Constrained optimal control applied to vaccination for influenza
Identifieur interne : 000986 ( Pmc/Corpus ); précédent : 000985; suivant : 000987Constrained optimal control applied to vaccination for influenza
Auteurs : Jungeun Kim ; Hee-Dae Kwon ; Jeehyun LeeSource :
- Computers & Mathematics with Applications [ 0898-1221 ] ; 2016.
Abstract
The efficient time schedule and prioritization of vaccine supplies are important in mitigating impact of an influenza pandemic. In practice, there are restrictions associated with limited vaccination coverage and the maximum daily vaccine administration. We extend previous work on optimal control for influenza to reflect these realistic restrictions using mixed constraints on state and control variables. An optimal control problem is formulated with the aim of minimizing the number of infected individuals while considering intervention costs. Time-dependent vaccination is computed and analysed using a model incorporating heterogeneity in population structure under different settings of transmissibility levels, vaccine coverages, and time delays.
Url:
DOI: 10.1016/j.camwa.2015.12.044
PubMed: NONE
PubMed Central: 7125829
Links to Exploration step
PMC:7125829Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Constrained optimal control applied to vaccination for influenza</title><author><name sortKey="Kim, Jungeun" sort="Kim, Jungeun" uniqKey="Kim J" first="Jungeun" last="Kim">Jungeun Kim</name><affiliation><nlm:aff id="af000005">Department of Computational Science and Engineering, Yonsei University, Seoul 120-749, Republic of Korea</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Kwon, Hee Dae" sort="Kwon, Hee Dae" uniqKey="Kwon H" first="Hee-Dae" last="Kwon">Hee-Dae Kwon</name><affiliation><nlm:aff id="af000010">Department of Mathematics, Inha University, Incheon 402-751, Republic of Korea</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Lee, Jeehyun" sort="Lee, Jeehyun" uniqKey="Lee J" first="Jeehyun" last="Lee">Jeehyun Lee</name><affiliation><nlm:aff id="af000005">Department of Computational Science and Engineering, Yonsei University, Seoul 120-749, Republic of Korea</nlm:aff></affiliation></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmc">7125829</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7125829</idno><idno type="RBID">PMC:7125829</idno><idno type="doi">10.1016/j.camwa.2015.12.044</idno><idno type="pmid">NONE</idno><date when="2016">2016</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000986</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000986</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Constrained optimal control applied to vaccination for influenza</title><author><name sortKey="Kim, Jungeun" sort="Kim, Jungeun" uniqKey="Kim J" first="Jungeun" last="Kim">Jungeun Kim</name><affiliation><nlm:aff id="af000005">Department of Computational Science and Engineering, Yonsei University, Seoul 120-749, Republic of Korea</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Kwon, Hee Dae" sort="Kwon, Hee Dae" uniqKey="Kwon H" first="Hee-Dae" last="Kwon">Hee-Dae Kwon</name><affiliation><nlm:aff id="af000010">Department of Mathematics, Inha University, Incheon 402-751, Republic of Korea</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Lee, Jeehyun" sort="Lee, Jeehyun" uniqKey="Lee J" first="Jeehyun" last="Lee">Jeehyun Lee</name><affiliation><nlm:aff id="af000005">Department of Computational Science and Engineering, Yonsei University, Seoul 120-749, Republic of Korea</nlm:aff></affiliation></author></analytic><series><title level="j">Computers & Mathematics with Applications</title><idno type="ISSN">0898-1221</idno><idno type="eISSN">0898-1221</idno><imprint><date when="2016">2016</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>The efficient time schedule and prioritization of vaccine supplies are important in mitigating impact of an influenza pandemic. In practice, there are restrictions associated with limited vaccination coverage and the maximum daily vaccine administration. We extend previous work on optimal control for influenza to reflect these realistic restrictions using mixed constraints on state and control variables. An optimal control problem is formulated with the aim of minimizing the number of infected individuals while considering intervention costs. Time-dependent vaccination is computed and analysed using a model incorporating heterogeneity in population structure under different settings of transmissibility levels, vaccine coverages, and time delays.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lipsitch, M" uniqKey="Lipsitch M">M. Lipsitch</name></author><author><name sortKey="Cohen, T" uniqKey="Cohen T">T. Cohen</name></author><author><name sortKey="Cooper, B" uniqKey="Cooper B">B. Cooper</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Fraser, C" uniqKey="Fraser C">C. Fraser</name></author><author><name sortKey="Donnelly, C A" uniqKey="Donnelly C">C.A. Donnelly</name></author><author><name sortKey="Cauchemez, S" uniqKey="Cauchemez S">S. Cauchemez</name></author><author><name sortKey="Hanage, W P" uniqKey="Hanage W">W.P. Hanage</name></author><author><name sortKey="Van Kerkhove, M D" uniqKey="Van Kerkhove M">M.D. Van Kerkhove</name></author><author><name sortKey="Hollingsworth, T D" uniqKey="Hollingsworth T">T.D. Hollingsworth</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Sypsa, V" uniqKey="Sypsa V">V. Sypsa</name></author><author><name sortKey="Pavlopoulou, I" uniqKey="Pavlopoulou I">I. Pavlopoulou</name></author><author><name sortKey="Hatzakis, A" uniqKey="Hatzakis A">A. Hatzakis</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Seierstad, A" uniqKey="Seierstad A">A. Seierstad</name></author><author><name sortKey="Sydsaeter, K" uniqKey="Sydsaeter K">K. Sydsaeter</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Gunzburger, Max D" uniqKey="Gunzburger M">Max D. Gunzburger</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lee, S" uniqKey="Lee S">S. Lee</name></author><author><name sortKey="Golinski, M" uniqKey="Golinski M">M. Golinski</name></author><author><name sortKey="Chowell, G" uniqKey="Chowell G">G. Chowell</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lee, J" uniqKey="Lee J">J. Lee</name></author><author><name sortKey="Kim, J" uniqKey="Kim J">J. Kim</name></author><author><name sortKey="Kwon, H D" uniqKey="Kwon H">H.D. Kwon</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Arino, J" uniqKey="Arino J">J. Arino</name></author><author><name sortKey="Brauer, F" uniqKey="Brauer F">F. Brauer</name></author><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P. van den Driessche</name></author><author><name sortKey="Watmough, J" uniqKey="Watmough J">J. Watmough</name></author><author><name sortKey="Wu, J" uniqKey="Wu J">J. Wu</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Cesari, L" uniqKey="Cesari L">L. Cesari</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Pontryagin, L S" uniqKey="Pontryagin L">L.S. Pontryagin</name></author><author><name sortKey="Boltyanskii, V G" uniqKey="Boltyanskii V">V.G. Boltyanskii</name></author><author><name sortKey="Gamkrelidze, R V" uniqKey="Gamkrelidze R">R.V. Gamkrelidze</name></author><author><name sortKey="Mishchenko, E F" uniqKey="Mishchenko E">E.F. Mishchenko</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Luenberger, David G" uniqKey="Luenberger D">David G. Luenberger</name></author><author><name sortKey="Ye, Yinyu" uniqKey="Ye Y">Yinyu Ye</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Emanuel, E J" uniqKey="Emanuel E">E.J. Emanuel</name></author><author><name sortKey="Wertheimer, A" uniqKey="Wertheimer A">A. Wertheimer</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Haddix, A C" uniqKey="Haddix A">A.C. Haddix</name></author><author><name sortKey="Teutsch, S M" uniqKey="Teutsch S">S.M. Teutsch</name></author><author><name sortKey="Shaffer, P A" uniqKey="Shaffer P">P.A. Shaffer</name></author><author><name sortKey="Dunet, D O" uniqKey="Dunet D">D.O. Dunet</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Longini, I M" uniqKey="Longini I">I.M. Longini</name></author><author><name sortKey="Halloran, M E" uniqKey="Halloran M">M.E. Halloran</name></author><author><name sortKey="Nizam, A" uniqKey="Nizam A">A. Nizam</name></author><author><name sortKey="Yang, Y" uniqKey="Yang Y">Y. Yang</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Comput Math Appl</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Comput Math Appl</journal-id><journal-title-group><journal-title>Computers & Mathematics with Applications</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">0898-1221</issn><issn pub-type="epub">0898-1221</issn><publisher><publisher-name>Elsevier Ltd.</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmc">7125829</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">S0898-1221(16)00002-X</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1016/j.camwa.2015.12.044</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Constrained optimal control applied to vaccination for influenza</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" id="au000005"><name><surname>Kim</surname><given-names>Jungeun</given-names></name><email>jekjek@yonsei.ac.kr</email><xref rid="af000005" ref-type="aff">a</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au000010"><name><surname>Kwon</surname><given-names>Hee-Dae</given-names></name><email>hdkwon@inha.ac.kr</email><xref rid="af000010" ref-type="aff">b</xref></contrib><contrib contrib-type="author" id="au000015"><name><surname>Lee</surname><given-names>Jeehyun</given-names></name><email>ezhyun@yonsei.ac.kr</email><xref rid="af000005" ref-type="aff">a</xref><xref rid="cor000005" ref-type="corresp">⁎</xref></contrib></contrib-group><aff id="af000005"><label>a</label>Department of Computational Science and Engineering, Yonsei University, Seoul 120-749, Republic of Korea</aff><aff id="af000010"><label>b</label>Department of Mathematics, Inha University, Incheon 402-751, Republic of Korea</aff><author-notes><corresp id="cor000005"><label>⁎</label>Corresponding author. <email>ezhyun@yonsei.ac.kr</email></corresp></author-notes><pub-date pub-type="pmc-release"><day>21</day><month>1</month><year>2016</year></pub-date><pmc-comment> PMC Release delay is 0 months and 0 days and was based on .</pmc-comment>
<pub-date pub-type="ppub"><month>6</month><year>2016</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>21</day><month>1</month><year>2016</year></pub-date><volume>71</volume><issue>11</issue><fpage>2313</fpage><lpage>2329</lpage><permissions><copyright-statement>© 2016 Elsevier Ltd. All rights reserved.</copyright-statement><copyright-year>2016</copyright-year><copyright-holder>Elsevier Ltd</copyright-holder><license><license-p>Since January 2020 Elsevier has created a COVID-19 resource centre with free information in English and Mandarin on the novel coronavirus COVID-19. The COVID-19 resource centre is hosted on Elsevier Connect, the company's public news and information website. Elsevier hereby grants permission to make all its COVID-19-related research that is available on the COVID-19 resource centre - including this research content - immediately available in PubMed Central and other publicly funded repositories, such as the WHO COVID database with rights for unrestricted research re-use and analyses in any form or by any means with acknowledgement of the original source. These permissions are granted for free by Elsevier for as long as the COVID-19 resource centre remains active.</license-p></license></permissions><abstract id="a000005"><p>The efficient time schedule and prioritization of vaccine supplies are important in mitigating impact of an influenza pandemic. In practice, there are restrictions associated with limited vaccination coverage and the maximum daily vaccine administration. We extend previous work on optimal control for influenza to reflect these realistic restrictions using mixed constraints on state and control variables. An optimal control problem is formulated with the aim of minimizing the number of infected individuals while considering intervention costs. Time-dependent vaccination is computed and analysed using a model incorporating heterogeneity in population structure under different settings of transmissibility levels, vaccine coverages, and time delays.