious individuals, according to Theorem 3.7 and the discussion behind this theorem, then transport-related infection intensifies the disease spread in the sense of that both the absolute and relative size of patients increase when <inline-formula><mml:math id="M477" altimg="si477.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>;</p></list-item><list-item id="o0045"><label>(iv)</label><p id="p0260">The result of the <inline-formula><mml:math id="M478" altimg="si478.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model without transport related infections <xref rid="e0035" ref-type="disp-formula">(3.2)</xref> is good agreement with the real data of SARS outbreak in Hongkong 2003. When there is the movement of exposed and infectious individuals between two cities, the <inline-formula><mml:math id="M479" altimg="si479.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">SEIRS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> model with transport related infection <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is used to investigate the outbreak of SARS when the individuals in one city travel to another city. The results show that the transport-related infection is effected to the number of infected individuals and the duration of outbreak in such the way that the disease becomes more endemic due to the movement between two cities. This study can be helpful in providing the information to public health authorities and policy maker to reduce spreading disease when its occurs. However, the results of the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> has not yet forecasted the real size of the SARS epidemics in two city and one can see that in the model <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref>, it is assumed that the two regions share an identical parameter set. It may be necessary to consider two different population sizes and different dispersal rates in order to discuss precisely the impact of the transport-related infection on the disease dynamics. Moreover, to make the model more realistic, gravity models introduced by Murray and Cliff <xref rid="b0075" ref-type="bibr">[15]</xref> is applied. We leave these to future work.</p></list-item></list></p></sec></body><back><ref-list id="bi005"><title>References</title><ref id="b0005"><label>1</label><element-citation publication-type="book" id="h0005"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Allen</surname><given-names>L.J.S.</given-names></name></person-group><chapter-title>An Introduction to Mathematical Biology</chapter-title><year>2007</year><publisher-name>Pearson Education Ltd.</publisher-name><publisher-loc>USA</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0010"><label>2</label><element-citation publication-type="book" id="h0010"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Anderson</surname><given-names>R.M.</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>R.M.</given-names></name></person-group><chapter-title>Infectious Diseases of Humans, Dynamics and Control</chapter-title><year>1991</year><publisher-name>Oxford University Press</publisher-name><publisher-loc>London, NewYork</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="b0015"><label>3</label><mixed-citation publication-type="other" id="j0005">J. Arino, Diseases in metapopulations, in: Modeling and Dynamics of Infectious Diseases, in: Ser. Contemp. Appl. Math. CAM, vol. 11, Higher Ed. Press, Beijing, 2009, pp. 64–122.</mixed-citation></ref><ref id="b0020"><label>4</label><element-citation publication-type="journal" id="h0015"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Arino</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>van den Driessche</surname><given-names>P.</given-names></name></person-group><article-title>A multi–city epidemic model</article-title><source>Math. Popul. Stud.</source><volume>10</volume><year>2003</year><fpage>175</fpage></element-citation></ref><ref id="b0025"><label>5</label><element-citation publication-type="journal" id="h0020"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chowella</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Fenimorea</surname><given-names>P.W.</given-names></name><name><surname>Castillo-Garsowc</surname><given-names>M.A.</given-names></name><name><surname>Castillo-Chavez</surname><given-names>C.</given-names></name></person-group><article-title>SARS outbreaks in Ontario, Hong Kong and Singapore: the role of diagnosis and isolation as a control mechanism</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>224</volume><year>2003</year><fpage>1</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">12900200</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0030"><label>6</label><element-citation publication-type="journal" id="h0025"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Cooke</surname><given-names>K.</given-names></name><name><surname>van den Driessche</surname><given-names>P.</given-names></name></person-group><article-title>Analysis of an SEIRS epidemic model with two Delays</article-title><source>J. Math. Biol.</source><volume>35</volume><year>1990</year><fpage>240</fpage></element-citation></ref><ref id="b0035"><label>7</label><mixed-citation publication-type="other" id="j0010">J. Cui, Y. Takeuchi, Y. Saito, Spreading disease with transport-related infection, J. Theor. Biol. 239 (206) 376–390.</mixed-citation></ref><ref id="b0040"><label>8</label><element-citation publication-type="journal" id="h0030"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Diekmann</surname><given-names>O.</given-names></name><name><surname>Metz</surname><given-names>J.A.J.</given-names></name><name><surname>Heesterbeek</surname><given-names>J.A.P.</given-names></name></person-group><article-title>On the definition and the computation of the basic reproduction ratio <inline-formula><mml:math id="M480" altimg="si766.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> in models for infectious diseases in heterogeneous populations</article-title><source>J. Math. Biol.</source><volume>28</volume><year>1990</year><fpage>365</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">2117040</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0045"><label>9</label><mixed-citation publication-type="other" id="j0015">C.A. Donnelly et al., Epidemiological determinants of spread of cusal agent of severe acute respiratory syndrome in Hong Kong, Lancet, 2003, http://image.thelancet.com/extras/03art4453-web.pdf</mixed-citation></ref><ref id="b0050"><label>10</label><element-citation publication-type="journal" id="h0035"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Fulford</surname><given-names>G.R.</given-names></name><name><surname>Roberts</surname><given-names>M.G.</given-names></name><name><surname>Heesterbeek</surname><given-names>J.A.P.