A Novel Dynamic Model Describing the Spread of the MERS-CoV and the Expression of Dipeptidyl Peptidase 4
Identifieur interne : 000B94 ( Pmc/Corpus ); précédent : 000B93; suivant : 000B95A Novel Dynamic Model Describing the Spread of the MERS-CoV and the Expression of Dipeptidyl Peptidase 4
Auteurs : Siming Tang ; Wanbiao Ma ; Peifan BaiSource :
- Computational and Mathematical Methods in Medicine [ 1748-670X ] ; 2017.
Abstract
The Middle East respiratory syndrome (MERS) coronavirus, a newly identified pathogen, causes severe pneumonia in humans. MERS is caused by a coronavirus known as MERS-CoV, which attacks the respiratory system. The recently defined receptor for MERS-CoV, dipeptidyl peptidase 4 (DPP4), is generally expressed in endothelial and epithelial cells and has been shown to be present on cultured human nonciliated bronchiolar epithelium cells. In this paper, a class of novel four-dimensional dynamic model describing the infection of MERS-CoV is given, and then global stability of the equilibria of the model is discussed. Our results show that the spread of MERS-CoV can also be controlled by decreasing the expression rate of DPP4.
Url:
DOI: 10.1155/2017/5285810
PubMed: 28894474
PubMed Central: 5574235
Links to Exploration step
PMC:5574235Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">A Novel Dynamic Model Describing the Spread of the MERS-CoV and the Expression of Dipeptidyl Peptidase 4</title><author><name sortKey="Tang, Siming" sort="Tang, Siming" uniqKey="Tang S" first="Siming" last="Tang">Siming Tang</name><affiliation><nlm:aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Ma, Wanbiao" sort="Ma, Wanbiao" uniqKey="Ma W" first="Wanbiao" last="Ma">Wanbiao Ma</name><affiliation><nlm:aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Bai, Peifan" sort="Bai, Peifan" uniqKey="Bai P" first="Peifan" last="Bai">Peifan Bai</name><affiliation><nlm:aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</nlm:aff></affiliation></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmid">28894474</idno><idno type="pmc">5574235</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5574235</idno><idno type="RBID">PMC:5574235</idno><idno type="doi">10.1155/2017/5285810</idno><date when="2017">2017</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000B94</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000B94</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">A Novel Dynamic Model Describing the Spread of the MERS-CoV and the Expression of Dipeptidyl Peptidase 4</title><author><name sortKey="Tang, Siming" sort="Tang, Siming" uniqKey="Tang S" first="Siming" last="Tang">Siming Tang</name><affiliation><nlm:aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Ma, Wanbiao" sort="Ma, Wanbiao" uniqKey="Ma W" first="Wanbiao" last="Ma">Wanbiao Ma</name><affiliation><nlm:aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Bai, Peifan" sort="Bai, Peifan" uniqKey="Bai P" first="Peifan" last="Bai">Peifan Bai</name><affiliation><nlm:aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</nlm:aff></affiliation></author></analytic><series><title level="j">Computational and Mathematical Methods in Medicine</title><idno type="ISSN">1748-670X</idno><idno type="eISSN">1748-6718</idno><imprint><date when="2017">2017</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>The Middle East respiratory syndrome (MERS) coronavirus, a newly identified pathogen, causes severe pneumonia in humans. MERS is caused by a coronavirus known as MERS-CoV, which attacks the respiratory system. The recently defined receptor for MERS-CoV, dipeptidyl peptidase 4 (DPP4), is generally expressed in endothelial and epithelial cells and has been shown to be present on cultured human nonciliated bronchiolar epithelium cells. In this paper, a class of novel four-dimensional dynamic model describing the infection of MERS-CoV is given, and then global stability of the equilibria of the model is discussed. Our results show that the spread of MERS-CoV can also be controlled by decreasing the expression rate of DPP4.</p></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Zhao, J" uniqKey="Zhao J">J. Zhao</name></author><author><name sortKey="Li, K" uniqKey="Li K">K. Li</name></author><author><name sortKey="Wohlford Lenane, C" uniqKey="Wohlford Lenane C">C. Wohlford-Lenane</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="De Wit, E" uniqKey="De Wit E">E. De Wit</name></author><author><name sortKey="Rasmussen, A L" uniqKey="Rasmussen A">A. L. Rasmussen</name></author><author><name sortKey="Falzarano, D" uniqKey="Falzarano D">D. Falzarano</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Rogers, K" uniqKey="Rogers K">K. Rogers</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Anderson, R M" uniqKey="Anderson R">R. M. Anderson</name></author><author><name sortKey="May, R M" uniqKey="May R">R. M. May</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Nowak, M A" uniqKey="Nowak M">M. A. Nowak</name></author><author><name sortKey="Bangham, C R M" uniqKey="Bangham C">C. R. M. Bangham</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Nowak, M A" uniqKey="Nowak M">M. A. Nowak</name></author><author><name sortKey="May, R M" uniqKey="May R">R. M. May</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Perelson, A S" uniqKey="Perelson A">A. S. Perelson</name></author><author><name sortKey="Nelson, P W" uniqKey="Nelson P">P. W. Nelson</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mille, J K" uniqKey="Mille J">J. K. Mille</name></author><author><name sortKey="Whittaker, G R" uniqKey="Whittaker G">G. R. Whittaker</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Korobeinikov, A" uniqKey="Korobeinikov A">A. Korobeinikov</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Korobeinikov, A" uniqKey="Korobeinikov A">A. Korobeinikov</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mccluskey, C C" uniqKey="Mccluskey C">C. C. McCluskey</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Huang, G" uniqKey="Huang G">G. Huang</name></author><author><name sortKey="Ma, W" uniqKey="Ma W">W. Ma</name></author><author><name sortKey="Takeuchi, Y" uniqKey="Takeuchi Y">Y. Takeuchi</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Li, F" uniqKey="Li F">F. Li</name></author><author><name sortKey="Ma, W" uniqKey="Ma W">W. Ma</name></author><author><name sortKey="Jiang, Z" uniqKey="Jiang Z">Z. Jiang</name></author><author><name sortKey="Li, D" uniqKey="Li D">D. Li</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wolkowicz, G S" uniqKey="Wolkowicz G">G. S. Wolkowicz</name></author><author><name sortKey="Lu, Z Q" uniqKey="Lu Z">Z. Q. Lu</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Saito, Y" uniqKey="Saito Y">Y. Saito</name></author><author><name sortKey="Hara, T" uniqKey="Hara T">T. Hara</name></author><author><name sortKey="Ma, W" uniqKey="Ma W">W. Ma</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qin, Y X" uniqKey="Qin