</p></abstract><kwd-group id="ks000005"><title>Keywords</title><kwd>Optimal control</kwd><kwd>State constraints</kwd><kwd>Control constraints</kwd><kwd>Structured population</kwd><kwd>Time dependent vaccination</kwd></kwd-group></article-meta></front><body><sec id="s000005"><label>1</label><title>Introduction</title><p id="p000005">An epidemic outbreak causes a crisis in public health accompanying social fear as well as a direct loss due to the disease. In developing a response plan to minimize socio-economic losses in disease outbreak, it is important to predict the transmission dynamics of an infectious disease, to compare the effects of different control strategies, and to design the best strategy. The World Health Organization(WHO) issued warning of pandemic influenza and encouraged to prepare countermeasures in 1999, but it did not draw much attention until the emergence of Severe Acute Respiratory Syndrome(SARS) in 2002–2003. Since the first SARS case was reported from Canton, China on December 2002, more than 31 countries worldwide reported 7956 confirmed cases including 666 fatal cases to the WHO by the end of 21 May, 2003. The SARS aroused great interest in the use of mathematical models to predict the course of the epidemic and to evaluate various management strategies <xref rid="br000005" ref-type="bibr">[1]</xref>. This interest triggered studies for investigating the dynamics and control of infectious diseases and has been reinforced by the treatment of a pandemic including the influenza A(H1N1) 2009 <xref rid="br000010" ref-type="bibr">[2]</xref>.</p><p id="p000010">Vaccination is the principal control measure for reducing the spread of many infectious diseases. The optimization of vaccination policies before their implementation is essential to better allocate resources and to minimize disease burdens. Recent advances have been made in optimizing vaccine distribution policies in specific settings <xref rid="br000015" ref-type="bibr">[3]</xref>, <xref rid="br000020" ref-type="bibr">[4]</xref>, <xref rid="br000025" ref-type="bibr">[5]</xref>. Several studies have applied optimal control techniques to determine immunization strategies <xref rid="br000030" ref-type="bibr">[6]</xref>, <xref rid="br000035" ref-type="bibr">[7]</xref>. However, it is still complicated and controversial to address the best possible strategies because the dynamics of epidemics and the optimal use of vaccines depend on various factors including the structure of the population, vaccine availability, and transmissibility levels. In this context, we take into account of the size and heterogeneous dynamics of groups, different transmission levels, the total and daily maximum amount of vaccines available, and time delays in vaccine implementation.</p><p id="p000015">In this paper, we seek optimal time-dependent vaccination strategies within the vaccine availability. We begin by introducing a deterministic, compartmental model of influenza transmission incorporating the structure of the population with different dynamics. We then present the formulation of the optimal control problem to minimize the incidence while satisfying the constraints of the total and daily maximum amount of vaccines available. We use the penalty method to approximate this constrained optimization problem and derive an optimality system that characterizes the optimal control. Finally, we present the results of numerical simulations under various settings and conclude with a summary.</p></sec><sec id="s000010"><label>2</label><title>Mathematical models</title><p id="p000020">The influenza model, SEIAR, is an extension of the standard SEIR model incorporating asymptomatic compartment <xref rid="br000040" ref-type="bibr">[8]</xref>. In the SEIAR model, infected individuals in the exposed stage can either develop symptoms and move to an infective stage or develop no symptoms and move to an asymptomatic infective stage. This baseline model is modified to include control measures of vaccination and antiviral treatment. The nonlinear system of ODEs describing the influenza dynamics is given by <disp-formula-group id="fd000005"><label>(2.1)</label><disp-formula id="fd000010"><mml:math id="M1" altimg="si26.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> with <inline-formula><mml:math id="M2" altimg="si27.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and the initial conditions <disp-formula id="fd000015"><mml:math id="M3" altimg="si28.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula><xref rid="f000005" ref-type="fig">Fig. 1</xref>shows a flow diagram for model <xref rid="fd000005" ref-type="disp-formula">(2.1)</xref>.<fig id="f000005"><label>Fig. 1</label><caption><p>Flow chart for the SEIAR model.</p></caption><graphic xlink:href="gr1_lrg"></graphic></fig></p><p id="p000025">The model classifies individuals into five key compartments of susceptible (<inline-formula><mml:math id="M4" altimg="si29.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></inline-formula>), exposed (<inline-formula><mml:math id="M5" altimg="si30.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math></inline-formula>), symptomatic infective (<inline-formula><mml:math id="M6" altimg="si31.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>I</mml:mi></mml:math></inline-formula>), asymptomatic infective (<inline-formula><mml:math id="M7" altimg="si32.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></inline-formula>) and removed (<inline-formula><mml:math id="M8" altimg="si33.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math></inline-formula>). The number of contact events sufficient for transmitting an infection is <inline-formula><mml:math id="M9" altimg="si34.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> by mass action incidence, where <inline-formula><mml:math id="M10" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> is the total population size. A fraction <inline-formula><mml:math id="M11" altimg="si19.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math></inline-formula> of individuals in the exposed stage proceeds to the infective stage at the rate <inline-formula><mml:math id="M12" altimg="si20.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>κ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and the remainder goes to the asymptomatic infective stage also at the rate <inline-formula><mml:math id="M13" altimg="si20.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>κ</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Exposed individuals are assumed to reduce infectivity by a factor of <inline-formula><mml:math id="M14" altimg="si16.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, with <inline-formula><mml:math id="M15" altimg="si40.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. The compartment <inline-formula><mml:math id="M16" altimg="si30.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>E</mml:mi></mml:math></inline-formula> represents the latent stage when <inline-formula><mml:math id="M17" altimg="si42.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> and the initial asymptomatic and mildly infectious stage when <inline-formula><mml:math id="M18" altimg="si43.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Infective members leave the compartment at the rate <inline-formula><mml:math id="M19" altimg="si22.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math></inline-formula> with a fraction <inline-formula><mml:math id="M20" altimg="si21.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></inline-formula> recovering from the disease, whereas the rest dying of infection. On average infective individuals have their contact rate reduced by a factor of <inline-formula><mml:math id="M21" altimg="si17.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Asymptomatic members have their infectivity reduced by a factor of <inline-formula><mml:math id="M22" altimg="si18.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math></inline-formula>, with <inline-formula><mml:math id="M23" altimg="si48.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, and progress to the removed compartment at the rate <inline-formula><mml:math id="M24" altimg="si23.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>η</mml:mi></mml:math></inline-formula>. The time dependent control function <inline-formula><mml:math id="M25" altimg="si50.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> measures the rate at which susceptible individuals are vaccinated with vaccine efficacy <inline-formula><mml:math id="M26" altimg="si25.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:math></inline-formula> and the infective individuals are treated at the rate <inline-formula><mml:math id="M27" altimg="si24.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula> during the epidemic period.</p><p id="p000030">In developing response plans for disease outbreaks, one seeks strategies that can minimize the incidence and/or disease related mortality while considering the cost of intervention strategies. The goal is to minimize the number of people who become infected at a minimal efforts of vaccination. Thus, the objective functional is given by <disp-formula id="fd000020"><mml:math id="M28" altimg="si53.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>J</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000035">In general, vaccination coverage and the maximum daily vaccine administration are limited during an epidemic. In our optimal control formulation, realistic restrictions associated with vaccination are incorporated using state variable inequality constraints. This can be stated <disp-formula-group id="fd000025"><disp-formula id="fd000030"><mml:math id="M29" altimg="si54.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000035"><label>(2.2)</label><mml:math id="M30" altimg="si55.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000040"><mml:math id="M31" altimg="si56.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> where <inline-formula><mml:math id="M32" altimg="si57.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is the maximum daily vaccination and <inline-formula><mml:math id="M33" altimg="si58.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is vaccine coverage. Now, we are faced with the problem to minimize the number of infected individuals using a limited total vaccination, or stated mathematically <disp-formula id="fd000045"><label>(2.3)</label><mml:math id="M34" altimg="si59.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtext>minimize </mml:mtext><mml:mi>J</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> subject to (2.1) and (2.2) .</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000040">The necessary conditions of the optimal solutions of problem <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2.3)</xref> cannot be directly derived from Pontryagin’s Maximum Principle due to the constraint on vaccination coverage. We can convert this problem to a more convenient form by introducing an auxiliary state variable <disp-formula id="fd000050"><mml:math id="M35" altimg="si60.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Then, it follows, <disp-formula-group id="fd000055"><disp-formula id="fd000060"><mml:math id="M36" altimg="si61.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000065"><label>(2.4)</label><mml:math id="M37" altimg="si62.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000070"><mml:math id="M38" altimg="si63.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><p id="p000045">Therefore, <xref rid="fd000045" ref-type="disp-formula">(2.3)</xref> is transformed into <disp-formula-group id="fd000075"><disp-formula id="fd000080"><mml:math id="M39" altimg="si64.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtext>minimize </mml:mtext><mml:mi>J</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> subject to (2.1)</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000085"><label>(2.5)</label><mml:math id="M40" altimg="si65.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000090"><mml:math id="M41" altimg="si66.