</given-names></name></person-group><article-title>The metapopulation dynamics of an infectious disease: tuberculosis in possums</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>61</volume><year>2002</year><fpage>15</fpage></element-citation></ref><ref id="b0055"><label>11</label><element-citation publication-type="journal" id="h0040"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Grenhalgh</surname><given-names>D.</given-names></name></person-group><article-title>Some results for an SEIR epidemic model with density dependence in the death rate</article-title><source>IMA J. Math. Appl. Med. Biol.</source><volume>9</volume><year>1992</year><fpage>67</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">1517675</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0060"><label>12</label><element-citation publication-type="journal" id="h0045"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Greenhalgh</surname><given-names>D.</given-names></name></person-group><article-title>Hopf bifurcation in epidemic models with a latent period and nonpermanent immunity</article-title><source>Math. Comput. Model.</source><volume>25</volume><year>1997</year><fpage>85</fpage></element-citation></ref><ref id="b0065"><label>13</label><element-citation publication-type="journal" id="h0050"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Gumel</surname><given-names>A.B.</given-names></name></person-group><article-title>Modelling strategies for controlling SARS outbreaks</article-title><source>Proc. Roy. Soc. B</source><volume>271</volume><year>2004</year><fpage>2223</fpage></element-citation></ref><ref id="b0070"><label>14</label><element-citation publication-type="journal" id="h0055"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Khan</surname><given-names>K.</given-names></name><name><surname>Arino</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Hu</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Raposo</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Sears</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Calderon</surname><given-names>F.</given-names></name><name><surname>Heidebrecht</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Macdonald</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Liauw</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Chan</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Gardam</surname><given-names>M.</given-names></name></person-group><article-title>Spread of a novel influenza a (H1N1) virus via global airline transportation</article-title><source>N. Engl. J. Med.</source><volume>361</volume><issue>2</issue><year>2009</year><fpage>212</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">19564630</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0075"><label>15</label><element-citation publication-type="journal" id="h0060"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Murray</surname><given-names>G.D.</given-names></name><name><surname>Cliff</surname><given-names>A.D.</given-names></name></person-group><article-title>A stochastic model for measles epidemics in a multi–region setting</article-title><source>Inst. Br. Geog.</source><volume>2</volume><year>1975</year><fpage>158</fpage></element-citation></ref><ref id="b0080"><label>16</label><element-citation publication-type="journal" id="h0065"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Li</surname><given-names>M.Y.</given-names></name><name><surname>Muldoweney</surname><given-names>J.S.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability for SEIR modle in epidemiology</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>125</volume><year>1995</year><fpage>155</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">7881192</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0085"><label>17</label><element-citation publication-type="journal" id="h0070"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Li</surname><given-names>M.Y.</given-names></name><name><surname>Muldoweney</surname><given-names>J.S.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability of a SEIR epidemic model with vertical transmission</article-title><source>SIAM J. Appl. Math.</source><volume>62</volume><year>2001</year><fpage>58</fpage></element-citation></ref><ref id="b0090"><label>18</label><element-citation publication-type="journal" id="h0075"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Li</surname><given-names>M.Y.</given-names></name><name><surname>Muldoweney</surname><given-names>J.S.</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>L.C.</given-names></name><name><surname>Karsai</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Global dynamics of an SEIR epidemic model with a varying total population size</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>160</volume><year>1999</year><fpage>191</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">10472754</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0095"><label>19</label><element-citation publication-type="journal" id="h0080"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lipsitch</surname><given-names>M.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission dynamics and control of severe acute respiratory syndrome</article-title><source>Science</source><volume>300</volume><year>2003</year><fpage>1966</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">12766207</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0100"><label>20</label><element-citation publication-type="journal" id="h0085"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Liu</surname><given-names>X.</given-names></name><name><surname>Takeuchi</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Spread of disease with transport-related infection and entry screening</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>242</volume><year>2006</year><fpage>517</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">16678858</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0105"><label>21</label><element-citation publication-type="journal" id="h0090"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Liu</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Zhou</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability of an SIRS epidemic model with transport-related infection</article-title><source>Chaos, Solitons & Fractals</source><volume>40</volume><year>2009</year><fpage>145</fpage></element-citation></ref><ref id="b0110"><label>22</label><element-citation publication-type="journal" id="h0095"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Liu</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Zhou</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability of an SIRS epidemic model with transport-related infection</article-title><source>Chaos, Solitons & Fractals</source><volume>40</volume><year>2009</year><fpage>145</fpage></element-citation></ref><ref id="b0115"><label>23</label><element-citation publication-type="journal" id="h0100"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Longini</surname><given-names>I.