Y">Y. X. Qin</name></author><author><name sortKey="Wang, M Q" uniqKey="Wang M">M. Q. Wang</name></author><author><name sortKey="Wang, L" uniqKey="Wang L">L. Wang</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Comput Math Methods Med</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Comput Math Methods Med</journal-id><journal-id journal-id-type="publisher-id">CMMM</journal-id><journal-title-group><journal-title>Computational and Mathematical Methods in Medicine</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="ppub">1748-670X</issn><issn pub-type="epub">1748-6718</issn><publisher><publisher-name>Hindawi</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmid">28894474</article-id><article-id pub-id-type="pmc">5574235</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1155/2017/5285810</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>A Novel Dynamic Model Describing the Spread of the MERS-CoV and the Expression of Dipeptidyl Peptidase 4</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author"><name><surname>Tang</surname><given-names>Siming</given-names></name><xref ref-type="aff" rid="I1"></xref></contrib><contrib contrib-type="author"><contrib-id contrib-id-type="orcid" authenticated="false">http://orcid.org/0000-0001-8204-6448</contrib-id><name><surname>Ma</surname><given-names>Wanbiao</given-names></name><xref ref-type="aff" rid="I1"></xref><xref ref-type="corresp" rid="cor1"><sup>*</sup></xref></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Bai</surname><given-names>Peifan</given-names></name><xref ref-type="aff" rid="I1"></xref></contrib></contrib-group><aff id="I1">Department of Applied Mathematics, School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China</aff><author-notes><corresp id="cor1">*Wanbiao Ma: <email>wanbiao_ma@ustb.edu.cn</email></corresp><fn fn-type="other"><p>Academic Editor: Chuangyin Dang</p></fn></author-notes><pub-date pub-type="ppub"><year>2017</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>15</day><month>8</month><year>2017</year></pub-date><volume>2017</volume><elocation-id>5285810</elocation-id><history><date date-type="received"><day>19</day><month>4</month><year>2017</year></date><date date-type="accepted"><day>3</day><month>7</month><year>2017</year></date></history><permissions><copyright-statement>Copyright © 2017 Siming Tang et al.</copyright-statement><copyright-year>2017</copyright-year><license xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/"><license-p>This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.</license-p></license></permissions><abstract><p>The Middle East respiratory syndrome (MERS) coronavirus, a newly identified pathogen, causes severe pneumonia in humans. MERS is caused by a coronavirus known as MERS-CoV, which attacks the respiratory system. The recently defined receptor for MERS-CoV, dipeptidyl peptidase 4 (DPP4), is generally expressed in endothelial and epithelial cells and has been shown to be present on cultured human nonciliated bronchiolar epithelium cells. In this paper, a class of novel four-dimensional dynamic model describing the infection of MERS-CoV is given, and then global stability of the equilibria of the model is discussed. Our results show that the spread of MERS-CoV can also be controlled by decreasing the expression rate of DPP4.</p></abstract><funding-group><award-group><funding-source>USTB</funding-source></award-group><award-group><funding-source>National Natural Science Foundation of China</funding-source><award-id>11471034</award-id></award-group><award-group><funding-source>National Key R&D Program of China</funding-source></award-group></funding-group></article-meta></front><body><sec id="sec1"><title>1. Introduction</title><p>The Middle East respiratory syndrome (MERS) coronavirus, a newly identified pathogen, causes severe pneumonia in humans, with a mortality of nearly 44%. Human-to-human spread has been demonstrated, raising the possibility that the infection could become pandemic [<xref rid="B1" ref-type="bibr">1</xref>]. A colorized electron micrograph shows the coronavirus MERS-CoV acute viral respiratory illness that is characterized primarily by cough, fever, and shortness of breath and is sometimes associated with severe and potentially fatal complications such as pneumonia and kidney failure. The illness was first observed in June 2012 in Jiddah, Saudi Arabia, and soon afterward it was reported in other countries in the Middle East, including Jordan, Qatar, and the United Arab Emirates (UAE). It later was detected in Europe, including cases in France, Germany, Italy, and the United Kingdom; in the North African country of Tunisia; and in countries more distant from the Middle East, including China, Malaysia, South Korea, and the United States. The largest MERS outbreak outside Saudi Arabia occurred in 2015, when an individual who had recently traveled to the Middle East subsequently fell ill in South Korea, transmitting the disease to close contacts. The dissemination of the disease by infected travelers leaving the Middle East suggested that MERS had the potential to escalate into an international public health emergency. The possibility of a pandemic was thought to be impeded, however, by the limited ability of the disease to be passed from one person to another. MERS is caused by a coronavirus known as MERS-CoV, which attacks the respiratory system. The recently defined receptor for MERS-CoV, dipeptidyl peptidase 4 (DPP4), is generally expressed in endothelial and epithelial cells and has been shown to be present on cultured human nonciliated bronchiolar epithelium cells, providing further information on the respiratory tropism of MERS-CoV [<xref rid="B2" ref-type="bibr">2</xref>]. Symptoms of illness appear anytime from 2 to 14 days following infection. Cough, fever, and shortness of breath are the primary symptoms, but others such as diarrhea, nausea, vomiting, and myalgia (muscle pain) can also occur. In some persons, infection produces no symptoms or only mild cold-like symptoms, whereas in others, particularly in persons with underlying medical conditions, infection can produce severe illness [<xref rid="B3" ref-type="bibr">3</xref>].</p><p>It is well-known that dynamic models are still playing important roles in describing the interactions among uninfected cells, free viruses, and immune responses (see, e.g., [<xref rid="B4" ref-type="bibr">4</xref>–<xref rid="B7" ref-type="bibr">7</xref>]). A three-dimensional dynamic model for viral infection is proposed by Nowak et al. (see, e.g., [<xref rid="B5" ref-type="bibr">5</xref>–<xref rid="B7" ref-type="bibr">7</xref>]).