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Note that the inequality constraint <inline-formula><mml:math id="M42" altimg="si67.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is equivalent to <inline-formula><mml:math id="M43" altimg="si68.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mi>∀</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></inline-formula> due to the monotonically increasing property of <inline-formula><mml:math id="M44" altimg="si69.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000050">The existence of an optimal solution can be established by verifying conditions of the Filippov–Cesari existence theorem <xref rid="br000045" ref-type="bibr">[9]</xref>, <xref rid="br000050" ref-type="bibr">[10]</xref>. The detailed results are shown in <xref rid="s000050" ref-type="sec">Appendix</xref>. <statement id="e000005"><label>Theorem 2.1</label><p id="p000055"><italic>There exists an optimal solution to the problem</italic> <xref rid="fd000085" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref><italic>.</italic></p></statement></p><sec id="s000015"><label>2.1</label><title>Penalty method</title><p id="p000060">One popular approach to handle the constrained optimal control problems is to convert them into unconstrained optimization problems. This can be accomplished by using a penalty function method, which attempts to attain feasibility and to optimize the objective functional simultaneously by optimizing a weighted combination (refer to <xref rid="br000055" ref-type="bibr">[11]</xref> for details). A suitable penalty function of the constrained minimization problem <xref rid="fd000085" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> is <disp-formula id="fd000095"><label>(2.6)</label><mml:math id="M45" altimg="si70.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M46" altimg="si71.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M47" altimg="si72.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Q</mml:mi></mml:math></inline-formula> are constants that can be chosen to balance the relative costs of the infected individuals and vaccination. <inline-formula><mml:math id="M48" altimg="si73.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M49" altimg="si74.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> are penalty parameters which change the relative severity of violation of the constraints. <inline-formula><mml:math id="M50" altimg="si75.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M51" altimg="si76.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> denote the Heaviside step functions, i.e. <disp-formula-group id="fd000100"><disp-formula id="fd000105"><mml:math id="M52" altimg="si77.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable class="cases"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000110"><mml:math id="M53" altimg="si78.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable class="cases"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><p id="p000065">In summary, we wish to approximate the solution of constrained optimization problem <xref rid="fd000085" ref-type="disp-formula">(2.5)</xref> by solving <disp-formula-group id="fd000115"><disp-formula id="fd000120"><mml:math id="M54" altimg="si79.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtext>minimize </mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>J</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> subject to (2.1)</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000125"><label>(2.7)</label><mml:math id="M55" altimg="si80.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><p id="p000070">Pontryagin’s Maximum Principle is used to derive the optimality system which provides necessary conditions of the optimal solutions of <xref rid="fd000125" ref-type="disp-formula">(2.7)</xref>. The optimality system consists of the state system <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(2.8)</xref> with initial conditions, the adjoint system <xref rid="fd000140" ref-type="disp-formula">(2.9)</xref> with the transversality conditions, and the optimality conditions <xref rid="fd000150" ref-type="disp-formula">(2.10)</xref>. The details are given in <xref rid="s000050" ref-type="sec">Appendix</xref>. <disp-formula-group id="fd000130"><label>(2.8)</label><disp-formula id="fd000135"><mml:math id="M56" altimg="si81.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> with <inline-formula><mml:math id="M57" altimg="si27.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and the initial conditions <inline-formula><mml:math id="M58" altimg="si83.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. <disp-formula-group id="fd000140"><label>(2.9)</label><disp-formula id="fd000145"><mml:math id="M59" altimg="si84.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> with the transversality conditions <inline-formula><mml:math id="M60" altimg="si85.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. <disp-formula id="fd000150"><label>(2.10)</label><mml:math id="M61" altimg="si86.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>min</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>max</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></sec><sec id="s000020"><label>2.2</label><title>Structured model</title><p id="p000075">The dynamics of epidemics and the effectiveness of an intervention strategy depend on the structure of the population. For example, the potential benefit of prioritizing school-age children for vaccination has been discussed because this group is disproportionately responsible for influenza transmission <xref rid="br000060" ref-type="bibr">[12]</xref>, <xref rid="br000065" ref-type="bibr">[13]</xref>. Thus, the SEIAR model of an epidemic is extended to capture characteristics regarding age and severity of disease. To incorporate these features, we divide the population into subpopulations with different transmission dynamics. <disp-formula-group id="fd000155"><label>(2.11)</label><disp-formula id="fd000160"><mml:math id="M62" altimg="si87.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> with <inline-formula><mml:math id="M63" altimg="si88.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> and the initial conditions <disp-formula id="fd000165"><mml:math id="M64" altimg="si89.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M65" altimg="si90.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is the frequency of contact between an individual in the <inline-formula><mml:math id="M66" altimg="si91.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>j</mml:mi></mml:math></inline-formula>th subgroup and individuals of the <inline-formula><mml:math id="M67" altimg="si92.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>i</mml:mi></mml:math></inline-formula>th subgroup.</p><p id="p000080">The objective functional to be minimized is given by <disp-formula id="fd000170"><mml:math id="M68" altimg="si93.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and restrictions associated with vaccination coverage and the maximum daily vaccine administration are incorporated using state variable inequality constraints: <disp-formula-group id="fd000175"><disp-formula id="fd000180"><mml:math id="M69" altimg="si94.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000185"><label>(2.12)</label><mml:math id="M70" altimg="si95.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000190"><mml:math id="M71" altimg="si96.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Therefore, we seek the optimal controls <inline-formula><mml:math id="M72" altimg="si97.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> such that <disp-formula id="fd000195"><label>(2.13)</label><mml:math id="M73" altimg="si98.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtext>minimize </mml:mtext><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> subject to (2.11) and (2.12) .</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000085">To convert this problem to a more convenient form from which optimal solutions can be approximated, we introduce an auxiliary state variable <disp-formula id="fd000200"><mml:math id="M74" altimg="si99.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and a penalty functional <disp-formula id="fd000205"><label>(2.14)</label><mml:math id="M75" altimg="si100.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M76" altimg="si101.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M77" altimg="si102.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> represent the weight constants of infective individuals and controls. <inline-formula><mml:math id="M78" altimg="si73.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M79" altimg="si74.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> are penalty parameters which balance objective functional and feasibility. <inline-formula><mml:math id="M80" altimg="si75.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M81" altimg="si76.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> denote the Heaviside step functions, that is <disp-formula-group id="fd000210"><disp-formula id="fd000215"><label>(2.15)</label><mml:math id="M82" altimg="si107.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable class="cases"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000220"><label>(2.16)</label><mml:math id="M83" altimg="si108.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable class="cases"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext>if </mml:mtext><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><p id="p000090">Now, the problem <xref rid="fd000195" ref-type="disp-formula">(2.13)</xref> is transformed into <disp-formula-group id="fd000225"><disp-formula id="fd000230"><mml:math id="M84" altimg="si109.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtext>minimize </mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> subject to (2.11)</mml:mtext></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000235"><label>(2.17)</label><mml:math id="M85" altimg="si110.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000240"><mml:math id="M86" altimg="si111.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for </mml:mtext><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group></p><p id="p000095">The derivation of optimality system is similar to the SEIAR model. In summary, we find the optimal controls by solving the state equations with initial conditions and the adjoint equations <disp-formula-group id="fd000245"><label>(2.18)</label><disp-formula id="fd000250"><mml:math id="M87" altimg="si112.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>δ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> with the transversality conditions <inline-formula><mml:math id="M88" altimg="si113.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mi>∀</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000100">The optimal control functions satisfy <disp-formula id="fd000255"><label>(2.19)</label><mml:math id="M89" altimg="si114.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>min</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>max</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></sec></sec><sec id="s000025"><label>3</label><title>Numerical simulations</title><p id="p000105">We present simulation results by solving the constrained optimal control problems using penalty method as described in the previous chapter. Applying the Pontryagin’s Maximum Principle, optimality system is derived from which optimal solutions may be obtained. This system is a two-point boundary value problem, where the state system with the initial conditions <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(2.8)</xref> and the adjoint system with the terminal conditions <xref rid="fd000140" ref-type="disp-formula">(2.9)</xref> are coupled. Among many practical approaches to solve the coupled optimality system, we use a gradient-based algorithm to uncouple the system <xref rid="br000025" ref-type="bibr">[5]</xref>.