</given-names></name></person-group><article-title>A mathematical model for predicting the geographic spread of new infectious agents</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>90</volume><year>1988</year><fpage>367</fpage></element-citation></ref><ref id="b0120"><label>24</label><element-citation publication-type="journal" id="h0105"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ruan</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Levin</surname><given-names>S.A.</given-names></name></person-group><article-title>The effect of global travel on the spread of SARS</article-title><source>Math. Biosci. Eng.</source><volume>3</volume><issue>1</issue><year>2006</year><fpage>205</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">20361819</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0125"><label>25</label><element-citation publication-type="journal" id="h0110"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Rvachev</surname><given-names>L.</given-names></name><name><surname>Longini</surname><given-names>I.</given-names></name></person-group><article-title>A mathematical model for the global spread of influenza</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>75</volume><year>1985</year><fpage>3</fpage></element-citation></ref><ref id="b0130"><label>26</label><element-citation publication-type="journal" id="h0115"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sattenspiel</surname><given-names>L.</given-names></name><name><surname>Dietz</surname><given-names>K.</given-names></name></person-group><article-title>A structured epidemic model incorporating geographic mobility among cities</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>128</volume><year>1995</year><fpage>71</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">7606146</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0135"><label>27</label><element-citation publication-type="journal" id="h0120"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Takeuchi</surname><given-names>Y.</given-names></name><name><surname>Liu</surname><given-names>X.</given-names></name><name><surname>Cui</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Global dynamics of SIS models with transport-related infection</article-title><source>J. Math. Anal. Appl.</source><volume>329</volume><year>2007</year><fpage>1460</fpage></element-citation></ref><ref id="b0140"><label>28</label><element-citation publication-type="journal" id="h0125"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Van den Driessche</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Watmough</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>Reproduction numbers and sub–threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>180</volume><year>2002</year><fpage>29</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">12387915</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0145"><label>29</label><element-citation publication-type="journal" id="h0130"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wan</surname><given-names>H.</given-names></name><name><surname>Cui</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>An SEIS epidemic model with transport-related infection</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>247</volume><year>2007</year><fpage>507</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">17481666</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0150"><label>30</label><element-citation publication-type="journal" id="h0135"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Zhao</surname><given-names>X.-Q.</given-names></name></person-group><article-title>An epidemic model in a patchy environment</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>190</volume><issue>1</issue><year>2004</year><fpage>97</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">15172805</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0155"><label>31</label><element-citation publication-type="journal" id="h0140"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Mulone</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>Threshold of disease transmission in a patch environment</article-title><source>J. Math. Anal. Appl.</source><volume>285</volume><year>2003</year><fpage>321</fpage></element-citation></ref><ref id="b0160"><label>32</label><element-citation publication-type="journal" id="h0145"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wang</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Ruan</surname><given-names>S.</given-names></name></person-group><article-title>Simulating the SARS outbreak in Beijing with limited data</article-title><source>J. Theor. Biol.</source><volume>227</volume><year>2004</year><fpage>369</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">15019504</pub-id></element-citation></ref><ref id="b0165"><label>33</label><mixed-citation publication-type="other" id="j0020">A. Wilder-Smith, The severe acute respiraltory syndrome: impact on travel and tourism, Travel Med. Infect. Dis. 4 (2006) 53–60.</mixed-citation></ref><ref id="b0170"><label>34</label><mixed-citation publication-type="other" id="j0025">World Health Organization, Severe acute respiratory syndrome (SARS): status of the outbreak and lessons for the immediate future, Geneva, May 20, 2003.</mixed-citation></ref><ref id="b0175"><label>35</label><mixed-citation publication-type="other" id="j0030">World Health Organization, Severe acute respiratory syndrome (SARS): status of the outbreak and lessons for the immediate future, Geneva, May 20, 2003.</mixed-citation></ref><ref id="b0180"><label>36</label><element-citation publication-type="journal" id="h0150"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Zhang</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>Z.</given-names></name></person-group><article-title>Global stability of SEIR model with saturating contact rate</article-title><source>Math. Biosci.</source><volume>185</volume><year>2003</year><fpage>15</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">12900140</pub-id></element-citation></ref></ref-list><sec id="s0055"><label>Appendix A</label><title>Proof of <xref rid="n0030" ref-type="statement">Theorem 3.2</xref></title><p id="p0140"><statement id="n0015"><label>Proof</label><p id="p0265">From Jacobian matrix <xref rid="e0050" ref-type="disp-formula">(3.7)</xref> has the form as <xref rid="e0030" ref-type="disp-formula">(3.1)</xref>, it suffices to check <xref rid="e0050" ref-type="disp-formula">(3.7)</xref> satisfy in <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref> to stability of <inline-formula><mml:math id="M481" altimg="si480.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. We check for <inline-formula><mml:math id="M482" altimg="si481.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as following steps.<list list-type="simple" id="l0025"><list-item id="o0050"><label>(i)</label><p id="p0430"><inline-formula><mml:math id="M483" altimg="si482.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Obviously, <inline-formula><mml:math id="M484" altimg="si483.