<disp-formula id="EEq1"><label>(1)</label><mml:math id="M1"><mml:mtable style="T17"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>In model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1">1</xref>), <italic>T</italic>(<italic>t</italic>), <italic>I</italic>(<italic>t</italic>), and <italic>v</italic>(<italic>t</italic>) denote the concentration of uninfected cells, infected cells, and free viruses at time <italic>t</italic>, respectively. The constant <italic>λ</italic> > 0 is the rate at which new uninfected cells are generated (from a pool of precursor cells). The constants <italic>d</italic> > 0 and <italic>β</italic> ≥ 0 are the death rate of uninfected cells and the rate constant characterizing infection of the cells, respectively. The constant <italic>d</italic><sub>1</sub> > 0 is the death rate of the infected cells due to either viruses or immune responses. The infected cells produce new viruses at the rate <italic>d</italic><sub>1</sub><italic>N</italic> during their life, on average having the length 1/<italic>d</italic><sub>1</sub>, where <italic>N</italic> > 0 is some integer number. The constant <italic>c</italic> > 0 is the rate at which the viruses are cleared, and the average lifetime of a free virus is 1/<italic>c</italic>.</p><p><xref ref-type="fig" rid="fig1">Figure 1</xref> shows a interaction procedure between uninfected cells and MERS-CoV mediated by DPP4 receptors. Based on basic dynamic model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1">1</xref>) and <xref ref-type="fig" rid="fig1">Figure 1</xref>, we propose the following novel four-dimensional dynamic model which describes the spread of the MERS-CoV and the expression of DPP4:<disp-formula id="EEq2"><label>(2)</label><mml:math id="M2"><mml:mtable style="T17"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>T</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace><mml:mi>t</mml:mi><mml:mspace height="5.95pt" depth="0.12pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>In model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>), <italic>D</italic>(<italic>t</italic>) represents the concentration of DPP4 on the surface of uninfected cells, which can be recognized by surface spike (S) protein of MERS-CoV (see, e.g., [<xref rid="B8" ref-type="bibr">8</xref>]). Infected cells are produced from uninfected cells and free viruses at the rate (<italic>βD</italic>(<italic>t</italic>))<italic>v</italic>(<italic>t</italic>)<italic>T</italic>(<italic>t</italic>). It is assumed that DPP4 is produced from the surface of uninfected cells at the constant rate <italic>λ</italic><sub>1</sub> > 0. DPP4 is destroyed, when free viruses try to infect uninfected cells, at the rate <italic>β</italic><sub>1</sub>(<italic>βD</italic>(<italic>t</italic>))<italic>v</italic>(<italic>t</italic>)<italic>T</italic>(<italic>t</italic>), and is hydrolyzed at the rate <italic>γD</italic>(<italic>t</italic>). Here, <italic>β</italic><sub>1</sub> ≥ 0 and <italic>γ</italic> > 0 are constants. It is assumed that there is no undestroyed DPP4 on the surface of infected cells. All other parameters in model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) have similar biological meanings to that in model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1">1</xref>).</p><p>The initial condition of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) is given as <italic>T</italic>(0) ≥ 0, <italic>I</italic>(0) ≥ 0, <italic>v</italic>(0) ≥ 0, and <italic>D</italic>(0) ≥ 0. It is not difficult to show that the solution (<italic>T</italic>(<italic>t</italic>), <italic>I</italic>(<italic>t</italic>), <italic>v</italic>(<italic>t</italic>), <italic>D</italic>(<italic>t</italic>)) with the initial condition is existent, unique, bounded, and nonnegative for all <italic>t</italic> ≥ 0 (in fact, it also has <italic>T</italic>(<italic>t</italic>) > 0 and <italic>D</italic>(<italic>t</italic>) > 0 for all <italic>t</italic> > 0). If <italic>T</italic>(0) > 0, <italic>I</italic>(0) > 0, <italic>v</italic>(0) > 0, and <italic>D</italic>(0) > 0, it is easily proven that the corresponding solution (<italic>T</italic>(<italic>t</italic>), <italic>I</italic>(<italic>t</italic>), <italic>v</italic>(<italic>t</italic>), <italic>D</italic>(<italic>t</italic>)) is positive for all <italic>t</italic> ≥ 0.</p><p>Furthermore, it can be easily shown that the set <disp-formula id="eq3"><label>(3)</label><mml:math id="M3"><mml:mtable style="T∞5"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.6pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="6.82999pt" depth="1.16998pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace height="6.82999pt" depth="1.16998pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mrow><mml:mo> </mml:mo><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mo> </mml:mo></mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="13.6pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>is attractive and positively invariant with respect to model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>), where 0 < <italic>a</italic> < 1, <italic>μ</italic> = min{<italic>d</italic>, (1 − <italic>a</italic>)<italic>d</italic><sub>1</sub>, <italic>c</italic>}.</p><p>The purpose of the paper is to study local and global stability of the equilibria of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) by using Roth-Hurwitz criterion and constructing suitable Lyapunov function (see, e.g., [<xref rid="B9" ref-type="bibr">9</xref>–<xref rid="B13" ref-type="bibr">13</xref>]).</p></sec><sec id="sec2"><title>2. Local and Global Stability of the Equilibria</title><p>The basic reproductive ratio of the virus for model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) is <italic>R</italic><sub>0</sub> = <italic>Nβλλ</italic><sub>1</sub>/<italic>cdγ</italic>. Model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) always has an infection-free equilibrium <italic>E</italic><sub>0</sub> = (<italic>T</italic><sub>0</sub>, 0,0, <italic>D</italic><sub>0</sub>) = (<italic>λ</italic>/<italic>d</italic>, 0,0, <italic>λ</italic><sub>1</sub>/<italic>γ</italic>). If <italic>R</italic><sub>0</sub> > 1, model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) also has unique infected equilibrium <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> = (<italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, <italic>I</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, <italic>v</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, <italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup>), where, for <italic>β</italic><sub>1</sub> = 0, <italic>v</italic> = <italic>v</italic><sup><italic>∗</italic></sup> = <italic>dγ</italic>(<italic>R</italic><sub>0</sub> − 1)/<italic>βλ</italic><sub>1</sub>, for <italic>β</italic><sub>1</sub> > 0, <italic>v</italic> = <italic>v</italic><sup><italic>∗</italic></sup> > 0 is the positive root of the equation <italic>ββ</italic><sub>1</sub><italic>c</italic><sup>2</sup><italic>v</italic><sup>2</sup> − <italic>Ncβ</italic>(<italic>λ</italic><sub>1</sub> + <italic>λβ</italic><sub>1</sub>)<italic>v</italic> + <italic>Ncdγ</italic>(<italic>R</italic><sub>0</sub> − 1) = 0, and <disp-formula id="eq4"><label>(4)</label><mml:math id="M4"><mml:mtable style="T19"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="0pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>β</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:msqrt><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">4</mml:mn><mml:mi>N</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:msqrt></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p>First, we have the following result.