</p><p id="p000110">In the numerical simulations, we compare the optimal intervention strategies under different settings of the population structures, transmissibility levels, vaccine coverages, and delays in vaccine production. The values of model parameters were obtained by the best available local data and literature reviews of previous studies <xref rid="br000040" ref-type="bibr">[8]</xref>, <xref rid="br000070" ref-type="bibr">[14]</xref>. <xref rid="t000005" ref-type="table">Table 1</xref>provides a summary of the definitions and values of the parameters. The default values for parameters in addition to those listed in <xref rid="t000005" ref-type="table">Table 1</xref> are vaccination coverage, maximum daily vaccination, and the basic reproduction number. In general, vaccination coverage for a pandemic influenza is far lower than full, for example, the US or Canada held 30%–40% coverage for 2009 H1N1 pandemic influenza <xref rid="br000075" ref-type="bibr">[15]</xref>, <xref rid="br000080" ref-type="bibr">[16]</xref>. The daily rate of vaccine administration has been estimated to be below 2% of the total population <xref rid="br000080" ref-type="bibr">[16]</xref>, <xref rid="br000085" ref-type="bibr">[17]</xref>. Therefore, we varied vaccination coverage in the range of 10%–50% and maximum daily administration of less than 2% of the total population. The basic reproduction number <inline-formula><mml:math id="M90" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, which associated with transmissibility level, ranges from 1.4 to 2.4. The weight constants in the penalized objective functional <xref rid="fd000205" ref-type="disp-formula">(2.14)</xref> are <inline-formula><mml:math id="M91" altimg="si116.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M92" altimg="si117.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M93" altimg="si118.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M94" altimg="si119.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>.<table-wrap position="float" id="t000005"><label>Table 1</label><caption><p>Parameters in numerical simulations.</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left">Parameter</th><th align="left">Description</th><th align="left">Value</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M95" altimg="si16.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Infectivity reduction factor for the exposed</td><td align="left">0</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M96" altimg="si17.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Contact reduction by isolation</td><td align="left">0.5</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M97" altimg="si18.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>δ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Infectivity reduction factor for the asymptomatic</td><td align="left">0.5</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M98" altimg="si19.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>p</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Fraction of developing symptoms</td><td align="left">0.667</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M99" altimg="si20.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>κ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Transition rate for the exposed</td><td align="left">0.7143/day</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M100" altimg="si21.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Complement to fatality rate (one minus fatality rate)</td><td align="left">0.999</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M101" altimg="si22.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Recovery rate for the (symptomatic) infective</td><td align="left">0.1667/day</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M102" altimg="si23.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>η</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Recovery rate for the asymptomatic</td><td align="left">0.1667/day</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M103" altimg="si24.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Antiviral treatment rate</td><td align="left">0/day</td></tr><tr><td align="left"><inline-formula><mml:math id="M104" altimg="si25.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:math></inline-formula></td><td align="left">Efficacy of vaccination</td><td align="left">70%</td></tr></tbody></table></table-wrap></p><p id="p000115">For simplicity and straightforward analysis of causality, we divide the population into two subgroups with the ratio of sizes <inline-formula><mml:math id="M105" altimg="si9.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, and start simulations in early stage of epidemic by introducing one infective to the whole population of susceptible. In other words, we take initial conditions <inline-formula><mml:math id="M106" altimg="si121.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M107" altimg="si122.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>10</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M108" altimg="si123.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M109" altimg="si124.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>, for <inline-formula><mml:math id="M110" altimg="si125.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math></inline-formula>. All the baseline values introduced here are used throughout the paper unless otherwise specified.</p><p id="p000120">Results from simulations are presented in terms of number of vaccine doses, proportion vaccinated, number of infectives, and reduction in infectives. The proportion vaccinated is the number of vaccinated individuals in each subgroup divided by the corresponding population size of each subgroup. The reduction in infectives, the number of infectives reduced as a result of control relative to the number of infectives in the absence of vaccination, assesses the effectiveness of control strategies. The optimal control is compared with early possible vaccination and uniform distribution.</p><sec id="s000030"><label>3.1</label><title>Population structure</title><p id="p000125">In order to investigate whether each factor of population structure plays an important role in determining efficient vaccination strategy, we perform numerical experiments under different settings of contact rates and subgroup sizes. We assume a 50% vaccination coverage, a 1.5% maximum daily administration of the total population and <inline-formula><mml:math id="M111" altimg="si126.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.9</mml:mn></mml:math></inline-formula>. First, we consider two subgroups of the fixed ratio 3:7 of sizes where the former subgroup has a higher contact than the latter. The mixing rates are varied by using different frequencies of contacts <inline-formula><mml:math id="M112" altimg="si90.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> between <inline-formula><mml:math id="M113" altimg="si91.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>j</mml:mi></mml:math></inline-formula>th and <inline-formula><mml:math id="M114" altimg="si92.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>i</mml:mi></mml:math></inline-formula>th subgroups. <xref rid="f000010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>, <xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>show optimal vaccinations under the different contact rates and compare the percent reductions in infectives relative to the baseline scenario with other strategies not incorporating heterogeneous transmission dynamics.<fig id="f000010"><label>Fig. 2</label><caption><p>Time schedule of vaccine allocations, the vaccinated proportions of subgroups, the incidence curves and the reductions in infectives are plotted under optimal vaccine distribution (A), early possible vaccination (B), and uniform distribution (C) for comparison.</p></caption><graphic xlink:href="gr2_lrg"></graphic></fig><fig id="f000015"><label>Fig. 3</label><caption><p>Optimal vaccine allocations, the vaccinated proportions of subgroups, the incidence curves and the reductions in infectives are displayed when <inline-formula><mml:math id="M115" altimg="si1.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:math></inline-formula> (top), <inline-formula><mml:math id="M116" altimg="si2.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn></mml:math></inline-formula> (middle) and <inline-formula><mml:math id="M117" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula> (bottom).</p></caption><graphic xlink:href="gr3_lrg"></graphic></fig></p><p id="p000130">Time dependent optimal vaccine distribution, early possible vaccination, and uniform distribution over the time interval <inline-formula><mml:math id="M118" altimg="si130.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mn>180</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> are displayed in <xref rid="f000010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>A1–C1 when <inline-formula><mml:math id="M119" altimg="si1.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M120" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M121" altimg="si133.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>. The cumulative proportion vaccinated per month in each subgroup using different vaccination strategies are depicted in <xref rid="f000010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>A2–C2. Under the optimal vaccination, control efforts are gradually decreasing in time. Vaccination is highly concentrated in the early stage of epidemic for early possible strategy and the vaccinated proportion stays constant over the time for uniform distribution. A larger fraction is vaccinated in the higher contact group compared to the lower contact group under the optimal strategy. In contrast, the number of individuals vaccinated in each subgroup is proportional to the size of subgroup for both early possible and uniform strategy, or the proportion vaccinated in each subgroup is kept the same. This is because neither of them reflects the heterogeneous mixing rates to determine the vaccination schedule. <xref rid="f000010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>A3–C3 demonstrate that the implementation of control measures yields substantial reductions in the peak size of infections while generating shifted, longer pandemic durations. The reduction of cumulative number of infectives relative to the case without intervention are approximately 68.2%, 59%, 45.5% under optimal, early possible, and uniform distribution, respectively (<xref rid="f000010" ref-type="fig">Fig. 2</xref>A4–C4). This result proposes that control measures may be optimally targeted to minimize the number of cases for a given control effort.</p><p id="p000135">The impact of contact rates on optimal vaccination is evaluated by varying <inline-formula><mml:math id="M122" altimg="si134.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> with fixed <inline-formula><mml:math id="M123" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M124" altimg="si133.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> (<xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>). The results for the contact of <inline-formula><mml:math id="M125" altimg="si2.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M126" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula> are similar to case of <inline-formula><mml:math id="M127" altimg="si1.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:math></inline-formula>, in general. Our findings suggest that more intensive vaccination must be implemented in the early stage on the targeted group as the gap of contact rates between two subgroups grows (<xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>A2–C2). As a result, for <inline-formula><mml:math id="M128" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula>, infectives are significantly reduced by 80.1% compared to early possible vaccination by 51.3% and uniform distribution by 31.8% (<xref rid="f000015" ref-type="fig">Fig. 3</xref>C4). We may conclude that differences in efficiency between optimally targeted control and others in which heterogeneous transmission dynamics is not considered, is growing as the contact frequency differences increase.