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M485" altimg="si484.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M486" altimg="si485.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M487" altimg="si486.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M488" altimg="si487.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, <inline-formula><mml:math id="M489" altimg="si488.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0055"><label>(ii)</label><p id="p0270"><inline-formula><mml:math id="M490" altimg="si489.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M491" altimg="si490.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M492" altimg="si491.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M493" altimg="si492.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Obviously, <inline-formula><mml:math id="M494" altimg="si493.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M495" altimg="si494.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M496" altimg="si495.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> since <inline-formula><mml:math id="M497" altimg="si496.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M498" altimg="si497.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, <inline-formula><mml:math id="M499" altimg="si498.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0060"><label>(iii)</label><p id="p0275"><inline-formula><mml:math id="M500" altimg="si499.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M501" altimg="si500.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M502" altimg="si501.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M503" altimg="si502.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M504" altimg="si503.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M505" altimg="si504.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M506" altimg="si505.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M507" altimg="si506.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M508" altimg="si507.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M509" altimg="si508.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Furthermore, <inline-formula><mml:math id="M510" altimg="si509.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> Thus, <inline-formula><mml:math id="M511" altimg="si510.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0065"><label>(iv)</label><p id="p0280"><inline-formula><mml:math id="M512" altimg="si511.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">det</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M513" altimg="si512.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M514" altimg="si513.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M515" altimg="si514.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> Since <inline-formula><mml:math id="M516" altimg="si515.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M517" altimg="si516.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M518" altimg="si517.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it is found that<disp-formula id="e0305"><mml:math id="M519" altimg="si518.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="o0070"><label>(v)</label><p id="p0285"><inline-formula><mml:math id="M520" altimg="si519.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M521" altimg="si520.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M522" altimg="si521.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M523" altimg="si522.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M524" altimg="si523.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it follows that<disp-formula id="e0310"><mml:math id="M525" altimg="si524.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="o0075"><label>(vi)</label><p id="p0290">Finally, it can be shown that <inline-formula><mml:math id="M526" altimg="si525.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. We have <inline-formula><mml:math id="M527" altimg="si526.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then<disp-formula id="e0315"><mml:math id="M528" altimg="si527.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It is revealed that <inline-formula><mml:math id="M529" altimg="si528.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> since<disp-formula id="e0320"><mml:math id="M530" altimg="si529.gif" overflow="scroll"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0325"><mml:math id="M531" altimg="si530.gif" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ca</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ca</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0140"><mml:math id="M532" altimg="si531.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bA</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p></list-item></list></p></statement>Hence, by <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref>, all eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M533" altimg="si532.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part when <inline-formula><mml:math id="M534" altimg="si533.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Thus, <inline-formula><mml:math id="M535" altimg="si534.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is <italic>LAS</italic>.</p></sec><sec id="s0060"><label>Appendix B</label><title>Proof of <xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref></title><p id="p0145"><bold>Proof of</bold><xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref> (i). Evaluating <xref rid="e0065" ref-type="disp-formula">(3.11)</xref> at <inline-formula><mml:math id="M536" altimg="si535.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> gives<disp-formula id="e0330"><mml:math id="M537" altimg="si536.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0335"><mml:math id="M538" altimg="si537.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0340"><mml:math id="M539" altimg="si538.gif" overflow="scroll"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>By Cui et al. <xref rid="b0035" ref-type="bibr">[7]</xref>, the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M540" altimg="si539.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are identical to those of <inline-formula><mml:math id="M541" altimg="si540.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M542" altimg="si541.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, where<disp-formula id="e0345"><mml:math id="M543" altimg="si542.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0350"><mml:math id="M544" altimg="si543.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mspace width="0.12em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It is found that the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M545" altimg="si544.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M546" altimg="si545.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are the roots of equations<disp-formula id="e0145"><mml:math id="M547" altimg="si546.