</p><p><statement id="thm1"><title>Theorem 1 . </title><p>With respect to the set <italic>Ω</italic><sub>1</sub> = {(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>)∣(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) ∈ <italic>Ω</italic>, <italic>T</italic> > 0, <italic>D</italic> > 0}, the infection-free equilibrium <italic>E</italic><sub>0</sub> = (<italic>T</italic><sub>0</sub>, 0,0, <italic>D</italic><sub>0</sub>) is globally asymptotically stable when <italic>R</italic><sub>0</sub> < 1 and globally attractive when <italic>R</italic><sub>0</sub> = 1.</p></statement></p><p><statement id="proof1"><title>Proof</title><p>At any equilibrium (<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>), Jacobian matrix of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) is<disp-formula id="eq5"><label>(5)</label><mml:math id="M5"><mml:mtable style="T1"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>J</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>N</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>By simple computations, we can get that the characteristic equation at <italic>E</italic><sub>0</sub> is <italic>f</italic>(<italic>ρ</italic>) = (<italic>ρ</italic> + <italic>d</italic>)(<italic>ρ</italic> + <italic>γ</italic>)[<italic>ρ</italic><sup>2</sup> + (<italic>c</italic> + <italic>d</italic><sub>1</sub>)<italic>ρ</italic> + <italic>cd</italic><sub>1</sub>(1 − <italic>R</italic><sub>0</sub>)] = 0. Clearly, if <italic>R</italic><sub>0</sub> < 1, all roots of <italic>f</italic>(<italic>ρ</italic>) = 0 have negative real parts. Hence, <italic>E</italic><sub>0</sub> is local asymptotic stability by Routh-Hurwitz criterion. If <italic>R</italic><sub>0</sub> = 1, <italic>f</italic>(<italic>ρ</italic>) = 0 has the zero root <italic>ρ</italic> = 0 and three negative roots. Hence, <italic>E</italic><sub>0</sub> is linearly stable.</p><p>Construct the Lyapunov function as follows: <disp-formula id="eq6"><label>(6)</label><mml:math id="M6"><mml:mtable style="T2"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mi>U</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="6.82999pt" depth="1.16998pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mspace height="6.82999pt" depth="1.16998pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.34999pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow><mml:mspace height="13.34999pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>I</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.09999pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow><mml:mspace height="13.09999pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It is clear that <italic>U</italic> is continuous on <italic>Ω</italic><sub>1</sub> and positive definite with respect to <italic>E</italic><sub>0</sub> and satisfies condition (ii) of Definition 1.1 in [<xref rid="B14" ref-type="bibr">14</xref>] or Lemma 3.1 in [<xref rid="B15" ref-type="bibr">15</xref>] on ∂<italic>Ω</italic> = <italic>Ω</italic>∖<italic>Ω</italic><sub>1</sub>. Calculating the derivative of <italic>U</italic> along the solutions of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>), we have, for <italic>t</italic> ≥ 0,<disp-formula id="eq7"><label>(7)</label><mml:math id="M7"><mml:mtable style="T6"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>U</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.6pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace height="13.6pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mi>I</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.77998pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace height="13.77998pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.61397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="13.61397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.36397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="13.36397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="11.05pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="11.05pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="11.05pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="11.05pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.61397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="13.61397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.36397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="13.36397pt" depth="9.55399pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="6.57999pt" depth="2.484pt"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mspace height="6.57999pt" depth="2.484pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace height="7.08pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Clearly, <italic>dU</italic>/<italic>dt</italic> ≤ 0 on <italic>Ω</italic><sub>1</sub> by <italic>R</italic><sub>0</sub> ≤ 1. Define <italic>Q</italic> = {<italic>dU</italic>/<italic>dt</italic> = 0∣(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) ∈ <italic>Ω</italic>, <italic>U</italic>(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) < +<italic>∞</italic>}. Let <italic>M</italic> be the largest subset in <italic>Q</italic> which is invariant with respect to the set model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>). Hence, we have that <italic>M</italic> ⊂ <italic>Q</italic> ⊂ {(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>)∣(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) ∈ <italic>Ω</italic>, <italic>T</italic> = <italic>T</italic><sub>0</sub>, <italic>D</italic> = <italic>D</italic><sub>0</sub>}. From the invariance of <italic>M</italic> and model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>), we can easily show that <italic>M</italic> = {<italic>E</italic><sub>0</sub>}. Therefore, it follows from Theorem 1.2 in [<xref rid="B14" ref-type="bibr">14</xref>] or Lemma 3.1 in [<xref rid="B15" ref-type="bibr">15</xref>] that <italic>E</italic><sub>0</sub> is globally attractive. This completes the proof.</p></statement></p><p>For local and global stability of the infected equilibrium <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, we have the following result.