</p><p id="p000140">Then we explore the impact of the population sizes of subgroups on optimal targeting strategy. The proportions of vaccinated in each group using the population ratios of 5:5 and 2:8 are illustrated in <xref rid="f000020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>where <inline-formula><mml:math id="M129" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M130" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> are fixed and <inline-formula><mml:math id="M131" altimg="si6.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is varied by using 1, 3, 5 and 10. It is obvious that the proportion of vaccinated individuals for each subgroup corresponds to contact frequencies when the subgroups are equal in population sizes (<xref rid="f000020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>A1–A4). However, a switch in the main targeted group occurs as the gap of contact rates between two subgroups diminishes (<xref rid="f000020" ref-type="fig">Fig. 4</xref>B1–B4). Similar behaviour is observed with different ratios of the subgroup population sizes.<fig id="f000020"><label>Fig. 4</label><caption><p>The vaccinated proportions of subgroups are compared using different ratio of population sizes 5:5 (top) and 2:8 (bottom). The contact frequency <inline-formula><mml:math id="M132" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M133" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> are fixed and <inline-formula><mml:math id="M134" altimg="si6.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> is varied by using 1, 3, 5 and 10, respectively.</p></caption><graphic xlink:href="gr4_lrg"></graphic></fig></p><p id="p000145">Optimal targeting strategy is investigated in terms of cumulative proportion of vaccinated in each group under different ratios of populations sizes. The ratio of the vaccinated proportion in the higher contact group relative to the lower contact group as a function of population sizes and contact frequencies is illustrated in <xref rid="f000025" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(A). For all cases of subgroup population sizes, the main targeted vaccinated group is the higher contact group when the gap of contacts between two groups is large enough. As the gap decreases, the targeted group is switched to the one with more population and the bigger the difference in sizes of two groups, the earlier the turning point comes. This threshold behaviour is shown in <xref rid="f000025" ref-type="fig">Fig. 5</xref>(B).<fig id="f000025"><label>Fig. 5</label><caption><p>The ratio of cumulative proportions of vaccinated in the higher contact group relative to the lower contact group is displayed in A. The threshold value of <inline-formula><mml:math id="M135" altimg="si6.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> at which the cumulative proportions of vaccinated in two groups become equal is plotted in B. <inline-formula><mml:math id="M136" altimg="si8.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> in the ratio of population sizes <inline-formula><mml:math id="M137" altimg="si9.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> varies from 1 to 5 and <inline-formula><mml:math id="M138" altimg="si6.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> varies from 1 to 10, fixing <inline-formula><mml:math id="M139" altimg="si3.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>10</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M140" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr5_lrg"></graphic></fig></p></sec><sec id="s000035"><label>3.2</label><title>Transmission levels and vaccination coverage</title><p id="p000150">We study the effects of transmission levels on optimal vaccination strategies using different values for basic reproduction number <inline-formula><mml:math id="M141" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. In <xref rid="f000030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>, optimal vaccination controls and their impacts on the incidence of infected are compared under three different values of <inline-formula><mml:math id="M142" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, 1.4, 1.9, and 2.4. <xref rid="f000030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>A1–C1 display the time series of vaccinated proportion for each subgroup. Vaccination must be implemented in a shorter period of time, for higher level of transmission because large <inline-formula><mml:math id="M143" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> results in earlier epidemic peaks due to rapid spread of the disease. It is also observed that high <inline-formula><mml:math id="M144" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> requires optimal control that manages to reduce the infectives in the group with big population since large <inline-formula><mml:math id="M145" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> quickly depletes the susceptible population. Incidence curves of infected proportions are shown in <xref rid="f000030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>A2–C2 and higher values of <inline-formula><mml:math id="M146" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> generate earlier epidemic peaks with higher and narrower in shape. For all cases, optimal vaccination yields more reduction in infected than early possible and uniform distribution (<xref rid="f000030" ref-type="fig">Fig. 6</xref>A3–C3).<fig id="f000030"><label>Fig. 6</label><caption><p>Optimal vaccine allocations, the vaccinated proportions of subgroups, the incidence curves and the reductions in infectives are displayed under different values of <inline-formula><mml:math id="M147" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>: 1.4 (A), 1.9 (B), and 2.4 (C).</p></caption><graphic xlink:href="gr6_lrg"></graphic></fig></p><p id="p000155">In developing response plans for disease outbreaks, vaccination coverage and maximum daily vaccination are parameter values with restriction, in practice. It is of great interest to seek the best strategies to better allocate limited resources and minimize disease burdens. In the optimal control problem, vaccination coverage and maximum daily vaccination are expressed as mixed constraints on control and state to reflect realistic restrictions. We study the effects of optimal vaccination polices on the dynamics of disease under different vaccination coverage and maximum daily vaccination capacity. In both simulations, the ratio of subgroup population sizes is 3:7, contact frequencies are <inline-formula><mml:math id="M148" altimg="si1.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>11</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M149" altimg="si5.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>21</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M150" altimg="si133.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>22</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000160">To evaluate the impact of constraints on the availability of vaccine supplies, we vary vaccination coverage from 50% to 10% of the population, fixing maximum daily vaccination as 1.5% when <inline-formula><mml:math id="M151" altimg="si126.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.9</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Time schedules of vaccinated proportion under three different vaccination coverage are monotonically decreasing in time with different slopes in <xref rid="f000035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>A1–C1. Cumulative vaccinated proportion in each subgroup is shown in <xref rid="f000040" ref-type="fig">Fig. 8</xref>(A), which demonstrates that targeting strategy remains similar with changes in vaccination coverage. As vaccination coverage decreases, number of vaccinated decreases, resulting in an increase in the overall number of infected (<xref rid="f000035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>A2–C2). Optimal control is more efficient than other strategies in terms of reduction under all vaccination coverage (<xref rid="f000035" ref-type="fig">Fig. 7</xref>A3–C3). A significant difference is observed in the reduction of number of infected under different vaccination coverage and this result underscores the importance to secure sufficient vaccine supplies (<xref rid="f000040" ref-type="fig">Fig. 8</xref>(B)).<fig id="f000035"><label>Fig. 7</label><caption><p>Time schedules of vaccinated proportion, the incidence curves are evaluated under vaccination coverage of 50%, 25%, and 10%. Optimal vaccination is compared with early possible and uniform distribution in terms of the reductions in infectives.</p></caption><graphic xlink:href="gr7_lrg"></graphic></fig><fig id="f000040"><label>Fig. 8</label><caption><p>Cumulative vaccinated proportion in each subgroup (A) and reduction in number of infectives (B) are shown for three different vaccination coverage of 50%, 25% and 10%.</p></caption><graphic xlink:href="gr8_lrg"></graphic></fig></p><p id="p000165">The optimal value of maximum daily vaccination is related to total vaccination coverage and the transmission level. This relation is illustrated in <xref rid="f000045" ref-type="fig">Fig. 9</xref>, <xref rid="f000050" ref-type="fig">Fig. 10</xref>under three different values of <inline-formula><mml:math id="M152" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>. <xref rid="f000045" ref-type="fig">Fig. 9</xref> displays cumulative number of vaccinated as maximum daily vaccination varies from 0.25% to 1.5% with 50% vaccination coverage. The total number of vaccinated increases as daily maximum increases to 1% and 1% is enough to use 50% coverage in total. We also analyse the threshold value of maximum daily vaccination as a function of vaccination coverage and <inline-formula><mml:math id="M153" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> in terms of reduction of infected individuals. For instance, in <xref rid="f000050" ref-type="fig">Fig. 10</xref><inline-formula><mml:math id="M154" altimg="si126.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1.9</mml:mn></mml:math></inline-formula>, the reduction of infectives increases as daily maximum increases to 1% for vaccination coverage of 50%. However, further increase in maximum daily vaccination does not result in more reduction of infected individuals. Our results indicate that maximum daily vaccination affects the optimal control or the dynamics of influenza only in a certain range which depends on vaccination coverage and <inline-formula><mml:math id="M155" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>.<fig id="f000045"><label>Fig. 9</label><caption><p>Cumulative number of vaccinated is shown as maximum daily vaccination varies from 0.25% to 1.5% under three different values of <inline-formula><mml:math id="M156" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr9_lrg"></graphic></fig><fig id="f000050"><label>Fig. 10</label><caption><p>The reduction of infectives is plotted as a function of maximum daily vaccination and total vaccination coverage under three different values of <inline-formula><mml:math id="M157" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>.</p></caption><graphic xlink:href="gr10_lrg"></graphic></fig></p></sec><sec id="s000040"><label>3.3</label><title>Delay of vaccination</title><p id="p000170">In the previous simulations, we found that sufficient vaccination should be implemented in the early phases to effectively control an epidemic. In practice, however, the timing of vaccine delivery or availability may be much later than the onset of the pandemic. For the pandemic A(H1N1) 2009 outbreak, the influenza began spreading in April 2009 and vaccination started in October 2009. Therefore, we incorporated the time delay by varying the start of vaccination, 30, 60, and 90 days after the pandemic onset. We investigate the influence of the timing of the vaccination on optimal strategy and vaccination coverage.</p><p id="p000175"><xref rid="f000055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>displays the vaccinated proportions of subgroups at high and low contact, corresponding incidence curves of infected, and the reduction in the cumulative number of infected individuals relative to the ones in the absence of interventions. As the time delay increases, more intensive vaccination must be implemented in a shorter period of time as shown in <xref rid="f000055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>A1–D1. The group with higher contact remains as the main target of optimal vaccine allocation for most delay cases. However, a longer period of time delay leads to the switch in the vaccinated proportion (<xref rid="f000055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>D1). This is because peak occurs earlier in higher contact group than lower contact group and vaccination has little effect after the peak. Delay of vaccination yields significant increases in the number of infected individuals and decreases in the percent reductions (<xref rid="f000055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>A2–D2 A3–D3). While general performance of optimal strategy is superior to others, the difference becomes insignificant for a longer period of time delay (<xref rid="f000055" ref-type="fig">Fig. 11</xref>A3–D3).<fig id="f000055"><label>Fig. 11</label><caption><p>Optimal vaccine allocations, the corresponding incidence curves and the reductions in infectives are displayed under the time delay of vaccination by 0 (A), 30 (B), 60 (C) and 90 days (D).</p></caption><graphic xlink:href="gr11_lrg"></graphic></fig></p><p id="p000180"><xref rid="f000060" ref-type="fig">Fig. 12</xref>presents the cumulative number of vaccinated of each group under three different vaccination coverages and the impact of optimal vaccinations in terms of reductions of infected. As vaccination coverage increases, the number of infected individuals decreases, resulting in an increase in the reductions of infected. However, with long time delay and large vaccination coverage, the whole coverage is not distributed due to the lack of implementation period. For instance, if vaccination starts 60 days after the beginning of the transmission, only 39% coverage is allocated when 50% vaccination coverage is allowed. Not surprisingly, 50% coverage and 25% coverage lead to the same results in cumulative number of vaccinated and the reductions of infectives with 90 days of delay. The optimal vaccination coverage as a function of time delay is presented in <xref rid="f000065" ref-type="fig">Fig. 13</xref>.<fig id="f000060"><label>Fig. 12</label><caption><p>Total number of vaccinated in each group using three different vaccination coverages of 50%, 25%, and 10% are presented under the time delay of vaccination by 0, 30, 60 and 90 days (left). The corresponding percent reductions in infected individuals are shown (right).</p></caption><graphic xlink:href="gr12_lrg"></graphic></fig><fig id="f000065"><label>Fig. 13</label><caption><p>Optimal vaccination coverage as a function of delay time is plotted.</p></caption><graphic xlink:href="gr13_lrg"></graphic></fig></p></sec></sec><sec id="s000045"><label>4</label><title>Conclusion</title><p id="p000185">Vaccination is among the most important control measures for reducing the spread of many infectious diseases. Thus, it is great interest to develop an efficient time schedule and prioritization of limited vaccine supplies. This study uses a mathematical model of the transmission dynamics of pandemic influenza and employs techniques from control theory to derive optimal intervention strategies. Time-dependent vaccination is computed and analysed using a model incorporating heterogeneity in population structure under different settings of transmissibility levels, vaccine coverages, and time delays in the implementation of vaccination. Vaccination coverage and the maximum daily vaccination rate are critical factors in developing response plans for disease outbreaks. These are parameters with limited values and associate with weight constants and a control upper bound in optimal control formulation of previous studies. In our mathematical framework, mixed constrained optimization problem is considered to reflect realistic restrictions.</p><p id="p000190">The impact of heterogeneous contact rates on optimal allocation is evaluated and compared with other strategies not incorporating population structure. Our analysis confirms that more intensive control measures must be implemented in the early stage on the group with higher contact, in general. However, the targeted group is switched to the one with more population, as the gap of contact rates between two groups diminishes, which suggests that prioritization strategy should be tailored. Higher values of <inline-formula><mml:math id="M158" altimg="si13.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> requires rapid implementation of optimal control policies with more concern on the group with big population. While the reduction of infected significantly decreases as the vaccination coverage decreases, prioritization schemes on subgroups remain similar with changes in total number of vaccine doses available. Finally, the benefit of vaccination is significantly reduced as the time of the start of vaccination from pandemic onset is delayed.</p></sec></body><back><ref-list id="b000005"><title>References</title><ref id="br000005"><label>1</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref1"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lipsitch</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Cohen</surname><given-names>T.</given-names></name><name><surname>Cooper</surname><given-names>B.</given-names></name></person-group><article-title>Transmission dynamics and control of severe acute respiratory syndrome</article-title><source>Science</source><volume>300</volume><issue>5627</issue><year>2003</year><fpage>1966</fpage><lpage>1970</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">12766207</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000010"><label>2</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref2"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Fraser</surname><given-names>C.</given-names></name><name><surname>Donnelly</surname><given-names>C.A.</given-names></name><name><surname>Cauchemez</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Hanage</surname><given-names>W.P.</given-names></name><name><surname>Van Kerkhove</surname><given-names>M.D.</given-names></name><name><surname>Hollingsworth</surname><given-names>T.D.</given-names></name></person-group><article-title>Pandemic potential of a strain of influenza A (H1N1): early findings</article-title><source>Science</source><volume>324</volume><year>2009</year><fpage>1557</fpage><lpage>1561</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">19433588</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000015"><label>3</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref3"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Sypsa</surname><given-names>V.</given-names></name><name><surname>Pavlopoulou</surname><given-names>I.</given-names></name><name><surname>Hatzakis</surname><given-names>A.</given-names></name></person-group><article-title>Use of an inactivated vaccine in mitigating pandemic influenza A(H1N1) spread: a modelling study to assess the impact of vaccination timing and prioritisation strategies</article-title><source>Euro Surveill.</source><volume>14</volume><issue>41</issue><year>2009</year><fpage>235</fpage><lpage>238</lpage></element-citation></ref><ref id="br000020"><label>4</label><element-citation publication-type="book" id="sbref4"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Seierstad</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Sydsaeter</surname><given-names>K.</given-names></name></person-group><chapter-title>Optimal Control Theory with Economic Applications</chapter-title><year>1987</year><publisher-name>North-Holland</publisher-name><publisher-loc>Amsterdam</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="br000025"><label>5</label><element-citation publication-type="book" id="sbref5"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Gunzburger</surname><given-names>Max D.</given-names></name></person-group><chapter-title>Perspectives in Flow Control and Optimization, Advances in Design and Control, Vol. 5</chapter-title><year>2003</year><publisher-name>Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)</publisher-name><publisher-loc>Philadelphia, PA</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="br000030"><label>6</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref6"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lee</surname><given-names>S.</given-names></name><name><surname>Golinski</surname><given-names>M.</given-names></name><name><surname>Chowell</surname><given-names>G.</given-names></name></person-group><article-title>Modeling optimal age-specific vaccination strategies against pandemic influenza</article-title><source>Bull. Math. Biol.</source><volume>74</volume><issue>4</issue><year>2012</year><fpage>958</fpage><lpage>980</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">22147102</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000035"><label>7</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref7"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lee</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Kim</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Kwon</surname><given-names>H.D.</given-names></name></person-group><article-title>Optimal control of an influenza model with seasonal forcing and age-dependent transmission rates</article-title><source>J. Theoret. Biol.</source><volume>317</volume><year>2013</year><fpage>310</fpage><lpage>320</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">23137836</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000040"><label>8</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref8"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Arino</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Brauer</surname><given-names>F.</given-names></name><name><surname>van den Driessche</surname><given-names>P.</given-names></name><name><surname>Watmough</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Wu</surname><given-names>J.</given-names></name></person-group><article-title>A model for influenza with vaccination and antiviral treatment</article-title><source>J. Math. Biol.</source><volume>253</volume><year>2008</year><fpage>118</fpage><lpage>130</lpage></element-citation></ref><ref id="br000045"><label>9</label><element-citation publication-type="book" id="sbref9"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Cesari</surname><given-names>L.</given-names></name></person-group><chapter-title>Optimization Theory and Applications: Problems with Ordinary Differential Eqttations</chapter-title><year>1983</year><publisher-name>Springer-Verlag</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="br000050"><label>10</label><element-citation publication-type="book" id="sbref10"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Pontryagin</surname><given-names>L.S.</given-names></name><name><surname>Boltyanskii</surname><given-names>V.G.</given-names></name><name><surname>Gamkrelidze</surname><given-names>R.V.</given-names></name><name><surname>Mishchenko</surname><given-names>E.F.</given-names></name></person-group><chapter-title>The Mathematical Theory of Optimal Processes, Vol. 528</chapter-title><year>1962</year><publisher-name>Interscience Publishers John Wiley and Sons, Inc.</publisher-name><publisher-loc>New York-London</publisher-loc><fpage>28</fpage></element-citation></ref><ref id="br000055"><label>11</label><element-citation publication-type="book" id="sbref11"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Luenberger</surname><given-names>David G.</given-names></name><name><surname>Ye</surname><given-names>Yinyu</given-names></name></person-group><chapter-title>Linear and Nonlinear Programming, Vol. 116</chapter-title><year>2008</year><publisher-name>Springer Science and Business Media</publisher-name></element-citation></ref><ref id="br000060"><label>12</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref12"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Emanuel</surname><given-names>E.J.</given-names></name><name><surname>Wertheimer</surname><given-names>A.</given-names></name></person-group><article-title>Who should get influenza vaccine when not all can?</article-title><source>Science</source><volume>312</volume><issue>5775</issue><year>2006</year><fpage>854</fpage><lpage>855</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">16690847</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000065"><label>13</label><element-citation publication-type="book" id="sbref13"><person-group person-group-type="editor"><name><surname>Haddix</surname><given-names>A.C.</given-names></name><name><surname>Teutsch</surname><given-names>S.M.</given-names></name><name><surname>Shaffer</surname><given-names>P.A.</given-names></name><name><surname>Dunet</surname><given-names>D.O.</given-names></name></person-group><source>Prevention Effectiveness: A Guide to Decision Analysis and Economic Evaluation</source><year>1996</year><publisher-name>Oxford Univ. Press</publisher-name><publisher-loc>New York</publisher-loc></element-citation></ref><ref id="br000070"><label>14</label><element-citation publication-type="journal" id="sbref14"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Longini</surname><given-names>I.M.</given-names></name><name><surname>Halloran</surname><given-names>M.E.</given-names></name><name><surname>Nizam</surname><given-names>A.</given-names></name><name><surname>Yang</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Containing pandemic influenza with antiviral agents</article-title><source>Am. J. Epidemiol.</source><volume>159</volume><year>2004</year><fpage>623</fpage><lpage>633</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">15033640</pub-id></element-citation></ref><ref id="br000075"><label>15</label><mixed-citation publication-type="other" id="or000005">2010. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.phac-aspc.gc.ca/alert-alerte/h1n1/vacc/vacc-archive/dist-archive-eng.php" id="ir000005">http://www.phac-aspc.gc.ca/alert-alerte/h1n1/vacc/vacc-archive/dist-archive-eng.php</ext-link> Public Health Agency of Canada.</mixed-citation></ref><ref id="br000080"><label>16</label><mixed-citation publication-type="other" id="or000010">2010. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5912a2.htm" id="ir000010">http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5912a2.htm</ext-link> CDC.</mixed-citation></ref><ref id="br000085"><label>17</label><mixed-citation publication-type="other" id="or000015">Peterborough County-city health unit pandemic influenza plan, Annex A: Mass vaccination plan, 2010. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://pcchu.peterborough.on.ca/IC/IC-pandemic-plan.html" id="ir000015">http://pcchu.peterborough.on.ca/IC/IC-pandemic-plan.html</ext-link>.</mixed-citation></ref></ref-list><sec id="s000050"><label>Appendix</label><sec id="s000055"><label>A.1</label><title>Existence of an optimal control</title><p id="p000200">Consider the following optimal control problem: <disp-formula id="fd000260"><mml:math id="M159" altimg="si159.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtext>minimize </mml:mtext><mml:mi>J</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></disp-formula> subject to <disp-formula-group id="fd000265"><label>(A.1)</label><disp-formula id="fd000270"><mml:math id="M160" altimg="si160.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="left"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> and <disp-formula id="fd000275"><label>(A.2)</label><mml:math id="M161" altimg="si161.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000205">The existence of a solution to the optimal control problem can be obtained by verifying conditions of the Filippov–Cesari existence theorem <xref rid="br000045" ref-type="bibr">[9]</xref>. The boundedness of solutions to the system <xref rid="fd000265" ref-type="disp-formula">(A.1)</xref> for the finite time interval is needed to establish these conditions. Note that the quantities <inline-formula><mml:math id="M162" altimg="si162.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M163" altimg="si32.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></inline-formula> decrease only in proportion to their present sizes, respectively, and thus, all variables remain nonnegative if the initial values are nonnegative. Then so are <inline-formula><mml:math id="M164" altimg="si33.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M165" altimg="si165.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi></mml:math></inline-formula>, since the changes in these variables are nonnegative. To establish the upper bounds for the solutions, we consider an equation for the total population size <inline-formula><mml:math id="M166" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula>. <inline-formula><mml:math id="M167" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> satisfies <inline-formula><mml:math id="M168" altimg="si168.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:math></inline-formula> from the system <xref rid="fd000265" ref-type="disp-formula">(A.1)</xref> and <inline-formula><mml:math id="M169" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> is bounded above by <inline-formula><mml:math id="M170" altimg="si170.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Because <inline-formula><mml:math id="M171" altimg="si171.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M172" altimg="si33.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math></inline-formula> are all nonnegative, the upper bound for <inline-formula><mml:math id="M173" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> is also the upper bound for <inline-formula><mml:math id="M174" altimg="si171.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></inline-formula>, and <inline-formula><mml:math id="M175" altimg="si33.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>R</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Boundedness of <inline-formula><mml:math id="M176" altimg="si165.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi></mml:math></inline-formula> follows from the boundedness of <inline-formula><mml:math id="M177" altimg="si177.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M178" altimg="si29.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000210">Let <inline-formula><mml:math id="M179" altimg="si179.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> be a state vector and <inline-formula><mml:math id="M180" altimg="si180.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> be a control vector. Consider the following optimal control problem: <disp-formula id="fd000280"><label>(A.3)</label><mml:math id="M181" altimg="si181.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mo>min</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext> fixed</mml:mtext><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula> subject to <disp-formula id="fd000285"><label>(A.4)</label><mml:math id="M182" altimg="si182.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext> fixed</mml:mtext><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> the terminal conditions <disp-formula-group id="fd000290"><disp-formula id="fd000295"><mml:math id="M183" altimg="si183.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext> fixed</mml:mtext><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000300"><label>(A.5)</label><mml:math id="M184" altimg="si184.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> free ,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> and the constraints <disp-formula-group id="fd000305"><disp-formula id="fd000310"><mml:math id="M185" altimg="si185.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mi>U</mml:mi><mml:mtext> a fixed set in </mml:mtext><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000315"><label>(A.6)</label><mml:math id="M186" altimg="si186.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> Assume that the functions <inline-formula><mml:math id="M187" altimg="si187.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M188" altimg="si188.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M189" altimg="si189.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>g</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> are continuously differentiable with respect to all their arguments. We call <inline-formula><mml:math id="M190" altimg="si190.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> an admissible pair if <inline-formula><mml:math id="M191" altimg="si191.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is any piecewise continuous control and <inline-formula><mml:math id="M192" altimg="si192.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is a continuously differentiable function such that <xref rid="fd000285" ref-type="disp-formula">(A.4)</xref>, <xref rid="fd000300" ref-type="disp-formula">(A.5)</xref>, <xref rid="fd000315" ref-type="disp-formula">(A.6)</xref> are satisfied. <statement id="e000010"><label>Theorem A.1</label><title>Filippov–Cesari’s Existence Theorem</title><p id="p000215"><italic>Suppose that there exists an admissible pair</italic><inline-formula><mml:math id="M193" altimg="si190.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>and further that</italic><list list-type="simple" id="l000005"><list-item id="li000005"><label>1.</label><p id="p000220"><inline-formula><mml:math id="M194" altimg="si194.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>is closed.</italic></p></list-item><list-item id="li000010"><label>2.</label><p id="p000225"><inline-formula><mml:math id="M195" altimg="si195.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>≡</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="0.16667em"></mml:mspace><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>is convex for all</italic><inline-formula><mml:math id="M196" altimg="si196.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></list-item><list-item id="li000015"><label>3.</label><p id="p000230"><italic>There exists a number</italic><inline-formula><mml:math id="M197" altimg="si197.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula><italic>such that</italic><inline-formula><mml:math id="M198" altimg="si198.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi></mml:math></inline-formula><italic>for all admissible pairs</italic><inline-formula><mml:math id="M199" altimg="si190.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>, and all</italic><inline-formula><mml:math id="M200" altimg="si200.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></list-item><list-item id="li000020"><label>4.</label><p id="p000235"><italic>There exists an open ball</italic><inline-formula><mml:math id="M201" altimg="si201.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula><italic>which contains the set</italic><inline-formula><mml:math id="M202" altimg="si202.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>for all</italic><inline-formula><mml:math id="M203" altimg="si203.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>.</italic></p></list-item></list><italic>Then there exists an optimal pair</italic><inline-formula><mml:math id="M204" altimg="si204.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>to the problem</italic> <xref rid="fd000280" ref-type="disp-formula">(A.3)</xref>, <xref rid="fd000285" ref-type="disp-formula">(A.4)</xref>, <xref rid="fd000300" ref-type="disp-formula">(A.5)</xref>, <xref rid="fd000315" ref-type="disp-formula">(A.6)</xref> <italic>with</italic><inline-formula><mml:math id="M205" altimg="si205.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula><italic>measurable.</italic></p></statement></p><p id="p000240">For a proof of theorem 5.1, see Cesari <xref rid="br000045" ref-type="bibr">[9]</xref>. <statement id="e000015"><label>Proof of Theorem 2.1</label><p id="p000245">We verify nontrivial requirements listed in the Filippov–Cesari’s existence theorem. In order to verify these conditions, we write <inline-formula><mml:math id="M206" altimg="si206.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M207" altimg="si207.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M208" altimg="si208.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, <disp-formula id="fd000320"><label>(A.7)</label><mml:math id="M209" altimg="si209.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> and <inline-formula><mml:math id="M210" altimg="si210.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>.</p><p id="p000250">It is clear that <inline-formula><mml:math id="M211" altimg="si211.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M212" altimg="si212.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math></inline-formula> are of class <inline-formula><mml:math id="M213" altimg="si213.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M214" altimg="si21.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></inline-formula> is bounded. Due to this property, there exists a solution for <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(2.8)</xref> for a zero constant control, which guarantees an admissible pair <inline-formula><mml:math id="M215" altimg="si190.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>. Conditions 1 and 4 hold vacuously as the control set <inline-formula><mml:math id="M216" altimg="si216.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>U</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is compact. <disp-formula id="fd000325"><mml:math id="M217" altimg="si217.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>U</mml:mi><mml:mtext> is convex</mml:mtext><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace class="nbsp"></mml:mspace><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> and </mml:mtext><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext> are convex on </mml:mtext><mml:mi>U</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> We note that <inline-formula><mml:math id="M218" altimg="si194.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math></inline-formula> is convex, <inline-formula><mml:math id="M219" altimg="si21.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi></mml:math></inline-formula> is expressed as a linear function of the control variable with coefficients dependent on the state variables and time in <xref rid="fd000320" ref-type="disp-formula">(A.7)</xref>, and <inline-formula><mml:math id="M220" altimg="si220.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>F</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M221" altimg="si212.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math></inline-formula> are convex on <inline-formula><mml:math id="M222" altimg="si194.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>U</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Then <inline-formula><mml:math id="M223" altimg="si223.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula> is convex, which is Condition 2. To show this, let <inline-formula><mml:math id="M224" altimg="si224.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M225" altimg="si225.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>,</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula>. Then <disp-formula-group id="fd000330"><disp-formula id="fd000335"><mml:math id="M226" altimg="si226.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for </mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000340"><mml:math id="M227" altimg="si227.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>ψ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for </mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> For <inline-formula><mml:math id="M228" altimg="si228.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math></inline-formula>, <inline-formula><mml:math id="M229" altimg="si229.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M230" altimg="si230.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:math></inline-formula>, we have <disp-formula id="fd000345"><mml:math id="M231" altimg="si231.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>F</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:mi>g</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>for </mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>U</mml:mi><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Thus, <inline-formula><mml:math id="M232" altimg="si232.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula>, which shows that <inline-formula><mml:math id="M233" altimg="si35.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></inline-formula> is convex. Condition 3 follows from the boundedness of solutions to the system <xref rid="fd000130" ref-type="disp-formula">(2.8)</xref> for the finite time interval.</p></statement></p></sec><sec id="s000060"><label>A.2</label><title>Optimality system</title><p id="p000255">The Lagrangian, the Hamiltonian augmented with penalty terms for the control constraints is, given by <disp-formula id="fd000350"><mml:math id="M234" altimg="si234.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M235" altimg="si235.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> are the penalty multipliers satisfying <disp-formula id="fd000355"><mml:math id="M236" altimg="si236.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>at </mml:mtext><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Here <inline-formula><mml:math id="M237" altimg="si237.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> is the optimal control pair yet to be found. Setting to zero the first variations with respect to state variables, <inline-formula><mml:math id="M238" altimg="si238.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M239" altimg="si165.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>z</mml:mi></mml:math></inline-formula>, yield the adjoint equations <disp-formula id="fd000360"><mml:math id="M240" altimg="si240.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext><mml:mspace width="2em" class="qquad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>and</mml:mtext><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> or <disp-formula-group id="fd000365"><disp-formula id="fd000370"><mml:math id="M241" altimg="si241.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>Λ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000375"><mml:math id="M242" altimg="si242.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000380"><mml:math id="M243" altimg="si243.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000385"><mml:math id="M244" altimg="si244.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>η</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000390"><mml:math id="M245" altimg="si245.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></disp-formula><disp-formula id="fd000395"><mml:math id="M246" altimg="si246.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula></disp-formula-group> with the transversality conditions <disp-formula id="fd000400"><mml:math id="M247" altimg="si247.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000260">Then, we may differentiate the Lagrangian <inline-formula><mml:math id="M248" altimg="si248.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>L</mml:mi></mml:math></inline-formula> with respect to <inline-formula><mml:math id="M249" altimg="si177.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></inline-formula> to obtain <disp-formula id="fd000405"><mml:math id="M250" altimg="si250.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Solving for the optimal control, we obtain <disp-formula id="fd000410"><mml:math id="M251" altimg="si251.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> To determine an explicit expression for the optimal control without the penalty multipliers <inline-formula><mml:math id="M252" altimg="si252.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M253" altimg="si253.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math></inline-formula>, we consider the following three cases: <list list-type="simple" id="l000010"><list-item id="li000025"><label>1.</label><p id="p000265">On the set <inline-formula><mml:math id="M254" altimg="si254.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, we have <inline-formula><mml:math id="M255" altimg="si255.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Hence the optimal control is <disp-formula id="fd000415"><mml:math id="M256" altimg="si256.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="li000030"><label>2.</label><p id="p000270">On the set <inline-formula><mml:math id="M257" altimg="si257.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, we have <inline-formula><mml:math id="M258" altimg="si258.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M259" altimg="si259.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Hence <disp-formula id="fd000420"><mml:math id="M260" altimg="si260.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> which implies that <disp-formula id="fd000425"><mml:math id="M261" altimg="si261.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item><list-item id="li000035"><label>3.</label><p id="p000275">On the set <inline-formula><mml:math id="M262" altimg="si262.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math></inline-formula>, we have <inline-formula><mml:math id="M263" altimg="si263.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> and <inline-formula><mml:math id="M264" altimg="si264.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula>. Hence <disp-formula id="fd000430"><mml:math id="M265" altimg="si265.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> which implies that <disp-formula id="fd000435"><mml:math id="M266" altimg="si266.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p></list-item></list> Combining these three cases, the optimal control <inline-formula><mml:math id="M267" altimg="si237.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:math></inline-formula> is characterized as <disp-formula id="fd000440"><mml:math id="M268" altimg="si268.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>min</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>max</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>6</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Q</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula></p><p id="p000280">For the structured model, we obtain the optimality system with the similar arguments beginning by defining the Lagrangian as follows: <disp-formula id="fd000445"><mml:math id="M269" altimg="si269.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:mi>L</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>max</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>H</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mstyle mathvariant="italic"><mml:mi>total</mml:mi></mml:mstyle></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>η</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover accentunder="false" accent="false"><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>,</mml:mtext></mml:math></disp-formula> where <inline-formula><mml:math id="M270" altimg="si270.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math></inline-formula> are the penalty multipliers satisfying <disp-formula id="fd000450"><mml:math id="M271" altimg="si271.gif" display="block" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace width="1em" class="quad"></mml:mspace><mml:mtext>at </mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext>.</mml:mtext></mml:math></disp-formula> Here <inline-formula><mml:math id="M272" altimg="si272.gif" display="inline" overflow="scroll"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math></inline-formula> is the optimal control pair yet to be found.</p></sec></sec><ack id="ac000005"><title>Acknowledgements</title><p>The work of Hee-Dae Kwon was supported by the NRF Grant funded by the <funding-source id="gs000005">Korean government</funding-source> (NRF-2014R1A1A2056498). The work of Jeehyun Lee was supported by <funding-source id="gs000010">NRF</funding-source> grant 2015 R1A5A1009350.</p></ack></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/PandemieGrippaleV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000986 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000986 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= PandemieGrippaleV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:7125829
|texte= Constrained optimal control applied to vaccination for influenza
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:NONE" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a PandemieGrippaleV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.34. |  |