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>respectively, where <inline-formula><mml:math id="M548" altimg="si547.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M549" altimg="si548.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M550" altimg="si549.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M551" altimg="si550.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is easy to see that <inline-formula><mml:math id="M552" altimg="si551.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M553" altimg="si552.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M554" altimg="si553.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M555" altimg="si554.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M556" altimg="si555.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then <inline-formula><mml:math id="M557" altimg="si556.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. These imply that, using the Routh–Hurwitz criterion, all eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M558" altimg="si557.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M559" altimg="si558.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part. Hence <inline-formula><mml:math id="M560" altimg="si559.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is <inline-formula><mml:math id="M561" altimg="si560.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">LAS</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> if <inline-formula><mml:math id="M562" altimg="si561.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p0150"><bold>Proof of</bold><xref rid="n0035" ref-type="statement">Theorem 3.3</xref> (ii). Evaluating <xref rid="e0065" ref-type="disp-formula">(3.11)</xref> at <inline-formula><mml:math id="M563" altimg="si562.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> yields<disp-formula id="e0355"><mml:math id="M564" altimg="si563.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0360"><mml:math id="M565" altimg="si564.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0365"><mml:math id="M566" altimg="si565.gif" overflow="scroll"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Since <inline-formula><mml:math id="M567" altimg="si566.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, by the proof of <xref rid="n0030" ref-type="statement">Theorem 3.2</xref>, <inline-formula><mml:math id="M568" altimg="si567.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is stable if <inline-formula><mml:math id="M569" altimg="si568.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. For the matrix <inline-formula><mml:math id="M570" altimg="si569.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, we have<disp-formula id="e0370"><mml:math id="M571" altimg="si570.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>It suffices to check that matrix <inline-formula><mml:math id="M572" altimg="si571.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> satisfies the conditions in <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref> as following six steps. For simplification, the entries of <inline-formula><mml:math id="M573" altimg="si572.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is denoted by <inline-formula><mml:math id="M574" altimg="si573.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M575" altimg="si574.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is obvious that <inline-formula><mml:math id="M576" altimg="si575.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M577" altimg="si576.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M578" altimg="si577.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M579" altimg="si578.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>(<inline-formula><mml:math id="M580" altimg="si579.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) give in <xref rid="e0115" ref-type="disp-formula">(3.8)</xref> are positive when <inline-formula><mml:math id="M581" altimg="si580.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<list list-type="simple" id="l0030"><list-item id="o0080"><label>(<inline-formula><mml:math id="M582" altimg="si581.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)</label><p id="p0295"><inline-formula><mml:math id="M583" altimg="si582.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0085"><label>(<inline-formula><mml:math id="M584" altimg="si583.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)</label><p id="p0300"><inline-formula><mml:math id="M585" altimg="si584.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M586" altimg="si585.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M587" altimg="si586.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M588" altimg="si587.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> Thus, <inline-formula><mml:math id="M589" altimg="si588.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0090"><label>(<inline-formula><mml:math id="M590" altimg="si589.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">iii</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)</label><p id="p0305"><inline-formula><mml:math id="M591" altimg="si590.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M592" altimg="si591.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M593" altimg="si592.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M594" altimg="si593.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M595" altimg="si594.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, these yield <inline-formula><mml:math id="M596" altimg="si595.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M597" altimg="si596.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> For <inline-formula><mml:math id="M598" altimg="si597.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it can be verified that<disp-formula id="e0375"><mml:math id="M599" altimg="si598.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Thus, <inline-formula><mml:math id="M600" altimg="si599.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0095"><label>(<inline-formula><mml:math id="M601" altimg="si600.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">iv</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)</label><p id="p0310"><inline-formula><mml:math id="M602" altimg="si601.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">det</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0100"><label>(<inline-formula><mml:math id="M603" altimg="si602.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)</label><p id="p0315"><inline-formula><mml:math id="M604" altimg="si603.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Since <inline-formula><mml:math id="M605" altimg="si604.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M606" altimg="si605.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M607" altimg="si606.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M608" altimg="si607.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0380"><mml:math id="M609" altimg="si608.