</p><p><statement id="thm2"><title>Theorem 2 . </title><p>With respect to the set <italic>Ω</italic><sub>2</sub> = {(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>)∣(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) ∈ <italic>Ω</italic>, <italic>T</italic> > 0, <italic>I</italic> > 0, <italic>v</italic> > 0, <italic>D</italic> > 0}, the infected equilibrium <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> is locally asymptotically stable when <italic>R</italic><sub>0</sub> > 1. In addition, if (2<italic>dγμa</italic>)<sup>2</sup> ≥ <italic>β</italic><sub>1</sub><italic>β</italic><sup>2</sup><italic>λ</italic><sub>1</sub><italic>λ</italic><sup>3</sup><italic>N</italic><sup>2</sup>, where 0 < <italic>a</italic> < 1, <italic>μ</italic> = min{<italic>d</italic>, (1 − <italic>a</italic>)<italic>d</italic><sub>1</sub>, <italic>c</italic>}, the infected equilibrium <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> is globally asymptotically stable.</p></statement></p><p><statement id="proof2"><title>Proof</title><p>The characteristic equation at of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) at <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> is <disp-formula id="eq8"><label>(8)</label><mml:math id="M8"><mml:mtable style="T1"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>g</mml:mi><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mspace height="4.53pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mspace height="4.53pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>where <disp-formula id="eq9"><label>(9)</label><mml:math id="M9"><mml:mtable style="T18"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">3</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It is obvious that <italic>a</italic><sub><italic>i</italic></sub> > 0 (<italic>i</italic> = 0,1, 2,3). Furthermore, by using Matlab program, it can been shown that Δ<sub>3</sub> = <italic>a</italic><sub>1</sub><italic>a</italic><sub>2</sub><italic>a</italic><sub>3</sub> − <italic>a</italic><sub>1</sub><sup>2</sup> − <italic>a</italic><sub>3</sub><sup>2</sup><italic>a</italic><sub>0</sub> has 200 items in which all items are positive. Hence, <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> is local asymptotic stability by Routh-Hurwitz criterion.</p><p>Construct the Lyapunov function as follows: <disp-formula id="eq10"><label>(10)</label><mml:math id="M10"><mml:mtable style="T2"><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:mi>W</mml:mi><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.34999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow><mml:mspace height="13.34999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.09999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow><mml:mspace height="13.09999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="10.94pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow><mml:mspace height="10.94pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="11.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.09999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mrow><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">ln</mml:mi></mml:mrow><mml:mo></mml:mo><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mrow><mml:mspace height="13.09999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>It is clear that <italic>W</italic> is continuous on <italic>Ω</italic><sub>2</sub> and positive definite with respect to <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> and satisfies condition (ii) of Definition 1.1 in [<xref rid="B14" ref-type="bibr">14</xref>] or Lemma 3.1 in [<xref rid="B15" ref-type="bibr">15</xref>] on ∂<italic>Ω</italic> = <italic>Ω</italic>∖<italic>Ω</italic><sub>2</sub>. Calculating the derivative of <italic>W</italic> along the solutions of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>), we have, for <italic>t</italic> ≥ 0, <disp-formula id="eq11"><label>(11)</label><mml:math id="M11"><mml:mtable style="T7"><mml:mtr><mml:mtd><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>W</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="7.08pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mspace height="7.08pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.6pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mspace height="13.6pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.96999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mspace height="13.96999pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.77998pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="13.77998pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="13.77998pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mspace height="13.77998pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="2.59pt"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="2.59pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.59398pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="14.59398pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="9.46999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">4</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="9.46999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="11.05pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="11.05pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.06999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">4</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="21.436553955078125pt"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace><mml:mn mathvariant="normal">4</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>D</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="14.224pt" depth="7.18999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula></p><p>Since the arithmetical mean is greater than or equal to the geometrical mean, we have that <italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>T</italic> + <italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>D</italic> + <italic>TvDI</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>v</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>I</italic> + <italic>Iv</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>I</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>v</italic> − 4 ≤ 0, for any <italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic> > 0, and that <italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>T</italic> + <italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>D</italic> + <italic>TvDI</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>v</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>I</italic> + <italic>Iv</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>I</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>v</italic> − 4 = 0 only if <italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>T</italic> = <italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>D</italic> = <italic>TvDI</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>v</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>I</italic> = <italic>Iv</italic><sup><italic>∗</italic></sup>/<italic>I</italic><sup><italic>∗</italic></sup><italic>v</italic>. Thus, we have <italic>T</italic> = <italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, <italic>D</italic> = <italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup>.</p><p>On the other hand, notice the inequality in [<xref rid="B16" ref-type="bibr">16</xref>]: <disp-formula id="eq12"><label>(12)</label><mml:math id="M12"><mml:mtable style="T1"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>x</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mfenced separators="" open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mo> </mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn mathvariant="normal">0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>We have <disp-formula id="eq13"><label>(13)</label><mml:math id="M13"><mml:mtable style="T∞2"><mml:mtr><mml:mtd><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">8</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">8</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="17.31999pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">8</mml:mn><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="17.31999pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>T</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:maligngroup></mml:maligngroup><mml:malignmark></mml:malignmark><mml:mspace width="10pt"></mml:mspace><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="17.31999pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">8</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mspace height="17.31999pt" depth="9.65999pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mfenced separators="|"><mml:mrow><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∗</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace height="8.10399pt" depth="0.23pt"></mml:mspace></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn mathvariant="normal">2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math></disp-formula>Note that the inequalities <italic>β</italic><sub>1</sub><italic>d</italic>/2<italic>T</italic> − <italic>D</italic>(<italic>ββ</italic><sub>1</sub><italic>v</italic>)<sup>2</sup>/8<italic>γ</italic> ≥ 0 and <italic>γ</italic>/2<italic>D</italic> − <italic>T</italic>(<italic>ββ</italic><sub>1</sub><italic>v</italic>)<sup>2</sup>/8<italic>β</italic><sub>1</sub><italic>d</italic> ≥ 0 are equivalent to the inequality 4<italic>dγ</italic> ≥ <italic>β</italic><sub>1</sub><italic>β</italic><sup>2</sup><italic>TDv</italic><sup>2</sup>. Since <italic>T</italic>(<italic>t</italic>) ≤ <italic>T</italic><sub>0</sub>, <italic>D</italic> ≤ <italic>D</italic><sub>0</sub>, and <italic>v</italic>(<italic>t</italic>) ≤ <italic>λN</italic>/<italic>μa</italic> for all <italic>t</italic> ≥ 0, we have that the inequality 4<italic>dγ</italic> ≥ <italic>β</italic><sub>1</sub><italic>β</italic><sup>2</sup><italic>TDv</italic><sup>2</sup> holds, if the condition (2<italic>dγμa</italic>)<sup>2</sup> ≥ <italic>β</italic><sub>1</sub><italic>β</italic><sup>2</sup><italic>λ</italic><sub>1</sub><italic>λ</italic><sup>3</sup><italic>N</italic><sup>2</sup> in <xref ref-type="statement" rid="thm2">Theorem 2</xref> is satisfied. Therefore, <italic>dW</italic>/<italic>dt</italic> ≤ 0 on <italic>Ω</italic><sub>2</sub>.</p><p>Define <italic>Q</italic> = {<italic>dW</italic>/<italic>dt</italic> = 0∣(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) ∈ <italic>Ω</italic>, <italic>W</italic>(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) < +<italic>∞</italic>}. Let <italic>M</italic> be the largest subset in <italic>Q</italic> which is invariant with respect to the set of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>). Hence, we have that <italic>M</italic> ⊂ <italic>Q</italic> ⊂ {(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>)∣(<italic>T</italic>, <italic>I</italic>, <italic>v</italic>, <italic>D</italic>) ∈ <italic>Ω</italic>, <italic>T</italic> = <italic>T</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, <italic>D</italic> = <italic>D</italic><sup><italic>∗</italic></sup>}. From the invariance of <italic>M</italic> and model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>), we can also show that <italic>M</italic> = {<italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup>}. Hence, it follows from Theorem 1.2 in [<xref rid="B14" ref-type="bibr">14</xref>] or Lemma 3.1 in [<xref rid="B15" ref-type="bibr">15</xref>] that <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> is globally attractive. This completes the proof.</p></statement></p></sec><sec id="sec3"><title>3. Simulations and Conclusions</title><p>Let us first give some numerical simulations on the orbits of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>). Take the following a set of parameters, <italic>λ</italic> = <italic>λ</italic><sub>1</sub> = 1, <italic>β</italic> = 0.001, <italic>d</italic> = <italic>d</italic><sub>1</sub> = 0.05, <italic>N</italic> = 1, <italic>c</italic> = 0.2, <italic>β</italic><sub>1</sub> = 1, and <italic>γ</italic> = 0.11. We can compute the values of the infection-free equilibrium <italic>E</italic><sub>0</sub> and the basic reproductive ratio, <italic>E</italic><sub>0</sub> = (20,0, 0,9.0909) and <italic>R</italic><sub>0</sub> = 0.90909 < 1. <xref ref-type="fig" rid="fig2"> Figure 2(a)</xref> shows the trajectory of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) with suitable initial condition, which shows that the infection-free equilibrium <italic>E</italic><sub>0</sub> is asymptotically stable.</p><p>Let us take <italic>γ</italic> = 0.05, and all the other parameters are the same as above. We can also compute the values of the infection-free equilibrium <italic>E</italic><sub>0</sub>, the infected equilibrium <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup>, and the basic reproductive ratio, <italic>E</italic><sub>0</sub> = (20,0, 0,20), <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> = (14.142,5.8579,1.4645,14.142), and <italic>R</italic><sub>0</sub> = 2 > 1. <xref ref-type="fig" rid="fig2"> Figure 2(b)</xref> shows orbits of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) with suitable initial conditions, which shows that the infected equilibrium <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> is asymptotically stable. We would like to point out here that, based on the numerical simulations, the condition (2<italic>dγμa</italic>)<sup>2</sup> ≥ <italic>β</italic><sub>1</sub><italic>β</italic><sup>2</sup><italic>λ</italic><sub>1</sub><italic>λ</italic><sup>3</sup><italic>N</italic><sup>2</sup> may be further weakened or even removed.