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">ce</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="o0105"><label>(<inline-formula><mml:math id="M610" altimg="si609.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">vi</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)</label><p id="p0320">Finally, <inline-formula><mml:math id="M611" altimg="si610.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M612" altimg="si611.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M613" altimg="si612.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula><inline-formula><mml:math id="M614" altimg="si613.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p><p id="p0155">Since<disp-formula id="e0385"><mml:math id="M615" altimg="si614.gif" overflow="scroll"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0390"><mml:math id="M616" altimg="si615.gif" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0395"><mml:math id="M617" altimg="si616.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0400"><mml:math id="M618" altimg="si617.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0405"><mml:math id="M619" altimg="si618.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0150"><mml:math id="M620" altimg="si619.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p></list-item></list>From (<inline-formula><mml:math id="M621" altimg="si620.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>)–(<inline-formula><mml:math id="M622" altimg="si621.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">vi</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>), all the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M623" altimg="si622.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part. Since all the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M624" altimg="si623.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M625" altimg="si624.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part whenever <inline-formula><mml:math id="M626" altimg="si625.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M627" altimg="si626.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is <italic>LAS</italic>.</p></sec><sec id="s0065"><label>Appendix C</label><title>Proof of <xref rid="n0040" ref-type="statement">Theorem 3.4</xref></title><p id="p0160"><statement id="n0020"><label>Proof</label><p id="p0325">Evaluating the Jacobian matrix of <xref rid="e0025" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> at <inline-formula><mml:math id="M628" altimg="si627.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> gives<disp-formula id="e0410"><mml:math id="M629" altimg="si628.gif" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0415"><mml:math id="M630" altimg="si629.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and <inline-formula><mml:math id="M631" altimg="si630.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> with<disp-formula id="e0155"><mml:math id="M632" altimg="si631.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0160"><mml:math id="M633" altimg="si632.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>and <inline-formula><mml:math id="M634" altimg="si633.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. The eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M635" altimg="si634.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are equivalent to calculate the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M636" altimg="si635.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M637" altimg="si636.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as in the following. First, according to <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref>, the matrix <inline-formula><mml:math id="M638" altimg="si637.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>:<disp-formula id="e0420"><mml:math id="M639" altimg="si638.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M640" altimg="si639.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M641" altimg="si640.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M642" altimg="si641.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, is checked into six step. For simplification, the entries of <inline-formula><mml:math id="M643" altimg="si642.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are denoted by <inline-formula><mml:math id="M644" altimg="si643.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ij</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M645" altimg="si644.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> It is clear that <inline-formula><mml:math id="M646" altimg="si645.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M647" altimg="si646.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.<list list-type="simple" id="l0035"><list-item id="o0110"><label>(i)</label><p id="p0435"><inline-formula><mml:math id="M648" altimg="si647.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0115"><label>(ii)</label><p id="p0330"><inline-formula><mml:math id="M649" altimg="si648.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> since <inline-formula><mml:math id="M650" altimg="si649.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M651" altimg="si650.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M652" altimg="si651.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> It follows that <inline-formula><mml:math id="M653" altimg="si652.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0120"><label>(iii)</label><p id="p0335">Obviously, <inline-formula><mml:math id="M654" altimg="si653.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M655" altimg="si654.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Let <inline-formula><mml:math id="M656" altimg="si655.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> it follows that <inline-formula><mml:math id="M657" altimg="si656.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> Thus, <inline-formula><mml:math id="M658" altimg="si657.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0125"><label>(iv)</label><p id="p0340"><inline-formula><mml:math id="M659" altimg="si658.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">det</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>e</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0130"><label>(v)</label><p id="p0345">From (i)–(iii), it can be seen that<disp-formula id="e0425"><mml:math id="M660" altimg="si659.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">bc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="o0135"><label>(vi)</label><p id="p0350">Finally, from <inline-formula><mml:math id="M661" altimg="si660.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it is see that<disp-formula id="e0430"><mml:math id="M662" altimg="si661.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M663" altimg="si662.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M664" altimg="si663.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M665" altimg="si664.