</p><p>Finally, by using the basic reproductive ratio <italic>R</italic><sub>0</sub> = <italic>Nβλλ</italic><sub>1</sub>/<italic>cdγ</italic>, let us give some simple discussions on the interactions between the protein DPP4 and the virus infection. Usually, in the absence of any drug treatment, all the parameters in model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) and the corresponding basic reproductive ratio <italic>R</italic><sub>0</sub> can be regarded as relatively fixed constants. If some drug treatment measures are taken, the effectiveness of the treatment can be reflected in the regulation of the parameter <italic>γ</italic>. For example, by increasing the value of <italic>γ</italic>, the value of the basic reproductive ratio of <italic>R</italic><sub>0</sub> can be changed from greater than 1 to less than 1. In the numerical simulations in this section, <xref ref-type="fig" rid="fig2">Figure 2(b)</xref> shows that the virus infection will be persistent, when <italic>γ</italic> = 0.05 and <italic>R</italic><sub>0</sub> = 2 > 1. If increasing <italic>γ</italic> from <italic>γ</italic> = 0.05 to <italic>γ</italic> = 0.11, <xref ref-type="fig" rid="fig2">Figure 2(a)</xref> shows that the virus infection can be controlled, since <italic>R</italic><sub>0</sub> = 0.9090 < 1.</p></sec></body><back><ack><title>Acknowledgments</title><p>The authors are grateful to Drs. Songbai Guo and Ke Guo for their valuable suggestions. The research is partly supported by SRTP of USTB (for S. Tang and P. Bai) and partly supported by the NNSF of China (11471034) and National Key R&D Program of China (for W. Ma).</p></ack><sec><title>Conflicts of Interest</title><p>The authors declare that they have no conflicts of interest.</p></sec><sec><title>Authors' Contributions</title><p>S. Tang and P. Bai performed local and global stability analysis and the numerical simulations and wrote the manuscript. W. Ma designed the study, developed the methodology of invariance principle, and wrote the manuscript. All authors have read and approved the final manuscript.</p></sec><ref-list><ref id="B1"><label>1</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Zhao</surname><given-names>J.</given-names></name><name><surname>Li</surname><given-names>K.</given-names></name><name><surname>Wohlford-Lenane</surname><given-names>C.</given-names></name><etal></etal></person-group><article-title>Rapid generation of a mouse model for Middle East respiratory syndrome</article-title><source><italic>Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America</italic></source><year>2014</year><volume>111</volume><issue>13</issue><fpage>4970</fpage><lpage>4975</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1073/pnas.1323279111</pub-id><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-84897480727</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">24599590</pub-id></element-citation></ref><ref id="B2"><label>2</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>De Wit</surname><given-names>E.</given-names></name><name><surname>Rasmussen</surname><given-names>A. L.</given-names></name><name><surname>Falzarano</surname><given-names>D.</given-names></name><etal></etal></person-group><article-title>Middle East respiratory syndrome coronavirus (MERSCoV) causes transient lower respiratory tract infection in rhesus macaques</article-title><source><italic>Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America</italic></source><year>2013</year><volume>110</volume><issue>41</issue><fpage>16598</fpage><lpage>16603</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1073/pnas.1310744110</pub-id><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-84885340898</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">24062443</pub-id></element-citation></ref><ref id="B3"><label>3</label><element-citation publication-type="other"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Rogers</surname><given-names>K.</given-names></name></person-group><article-title>MERSE</article-title><comment><ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://academic.eb.com/EBchecked/topic//">http://academic.eb.com/EBchecked/topic//</ext-link>, 2016</comment></element-citation></ref><ref id="B4"><label>4</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Anderson</surname><given-names>R. M.</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>R. M.</given-names></name></person-group><source><italic>Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control</italic></source><year>1991</year><publisher-loc>Oxford, UK</publisher-loc><publisher-name>Oxford University Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="B5"><label>5</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Nowak</surname><given-names>M. A.</given-names></name><name><surname>Bangham</surname><given-names>C. R. M.</given-names></name></person-group><article-title>Population dynamics of immune responses to persistent viruses</article-title><source><italic>Science</italic></source><year>1996</year><volume>272</volume><issue>5258</issue><fpage>74</fpage><lpage>79</lpage><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-0029985351</pub-id><pub-id pub-id-type="doi">10.1126/science.272.5258.74</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">8600540</pub-id></element-citation></ref><ref id="B6"><label>6</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Nowak</surname><given-names>M. A.</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>R. M.</given-names></name></person-group><source><italic>Virus Dynamics: Mathematics Principles of Immunology and Virology</italic></source><year>2000</year><publisher-loc>London, UK</publisher-loc><publisher-name>Oxford University Press</publisher-name><pub-id pub-id-type="other">MR2009143</pub-id><pub-id pub-id-type="other">Zbl1101.92028</pub-id></element-citation></ref><ref id="B7"><label>7</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Perelson</surname><given-names>A. S.</given-names></name><name><surname>Nelson</surname><given-names>P. W.</given-names></name></person-group><article-title>Mathematical analysis of HIV-1 dynamics in vivo</article-title><source><italic>SIAM Review</italic></source><year>1999</year><volume>41</volume><issue>1</issue><fpage>3</fpage><lpage>44</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1137/S0036144598335107</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR1669741</pub-id></element-citation></ref><ref id="B8"><label>8</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mille</surname><given-names>J. K.</given-names></name><name><surname>Whittaker</surname><given-names>G. R.</given-names></name></person-group><article-title>Host cell entry of Middle East respiratory syndrome coronavirus after two-step, furin-mediated activation of the spike protein</article-title><source><italic>Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America</italic></source><year>2014</year><volume>111</volume><issue>42</issue><fpage>15214</fpage><lpage>15219</lpage><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-84908065761</pub-id><pub-id pub-id-type="doi">10.1073/pnas.1407087111</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">25288733</pub-id></element-citation></ref><ref id="B9"><label>9</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Korobeinikov</surname><given-names>A.