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and<disp-formula id="e0435"><mml:math id="M666" altimg="si665.gif" overflow="scroll"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0440"><mml:math id="M667" altimg="si666.gif" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0165"><mml:math id="M668" altimg="si667.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">bA</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p></list-item></list></p></statement>By <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref>, all eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M669" altimg="si668.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part when <inline-formula><mml:math id="M670" altimg="si669.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p0165">Next, the matrix <inline-formula><mml:math id="M671" altimg="si670.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is given by<disp-formula id="e0445"><mml:math id="M672" altimg="si671.gif" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M673" altimg="si672.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M674" altimg="si673.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M675" altimg="si674.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M676" altimg="si675.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M677" altimg="si676.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M678" altimg="si677.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M679" altimg="si678.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> The eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M680" altimg="si679.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are evaluated.<list list-type="simple" id="l0040"><list-item id="o0140"><label>(i)</label><p id="p0355">Obviously, <inline-formula><mml:math id="M681" altimg="si680.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M682" altimg="si681.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. For <inline-formula><mml:math id="M683" altimg="si682.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M684" altimg="si683.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> when <inline-formula><mml:math id="M685" altimg="si684.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it is found that<disp-formula id="e0450"><mml:math id="M686" altimg="si685.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0455"><mml:math id="M687" altimg="si686.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mi mathvariant="normal">respectively</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Hence, <inline-formula><mml:math id="M688" altimg="si687.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0145"><label>(ii)</label><p id="p0360"><inline-formula><mml:math id="M689" altimg="si688.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M690" altimg="si689.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M691" altimg="si690.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M692" altimg="si691.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Clearly, <inline-formula><mml:math id="M693" altimg="si692.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M694" altimg="si693.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, then <inline-formula><mml:math id="M695" altimg="si694.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. There is two cases for testing <inline-formula><mml:math id="M696" altimg="si695.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p0170">Case 1: <inline-formula><mml:math id="M697" altimg="si696.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0460"><mml:math id="M698" altimg="si697.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0175">Case 2: <inline-formula><mml:math id="M699" altimg="si698.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0170"><mml:math id="M700" altimg="si699.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0175"><mml:math id="M701" altimg="si700.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>From case 1 and case 2, therefore, <inline-formula><mml:math id="M702" altimg="si701.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. When <inline-formula><mml:math id="M703" altimg="si702.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>≤</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M704" altimg="si703.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, it is clear that<disp-formula id="e0180"><mml:math id="M705" altimg="si704.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">A</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Hence, <inline-formula><mml:math id="M706" altimg="si705.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0150"><label>(iii)</label><p id="p0365"><inline-formula><mml:math id="M707" altimg="si706.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M708" altimg="si707.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M709" altimg="si708.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M710" altimg="si709.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It can be shown that<disp-formula id="e0465"><mml:math id="M711" altimg="si710.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>as the following two cases.</p><p id="p0180">Case 1: <inline-formula><mml:math id="M712" altimg="si711.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0470"><mml:math id="M713" altimg="si712.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cS</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p0185">Case 2: <inline-formula><mml:math id="M714" altimg="si713.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0475"><mml:math id="M715" altimg="si714.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>From case 1 and case 2, it is clear that <inline-formula><mml:math id="M716" altimg="si715.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></list-item><list-item id="o0155"><label><inline-formula><mml:math id="M717" altimg="si716.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">iv</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></label><p id="p0370"><inline-formula><mml:math id="M718" altimg="si717.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">det</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> where <inline-formula><mml:math id="M719" altimg="si718.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M720" altimg="si719.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M721" altimg="si720.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p><p id="p0190">Furthermore,<disp-formula id="e0480"><mml:math id="M722" altimg="si721.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="[" close="]"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math></disp-formula>with<disp-formula id="e0185"><mml:math id="M723" altimg="si722.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">C</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Thus, <inline-formula><mml:math id="M724" altimg="si723.