</given-names></name></person-group><article-title>Global properties of basic virus dynamics models</article-title><source><italic>Bulletin of Mathematical Biology</italic></source><year>2004</year><volume>66</volume><issue>4</issue><fpage>879</fpage><lpage>883</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.bulm.2004.02.001</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR2255781</pub-id><pub-id pub-id-type="other">Zbl1334.92409</pub-id><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-3042695365</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">15210324</pub-id></element-citation></ref><ref id="B10"><label>10</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Korobeinikov</surname><given-names>A.</given-names></name></person-group><article-title>Global asymptotic properties of virus dynamics models with dose-dependent parasite reproduction and virulence and non-linear incidence rate</article-title><source><italic>Mathematical Medicine and Biology</italic></source><year>2009</year><volume>26</volume><issue>3</issue><fpage>225</fpage><lpage>239</lpage><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-70349442365</pub-id><pub-id pub-id-type="doi">10.1093/imammb/dqp006</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">19299417</pub-id></element-citation></ref><ref id="B11"><label>11</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>McCluskey</surname><given-names>C. C.</given-names></name></person-group><article-title>Complete global stability for an SIR epidemic model with delay-distributed or discrete</article-title><source><italic>Nonlinear Analysis. Real World Applications</italic></source><year>2010</year><volume>11</volume><issue>1</issue><fpage>55</fpage><lpage>59</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.nonrwa.2008.10.014</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR2570523</pub-id></element-citation></ref><ref id="B12"><label>12</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Huang</surname><given-names>G.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Takeuchi</surname><given-names>Y.</given-names></name></person-group><article-title>Global properties for virus dynamics model with Beddington-DeAngelis functional response</article-title><source><italic>Applied Mathematics Letters. An International Journal of Rapid Publication</italic></source><year>2009</year><volume>22</volume><issue>11</issue><fpage>1690</fpage><lpage>1693</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.aml.2009.06.004</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR2569065</pub-id></element-citation></ref><ref id="B13"><label>13</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Li</surname><given-names>F.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>W.</given-names></name><name><surname>Jiang</surname><given-names>Z.</given-names></name><name><surname>Li</surname><given-names>D.</given-names></name></person-group><article-title>Stability and Hopf bifurcation in a delayed HIV infection model with general incidence rate and immune impairment</article-title><source><italic>Computational and Mathematical Methods in Medicine</italic></source><year>2015</year><fpage>14</fpage><pub-id pub-id-type="publisher-id">206205</pub-id><pub-id pub-id-type="doi">10.1155/2015/206205</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR3384356</pub-id></element-citation></ref><ref id="B14"><label>14</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wolkowicz</surname><given-names>G. S.</given-names></name><name><surname>Lu</surname><given-names>Z. Q.</given-names></name></person-group><article-title>Global dynamics of a mathematical model of competition in the chemostat: general response functions and differential death rates</article-title><source><italic>SIAM Journal on Applied Mathematics</italic></source><year>1992</year><volume>52</volume><issue>1</issue><fpage>222</fpage><lpage>233</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1137/0152012</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR1148326</pub-id><pub-id pub-id-type="other">Zbl0739.92025</pub-id><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-0026818163</pub-id></element-citation></ref><ref id="B15"><label>15</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Saito</surname><given-names>Y.</given-names></name><name><surname>Hara</surname><given-names>T.</given-names></name><name><surname>Ma</surname><given-names>W.</given-names></name></person-group><article-title>Necessary and sufficient conditions for permanence and global stability of a Lotka-Volterra system with two delays</article-title><source><italic>Journal of Mathematical Analysis and Applications</italic></source><year>1999</year><volume>236</volume><issue>2</issue><fpage>534</fpage><lpage>556</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1006/jmaa.1999.6464</pub-id><pub-id pub-id-type="other">MR1704598</pub-id><pub-id pub-id-type="other">Zbl0944.34059</pub-id><pub-id pub-id-type="other">2-s2.0-0000485661</pub-id></element-citation></ref><ref id="B16"><label>16</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qin</surname><given-names>Y. X.</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>M. Q.</given-names></name><name><surname>Wang</surname><given-names>L.</given-names></name></person-group><source><italic>Theory of Motion Stability and Their Applications</italic></source><year>1981</year><volume>8</volume><publisher-loc>Beijing, China</publisher-loc><publisher-name>Academic Press</publisher-name><pub-id pub-id-type="other">MR701397</pub-id></element-citation></ref></ref-list></back><floats-group><fig id="fig1" orientation="portrait" position="float"><label>Figure 1</label><caption><p>The interaction procedure between uninfected cells and MERS-CoV mediated by DPP4 receptors.</p></caption><graphic xlink:href="CMMM2017-5285810.001"></graphic></fig><fig id="fig2" orientation="portrait" position="float"><label>Figure 2</label><caption><p>(a) The trajectory of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) when <italic>E</italic><sub>0</sub> = (20,0, 0,9.0909) and <italic>R</italic><sub>0</sub> = 0.90909 < 1. (b) The orbits of model (<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2">2</xref>) when <italic>E</italic><sup><italic>∗</italic></sup> = (14.142,5.8579,1.4645,14.142) and <italic>R</italic><sub>0</sub> = 2 > 1.</p></caption><graphic xlink:href="CMMM2017-5285810.002"></graphic></fig></floats-group></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Sante/explor/MersV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000B94 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000B94 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Sante
|area= MersV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:5574235
|texte= A Novel Dynamic Model Describing the Spread of the MERS-CoV and the Expression of Dipeptidyl Peptidase 4
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:28894474" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a MersV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.33. |  |