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0160"><label>(v)</label><p id="p0375">From (i)–(iii), <inline-formula><mml:math id="M725" altimg="si724.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M726" altimg="si725.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M727" altimg="si726.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ii</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> for <inline-formula><mml:math id="M728" altimg="si727.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>2</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>3</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It is found that<disp-formula id="e0190"><mml:math id="M729" altimg="si728.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cJ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>33</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>44</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">cJ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0485"><mml:math id="M730" altimg="si729.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula>Thus, <inline-formula><mml:math id="M731" altimg="si730.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula></p></list-item><list-item id="o0165"><label><inline-formula><mml:math id="M732" altimg="si731.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">vi</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula></label><p id="p0380">Finally, it is shown that <inline-formula><mml:math id="M733" altimg="si732.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Here,<disp-formula id="e0195"><mml:math id="M734" altimg="si733.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>it can be shown that <inline-formula><mml:math id="M735" altimg="si734.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> as the following two cases. Case 1, if <inline-formula><mml:math id="M736" altimg="si735.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> then <inline-formula><mml:math id="M737" altimg="si736.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M738" altimg="si737.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M739" altimg="si738.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. It can be seen that<disp-formula id="e0490"><mml:math id="M740" altimg="si739.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>since<disp-formula id="e0495"><mml:math id="M741" altimg="si740.gif" overflow="scroll"><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cb</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula>and<disp-formula id="e0200"><mml:math id="M742" altimg="si741.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>with<disp-formula id="e0205"><mml:math id="M743" altimg="si742.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0210"><mml:math id="M744" altimg="si743.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p id="p0195">Case 2, if <inline-formula><mml:math id="M745" altimg="si744.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>,<disp-formula id="e0215"><mml:math id="M746" altimg="si745.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">and</mml:mi><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>From (A) – (C), it is revealed that <inline-formula><mml:math id="M747" altimg="si746.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M748" altimg="si747.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M749" altimg="si748.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, respectively. Next, the inequality<disp-formula id="e0500"><mml:math id="M750" altimg="si749.gif" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">D</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math></disp-formula>is proved as follows. Calculating <inline-formula><mml:math id="M751" altimg="si750.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M752" altimg="si751.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, give<disp-formula id="e0220"><mml:math id="M753" altimg="si752.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where <inline-formula><mml:math id="M754" altimg="si753.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>and <inline-formula><mml:math id="M755" altimg="si754.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula>Substituting <inline-formula><mml:math id="M756" altimg="si755.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></inline-formula> into (<inline-formula><mml:math id="M757" altimg="si756.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula>) yields<disp-formula id="e0225"><mml:math id="M758" altimg="si757.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>6</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where<disp-formula id="e0230"><mml:math id="M759" altimg="si758.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula><disp-formula id="e0235"><mml:math id="M760" altimg="si759.gif" overflow="scroll"><mml:mtable columnspacing="0em"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">cd</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi mathvariant="italic">dc</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϕ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="2em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p></list-item></list>Thus, <inline-formula><mml:math id="M761" altimg="si760.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>-</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mrow></mml:math></inline-formula> By <xref rid="n0045" ref-type="statement">Lemma 3.1</xref>, all the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M762" altimg="si761.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part. Therefore, it can be concluded that all the eigenvalues of <inline-formula><mml:math id="M763" altimg="si762.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M764" altimg="si763.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow></mml:math></inline-formula> have negative real part. These imply that <inline-formula><mml:math id="M765" altimg="si764.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is<italic>LAS</italic> when <inline-formula><mml:math id="M766" altimg="si765.gif" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p></sec><ack id="ak005"><title>Acknowledgements</title><p>This research are (partially) supported by the Center of Excellence in Mathematics, the Commission on Higher Education, Thailand, and the Higher Education Research Promotion and National Research University Project of Thailand, Office of the Higher Education Commission (under NRU-CSEC Project). The authors would like to thank the anonymous referees for very helpful suggestions and comments which led to improvements of our original manuscript.</p></ack></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/SrasV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 001270 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 001270 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= SrasV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé=
|texte=
}}
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |