Mathematical analysis of a lymphatic filariasis model with quarantine and treatment
Identifieur interne : 000C79 ( Pmc/Corpus ); précédent : 000C78; suivant : 000C80Mathematical analysis of a lymphatic filariasis model with quarantine and treatment
Auteurs : Peter M. Mwamtobe ; Simphiwe M. Simelane ; Shirley Abelman ; Jean M. TchuencheSource :
- BMC Public Health [ 1471-2458 ] ; 2017.
Abstract
Lymphatic filariasis is a globally neglected tropical parasitic disease which affects individuals of all ages and leads to an altered lymphatic system and abnormal enlargement of body parts.
A mathematical model of lymphatic filariaris with intervention strategies is developed and analyzed. Control of infections is analyzed within the model through medical treatment of infected-acute individuals and quarantine of infected-chronic individuals.
We derive the effective reproduction number,
Numerical simulations are carried out to monitor the dynamics of the filariasis model sub-populations for various parameter values of the associated reproduction threshold. Lastly, sensitivity analysis on key parameters that drive the disease dynamics is performed in order to identify their relative importance on the disease transmission.
Url:
DOI: 10.1186/s12889-017-4160-8
PubMed: 28302096
PubMed Central: 5356380
Links to Exploration step
PMC:5356380Le document en format XML
<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Mathematical analysis of a lymphatic filariasis model with quarantine and treatment</title><author><name sortKey="Mwamtobe, Peter M" sort="Mwamtobe, Peter M" uniqKey="Mwamtobe P" first="Peter M." last="Mwamtobe">Peter M. Mwamtobe</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff2"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff3"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0001 2113 2211</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.10595.38</institution-id><institution>Department of Mathematics and Statistics,</institution><institution>University of Malawi,</institution></institution-wrap>Chichiri, Blantyre, Malawi</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Simelane, Simphiwe M" sort="Simelane, Simphiwe M" uniqKey="Simelane S" first="Simphiwe M." last="Simelane">Simphiwe M. Simelane</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff2"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Abelman, Shirley" sort="Abelman, Shirley" uniqKey="Abelman S" first="Shirley" last="Abelman">Shirley Abelman</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff2"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Tchuenche, Jean M" sort="Tchuenche, Jean M" uniqKey="Tchuenche J" first="Jean M." last="Tchuenche">Jean M. Tchuenche</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation></author></titleStmt><publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno><idno type="pmid">28302096</idno><idno type="pmc">5356380</idno><idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC5356380</idno><idno type="RBID">PMC:5356380</idno><idno type="doi">10.1186/s12889-017-4160-8</idno><date when="2017">2017</date><idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000C79</idno><idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000C79</idno></publicationStmt><sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Mathematical analysis of a lymphatic filariasis model with quarantine and treatment</title><author><name sortKey="Mwamtobe, Peter M" sort="Mwamtobe, Peter M" uniqKey="Mwamtobe P" first="Peter M." last="Mwamtobe">Peter M. Mwamtobe</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff2"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff3"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0001 2113 2211</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.10595.38</institution-id><institution>Department of Mathematics and Statistics,</institution><institution>University of Malawi,</institution></institution-wrap>Chichiri, Blantyre, Malawi</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Simelane, Simphiwe M" sort="Simelane, Simphiwe M" uniqKey="Simelane S" first="Simphiwe M." last="Simelane">Simphiwe M. Simelane</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff2"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Abelman, Shirley" sort="Abelman, Shirley" uniqKey="Abelman S" first="Shirley" last="Abelman">Shirley Abelman</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation><affiliation><nlm:aff id="Aff2"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation></author><author><name sortKey="Tchuenche, Jean M" sort="Tchuenche, Jean M" uniqKey="Tchuenche J" first="Jean M." last="Tchuenche">Jean M. Tchuenche</name><affiliation><nlm:aff id="Aff1"><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</nlm:aff></affiliation></author></analytic><series><title level="j">BMC Public Health</title><idno type="eISSN">1471-2458</idno><imprint><date when="2017">2017</date></imprint></series></biblStruct></sourceDesc></fileDesc><profileDesc><textClass></textClass></profileDesc></teiHeader><front><div type="abstract" xml:lang="en"><sec><title>Background</title><p>Lymphatic filariasis is a globally neglected tropical parasitic disease which affects individuals of all ages and leads to an altered lymphatic system and abnormal enlargement of body parts.</p></sec><sec><title>Methods</title><p>A mathematical model of lymphatic filariaris with intervention strategies is developed and analyzed. Control of infections is analyzed within the model through medical treatment of infected-acute individuals and quarantine of infected-chronic individuals.</p></sec><sec><title>Results</title><p>We derive the effective reproduction number, <inline-formula id="IEq1"><alternatives><tex-math id="M1">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0},$\end{document}</tex-math><mml:math id="M2"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq1.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> and its interpretation/investigation suggests that treatment contributes to a reduction in lymphatic filariasis cases faster than quarantine. However, this reduction is greater when the two intervention approaches are applied concurrently.</p></sec><sec><title>Conclusions</title><p>Numerical simulations are carried out to monitor the dynamics of the filariasis model sub-populations for various parameter values of the associated reproduction threshold. Lastly, sensitivity analysis on key parameters that drive the disease dynamics is performed in order to identify their relative importance on the disease transmission.</p></sec></div></front><back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Critchley, J" uniqKey="Critchley J">J Critchley</name></author><author><name sortKey="Addiss, D" uniqKey="Addiss D">D Addiss</name></author><author><name sortKey="Gamble, C" uniqKey="Gamble C">C Gamble</name></author><author><name sortKey="Garner, P" uniqKey="Garner P">P Garner</name></author><author><name sortKey="Gelband, H" uniqKey="Gelband H">H Gelband</name></author><author><name sortKey="Ejere, H" uniqKey="Ejere H">H Ejere</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Van Den Berg, H" uniqKey="Van Den Berg H">H van den Berg</name></author><author><name sortKey="Kelly Hope, La" uniqKey="Kelly Hope L">LA Kelly-Hope</name></author><author><name sortKey="Lindsay, Sw" uniqKey="Lindsay S">SW Lindsay</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Supriatna, Ak" uniqKey="Supriatna A">AK Supriatna</name></author><author><name sortKey="Serviana, H" uniqKey="Serviana H">H Serviana</name></author><author><name sortKey="Soewono, E" uniqKey="Soewono E">E Soewono</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Ottesen, Ea" uniqKey="Ottesen E">EA Ottesen</name></author><author><name sortKey="Duke, Bol" uniqKey="Duke B">BOL Duke</name></author><author><name sortKey="Karam, M" uniqKey="Karam M">M Karam</name></author><author><name sortKey="Behbehani, K" uniqKey="Behbehani K">K Behbehani</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Stolk, Wa" uniqKey="Stolk W">WA Stolk</name></author><author><name sortKey="Stone, C" uniqKey="Stone C">C Stone</name></author><author><name sortKey="De Vlas, Sj" uniqKey="De Vlas S">SJ de Vlas</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Stone, Cm" uniqKey="Stone C">CM Stone</name></author><author><name sortKey="Lindsay, Sw" uniqKey="Lindsay S">SW Lindsay</name></author><author><name sortKey="Chitnis, N" uniqKey="Chitnis N">N Chitnis</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chan, Ms" uniqKey="Chan M">MS Chan</name></author><author><name sortKey="Srividya, A" uniqKey="Srividya A">A Srividya</name></author><author><name sortKey="Norman, Ra" uniqKey="Norman R">RA Norman</name></author><author><name sortKey="Pani, Sp" uniqKey="Pani S">SP Pani</name></author><author><name sortKey="Ramaiah, Kd" uniqKey="Ramaiah K">KD Ramaiah</name></author><author><name sortKey="Vanamail, P" uniqKey="Vanamail P">P Vanamail</name></author><author><name sortKey="Michael, E" uniqKey="Michael E">E Michael</name></author><author><name sortKey="Das, Pk" uniqKey="Das P">PK Das</name></author><author><name sortKey="Bundy, Dap" uniqKey="Bundy D">DAP Bundy</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Norman, Ra" uniqKey="Norman R">RA Norman</name></author><author><name sortKey="Chan, Ms" uniqKey="Chan M">MS Chan</name></author><author><name sortKey="Srividya, A" uniqKey="Srividya A">A Srividya</name></author><author><name sortKey="Pani, Sp" uniqKey="Pani S">SP Pani</name></author><author><name sortKey="Ramaiah, Kd" uniqKey="Ramaiah K">KD Ramaiah</name></author><author><name sortKey="Vanamail, P" uniqKey="Vanamail P">P Vanamail</name></author><author><name sortKey="Michael, E" uniqKey="Michael E">E Michael</name></author><author><name sortKey="Das, Pk" uniqKey="Das P">PK Das</name></author><author><name sortKey="Bundy, Da" uniqKey="Bundy D">DA Bundy</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Stolk, Wa" uniqKey="Stolk W">WA Stolk</name></author><author><name sortKey="De Vlas, Sj" uniqKey="De Vlas S">SJ de Vlas</name></author><author><name sortKey="Borsboom, Gj" uniqKey="Borsboom G">GJ Borsboom</name></author><author><name sortKey="Babbema, Jd" uniqKey="Babbema J">JD Babbema</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Plaisierm, Ap" uniqKey="Plaisierm A">AP Plaisierm</name></author><author><name sortKey="Subramania, S" uniqKey="Subramania S">S Subramania</name></author><author><name sortKey="Das, Pk" uniqKey="Das P">PK Das</name></author><author><name sortKey="Souza, W" uniqKey="Souza W">W Souza</name></author><author><name sortKey="Lapa, T" uniqKey="Lapa T">T Lapa</name></author><author><name sortKey="Furtado, Af" uniqKey="Furtado A">AF Furtado</name></author><author><name sortKey="Van Der Ploeg, Cp" uniqKey="Van Der Ploeg C">CP Van der Ploeg</name></author><author><name sortKey="Habbema, Jd" uniqKey="Habbema J">JD Habbema</name></author><author><name sortKey="Van Oortmarssen, Gj" uniqKey="Van Oortmarssen G">GJ van Oortmarssen</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Luz, Pm" uniqKey="Luz P">PM Luz</name></author><author><name sortKey="Struchiner, Cj" uniqKey="Struchiner C">CJ Struchiner</name></author><author><name sortKey="Galvani, Ap" uniqKey="Galvani A">AP Galvani</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Weerasinghe, Cr" uniqKey="Weerasinghe C">CR Weerasinghe</name></author><author><name sortKey="De Silva, Nr" uniqKey="De Silva N">NR de Silva</name></author><author><name sortKey="Michael, E" uniqKey="Michael E">E Michael</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Erickson, Sm" uniqKey="Erickson S">SM Erickson</name></author><author><name sortKey="Thomsen, Ek" uniqKey="Thomsen E">EK Thomsen</name></author><author><name sortKey="Keven, Jb" uniqKey="Keven J">JB Keven</name></author><author><name sortKey="Vincent, N" uniqKey="Vincent N">N Vincent</name></author><author><name sortKey="Koimbu, G" uniqKey="Koimbu G">G Koimbu</name></author><author><name sortKey="Siba, Pm" uniqKey="Siba P">PM Siba</name></author><author><name sortKey="Christensen, Bm" uniqKey="Christensen B">BM Christensen</name></author><author><name sortKey="Reimer, Lj" uniqKey="Reimer L">LJ Reimer</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lindsay, Sw" uniqKey="Lindsay S">SW Lindsay</name></author><author><name sortKey="Denham, Da" uniqKey="Denham D">DA Denham</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Pichon, G" uniqKey="Pichon G">G Pichon</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Malhotra, I" uniqKey="Malhotra I">I Malhotra</name></author><author><name sortKey="Ouma, Jh" uniqKey="Ouma J">JH Ouma</name></author><author><name sortKey="Wamachi, A" uniqKey="Wamachi A">A Wamachi</name></author><author><name sortKey="Kioko, J" uniqKey="Kioko J">J Kioko</name></author><author><name sortKey="Mungai, P" uniqKey="Mungai P">P Mungai</name></author><author><name sortKey="Njzovu, M" uniqKey="Njzovu M">M Njzovu</name></author><author><name sortKey="Kazura, Jw" uniqKey="Kazura J">JW Kazura</name></author><author><name sortKey="King, Cl" uniqKey="King C">CL King</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Birkhoff, G" uniqKey="Birkhoff G">G Birkhoff</name></author><author><name sortKey="Rota, Gc" uniqKey="Rota G">GC Rota</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Van Den Driessche, P" uniqKey="Van Den Driessche P">P van den Driessche</name></author><author><name sortKey="Watmough, J" uniqKey="Watmough J">J Watmough</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Tchuenche, Jm" uniqKey="Tchuenche J">JM Tchuenche</name></author><author><name sortKey="Dube, N" uniqKey="Dube N">N Dube</name></author><author><name sortKey="Bhunu, Cp" uniqKey="Bhunu C">CP Bhunu</name></author><author><name sortKey="Smith, Rj" uniqKey="Smith R">RJ Smith</name></author><author><name sortKey="Bauch, Ct" uniqKey="Bauch C">CT Bauch</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Kamgang, Jc" uniqKey="Kamgang J">JC Kamgang</name></author><author><name sortKey="Sallet, G" uniqKey="Sallet G">G Sallet</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Tchuenche, Jm" uniqKey="Tchuenche J">JM Tchuenche</name></author><author><name sortKey="Chiyaka, C" uniqKey="Chiyaka C">C Chiyaka</name></author><author><name sortKey="Chan, D" uniqKey="Chan D">D Chan</name></author><author><name sortKey="Matthews, A" uniqKey="Matthews A">A Matthews</name></author><author><name sortKey="Mayer, G" uniqKey="Mayer G">G Mayer</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Chitnis, N" uniqKey="Chitnis N">N Chitnis</name></author><author><name sortKey="Hyman, Jm" uniqKey="Hyman J">JM Hyman</name></author><author><name sortKey="Cushing, Jm" uniqKey="Cushing J">JM Cushing</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Anderson, Rm" uniqKey="Anderson R">RM Anderson</name></author><author><name sortKey="May, Rm" uniqKey="May R">RM May</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mtisi, E" uniqKey="Mtisi E">E Mtisi</name></author><author><name sortKey="Rwezaura, H" uniqKey="Rwezaura H">H Rwezaura</name></author><author><name sortKey="Tchuenche, Jm" uniqKey="Tchuenche J">JM Tchuenche</name></author></analytic></biblStruct><biblStruct><analytic><author><name sortKey="Okosun, Ko" uniqKey="Okosun K">KO Okosun</name></author><author><name sortKey="Ouifki, R" uniqKey="Ouifki R">R Ouifki</name></author><author><name sortKey="Marcus, N" uniqKey="Marcus N">N Marcus</name></author></analytic></biblStruct></listBibl></div1></back></TEI><pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
<front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">BMC Public Health</journal-id><journal-id journal-id-type="iso-abbrev">BMC Public Health</journal-id><journal-title-group><journal-title>BMC Public Health</journal-title></journal-title-group><issn pub-type="epub">1471-2458</issn><publisher><publisher-name>BioMed Central</publisher-name><publisher-loc>London</publisher-loc></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="pmid">28302096</article-id><article-id pub-id-type="pmc">5356380</article-id><article-id pub-id-type="publisher-id">4160</article-id><article-id pub-id-type="doi">10.1186/s12889-017-4160-8</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Mathematical analysis of a lymphatic filariasis model with quarantine and treatment</article-title></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name><surname>Mwamtobe</surname><given-names>Peter M.</given-names></name><address><email>pmwamtobe@gmail.com</email></address><xref ref-type="aff" rid="Aff1">1</xref><xref ref-type="aff" rid="Aff2">2</xref><xref ref-type="aff" rid="Aff3">3</xref></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Simelane</surname><given-names>Simphiwe M.</given-names></name><address><email>simphinho@gmail.com</email></address><xref ref-type="aff" rid="Aff1">1</xref><xref ref-type="aff" rid="Aff2">2</xref></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Abelman</surname><given-names>Shirley</given-names></name><address><email>Shirley.Abelman@wits.ac.za</email></address><xref ref-type="aff" rid="Aff1">1</xref><xref ref-type="aff" rid="Aff2">2</xref></contrib><contrib contrib-type="author"><name><surname>Tchuenche</surname><given-names>Jean M.</given-names></name><address><email>jmtchuenche@gmail.com</email></address><xref ref-type="aff" rid="Aff1">1</xref></contrib><aff id="Aff1"><label>1</label><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>School of Computer Science and Applied Mathematics,</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, Wits, Johannesburg, 2050 South Africa</aff><aff id="Aff2"><label>2</label><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0004 1937 1135</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.11951.3d</institution-id><institution>DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS),</institution><institution>University of the Witwatersrand, Johannesburg,</institution></institution-wrap>Private Bag 3, WitsJohannesburg, 2050 South Africa</aff><aff id="Aff3"><label>3</label><institution-wrap><institution-id institution-id-type="ISNI">0000 0001 2113 2211</institution-id><institution-id institution-id-type="GRID">grid.10595.38</institution-id><institution>Department of Mathematics and Statistics,</institution><institution>University of Malawi,</institution></institution-wrap>Chichiri, Blantyre, Malawi</aff></contrib-group><pub-date pub-type="epub"><day>16</day><month>3</month><year>2017</year></pub-date><pub-date pub-type="pmc-release"><day>16</day><month>3</month><year>2017</year></pub-date><pub-date pub-type="collection"><year>2017</year></pub-date><volume>17</volume><elocation-id>265</elocation-id><history><date date-type="received"><day>3</day><month>11</month><year>2015</year></date><date date-type="accepted"><day>2</day><month>3</month><year>2017</year></date></history><permissions><copyright-statement>© The Author(s) 2017</copyright-statement><license license-type="OpenAccess"><license-p><bold>Open Access</bold> This article is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/</ext-link>), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons license, and indicate if changes were made. The Creative Commons Public Domain Dedication waiver(<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/">http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/</ext-link>) applies to the data made available in this article, unless otherwise stated.</license-p></license></permissions><abstract id="Abs1"><sec><title>Background</title><p>Lymphatic filariasis is a globally neglected tropical parasitic disease which affects individuals of all ages and leads to an altered lymphatic system and abnormal enlargement of body parts.</p></sec><sec><title>Methods</title><p>A mathematical model of lymphatic filariaris with intervention strategies is developed and analyzed. Control of infections is analyzed within the model through medical treatment of infected-acute individuals and quarantine of infected-chronic individuals.</p></sec><sec><title>Results</title><p>We derive the effective reproduction number, <inline-formula id="IEq1"><alternatives><tex-math id="M1">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0},$\end{document}</tex-math><mml:math id="M2"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq1.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> and its interpretation/investigation suggests that treatment contributes to a reduction in lymphatic filariasis cases faster than quarantine. However, this reduction is greater when the two intervention approaches are applied concurrently.</p></sec><sec><title>Conclusions</title><p>Numerical simulations are carried out to monitor the dynamics of the filariasis model sub-populations for various parameter values of the associated reproduction threshold. Lastly, sensitivity analysis on key parameters that drive the disease dynamics is performed in order to identify their relative importance on the disease transmission.</p></sec></abstract><kwd-group xml:lang="en"><title>Keywords</title><kwd>Lymphatic filariasis</kwd><kwd>Intervention strategies</kwd><kwd>Latent stage</kwd><kwd>Reproduction number</kwd></kwd-group><custom-meta-group><custom-meta><meta-name>issue-copyright-statement</meta-name><meta-value>© The Author(s) 2017</meta-value></custom-meta></custom-meta-group></article-meta></front><body><sec id="Sec1"><title>Background</title><p>Lymphatic Filariasis commonly known as elephantiasis is a globally neglected tropical parasitic disease caused by a thread-like worms of the <italic>Filarioidea</italic> type (<italic>Wuchereria bancrofti, Brugia malayi</italic> and <italic>Brugia timori</italic>) [<xref ref-type="bibr" rid="CR1">1</xref>]. The most common of these, <italic>Wuchereria bancrofti</italic>, is a round worm that mainly infects the lymphatic system. Lymphatic filariasis involves asymptomatic, acute and chronic conditions with the majority of infections being asymptomatic [<xref ref-type="bibr" rid="CR2">2</xref>]. Nearly 1.4 billion people in 73 countries worldwide are threatened by the disease of which over 120 million individuals are currently infected [<xref ref-type="bibr" rid="CR3">3</xref>]. The round worm (nematode) is spread from person to person via a mosquito vector and infected individuals can suffer from chronic conditions such as lymphedema, elephantiasis and, in men, swelling of the scrotum called hydrocele [<xref ref-type="bibr" rid="CR1">1</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR2">2</xref>]. A description of the microfilariae life cycle is depicted in Fig. <xref rid="Fig1" ref-type="fig">1</xref>.
<fig id="Fig1"><label>Fig. 1</label><caption><p>Nematodes (roundworms.) Life cycle of roundworms which cause lymphatic filariasis</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig1_HTML" id="MO1"></graphic></fig></p><p>Lymphatic filariasis is still a major public health problem in Africa, South America and Asia despite existing knowledge of the disease pathology and global treatment campaign [<xref ref-type="bibr" rid="CR3">3</xref>] with drugs such as Diethylcarbamazine plus Albendazole and Ivermectin plus Albendazole that kill the microfilariae and some of the adult worms. There is not enough evidence on effectiveness of the drug Albendazole, alone or in combination, for killing or interrupting transmission of threadlike worms that cause lymphatic filariasis [<xref ref-type="bibr" rid="CR4">4</xref>]. Some studies have shown that treatment with Doxycycline could completely kill microfilariae [<xref ref-type="bibr" rid="CR2">2</xref>].</p><p>Eradication of this disease has been a great challenge [<xref ref-type="bibr" rid="CR3">3</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR5">5</xref>]. Thus, investigating the impact of combined intervention strategies of treatment and quarantine of chronically infected persons is viable. Chronically infected individuals may not transmit infection when quarantined from the rest of the population [<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR7">7</xref>]. Insecticide treated-bed nets (ITNs) and sleeping in indoor residual sprayed houses (IRS) could reduce contact between humans (especially microfilariae carriers) and mosquito vectors [<xref ref-type="bibr" rid="CR8">8</xref>]. Treatment still remains the first line of defense to combat the disease, despite uncertainty about the microfilarial prevalence threshold level below which transmission cannot be sustained even in the absence of any treatments [<xref ref-type="bibr" rid="CR3">3</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR9">9</xref>].</p><p>Compartmental mathematical models of lymphatic filariasis abound in the literature [<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR9">9</xref>–<xref ref-type="bibr" rid="CR11">11</xref>]. Two general simulation models of lymphatic filariasis transmission and control used to support decision-making are - the population-based deterministic model (EPIFIL) [<xref ref-type="bibr" rid="CR12">12</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR13">13</xref>] and - the individual-based stochastic model (LYMFASIM) [<xref ref-type="bibr" rid="CR14">14</xref>]. However these models have some limitations as they do not account for intervention measures such as quarantine. While EPIFIL uses a constant force-of-infection and accounts for the impact of age structure of the human community [<xref ref-type="bibr" rid="CR13">13</xref>], LYMFASIM accounts for the role of the immune system in regulating parasite numbers [<xref ref-type="bibr" rid="CR15">15</xref>]. Luz et al., [<xref ref-type="bibr" rid="CR16">16</xref>] noted that mathematical modeling of transmission dynamics and cost-effectiveness of neglected diseases can help to maximize the utility of the limited available resources. Bhunu and Mushayabasa [<xref ref-type="bibr" rid="CR10">10</xref>] considered treatment as the only intervention strategy in their model, while Ottesen et al. [<xref ref-type="bibr" rid="CR8">8</xref>] presented strategies and tools to control transmission and morbidity of lymphatic filariasis. Although various transmission and control mathematical models of lymphatic filariasis abound in the literature, our proposed model is seemingly new as it includes latent stage, treatment and quarantine of chronically infected persons [<xref ref-type="bibr" rid="CR8">8</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR17">17</xref>]. The latent stage is included in the model because of different developmental stages the worm undergoes in human and mosquito populations.</p><p>The proposed compartmental model is not exhaustive, and here are some limitations: no density dependent and species-specific parasite prevalence [<xref ref-type="bibr" rid="CR18">18</xref>], additional mortality experienced by infected mosquitoes as a result of carrying filarial infection [<xref ref-type="bibr" rid="CR19">19</xref>]. Pichon [<xref ref-type="bibr" rid="CR20">20</xref>] noted that mosquito density-dependent mortality may be associated with increased infection intensity within the mosquito and mass drug administration may lead to an increase in survival of the mosquito population and hence to an increase in transmission in the long-term [<xref ref-type="bibr" rid="CR20">20</xref>].</p><p>In the following sections, we formulate and analyse a deterministic model with two key control measures: quarantine and treatment. Key parameters that influence transmission are identified via sensitivity analysis of the model. Finally, some parameter values are assumed within realistic ranges to support the analytical results, but with one caveat that the model outcomes are not compared with real data.</p></sec><sec id="Sec2"><title>Methods: model formulation and description</title><p>Human and mosquito populations are divided based on their lymphatic filariasis status. Human sub-populations are susceptible humans <italic>S</italic><sub><italic>h</italic></sub>(<italic>t</italic>), latent stage (not showing signs of lymphatic filariasis) <italic>E</italic><sub><italic>h</italic></sub>(<italic>t</italic>), infected-acute stage <italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>(<italic>t</italic>) and infected-chronic stage <italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>(<italic>t</italic>), with the total human population given by
<disp-formula id="Equ1"><label>1</label><alternatives><tex-math id="M3">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} N_{h}(t) = S_{h}(t) + E_{h}(t) + I_{ha}(t) + I_{hc}(t). \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M4"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ1.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>The model is formulated with the assumption that no infection exists at the initial stage, and there is no vertical transmission in both human and mosquito populations [<xref ref-type="bibr" rid="CR17">17</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR21">21</xref>]. In addition, the model considers one species of worm and one species of mosquito. We also assume that the transmission to mosquito population is from infected-acute and infected-chronic individuals despite the quarantine of some infected-chronic individuals.</p><p>The mosquito population is divided into three subgroups: susceptible <italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>(<italic>t</italic>), exposed <italic>E</italic><sub><italic>v</italic></sub>(<italic>t</italic>) and infected <italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>(<italic>t</italic>), with the total mosquito population given by
<disp-formula id="Equ2"><label>2</label><alternatives><tex-math id="M5">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} N_{v}(t) = S_{v}(t) + E_{v}(t) + I_{v}(t). \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M6"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ2.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>The recruitment rate of human population is <italic>Λ</italic><sub><italic>h</italic></sub>, while <italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub> is the recruitment rate of the mosquito population. The natural death rates of human and mosquito populations are <italic>μ</italic><sub><italic>h</italic></sub> and <italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub> respectively. These death rates are proportional to the number of each individual or mosquito class. The biting rate of the mosquitoes to humans is <italic>β</italic>. The microfilariae which are found in lymphatic vessels and lymphatic nodes infect susceptible mosquitoes when a mosquito bites infected-acute and infected-chronic individuals at a rate
<disp-formula id="Equa"><alternatives><tex-math id="M7">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \lambda_{v}(t) = \displaystyle\frac{\beta\vartheta_{v} (I_{ha}(t) + \theta I_{hc}(t))}{N_{h}(t)}, $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M8"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equa.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula> where <italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub> is the success rate of microfilariae transmission from human to susceptible mosquitoes and <italic>θ</italic>∈(0,1) accounts for the reduced number of adult microfilariae in humans due to treatment and quarantine of the infected-chronic individuals. The vector will ingest microfilarial differently when it bites humans in the <italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub> and <italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub> stages. The rate of release <italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub><italic>θ</italic> of microfilarial by <italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>(<italic>t</italic>) into the vector is different from the rate of release of microfilarial by <italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>(<italic>t</italic>). Therefore the microfilariae ingested by vectors during a blood meal depend on the density of microfilariae in humans [<xref ref-type="bibr" rid="CR11">11</xref>]. Thereafter, susceptible mosquitoes enter the exposed class <italic>E</italic><sub><italic>v</italic></sub>(<italic>t</italic>). During this stage, the microfilariae develop into infective filariform larvae to become infectious, and hence these mosquitoes move into the infected class <italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>(<italic>t</italic>) at rate <italic>α</italic><sub><italic>v</italic></sub>. The larvae infect the susceptible human host during a subsequent blood meal by the infected mosquitoes at a rate
<disp-formula id="Equb"><alternatives><tex-math id="M9">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \lambda_{h}(t) = \displaystyle\frac{\beta \vartheta_{h} I_{v}(t)}{N_{h}(t)}, $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M10"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equb.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula> where <italic>𝜗</italic><sub><italic>h</italic></sub> is the success rate of transmission of infective filariform larvae from infected mosquitoes <italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>(<italic>t</italic>) biting susceptible individuals during a blood meal. Individuals during the exposed stage have infective filariform larvae which migrate to lymphatic vessels and lymphatic nodes, and develop into adult worms. The latent individuals progress to infected-acute individuals at a rate <italic>α</italic><sub><italic>h</italic></sub> when the microfilariae develop into adults which remain in the lymphatic vessels and lymphatic nodes. Furthermore, the infected-acute individuals who progress to chronic condition are quarantined at symptomatic rate <italic>κ</italic> to join the infected-chronic class. Individuals in the infected-acute class, <italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>, are screened by health personnel at the rate <italic>n</italic> and treated at the rate <italic>φ</italic>. Treated infected-acute individuals join the susceptible class due to temporary immunity at a rate <italic>π</italic>=<italic>φ</italic><italic>n</italic>. Figure <xref rid="Fig2" ref-type="fig">2</xref> provides a graphical interpretation of the lymphatic compartmental model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>).
<fig id="Fig2"><label>Fig. 2</label><caption><p>Flowchart for lymphatic filariasis with control strategy and quarantined infected-chronic individuals. The <italic>dash lines</italic> show that the infected mosquitoes (<italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>) infect the susceptible individuals (<italic>S</italic><sub><italic>h</italic></sub>), the infected-acute individuals (<italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>) infect the susceptible mosquitoes (<italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>) and the infected-chronic individuals (<italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>) infect the susecptible mosquitoes (<italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>)</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig2_HTML" id="MO2"></graphic></fig></p><p>Based on our model description, assumptions, definitions of the state variables and parameters in Table <xref rid="Tab1" ref-type="table">1</xref>, the proposed SEIS lymphatic filariasis model satisfies the following system of nonlinear ordinary differential equations:
<disp-formula id="Equ3"><label>3</label><alternatives><tex-math id="M11">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \left. \begin{array}{llll} \displaystyle\frac{{dS}_{h}}{dt} &=& \Lambda_{h} + \varphi n I_{ha} - \displaystyle\frac{\beta \vartheta_{h} I_{v} S_{h}}{N_{h}} - \mu_{h} S_{h}\\[0.3cm] \displaystyle\frac{{dE}_{h}}{dt} &=& \displaystyle\frac{\beta \vartheta_{h} I_{v} S_{h}}{N_{h}} - (\alpha_{h} + \mu_{h})E_{h}\\[0.3cm] \displaystyle\frac{{dI}_{ha}}{dt} &=& \alpha_{h} E_{h} - \varphi n I_{ha} - (\kappa + \mu_{h})I_{ha}\\[0.3cm] \displaystyle\frac{{dI}_{hc}}{dt} &=& \kappa I_{ha} - \mu_{h} I_{hc}\\[0.3cm] \displaystyle\frac{{dS}_{v}}{dt} &=& \Lambda_{v} - \displaystyle\frac{\beta\vartheta_{v}(I_{ha} + \theta I_{hc})S_{v}}{N_{h}} - \mu_{v} S_{v}\\[0.3cm] \displaystyle\frac{{dE}_{v}}{dt} &=& \displaystyle\frac{\beta\vartheta_{v} (I_{ha} + \theta I_{hc})S_{v}}{N_{h}} - (\alpha_{v} + \mu_{v})E_{v}\\[0.3cm] \displaystyle\frac{{dI}_{v}}{dt} &=& \alpha_{v} E_{v} - \mu_{v} I_{v} \end{array} \right\} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M12"><mml:mfenced close="}" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dS</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>φn</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dE</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dI</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>φn</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dI</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dS</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dE</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dI</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ3.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula><table-wrap id="Tab1"><label>Table 1</label><caption><p>The parameters and description for lymphatic filariasis model</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left">Parameter</th><th align="left">Description</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><italic>Λ</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="justify">Recruitment rate of human population</td></tr><tr><td align="left"><italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="justify">Recruitment rate of mosquito population</td></tr><tr><td align="left"><italic>μ</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="justify">Natural death rate of human population</td></tr><tr><td align="left"><italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="justify">Natural death rate of mosquito population</td></tr><tr><td align="left"><italic>β</italic></td><td align="justify">Biting rate of the mosquito to humans</td></tr><tr><td align="left"><italic>𝜗</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="justify">Success rate of transmission of infective filariform larvae from mosquitoes to humans</td></tr><tr><td align="left"><italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="justify">Success rate of microfilariae transmission from infected-acute and infected-chronic</td></tr><tr><td align="left"></td><td align="justify">humans to susceptible mosquitoes</td></tr><tr><td align="left"><italic>θ</italic></td><td align="justify">Accounts for reduced number of adult microfilariae in humans due to treatment and</td></tr><tr><td align="left"></td><td align="justify">quarantine of the infected chronic individuals</td></tr><tr><td align="left"><italic>α</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="justify">Progression rate of latent individuals to infected-acute individuals</td></tr><tr><td align="left"><italic>α</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="justify">Progression rate from exposed mosquitoes to infected mosquitoes</td></tr><tr><td align="left"><italic>κ</italic></td><td align="justify">Symptomatic rate of infected-acute individuals progressed to infected-chronic individuals</td></tr><tr><td align="left"><italic>n</italic></td><td align="justify">Number of screened infected-acute individuals by health personnel</td></tr><tr><td align="left"><italic>φ</italic></td><td align="justify">Treatment/prevention chemotherapy rate of the infected-acute individuals</td></tr></tbody></table></table-wrap></p></sec><sec id="Sec3" sec-type="results"><title>Results</title><sec id="Sec4"><title>Invariant region</title><p>Both the model state variables and parameters are assumed non-negative for all time <italic>t</italic>≥0. Let <inline-formula id="IEq2"><alternatives><tex-math id="M13">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}${(S_{h}, E_{h}, I_{ha}, I_{hc}, S_{v}, E_{v}, I_{v})} \in {\mathbb {R}^{7}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M14"><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq2.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> be any solution of the system with non-negative initial conditions. Applying Birkhoff and Rota’s Theorem [<xref ref-type="bibr" rid="CR22">22</xref>] on differential inequality, from Eq. (<xref rid="Equ1" ref-type="">1</xref>), we have <inline-formula id="IEq3"><alternatives><tex-math id="M15">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$N_{h}^{\prime }(t) < \Lambda _{h} - \mu _{h} N_{h}(t)$\end{document}</tex-math><mml:math id="M16"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq3.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> as <italic>t</italic>→<italic>∞</italic>, and thus, <inline-formula id="IEq4"><alternatives><tex-math id="M17">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$0 \leq N_{h}(t) \leq \displaystyle \frac {\Lambda _{h}}{\mu _{h}}.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M18"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq4.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> Hence the feasible solutions on the human population enter the region
<disp-formula id="Equ4"><label>4</label><alternatives><tex-math id="M19">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \Psi_{h} = \left\{(S_{h}, E_{h}, I_{ha}, I_{hc}) \in \mathbb{R}^{4}_{\geq 0} : N_{h}(t) \leq \frac{\Lambda_{h}}{\mu_{h}}\right\}. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M20"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ4.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Similarly, it can be shown that the feasible solutions on the mosquito population given by Eq. (<xref rid="Equ2" ref-type="">2</xref>) enter the region
<disp-formula id="Equ5"><label>5</label><alternatives><tex-math id="M21">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \Psi_{v} = \left\{(S_{v}, E_{v}, I_{v}) \in \mathbb{R}^{3}_{\geq 0}: N_{v}(t) \leq \frac{\Lambda_{v}}{\mu_{v}} \right\}. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M22"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ5.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Therefore, from (<xref rid="Equ4" ref-type="">4</xref>) and (<xref rid="Equ5" ref-type="">5</xref>), the possible solutions of model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) will enter the the positively invariant region <italic>Ψ</italic>=<italic>Ψ</italic><sub><italic>h</italic></sub>×<italic>Ψ</italic><sub><italic>v</italic></sub>.</p></sec><sec id="Sec5"><title>Positivity of the state variables</title><p>Since <italic>Ψ</italic> is a positively invariant set under the flow induced by model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>), we now show that every solution with initial condition in <inline-formula id="IEq5"><alternatives><tex-math id="M23">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathbb {R}^{7}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M24"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq5.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> remains in that region for <italic>t</italic>>0.</p><sec id="d29e2284"><title><bold>Theorem 1</bold></title><p>The solution set {<italic>S</italic><sub><italic>h</italic></sub>,<italic>E</italic><sub><italic>h</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>,<italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>,<italic>E</italic><sub><italic>v</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>}(<italic>t</italic>) of the lymphatic filariasis model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) with the initial condition {<italic>S</italic><sub><italic>h</italic></sub>,<italic>E</italic><sub><italic>h</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>,<italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>,<italic>E</italic><sub><italic>v</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>}(0) is positive for all <italic>t</italic>>0.</p></sec><sec id="d29e2402"><title><italic>Proof</italic></title><p>Let <inline-formula id="IEq6"><alternatives><tex-math id="M25">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\tilde {t} = {\text {sup}} \left \{t > 0 : S_{h} > 0, E_{h} > 0, I_{ha} > 0,\right. \ \left.I_{hc} > 0, S_{v} > 0, E > 0, I_{v} > 0 \right \} \in \left [0, t \right ],$\end{document}</tex-math><mml:math id="M26"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mtext>sup</mml:mtext><mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>:</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mfenced close="}" open="" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq6.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> gives <inline-formula id="IEq7"><alternatives><tex-math id="M27">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\tilde {t} > 0.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M28"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq7.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> The first equation of model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) gives
<disp-formula id="Equc"><alternatives><tex-math id="M29">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \frac{{dS}_{h}}{dt} = \Lambda_{h} + \varphi n I_{ha} - \frac{\beta \vartheta_{h} I_{v} S_{h}}{N_{h}} - \mu_{h} S_{h} \geq -(\lambda_{h} + \mu_{h})S_{h}. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M30"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dS</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>φn</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equc.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Intergrating with respect to <italic>t</italic> gives
<disp-formula id="Equd"><alternatives><tex-math id="M31">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \frac{d}{dt} \left[S_{h}(t)e^{\displaystyle\int_{0}^{t} \lambda_{h}(s)ds + \mu_{h} t} \right] \geq e^{\displaystyle\int_{0}^{t} \lambda_{h}(s)ds + \mu_{h} t}. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M32"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">ds</mml:mtext><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">ds</mml:mtext><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equd.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Therefore,
<disp-formula id="Eque"><alternatives><tex-math id="M33">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{aligned} &S_{h}(\overline{t})e^{\displaystyle\int_{0}^{\overline{t}}\left\lbrace \lambda_{h}(s)ds\right\rbrace + \mu_{h} \overline{t}} - S_{h}(0) \geq\\ &\displaystyle\int_{0}^{\overline{t}} e^{\displaystyle\int_{0}^{t^{*}}{\lambda_{h}(w)dw} + u_{h} t^{*}}dt^{*}, \end{aligned} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M34"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:munderover><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">ds</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">dw</mml:mtext><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Eque.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula> so that
<disp-formula id="Equf"><alternatives><tex-math id="M35">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} S_{h}(\overline{t}) &\geq& S_{h}(0) e^{-\left(\displaystyle\int_{0}^{\overline{t}}\lambda_{h}(s)ds + \mu_{h}\overline{t} \right)} ~ \\[0.2cm] &&+e^{-\left(\displaystyle\int_{0}^{\overline{t}}\lambda_{h}(s)ds + \mu_{h}\overline{t} \right)}\\ &&\times\left\{ \displaystyle\int_{0}^{\overline{t}}{ e^{\displaystyle\int_{0}^{t^{*}}\lambda_{h}(w)dw + \mu_{h}t^{*}} dt^{*}} \right\} > 0. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M36"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"><mml:mo>≥</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">ds</mml:mtext><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup><mml:mspace width="1em"></mml:mspace></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">ds</mml:mtext><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"><mml:mo>×</mml:mo><mml:mfenced close="}" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mover accent="false"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:munderover><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:munderover><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:munderover><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">dw</mml:mtext><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equf.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Hence <italic>S</italic><sub><italic>h</italic></sub> is always positive for <italic>t</italic>>0.The second equation of model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) gives
<disp-formula id="Equg"><alternatives><tex-math id="M37">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \frac{{dE}_{h}}{dt} &=& \frac{\beta \vartheta_{h} I_{v} S_{h}}{N_{h}} - (\alpha_{h} + \mu_{h})E_{h}\\[0.3cm] \displaystyle\int \frac{1}{E_{h}}{dE}_{h} &\geq & - \displaystyle\int (\alpha_{h} + \mu_{h})dt\\[0.3cm] \Rightarrow E_{h}(t) &\geq & E_{h}(0) e^{-(\alpha_{h} + \mu_{h})t} > 0. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M38"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dE</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dE</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"><mml:mo>≥</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:mo>⇒</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"><mml:mo>≥</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equg.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Similarly it can be shown that <italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>>0,<italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>>0,<italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>>0,<italic>E</italic><sub><italic>v</italic></sub>>0,<italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>>0 for <italic>t</italic>>0. □</p></sec></sec><sec id="Sec6"><title>Existence and stability of steady-state solutions</title><p>The disease-free equilibrium (DFE) of the lymphatic filariasis model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) denoted by <bold>E</bold><sub>0</sub> is given by
<disp-formula id="Equh"><alternatives><tex-math id="M39">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \mathbf{E}_{0} = \left(S_{h}^{*}, E_{h}^{*}, I_{ha}^{*}, I_{hc}^{*}, S_{v}^{*}, E_{v}^{*}, I_{v}^{*} \right) = \left(\frac{\Lambda_{h}}{\mu_{h}}, 0, 0, 0, \frac{\Lambda_{v}}{\mu_{v}}, 0, 0 \right). \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M40"><mml:mtable class="eqnarray" columnalign="left center right"><mml:mtr><mml:mtd class="eqnarray-1"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-2"></mml:mtd><mml:mtd class="eqnarray-3"></mml:mtd><mml:mtd><mml:mtext></mml:mtext></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equh.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>The effective reproduction number is obtained by using the next generation matrix [<xref ref-type="bibr" rid="CR23">23</xref>]. Let
<disp-formula id="Equi"><alternatives><tex-math id="M41">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\mathcal{F} = \left[\begin{array}{c} \frac{\beta \vartheta_{h} I_{v} S_{h}}{N_{h}} \\[0.3cm] 0 \\[0.3cm] 0 \\[0.3cm] \frac{\beta \vartheta_{v} (I_{ha} + \theta I_{hc})S_{v}}{N_{h}} \\[0.3cm] 0 \end{array}\right] $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M42"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equi.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula> and
<disp-formula id="Equj"><alternatives><tex-math id="M43">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\mathrm{V} = \left[\begin{array}{ccccc} \alpha_{h} + \mu_{h} & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0.3cm] -\alpha_{h} & \varphi n + \kappa + \mu_{h} & 0 & 0 & 0 \\[0.3cm] 0 & -\kappa & \mu_{h} & 0 & 0 \\[0.3cm] 0 & 0 & 0 & \alpha_{v} + \mu_{v} & 0 \\[0.3cm] 0 & 0 & 0 & -\alpha_{v} & \mu_{v} \end{array}\right]. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M44"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>φn</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equj.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>The effective reproduction number is the spectral radius <italic>ρ</italic>(FV<sup>−1</sup>) and the resulting expression is given by
<disp-formula id="Equ6"><label>6</label><alternatives><tex-math id="M45">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ {\begin{aligned} \mathcal{R}_{0} = \frac{\beta \alpha_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right)}{\mu_{v} \sqrt{\alpha_{h} \Lambda_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)}}, \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M46"><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ6.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>which is the number of secondary lymphatic filariasis infections caused by one infectious individual/mosquito during the infectious period in a completely susceptible population. The effective reproduction number is not only important for describing how fast the disease could spread, but can also provide information for controlling and preventing the spread of the disease [<xref ref-type="bibr" rid="CR24">24</xref>].</p><sec id="Sec7"><title>Local stability of the disease-free equilibrium</title><p>Local stability of the DFE can be established from Theorem 2 in [<xref ref-type="bibr" rid="CR23">23</xref>].</p><sec id="d29e4207"><title><bold>Lemma 2</bold></title><p>The DFE for the lymphatic filariasis model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) is locally asymptotically stable if <inline-formula id="IEq8"><alternatives><tex-math id="M47">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} < 1$\end{document}</tex-math><mml:math id="M48"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq8.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> and unstable when <inline-formula id="IEq9"><alternatives><tex-math id="M49">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} > 1.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M50"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq9.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></p></sec></sec><sec id="Sec8"><title>Global stability of the disease-free equilibrium</title><p>The system of Eq. (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) is broken into subsystems such that <italic>X</italic><sub>1</sub>=(<italic>S</italic><sub><italic>h</italic></sub>,<italic>S</italic><sub><italic>v</italic></sub>) which denotes the number of susceptible individuals and susceptible mosquitoes, and <italic>Y</italic><sub>1</sub>=(<italic>E</italic><sub><italic>h</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>hc</italic></sub>,<italic>E</italic><sub><italic>v</italic></sub>,<italic>I</italic><sub><italic>v</italic></sub>) which denotes the number of exposed and infected individuals and mosquitoes. Hence the model system (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) now reduces to
<disp-formula id="Equk"><alternatives><tex-math id="M51">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\left. \begin{array}{llllll} \frac{{dX}_{1}}{dt} &=& \mathbf{F}(X_{1}, Y_{1})\\[0.3cm] \frac{{dY}_{1}}{dt} &=& \mathbf{G}(X_{1}, Y_{1}) \end{array} \right\} \text{~where~} X_{1} \in \mathbb{R}^{2}_{+},~ Y_{1} \in \mathbb{R}_{+}^{5}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M52"><mml:mrow><mml:mfenced close="}" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dX</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dY</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mtext>where</mml:mtext><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>.</mml:mi></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equk.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>This could further be simplified by identifying <italic>X</italic><sub>1</sub> with (<italic>X</italic><sub>1</sub>,0) and <italic>Y</italic><sub>1</sub> with (0,<italic>Y</italic><sub>1</sub>) in <inline-formula id="IEq10"><alternatives><tex-math id="M53">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathbb {R}_{+}^{2} \times \mathbb {R}_{+}^{5}.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M54"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>×</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq10.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> Hence we obtain the reduced system <inline-formula id="IEq11"><alternatives><tex-math id="M55">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {{dX}_{1}}{dt} = \mathbf {F}(X_{1}, 0)$\end{document}</tex-math><mml:math id="M56"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dX</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq11.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> as
<disp-formula id="Equ7"><label>7</label><alternatives><tex-math id="M57">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \left. \begin{array}{lllll} \frac{{dS}_{h}}{dt} &=& \Lambda_{h} - \mu_{h} S_{h}\\[0.3cm] \frac{{dS}_{v}}{dt} &=& \Lambda_{v} - \mu_{v} S_{v} \end{array} \right\}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M58"><mml:mfenced close="}" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dS</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dS</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ7.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Therefore <inline-formula id="IEq12"><alternatives><tex-math id="M59">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$X^{*}_{1} = (S_{h}^{*}, S_{v}^{*}) = \left (\frac {\Lambda _{h}}{\mu _{h}}, \frac {\Lambda _{v}}{\mu _{h}}\right)$\end{document}</tex-math><mml:math id="M60"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq12.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> is a global asymptotically stable equilibrium for the reduced system <inline-formula id="IEq13"><alternatives><tex-math id="M61">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {{dX}_{1}}{dt} = \mathbf {F}(X_{1}, 0).$\end{document}</tex-math><mml:math id="M62"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dX</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">dt</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq13.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> This is verified by integrating the first equation of the reduced system (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>) with respect to <italic>t</italic>. We obtain <inline-formula id="IEq14"><alternatives><tex-math id="M63">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$S_{h}(t) = \frac {\Lambda _{h}}{\mu _{h}} + \left (S_{h}(0) - \frac {\Lambda _{h}}{\mu _{h}}\right)e^{-\mu _{h} t}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M64"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq14.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> which approaches <inline-formula id="IEq15"><alternatives><tex-math id="M65">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\Lambda _{h}}{\mu _{h}} \text {~as~} t \rightarrow \infty.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M66"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>as</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq15.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> Similarly integrating the second equation of the reduced system (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>) with respect to <italic>t</italic>, gives <inline-formula id="IEq16"><alternatives><tex-math id="M67">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$S_{v}(t) = \frac {\Lambda _{v}}{\mu _{v}} + \left (S_{v}(0) - \frac {\Lambda _{v}}{\mu _{v}}\right)e^{-\mu _{v} t}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M68"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq16.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> which approaches <inline-formula id="IEq17"><alternatives><tex-math id="M69">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\Lambda _{v}}{\mu _{v}} \text {~as~} t \rightarrow \infty.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M70"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mtext>as</mml:mtext><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>∞.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq17.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></p><p>Further <bold>G</bold>(<italic>X</italic><sub>1</sub>,<italic>Y</italic><sub>1</sub>) satisfies the two conditions given as assumptions <bold>H3</bold> and <bold>H4</bold> in [<xref ref-type="bibr" rid="CR25">25</xref>] namely: <bold>G</bold>(<italic>X</italic><sub>1</sub>,0)=0 and <inline-formula id="IEq18"><alternatives><tex-math id="M71">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathbf {G}(X_{1}, Y_{1}) = A^{*} Y_{1} - \tilde {\mathbf {G}}(X_{1}, Y_{1}), \text {~where~} \tilde {\mathbf {G}}(X_{1}, Y_{1}) \geq 0 \in \Psi $\end{document}</tex-math><mml:math id="M72"><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mtext>where</mml:mtext><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>Ψ</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq18.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> such that
<disp-formula id="Equl"><alternatives><tex-math id="M73">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $${\begin{aligned} A^{*} &= D_{Y} \mathbf{G}(X_{1}, 0)\\ &= \left[\begin{array}{ccccc} -(\alpha_{h} + \mu_{h}) & 0 & 0 & 0 & \beta \vartheta_{h} \\[0.2cm] \alpha_{h} & -(\varphi n + \kappa + \mu_{h}) & 0 & 0 & 0 \\[0.2cm] 0 & \kappa & -\mu_{h} & 0 & 0 \\[0.2cm] 0 & \frac{\beta \vartheta_{v} \Lambda_{v} \mu_{h}}{\Lambda_{h} \mu_{v}} & \frac{\beta \vartheta_{v} \theta \Lambda_{v} \mu_{h}}{\Lambda_{h} \mu_{v}} & -(\alpha_{v} + \mu_{v}) & 0 \\[0.2cm] 0 & 0 & 0 & \alpha_{v} & -\mu_{v} \end{array}\right] \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M74"><mml:mrow><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>φn</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equl.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula> and
<disp-formula id="Equm"><alternatives><tex-math id="M75">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\tilde{\mathbf{G}}(X_{1}, Y_{1}) = \left[\begin{array}{c} \beta \vartheta_{h} I_{v} \left(1 - \frac{S_{h}}{N_{h}}\right)\\[0.3cm] 0 \\[0.3cm] 0 \\[0.3cm] \beta \vartheta_{v} \left(I_{ha} + \theta I_{hc} \right)\left(\frac{\Lambda_{v} \mu_{h}}{\mu_{v} \Lambda_{h}} - \frac{S_{v}}{N_{h}} \right) \\[0.3cm] 0 \end{array}\right]. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M76"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equm.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Here we assume a steady-state value of the total human population <inline-formula id="IEq19"><alternatives><tex-math id="M77">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$N_{h} = \frac {\Lambda _{h}}{\mu _{h}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M78"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq19.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> and total mosquito population <inline-formula id="IEq20"><alternatives><tex-math id="M79">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$N_{v} = \frac {\Lambda _{v}}{\mu _{v}}.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M80"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq20.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> Therefore the term <inline-formula id="IEq21"><alternatives><tex-math id="M81">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\beta \vartheta _{v} \left (I_{ha} + \theta I_{hc} \right)\left [\frac {\Lambda _{v} \mu _{h}}{\mu _{v} \Lambda _{h}} - \frac {S_{v}}{N_{h}} \right ] \in \tilde {\mathbf {G}}(X_{1}, Y_{1})$\end{document}</tex-math><mml:math id="M82"><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close="]" open="[" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq21.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> is non-negative. Thus the DFE is globally asymptotically stable since <inline-formula id="IEq22"><alternatives><tex-math id="M83">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\tilde {\mathbf {G}}(X_{1}, Y_{1})$\end{document}</tex-math><mml:math id="M84"><mml:mover accent="true"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold">G</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>~</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Y</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq22.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> is non-negative. The global stability of <bold>E</bold><sub>0</sub> excludes any possibility of the phenomenon of backward bifurcation, that is the co-existence of a stable disease-free equilibrium with a stable endemic equilibrium [<xref ref-type="bibr" rid="CR26">26</xref>].</p></sec><sec id="Sec9"><title>Existence of endemic equilibria</title><p>To determine the existence of an equilibrium for which filariasis is endemic in the population defined by <inline-formula id="IEq23"><alternatives><tex-math id="M85">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {E}_{0}^{*} = (S_{h}^{*}, E_{h}^{*}, I_{ha}^{*}, I_{hc}^{*}, S_{v}^{*}, E_{v}^{*}, I_{v}^{*})$\end{document}</tex-math><mml:math id="M86"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq23.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, the system (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) is solved in terms of the force of infection at steady-state (<inline-formula id="IEq24"><alternatives><tex-math id="M87">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M88"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq24.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>), given by
<disp-formula id="Equ8"><label>8</label><alternatives><tex-math id="M89">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \lambda_{h}^{*}(t) = \frac{\beta \vartheta_{h} I_{v(t)}^{*}}{N_{h(t)}^{*}}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M90"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ8.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Solving the system at an arbitrary equilibrium, we have
<disp-formula id="Equ9"><label>9</label><alternatives><tex-math id="M91">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \left. \begin{array}{llll} 0 &=& \Lambda_{h} + \varphi n I_{ha}^{*} - \lambda_{v}^{*} S_{h}^{*} - \mu_{h} S_{h}^{*}\\ 0 &=& \lambda_{v}^{*} S_{h}^{*} - (\alpha_{h} + \mu_{h})E_{h}^{*}\\ 0 &=& \alpha_{h} E_{h}^{*} - \varphi n I_{ha}^{*} - (\kappa + \mu_{h})I_{ha}^{*}\\ 0 &=& \kappa I_{ha}^{*} - \mu_{h} I_{hc}^{*}\\ 0 &=& \Lambda_{v} - \lambda_{h}^{*} S_{v}^{*} - \mu_{v} S_{v}^{*}\\ 0 &=& \lambda_{h}^{*} S_{v}^{*} - (\alpha_{v} + \mu_{v})E_{v}^{*}\\ 0 &=& \alpha_{v} E_{v}^{*} - \mu_{v} I_{v}^{*} \end{array} \right\}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M92"><mml:mfenced close="}" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mtable class="array" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>φn</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>φn</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ9.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Thus
<disp-formula id="Equn"><alternatives><tex-math id="M93">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ {\begin{aligned} S_{h}^{*} &= \frac{\Lambda_{h} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)}{\left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\lambda^{*}_{h}+\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)-n \varphi \alpha_{h} \lambda_{h}^{*}},\\ E_{h}^{*} &= \frac{\lambda_{h}^{*} \Lambda_{h} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)}{\alpha_{h} \left(\lambda_{h}^{*} \left(\mu_{h}+\kappa \right)+\mu_{h} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)\right)+\mu_{h} \left(\lambda_{h}^{*} +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)},\\ I_{ha}^{*} &= \frac{\alpha_{h} \lambda_{h}^{*} \Lambda_{h}}{\alpha_{h} \left(\lambda_{h}^{*} \left(\mu_{h}+\kappa \right)+\mu_{h} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)\right)+\mu_{h} \left(\lambda_{h}^{*} +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)},\\ I_{hc}^{*} &= \frac{\kappa \alpha_{h} \lambda_{h}^{*} \Lambda_{h}}{\mu_{h} \left(\alpha_{h} \left(\lambda_{h}^{*} \left(\mu_{h}+\kappa \right)+\mu_{h} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)\right)+\mu_{h} \left(\lambda_{h}^{*} +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)\right)},\\ S_{v}^{*} &= \frac{\Lambda_{v}}{\lambda_{v}^{*} +\mu_{v}},\\ E_{v}^{*} &= \frac{\lambda_{v}^{*} \Lambda_{v} }{\left(\alpha_{v} +\mu_{v}\right) \left(\lambda_{v}^{*} +\mu_{v}\right)},\\ I_{v}^{*} &= \frac{\alpha_{v} \lambda_{v}^{*} \Lambda_{v}}{\mu_{v} \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\lambda_{v}^{*} +\mu_{v}\right)}, \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M94"><mml:mrow><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equn.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula> and <inline-formula id="IEq25"><alternatives><tex-math id="M95">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*} = \beta \vartheta _{h} \frac {I_{v}^{*}}{S_{h}^{*} + E_{h}^{*} + I_{ha}^{*} + I_{hc}^{*}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M96"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">ha</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mtext mathvariant="italic">hc</mml:mtext></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq25.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. Substituting <inline-formula id="IEq26"><alternatives><tex-math id="M97">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$I_{v}^{*}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M98"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq26.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> and the above solutions into the expression for <inline-formula id="IEq27"><alternatives><tex-math id="M99">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M100"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq27.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, we have
<disp-formula id="Equ10"><alternatives><tex-math id="M101">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \lambda_{h}^{*} = \frac{\beta \mu_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \lambda_{v}^{*} \Lambda_{v}}{\Lambda_{h} \mu_{v} \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\lambda_{v}^{*} +\mu_{v}\right)}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M102"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ10.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>This can be written as
<disp-formula id="Equ11"><label>10</label><alternatives><tex-math id="M103">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \lambda_{h}^{*} (A \lambda_{h}^{*} + B) = 0, $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M104"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ11.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>where
<disp-formula id="Equo"><alternatives><tex-math id="M105">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ {\begin{aligned} A &= \Lambda_{h} \mu_{v} \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\mu_{h} \mu_{v} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)\right.\\ &\left.\quad+\alpha_{h} \left(\beta \vartheta_{v} \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right)+\mu_{v} \left(\mu_{h}+\kappa \right)\right)\right), \\ B &= \mu_{h} \Lambda_{h} (\mu_{h}+\kappa +n \varphi)(\alpha_{h}+\mu_{h}) (\alpha_{v}+\mu_{v})\mu_{v}^{2} (\mathcal{R}_{0}^{2} - 1). \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M106"><mml:mrow><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>A</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close="" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced close=")" open="" separators=""><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>B</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equo.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>The root <inline-formula id="IEq28"><alternatives><tex-math id="M107">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*} = 0$\end{document}</tex-math><mml:math id="M108"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq28.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> corresponds to the DFE and its stability has already been established in Lemma 2. It is clear that <italic>A</italic>>0, and <italic>B</italic>>0 if and only if <inline-formula id="IEq29"><alternatives><tex-math id="M109">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} > 1$\end{document}</tex-math><mml:math id="M110"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq29.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. Thus the linear system would have a unique positive solution given by <inline-formula id="IEq30"><alternatives><tex-math id="M111">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*} = B /A$\end{document}</tex-math><mml:math id="M112"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq30.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. The components of the endemic equilibrium, <inline-formula id="IEq31"><alternatives><tex-math id="M113">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {E}_{0}^{*}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M114"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq31.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, are then determined by substituting <inline-formula id="IEq32"><alternatives><tex-math id="M115">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*} = B / A$\end{document}</tex-math><mml:math id="M116"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>B</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq32.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. For <inline-formula id="IEq33"><alternatives><tex-math id="M117">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} < 1$\end{document}</tex-math><mml:math id="M118"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq33.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, <italic>B</italic><1. Thus, the force of infection (<inline-formula id="IEq34"><alternatives><tex-math id="M119">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M120"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq34.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>) at steady-state is negative (which is biologically meaningless). Hence, the model system has no positive equilibria in this case i.e when <inline-formula id="IEq35"><alternatives><tex-math id="M121">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\lambda _{h}^{*} < 0$\end{document}</tex-math><mml:math id="M122"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∗</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq35.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. This result is summarized in the following Lemma.</p><sec id="d29e8102"><title><bold>Lemma 3</bold></title><p>The lymphatic filariasis model has a unique endemic equilibrium whenever <inline-formula id="IEq36"><alternatives><tex-math id="M123">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} > 1$\end{document}</tex-math><mml:math id="M124"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq36.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, and no endemic equilibrium otherwise.</p></sec></sec></sec><sec id="Sec10"><title>Sensitivity analysis and model simulations</title><p>The following local sensitivity analysis is closely related to that in [<xref ref-type="bibr" rid="CR27">27</xref>]. Expressions for the sensitivity indices of the endemic equilibrium are complex, and since our focus is on disease transmission and not prevalence, we neither derive expressions nor numerically calculate sensitivity indices of the endemic equilibrium.</p><sec id="Sec11"><title>Sensitive indices of <inline-formula id="IEq37"><alternatives><tex-math id="M125">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}${\mathcal {R}_{0}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M126"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq37.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></title><p>The sensitivity indices allow us to measure the relative change in a state variable when a parameter changes [<xref ref-type="bibr" rid="CR27">27</xref>]. The normalized forward sensitivity index [<xref ref-type="bibr" rid="CR27">27</xref>] of a variable, <italic>ψ</italic>, that depends differentiably on a parameter, <italic>p</italic>, is defined as:</p><p><disp-formula id="Equ12"><label>11</label><alternatives><tex-math id="M127">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \Upsilon_{p}^{\psi} = \frac{\partial \psi}{\partial p}. \frac{p}{\psi}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M128"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂ψ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂p</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ12.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Next, we evaluate the sensitivity indices at the parameter values given in Table <xref rid="Tab2" ref-type="table">2</xref>. The resulting sensitivity indices are shown in Table <xref rid="Tab3" ref-type="table">3</xref>.
<table-wrap id="Tab2"><label>Table 2</label><caption><p>Values and ranges for parameters for the lymphatic filariasis model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>)</p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left">Parameter</th><th align="left">Value</th><th align="left">Source</th><th align="left">Parameter</th><th align="left">Value</th><th align="left">Source</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><italic>μ</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left">0.000039</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR28">28</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR29">29</xref>]</td><td align="left"><italic>Λ</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left">2500</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR30">30</xref>]</td></tr><tr><td align="left"><italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left">0.1429</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR29">29</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="CR30">30</xref>]</td><td align="left"><italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left">1000</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR30">30</xref>]</td></tr><tr><td align="left"><italic>κ</italic></td><td align="left">10</td><td align="left">Assumed</td><td align="left"><italic>β</italic></td><td align="left">250</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>]</td></tr><tr><td align="left"><italic>φ</italic></td><td align="left">0.7</td><td align="left">Assumed</td><td align="left"><italic>n</italic></td><td align="left">200</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>]</td></tr><tr><td align="left"><italic>𝜗</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left">0.01</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>]</td><td align="left"><italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left">0.1</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR6">6</xref>]</td></tr><tr><td align="left"><italic>α</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left">0.0238</td><td align="left">Assumed</td><td align="left"><italic>α</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left">0.0555</td><td align="left">Assumed</td></tr><tr><td align="left"><italic>θ</italic></td><td align="left">0.0555</td><td align="left">[<xref ref-type="bibr" rid="CR30">30</xref>]</td><td align="left"></td><td align="left"></td><td align="left"></td></tr></tbody></table></table-wrap><table-wrap id="Tab3"><label>Table 3</label><caption><p>Sensitivity indices of <inline-formula id="IEq38"><alternatives><tex-math id="M129">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M130"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq38.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> to parameters for the lymphatic filariasis model, evaluated at the parameter values given in Table <xref rid="Tab2" ref-type="table">2</xref></p></caption><table frame="hsides" rules="groups"><thead><tr><th align="left" colspan="3"><inline-formula id="IEq39"><alternatives><tex-math id="M131">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M132"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq39.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></th></tr><tr><th align="left">Parameter</th><th align="left"><inline-formula id="IEq40"><alternatives><tex-math id="M133">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\Upsilon _{p}^{\psi }$\end{document}</tex-math><mml:math id="M134"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>ψ</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq40.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></th><th align="left">Sensitivity index</th></tr></thead><tbody><tr><td align="left"><italic>Λ</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq41"><alternatives><tex-math id="M135">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$-\frac {1}{2}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M136"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq41.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">-0.5</td></tr><tr><td align="left"><italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq42"><alternatives><tex-math id="M137">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {1}{2} \left (\frac {\alpha _{v}}{\alpha _{v}+\mu _{v}}-3\right)$\end{document}</tex-math><mml:math id="M138"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq42.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">-1.36013</td></tr><tr><td align="left"><italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq43"><alternatives><tex-math id="M139">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {1}{2}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M140"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq43.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.5</td></tr><tr><td align="left"><italic>κ</italic></td><td align="left"><inline-formula id="IEq44"><alternatives><tex-math id="M141">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {1}{2} \kappa \left (\frac {\theta }{\theta \kappa +\mu _{h}}-\frac {1}{\mu _{h}+\kappa +n \varphi }\right)$\end{document}</tex-math><mml:math id="M142"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq44.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.462806</td></tr><tr><td align="left"><italic>β</italic></td><td align="left">1</td><td align="left">1</td></tr><tr><td align="left"><italic>φ</italic></td><td align="left"><inline-formula id="IEq45"><alternatives><tex-math id="M143">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$-\frac {n \varphi }{2 \left (\mu _{h}+\kappa +n \varphi \right)}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M144"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq45.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">-0.466545</td></tr><tr><td align="left"><italic>n</italic></td><td align="left"><inline-formula id="IEq46"><alternatives><tex-math id="M145">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$-\frac {n \varphi }{2 \left (\mu _{h}+\kappa +n \varphi \right)}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M146"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq46.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">-0.466545</td></tr><tr><td align="left"><italic>𝜗</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq47"><alternatives><tex-math id="M147">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {1}{2}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M148"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq47.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.5</td></tr><tr><td align="left"><italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq48"><alternatives><tex-math id="M149">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {1}{2}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M150"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq48.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.5</td></tr><tr><td align="left"><italic>α</italic><sub><italic>h</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq49"><alternatives><tex-math id="M151">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\mu _{h}}{2 \left (\alpha _{h}+\mu _{h}\right)}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M152"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq49.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.0000819193</td></tr><tr><td align="left"><italic>α</italic><sub><italic>v</italic></sub></td><td align="left"><inline-formula id="IEq50"><alternatives><tex-math id="M153">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\mu _{v}}{2 \left (\alpha _{v}+\mu _{v}\right)}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M154"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq50.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.360131</td></tr><tr><td align="left"><italic>θ</italic></td><td align="left"><inline-formula id="IEq51"><alternatives><tex-math id="M155">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\theta \kappa }{2 \theta \kappa +2 \mu _{h}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M156"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq51.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></td><td align="left">0.49613</td></tr></tbody></table><table-wrap-foot><p>The parameters are ordered from most to least sensitive for each <inline-formula id="IEq52"><alternatives><tex-math id="M157">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M158"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq52.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></p></table-wrap-foot></table-wrap></p><p>The most sensitive parameter to <inline-formula id="IEq53"><alternatives><tex-math id="M159">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M160"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq53.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> is the mosquitoes natural death rate, <italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub> (<inline-formula id="IEq54"><alternatives><tex-math id="M161">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\Upsilon _{\mu _{v}}^{\mathcal {R}_{0}} = -1.360$\end{document}</tex-math><mml:math id="M162"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1.360</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq54.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>). This is followed by the mosquito per capita biting rate, <italic>β</italic> (<inline-formula id="IEq55"><alternatives><tex-math id="M163">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\Upsilon _{\beta }^{\mathcal {R}_{0}} = 1$\end{document}</tex-math><mml:math id="M164"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq55.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>). Reducing this parameter would have a huge effect on filarisis transmission regardless of other parameter values. We have that <inline-formula id="IEq56"><alternatives><tex-math id="M165">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\Upsilon _{\beta }^{\mathcal {R}_{0}} = 1$\end{document}</tex-math><mml:math id="M166"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq56.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, then decreasing (or increasing) <italic>β</italic> by 10<italic>%</italic> decreases (or increases) <inline-formula id="IEq57"><alternatives><tex-math id="M167">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M168"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq57.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> by 10<italic>%</italic>.</p><p>Other key parameters include the success rate of microfilariae transmission from humans to susceptible mosquitoes, <italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub>, as well as the success rate of transmission of infective larvae from infected biting mosquitoes to susceptible individuals during a blood meal, <italic>𝜗</italic><sub><italic>h</italic></sub>. The sensitivity indices of these two parameters are equal and independent of other system parameters. With <inline-formula id="IEq58"><alternatives><tex-math id="M169">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\Upsilon _{\alpha _{v}}^{\mathcal {R}_{0}} = 8.19 \text {~x~} 10^{-5}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M170"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>Υ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>8.19</mml:mn><mml:mtext>x</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq58.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, the progression rate of mosquitoes from exposed to infectious state, <italic>α</italic><sub><italic>v</italic></sub>, is the least sensitive parameter. For ethical reasons, one should only attempt to decrease human death rate and for this reason, we do not calculate the sensitivity index related to individuals natural death.</p><p>For the mosquito recruitment rate <italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub>, the filariasis reproduction number, <inline-formula id="IEq59"><alternatives><tex-math id="M171">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M172"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq59.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, increases as <italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub> increases. If the mosquito recruitment increases, so does the mosquito death rate because the environment can only support a certain number of mosquitoes. Further, when the mosquito recruitment rate <italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub> is equal to the death rate <italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub>, the mosquito population is at equilibrium. If 1/<italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub> is the life span of the mosquitoes, then increasing <italic>Λ</italic><sub><italic>v</italic></sub> reduces their life span. Reducing the life span of the vector population reduces <inline-formula id="IEq60"><alternatives><tex-math id="M173">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0},$\end{document}</tex-math><mml:math id="M174"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq60.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> as more infected mosquitoes die before they become infectious.</p></sec><sec id="Sec12"><title>Analysis of <inline-formula id="IEq61"><alternatives><tex-math id="M175">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\boldsymbol {\mathcal {R}_{0}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M176"><mml:mstyle mathvariant="bold-italic"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mstyle></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq61.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula></title><p>The objective here is to determine, using the threshold quantity <inline-formula id="IEq62"><alternatives><tex-math id="M177">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M178"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq62.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>, whether or not activities provided to quarantined infected-chronic individuals (modelled by <italic>κ</italic>) and treatment (modelled by <italic>φ</italic>) of infected-acute individuals can lead to the elimination of lymphatic filariasis in the community. It is evident from (<xref rid="Equ6" ref-type="">6</xref>) that
<disp-formula id="Equ13"><label>12</label><alternatives><tex-math id="M179">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ {\begin{aligned} &\lim \limits_{\kappa \to 1} \mathcal{R}_{0}\\&\quad= \frac{\beta \alpha_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\mu_{h}+\theta \right)}{\mu_{v} \sqrt{\alpha_{h} \Lambda_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\theta \right) \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\mu_{h}+n \varphi +1\right)}}, \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M180"><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ13.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p><disp-formula id="Equ14"><label>13</label><alternatives><tex-math id="M181">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ {\begin{aligned} &\lim \limits_{\varphi \to 1} \mathcal{R}_{0}\\ &\quad= \frac{\beta \alpha_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right)}{\mu_{v} \sqrt{\alpha_{h} \Lambda_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n\right)}}. \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M182"><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:munder><mml:mrow><mml:mo>lim</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>φ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:munder><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mspace width="1em"></mml:mspace><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ14.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Thus, a sufficient effective quarantine programme (morbidity management and disability prevention activities) that focuses on quarantining infected individuals in the <italic>I</italic><sub><italic>ha</italic></sub> stage (at a high rate, <italic>κ</italic>→1) can lead to effective disease control if it results in the right hand side of (<xref rid="Equ13" ref-type="">12</xref>) being less than unity. Likewise, for an effective treatment program, the right hand side of (<xref rid="Equ14" ref-type="">13</xref>) should be less than unity. The profiles of <inline-formula id="IEq63"><alternatives><tex-math id="M183">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M184"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq63.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> as a function of the quarantine rate, <italic>κ</italic>, and treatment rate, <italic>φ</italic>, are depicted in Fig. <xref rid="Fig3" ref-type="fig">3</xref><xref rid="Fig3" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig3" ref-type="fig">3</xref><xref rid="Fig3" ref-type="fig">b</xref>.
<fig id="Fig3"><label>Fig. 3</label><caption><p>Quarantine and treatment of individuals. The lymphatic filariasis reproduction number <inline-formula id="IEq64"><alternatives><tex-math id="M185">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M186"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq64.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> as a function of the <bold>a</bold> quarantine (morbidity control) rate <italic>κ</italic>, and <bold>b</bold> function of the treatment rate <italic>φ</italic></p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig3_HTML" id="MO3"></graphic></fig></p><p>For the set of parameter values used, the strategy that focuses on treating the infected-acute individuals alone can dramatically reduce <inline-formula id="IEq65"><alternatives><tex-math id="M187">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M188"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq65.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> from around <inline-formula id="IEq66"><alternatives><tex-math id="M189">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.264$\end{document}</tex-math><mml:math id="M190"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.264</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq66.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> to <inline-formula id="IEq67"><alternatives><tex-math id="M191">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.077.$\end{document}</tex-math><mml:math id="M192"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.077</mml:mn><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq67.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> The quarantine strategy increases <inline-formula id="IEq68"><alternatives><tex-math id="M193">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 9.795 \text {~x~} 10^{-3}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M194"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>9.795</mml:mn><mml:mtext>x</mml:mtext><mml:mn>1</mml:mn><mml:msup><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq68.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> to <inline-formula id="IEq69"><alternatives><tex-math id="M195">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.329$\end{document}</tex-math><mml:math id="M196"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.329</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq69.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. Thus, lymphatic filariasis in the community could be reduced more slowly in the latter case, but will be eliminated faster in the former case.</p><p>Figure <xref rid="Fig4" ref-type="fig">4</xref><xref rid="Fig4" ref-type="fig">a</xref> shows that the combined strategy of activities provided to quarantined infected-chronic individuals with an effective treatment of infected-acute individuals reduces <inline-formula id="IEq70"><alternatives><tex-math id="M197">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M198"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq70.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> to values far below unity than when each strategy is applied singly. Figure <xref rid="Fig4" ref-type="fig">4</xref><xref rid="Fig4" ref-type="fig">b</xref> shows that with an effective treatment strategy, increasing the quarantine rate does not necessary reduce the burden of filariasis in the community.
<fig id="Fig4"><label>Fig. 4</label><caption><p>Reproduction number <inline-formula id="IEq71"><alternatives><tex-math id="M199">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M200"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq71.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>. The lymphatic filariasis effective reproduction number as a function of the (<bold>a</bold>) quarantine rate <italic>κ</italic> for different values of treatment rate <italic>φ</italic>, and <bold>b</bold> treatment rate <italic>φ</italic> for different values of quarantine (morbidity control) rate <italic>κ</italic></p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig4_HTML" id="MO4"></graphic></fig></p></sec><sec id="Sec13"><title><inline-formula id="IEq72"><alternatives><tex-math id="M201">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\boldsymbol {\mathcal {R}_{0}}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M202"><mml:mstyle mathvariant="bold-italic"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mstyle></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq72.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> as a function <bold><italic>κ</italic></bold> and <bold><italic>φ</italic></bold></title><p>The lymphatic filariasis burden in the community is evaluated by computing the partial derivatives of <inline-formula id="IEq73"><alternatives><tex-math id="M203">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M204"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq73.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> with respect to the quarantine and treatment parameters (<italic>κ</italic> and <italic>φ</italic> respectively). This gives</p><p><disp-formula id="Equ15"><label>14</label><alternatives><tex-math id="M205">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{*{20}l} \frac{\partial \mathcal{R}_{0}}{\partial \kappa} &= \frac{\beta \alpha_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left((\theta -1) \mu_{h}+\theta n \varphi \right)}{2 \mu_{v} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right) \sqrt{\alpha_{h} \Lambda_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)}}, \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M206"><mml:mtable class="align" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd class="align-1"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd class="align-2"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θnφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="2em"></mml:mspace></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ15.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p><disp-formula id="Equ16"><label>15</label><alternatives><tex-math id="M207">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$\begin{array}{*{20}l} \frac{\partial \mathcal{R}_{0}}{\partial \varphi} &= -\frac{\beta n \alpha_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right)}{2 \mu_{v} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right) \sqrt{\alpha_{h} \Lambda_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \left(\alpha_{v}+\mu_{v}\right) \left(\theta \kappa +\mu_{h}\right) \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right)}}. \end{array} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M208"><mml:mtable class="align" columnalign="left"><mml:mtr><mml:mtd class="align-1"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂φ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd class="align-2"><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>βn</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mi>θκ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi><mml:mspace width="2em"></mml:mspace></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ16.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Consider the case when <italic>φ</italic>=0 (there is no treatment but only quarantine). It follows that <inline-formula id="IEq74"><alternatives><tex-math id="M209">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\partial \mathcal {R}_{0}}{\partial \kappa } < 0$\end{document}</tex-math><mml:math id="M210"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq74.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> if</p><p><disp-formula id="Equ17"><label>16</label><alternatives><tex-math id="M211">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ {\begin{aligned} \frac{\beta \alpha_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left((\theta -1) \mu_{h}+\theta n \varphi \right)}{2 \mu_{v} \left(\mu_{h}+\kappa +n \varphi \right) \sqrt{\alpha_{h} \Lambda_{h} \vartheta_{h} \alpha_{v} \Lambda_{v} \vartheta_{v} \left(\alpha_{h}+\mu_{h}\right) \xi}} &< 0 \\[0.15cm] (\theta - 1)\mu_{h} + \theta n \varphi &< 0 \\[0.15cm] \theta < \triangle_{I} &= \frac{\mu_{h}}{\mu_{h}+n \varphi } \end{aligned}} $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M212"><mml:mspace width="-15.0pt"></mml:mspace><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θnφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msqrt><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>𝜗</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>ξ</mml:mi></mml:mrow></mml:msqrt></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>θnφ</mml:mi></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>△</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mtd><mml:mtd><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>nφ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ17.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>where <italic>ξ</italic>=(<italic>α</italic><sub><italic>v</italic></sub>+<italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub>)(<italic>θ</italic><italic>κ</italic>+<italic>μ</italic><sub><italic>h</italic></sub>)(<italic>μ</italic><sub><italic>h</italic></sub>+<italic>κ</italic>+<italic>n</italic><italic>φ</italic>).</p><sec id="d29e10958"><title><bold>Lemma 4</bold></title><p>The targeted quarantine strategy of infected-acute individuals will have a positive impact if <italic>θ</italic><△<sub><italic>I</italic></sub>, no impact if <italic>θ</italic>=△<sub><italic>I</italic></sub>, and will have detrimental impact in <italic>θ</italic>>△<sub><italic>I</italic></sub>.</p><p>Similarly, <inline-formula id="IEq75"><alternatives><tex-math id="M213">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\frac {\partial \mathcal {R}_{0}}{\partial \varphi } < 0$\end{document}</tex-math><mml:math id="M214"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>∂</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>∂φ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq75.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> if
<disp-formula id="Equ18"><label>17</label><alternatives><tex-math id="M215">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document} $$ \theta > \triangle_{T} = -\frac{\mu}{\kappa}. $$ \end{document}</tex-math><mml:math id="M216"><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>△</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>T</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>μ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mi>.</mml:mi></mml:math><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_Equ18.gif" position="anchor"></graphic></alternatives></disp-formula></p><p>Thus, we have</p></sec><sec id="d29e11050"><title><bold>Lemma 5</bold></title><p>The targeted treatment of infected-acute individuals will have positive impact if <italic>θ</italic>>△<sub><italic>T</italic></sub>, no impact if <italic>θ</italic>=△<sub><italic>T</italic></sub> and negative impact if <italic>θ</italic><△<sub><italic>T</italic></sub>.</p><p>Note that if conditions (<xref rid="Equ17" ref-type="">16</xref>) and (<xref rid="Equ18" ref-type="">17</xref>) are invalid, then application of the activities provided to quarantined infected-chronic individuals and treatment strategies would increase the burden of filariasis in the community (since it increases <inline-formula id="IEq76"><alternatives><tex-math id="M217">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0}$\end{document}</tex-math><mml:math id="M218"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq76.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>). Treatment would increase the disease burden if it fails to reduce the infectiousness of those treated below a certain threshold (<italic>θ</italic>>△<sub><italic>T</italic></sub> if treatment of infected-acute individuals is targeted or <italic>θ</italic><△<sub><italic>I</italic></sub> if quarantine is targeted).</p></sec></sec><sec id="Sec14"><title>Model simulations</title><p>Numerical simulations of the model system (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) are carried out using Wolfram Mathematica 9.0 to illustrate some of the analytical results. Parameter values used for the model simulations are provided in Table <xref rid="Tab2" ref-type="table">2</xref>, some of these were obtained from the literature [<xref ref-type="bibr" rid="CR27">27</xref>–<xref ref-type="bibr" rid="CR30">30</xref>] while others were assumed (within realistic range) for the purpose of simulations. The dynamics of the human and mosquito populations when both treatment and quarantine are employed, are depicted in Fig. <xref rid="Fig5" ref-type="fig">5</xref> and <xref rid="Fig5" ref-type="fig">5</xref><xref rid="Fig5" ref-type="fig">b</xref>, respectively. The effects of increasing the infected-acute individuals quarantine rate as well as scaling up the treatment of acute-infected individuals on the dynamics of the whole population are explored. Two scenarios are investigated: (1) we assume that a population is invaded by infected mosquitoes, and (2) we assume that a population is invaded by acute-infected humans.
<fig id="Fig5"><label>Fig. 5</label><caption><p>Parameter values simulations. Simulations of model (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>) for the parameter values in Table <xref rid="Tab2" ref-type="table">2</xref> for <bold>a</bold> the human, <bold>b</bold> the vector sub-populations over time</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig5_HTML" id="MO5"></graphic></fig></p><sec id="Sec15"><title>Case 1.</title><p>Assume that a population is initially disease-free and stays at equilibrium. This population is then infiltrated by 10 infected individuals in the latent state. At this point we assume that all the mosquitoes are also disease-free. Using the parameters in Table <xref rid="Tab2" ref-type="table">2</xref>, Fig. <xref rid="Fig6" ref-type="fig">6</xref><xref rid="Fig6" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig6" ref-type="fig">6</xref><xref rid="Fig6" ref-type="fig">b</xref> show the dynamics of the human and vector populations when there is no treatment or quarantine (selective treatment) (<italic>φ</italic>=<italic>κ</italic>=0). The basic reproduction number is 0.482, which means that the disease will eventually die out even if there is no intervention. Fig. <xref rid="Fig7" ref-type="fig">7</xref> and <xref rid="Fig7" ref-type="fig">7</xref><xref rid="Fig7" ref-type="fig">b</xref> show the same dynamics as Fig. <xref rid="Fig5" ref-type="fig">5</xref><xref rid="Fig5" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig5" ref-type="fig">5</xref><xref rid="Fig5" ref-type="fig">b</xref> when there is treatment of infected-acute individuals but no quarantine. Figure <xref rid="Fig8" ref-type="fig">8</xref><xref rid="Fig8" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig8" ref-type="fig">8</xref><xref rid="Fig8" ref-type="fig">b</xref> show the effects of using quarantine of infected-chronic individuals as the only control measure. A strategy that uses both treatment and quarantine (selective treatment) is better than using only treatment or quarantine).
<fig id="Fig6"><label>Fig. 6</label><caption><p>Population without any intervention strategy. The dynamics of the <bold>a</bold> human, and <bold>b</bold> vector sub-populations when there is no medical treatment (prevention chemotherapy) and no quarantine (morbidity management and disability prevention) after the invasion of 10 infected individuals</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig6_HTML" id="MO6"></graphic></fig><fig id="Fig7"><label>Fig. 7</label><caption><p>Only treatment strategy in the population. The dynamics of the <bold>a</bold> human, <bold>b</bold> vector sub-populations when there is medical treatment (prevention chemotherapy) (<italic>φ</italic>=0.25) and no quarantine (morbidity management and disability prevention) after the invasion of 10 infected individuals</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig7_HTML" id="MO7"></graphic></fig><fig id="Fig8"><label>Fig. 8</label><caption><p>Quarantine only in the population. The dynamics of the <bold>a</bold> human, <bold>b</bold> vector sub-populations when there is quarantine (morbidity management and disability prevention) is the only strategy (<italic>κ</italic>=0.1) after the invasion of 10 infected individuals</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig8_HTML" id="MO8"></graphic></fig></p><p>The cases in Figs. <xref rid="Fig6" ref-type="fig">6</xref><xref rid="Fig6" ref-type="fig">a</xref>, <xref rid="Fig7" ref-type="fig">7</xref> and <xref rid="Fig8" ref-type="fig">8</xref><xref rid="Fig8" ref-type="fig">b</xref> assume that the treatment given to acute-infected individuals does not affect the transmission parameters other than the screening parameter <italic>n</italic> and treatment parameter <italic>φ</italic>. The basic reproduction number depends on these two parameters and so they do affect initial disease transmission and consequently the endemic status of the disease. If patients are given medication that reduces the microfilariae in the lymphatic vessels and nodes, then the success rate of microfilariae transmission from humans to susceptible mosquitoes will decrease. Effective treatment is expected to decrease the number of microfilariae, and thus its transmission success rate from humans to susceptible mosquitoes could greatly be be altered. Assuming that individuals are further protected by some insect repellent, then the mosquito biting rate <italic>β</italic> could also be impacted. Consider a medication that could decrease the success rate of microfilariae transmission from humans to susceptible mosquitoes by 50<italic>%</italic> of its current level (<italic>𝜗</italic><sub><italic>v</italic></sub>=0.05). Figure <xref rid="Fig9" ref-type="fig">9</xref><xref rid="Fig9" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig9" ref-type="fig">9</xref><xref rid="Fig9" ref-type="fig">b</xref> show the dynamics when this effective treatment exists.
<fig id="Fig9"><label>Fig. 9</label><caption><p>Effects of treatment. The dynamics of the <bold>a</bold> human, <bold>b</bold> vector sub-populations when there is medical treatment (prevention chemotheraphy) and the treatment reduces <italic>𝜗</italic> by 50<italic>%</italic></p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig9_HTML" id="MO9"></graphic></fig></p><p>Assume that insect repellent could decrease the insect biting rate <italic>β</italic> by 50<italic>%</italic> of its current level. Figure <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">b</xref> show the dynamics when such a repellent is available and appropriately used. Figure <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">a</xref> shows the case when the repellent is used in the absence of medical treatment (<italic>φ</italic>=0) and Fig. <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">b</xref> shows the same scenario but in the presence of medical treatment (<italic>φ</italic>=0.3) administered at the same time as the provided insect repellent. Compared to the case when the repellent is used alone (Fig. <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">a</xref>), coupling treatment with the use of a repellent spray significantly reduces the disease outbreak (Fig. <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">b</xref>) and at the same time reduces the endemic level of the disease (changing <inline-formula id="IEq77"><alternatives><tex-math id="M219">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.128$\end{document}</tex-math><mml:math id="M220"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.128</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq77.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> to <inline-formula id="IEq78"><alternatives><tex-math id="M221">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.094$\end{document}</tex-math><mml:math id="M222"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.094</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq78.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>).
<fig id="Fig10"><label>Fig. 10</label><caption><p>Other intervention strategies. The dynamics of the human sub-population when the <bold>a</bold> repellent is used in the absence of treatment, <bold>b</bold> repellent is used with treatment</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig10_HTML" id="MO10"></graphic></fig></p><p>Other intervention strategies such as using insecticide treated bed nets, indoor residual spraying (which both can be built into the parameters <italic>φ</italic> and <italic>β</italic>) and shortening the mosquitoes life span (increasing <italic>μ</italic><sub><italic>v</italic></sub>) can also be considered. Consider a situation where the life span of the mosquitoes is reduced by 25<italic>%</italic> of the existing level with both treatment and effective repellent. The population dynamics of humans after reducing the mosquito life span is the same as the dynamics in Fig. <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig10" ref-type="fig">10</xref><xref rid="Fig10" ref-type="fig">b</xref>. However, the dynamics of the mosquito population will differ significantly for the two cases. If we decrease both values of the mosquito biting rate and the life expectancy, then there is a 50% reduction of the reproduction number (decrease from <inline-formula id="IEq79"><alternatives><tex-math id="M223">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.105$\end{document}</tex-math><mml:math id="M224"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.105</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq79.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula> to <inline-formula id="IEq80"><alternatives><tex-math id="M225">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.052$\end{document}</tex-math><mml:math id="M226"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.052</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq80.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>). For these parameter values, the eradication of the disease is guaranteed. In the absence of medical treatment, the basic reproduction number is slightly greater (<inline-formula id="IEq81"><alternatives><tex-math id="M227">\documentclass[12pt]{minimal}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsbsy}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{upgreek}
\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
\begin{document}$\mathcal {R}_{0} = 0.072$\end{document}</tex-math><mml:math id="M228"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.072</mml:mn></mml:math><inline-graphic xlink:href="12889_2017_4160_Article_IEq81.gif"></inline-graphic></alternatives></inline-formula>) but still less than unity. This implies that if the strategy of shortening the mosquito lifespan before a certain period of time has elapsed is applied, then the lymphatic filariasis disease is potentially bound to die out.</p></sec><sec id="Sec16"><title>Case 2.</title><p>In the previous section we assumed that a disease-free population is invaded by acute-infected humans. We now consider the case where a virgin population is invaded by 70 exposed and 30 infected mosquitoes from an endemic area. Figure <xref rid="Fig11" ref-type="fig">11</xref><xref rid="Fig11" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig11" ref-type="fig">11</xref><xref rid="Fig11" ref-type="fig">b</xref> show the dynamics of both the human and vector populations after the invasion of the infected mosquitoes with no medication or quarantine. Employing the same intervention strategies as before, treating acute-infected and isolating some, Fig. <xref rid="Fig12" ref-type="fig">12</xref><xref rid="Fig12" ref-type="fig">a</xref> and <xref rid="Fig12" ref-type="fig">12</xref><xref rid="Fig12" ref-type="fig">b</xref> depict the human and mosquito populations dynamics. Any of these strategies significantly reduces the basic reproduction number.
<fig id="Fig11"><label>Fig. 11</label><caption><p>Inversion in human population by infected mosquitoes. The dynamics of the <bold>a</bold> human, <bold>b</bold> vector sub-populations when the virgin human population is invaded by infected mosquitoes</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig11_HTML" id="MO11"></graphic></fig><fig id="Fig12"><label>Fig. 12</label><caption><p>New infection in a treated and quarantined population. The dynamics of the <bold>a</bold> human, and vector sub-populations when the virgin human population is invaded by infected mosquitoes. In this case, there is medication (prevetion chemotheraphy) and quarantine (morbidity management and disability prevention)</p></caption><graphic xlink:href="12889_2017_4160_Fig12_HTML" id="MO12"></graphic></fig></p></sec></sec></sec></sec><sec id="Sec17"><title>Discussion and conclusions</title><p>A mathematical model of the transmission dynamics of lymphatic filariasis incorporating both the human and mosquito vector was formulated and stability of equilibria and sensitivity analysis were investigated. Numerical simulations were provided to support the theoretical results. Control of infections was analyzed through two intervention strategies, namely medical treatment (prevention chemotherapy) and quarantine (selective treatment for morbidity control). The model system was globally stable and thus the phenomenon of backward bifurcation was never observed [<xref ref-type="bibr" rid="CR26">26</xref>].</p><p>By evaluating the sensitivity indices of the reproduction numbers, we were able to identify parameters for which the model system was most sensitive. We found that the mosquito death rate was the most sensitive parameter. By also analyzing the basic reproduction number, it was shown that combined intervention strategies could lead to lymphatic filariasis elimination in the community.</p><p>The proposed model is not exhaustive and can be refined and/or extended in various ways. For instance, the emergence of drug-resistant strains of pathogens is an increasing threat to eradication of infectious diseases. Aggressive treatment might lead to drug resistance and it is worth exploring how this could affect the transmission dynamics of the disease. Also, patients’ compliance could be incorporated into the model system by assuming that only a small portion of individuals in the treatment class adhere to complete treatment, while a small proportion that do not adhere move quickly to the drug resistant class. Model extension could also address climate change since it is considered as a contributor to re-emergence of vector-borne diseases. Heavy rains and global temperature rising provide a conducive habitat for mosquitoes. Future studies could include these external factors and also consider co-infections of individuals with two types of worms.</p><p>For mathematical tractability we made several assumptions. Therefore our results are based on the formulation of the model. However, However the research undertaken enables us to gain valuable insights into lymphatic filariasis and the effectiveness of intervention strategies being implemented.</p></sec></body><back><ack><title>Acknowledgements</title><p>Peter M. Mwamtobe and Simphiwe M. Simelane thank the University of the Witwatersrand, Johannesburg respectively for a Postdoctoral Fellowship and a Postgraduate Merit Award. Peter M. Mwamtobe, Simphiwe M. Simelane and Prof Shirley Abelman thank the DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS) for financial support. Prof Shirley Abelman also thanks the National Research Foundation of South Africa for a research grant.</p><sec id="d29e11630"><title>Funding</title><p>Peter M. Mwamtobe and Simphiwe M. Simelane thank the University of the Witwatersrand, Johannesburg for financial support respectively through a Postdoctoral Fellowship and a Postgraduate Merit Award. Peter M. Mwamtobe, Simphiwe M. Simelane and Prof Shirley Abelman received financial support from the DST-NRF Centre of Excellence in Mathematical and Statistical Sciences (CoE-MaSS). Prof Shirley Abelman was also supported by a grant from the National Research Foundation of South Africa.</p></sec><sec id="d29e11635"><title>Availability of data and materials</title><p>All data have been included in the manuscript.</p></sec><sec id="d29e11640"><title>Authors’ contributions</title><p>PMM, SMS, SA and JMT conceived the problem. PMM, SMS and SA designed and formulated the model framework, description, and analyzed the model. JMT improved the formulated model. SMS and PMM carried out sensitivity analysis and model simulations. SA and JMT edited the manuscript. All authors read and approved the final manuscript.</p></sec><sec id="d29e11645"><title>Competing interests</title><p>The authors declare that they have no competing interests.</p></sec><sec id="d29e11650"><title>Consent for publication</title><p>No personal information is used in this study, thus Not Applicable.</p></sec><sec id="d29e11655"><title>Ethics approval and consent to participate</title><p>Only heuristic data are used in this study for illustrative purpose. No individual information was used and consequently, both ethics approval and consent to participate were not required.</p></sec><sec id="d29e11660"><title>Publisher’s Note</title><p>Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</p></sec></ack><ref-list id="Bib1"><title>References</title><ref id="CR1"><label>1</label><mixed-citation publication-type="other">CDC. Lymphatic Filariasis. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.cdc.gov/parasites/lymphaticfilariasis/">http://www.cdc.gov/parasites/lymphaticfilariasis/</ext-link>. Accessed 29 Sept 2015.</mixed-citation></ref><ref id="CR2"><label>2</label><mixed-citation publication-type="other">CDC. Lymphatic Filariasis. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.cdc.gov/parasites/lymphaticfilariasis/treatment.html">http://www.cdc.gov/parasites/lymphaticfilariasis/treatment.html</ext-link>. Accessed 29 Sept 2015.</mixed-citation></ref><ref id="CR3"><label>3</label><mixed-citation publication-type="other">WHO. Lymphatic Filariasis. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs102/en/">http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs102/en/</ext-link>. Accessed 29 Sept 2015.</mixed-citation></ref><ref id="CR4"><label>4</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Critchley</surname><given-names>J</given-names></name><name><surname>Addiss</surname><given-names>D</given-names></name><name><surname>Gamble</surname><given-names>C</given-names></name><name><surname>Garner</surname><given-names>P</given-names></name><name><surname>Gelband</surname><given-names>H</given-names></name><name><surname>Ejere</surname><given-names>H</given-names></name></person-group><article-title>International Filariasis Review Group. Albendazole for lymphatic filariasis</article-title><source>Cochrane Database Syst Rev</source><year>2005</year><volume>19</volume><issue>4</issue><fpage>CD003753</fpage></element-citation></ref><ref id="CR5"><label>5</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>van den Berg</surname><given-names>H</given-names></name><name><surname>Kelly-Hope</surname><given-names>LA</given-names></name><name><surname>Lindsay</surname><given-names>SW</given-names></name></person-group><article-title>Malaria and lymphatic filariasis: the case for integrated vector management</article-title><source>Lancet Infect Dis</source><year>2013</year><volume>13</volume><issue>1</issue><fpage>89</fpage><lpage>94</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/S1473-3099(12)70148-2</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">23084831</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR6"><label>6</label><mixed-citation publication-type="other">Supriantna AK, Angaggriani N. Lymphatic filariasis transmission and control: a mathematical modelling approach In: Rodriguez-Morales AJ, editor. Current Tropics in Tropical Medicine. INTECH: 2012. p. 425–42. ISBN 978-953-51-0274-8.</mixed-citation></ref><ref id="CR7"><label>7</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Supriatna</surname><given-names>AK</given-names></name><name><surname>Serviana</surname><given-names>H</given-names></name><name><surname>Soewono</surname><given-names>E</given-names></name></person-group><article-title>A mathematical model to investigate the long-term effects of the lymphatic filariasis medical treatment in jati samourna, west java</article-title><source>Inst Tech Bandung J Sci</source><year>2009</year><volume>41A</volume><issue>1</issue><fpage>1</fpage><lpage>14</lpage></element-citation></ref><ref id="CR8"><label>8</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Ottesen</surname><given-names>EA</given-names></name><name><surname>Duke</surname><given-names>BOL</given-names></name><name><surname>Karam</surname><given-names>M</given-names></name><name><surname>Behbehani</surname><given-names>K</given-names></name></person-group><article-title>Strategies and tools for control/elimination of lymphatic filariasis</article-title><source>Bull World Health Organ</source><year>1997</year><volume>75</volume><issue>6</issue><fpage>491</fpage><lpage>503</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">9509621</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR9"><label>9</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Stolk</surname><given-names>WA</given-names></name><name><surname>Stone</surname><given-names>C</given-names></name><name><surname>de Vlas</surname><given-names>SJ</given-names></name></person-group><article-title>Modelling lymphatic filariasis transmission control: modelling frameworks, lessons learned and future directions</article-title><source>Adv Parasitol</source><year>2015</year><volume>87</volume><fpage>249</fpage><lpage>91</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/bs.apar.2014.12.005</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">25765197</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR10"><label>10</label><mixed-citation publication-type="other">Bhunu CP, Mushayabasa S. Transmission dynamics of lymphatic filariasis: a mathematical approach. ISRN Biomathematics. 2012;2012 Article ID 930130, <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://dx.doi.org/10.5402/2012/930130">http://dx.doi.org/10.5402/2012/930130</ext-link>.</mixed-citation></ref><ref id="CR11"><label>11</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Stone</surname><given-names>CM</given-names></name><name><surname>Lindsay</surname><given-names>SW</given-names></name><name><surname>Chitnis</surname><given-names>N</given-names></name></person-group><article-title>How effective is integrated vector management against malaria and lymphatic filariasis where the diseases are transmitted by the same vector?</article-title><source>PLOS Negl Trop Dis</source><year>2014</year><volume>8</volume><issue>12</issue><fpage>e3393</fpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1371/journal.pntd.0003393</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">25501002</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR12"><label>12</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chan</surname><given-names>MS</given-names></name><name><surname>Srividya</surname><given-names>A</given-names></name><name><surname>Norman</surname><given-names>RA</given-names></name><name><surname>Pani</surname><given-names>SP</given-names></name><name><surname>Ramaiah</surname><given-names>KD</given-names></name><name><surname>Vanamail</surname><given-names>P</given-names></name><name><surname>Michael</surname><given-names>E</given-names></name><name><surname>Das</surname><given-names>PK</given-names></name><name><surname>Bundy</surname><given-names>DAP</given-names></name></person-group><article-title>Epifil: a dynamic model of infection and disease in lymphatic filariasis</article-title><source>Am J Trop Med Hyg</source><year>1998</year><volume>59</volume><issue>4</issue><fpage>606</fpage><lpage>14</lpage><pub-id pub-id-type="pmid">9790439</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR13"><label>13</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Norman</surname><given-names>RA</given-names></name><name><surname>Chan</surname><given-names>MS</given-names></name><name><surname>Srividya</surname><given-names>A</given-names></name><name><surname>Pani</surname><given-names>SP</given-names></name><name><surname>Ramaiah</surname><given-names>KD</given-names></name><name><surname>Vanamail</surname><given-names>P</given-names></name><name><surname>Michael</surname><given-names>E</given-names></name><name><surname>Das</surname><given-names>PK</given-names></name><name><surname>Bundy</surname><given-names>DA</given-names></name></person-group><article-title>Epifil: The development of an age-structured model for describing the transmission dynamics and control of lymphatic filariasis</article-title><source>Epidemiol Infect</source><year>2000</year><volume>124</volume><issue>3</issue><fpage>529</fpage><lpage>41</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1017/S0950268899003702</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">10982078</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR14"><label>14</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Stolk</surname><given-names>WA</given-names></name><name><surname>de Vlas</surname><given-names>SJ</given-names></name><name><surname>Borsboom</surname><given-names>GJ</given-names></name><name><surname>Babbema</surname><given-names>JD</given-names></name></person-group><article-title>Lymfasim, a simulation model for predicting the impact of lymphatic filariasis control: quantification for african villages</article-title><source>Parasitology</source><year>2008</year><volume>135</volume><issue>13</issue><fpage>1583</fpage><lpage>98</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1017/S0031182008000437</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">19006602</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR15"><label>15</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Plaisierm</surname><given-names>AP</given-names></name><name><surname>Subramania</surname><given-names>S</given-names></name><name><surname>Das</surname><given-names>PK</given-names></name><name><surname>Souza</surname><given-names>W</given-names></name><name><surname>Lapa</surname><given-names>T</given-names></name><name><surname>Furtado</surname><given-names>AF</given-names></name><name><surname>Van der Ploeg</surname><given-names>CP</given-names></name><name><surname>Habbema</surname><given-names>JD</given-names></name><name><surname>van Oortmarssen</surname><given-names>GJ</given-names></name></person-group><article-title>The lymfasim simulation program for modeling lymphatic filariasis and its control</article-title><source>Methods Inform Med</source><year>1998</year><volume>37</volume><issue>1</issue><fpage>97</fpage><lpage>108</lpage></element-citation></ref><ref id="CR16"><label>16</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Luz</surname><given-names>PM</given-names></name><name><surname>Struchiner</surname><given-names>CJ</given-names></name><name><surname>Galvani</surname><given-names>AP</given-names></name></person-group><article-title>Modeling transmission dynamics and control of vector-borne neglected tropical diseases</article-title><source>PLoS Negl Trop Dis</source><year>2010</year><volume>4</volume><issue>10</issue><fpage>e761</fpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1371/journal.pntd.0000761</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">21049062</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR17"><label>17</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Weerasinghe</surname><given-names>CR</given-names></name><name><surname>de Silva</surname><given-names>NR</given-names></name><name><surname>Michael</surname><given-names>E</given-names></name></person-group><article-title>Maternal filarial-infection status and its consequences on pregnancy and the newborn, in ragama, sri lanka</article-title><source>Ann Trop Med Parasitol</source><year>2005</year><volume>99</volume><issue>8</issue><fpage>813</fpage><lpage>6</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1179/136485905X65198</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">16297296</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR18"><label>18</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Erickson</surname><given-names>SM</given-names></name><name><surname>Thomsen</surname><given-names>EK</given-names></name><name><surname>Keven</surname><given-names>JB</given-names></name><name><surname>Vincent</surname><given-names>N</given-names></name><name><surname>Koimbu</surname><given-names>G</given-names></name><name><surname>Siba</surname><given-names>PM</given-names></name><name><surname>Christensen</surname><given-names>BM</given-names></name><name><surname>Reimer</surname><given-names>LJ</given-names></name></person-group><article-title>Mosquito-parasite interactions can shape filariasis transmission dynamics and impact elimination programs</article-title><source>PLoS Negl Trop Dis</source><year>2013</year><volume>7</volume><issue>9</issue><fpage>e2433</fpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1371/journal.pntd.0002433</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">24069488</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR19"><label>19</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lindsay</surname><given-names>SW</given-names></name><name><surname>Denham</surname><given-names>DA</given-names></name></person-group><article-title>The ability of ae. aegypti mosquitoes to survive and transmit infective larvae of brugia pahangi over successive blood meals</article-title><source>J Helminthol</source><year>1986</year><volume>60</volume><fpage>159</fpage><lpage>68</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1017/S0022149X00026031</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">3745870</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR20"><label>20</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Pichon</surname><given-names>G</given-names></name></person-group><article-title>Limitation and facilitation in the vectors and other aspects of the dynamics of filarial transmission: the need for vector control against anopheles-transmitted filariasis</article-title><source>Ann Trop Med Parasitol</source><year>2002</year><volume>96</volume><fpage>143</fpage><lpage>52</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1179/000349802125002509</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR21"><label>21</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Malhotra</surname><given-names>I</given-names></name><name><surname>Ouma</surname><given-names>JH</given-names></name><name><surname>Wamachi</surname><given-names>A</given-names></name><name><surname>Kioko</surname><given-names>J</given-names></name><name><surname>Mungai</surname><given-names>P</given-names></name><name><surname>Njzovu</surname><given-names>M</given-names></name><name><surname>Kazura</surname><given-names>JW</given-names></name><name><surname>King</surname><given-names>CL</given-names></name></person-group><article-title>Influence of maternal filariasis on childhood infection and immunity to wuchereria bancrofti in Kenya</article-title><source>Infect Immun</source><year>2003</year><volume>71</volume><issue>9</issue><fpage>5231</fpage><lpage>7</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1128/IAI.71.9.5231-5237.2003</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">12933869</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR22"><label>22</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Birkhoff</surname><given-names>G</given-names></name><name><surname>Rota</surname><given-names>GC</given-names></name></person-group><source>Ordinary Differential Equations</source><year>1989</year><publisher-loc>New York</publisher-loc><publisher-name>John Wiley and Sons, Inc</publisher-name></element-citation></ref><ref id="CR23"><label>23</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>van den Driessche</surname><given-names>P</given-names></name><name><surname>Watmough</surname><given-names>J</given-names></name></person-group><article-title>Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission</article-title><source>Math Biosci</source><year>2002</year><volume>180</volume><fpage>29</fpage><lpage>48</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/S0025-5564(02)00108-6</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">12387915</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR24"><label>24</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Tchuenche</surname><given-names>JM</given-names></name><name><surname>Dube</surname><given-names>N</given-names></name><name><surname>Bhunu</surname><given-names>CP</given-names></name><name><surname>Smith</surname><given-names>RJ</given-names></name><name><surname>Bauch</surname><given-names>CT</given-names></name></person-group><article-title>The impact of media coverage on the transmission dynamics of human influenza</article-title><source>BMC Public Health</source><year>2011</year><volume>11</volume><issue>Suppl 1</issue><fpage>S5</fpage><pub-id pub-id-type="pmid">21356134</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR25"><label>25</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Kamgang</surname><given-names>JC</given-names></name><name><surname>Sallet</surname><given-names>G</given-names></name></person-group><article-title>Computations of threshold conditions for epidemiological models and global stability of the disease-free equilibrium (DFE)</article-title><source>Math BioSci</source><year>2008</year><volume>213</volume><fpage>1</fpage><lpage>12</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.mbs.2008.02.005</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">18405926</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR26"><label>26</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Tchuenche</surname><given-names>JM</given-names></name><name><surname>Chiyaka</surname><given-names>C</given-names></name><name><surname>Chan</surname><given-names>D</given-names></name><name><surname>Matthews</surname><given-names>A</given-names></name><name><surname>Mayer</surname><given-names>G</given-names></name></person-group><article-title>A mathematical model for antimalarial drug resistance</article-title><source>Math Med Biol</source><year>2010</year><volume>28</volume><fpage>335</fpage><lpage>55</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1093/imammb/dqq017</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">20884768</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR27"><label>27</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Chitnis</surname><given-names>N</given-names></name><name><surname>Hyman</surname><given-names>JM</given-names></name><name><surname>Cushing</surname><given-names>JM</given-names></name></person-group><article-title>Determining important parameters in the spread of malaria through the sensitivity analysis of a mathematical model</article-title><source>Bull Math Biol</source><year>2008</year><volume>70</volume><fpage>1272</fpage><lpage>96</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s11538-008-9299-0</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">18293044</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR28"><label>28</label><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Anderson</surname><given-names>RM</given-names></name><name><surname>May</surname><given-names>RM</given-names></name></person-group><source>Infectious Disease of Humans: Dynamics and Control</source><year>1992</year><publisher-loc>London/New York</publisher-loc><publisher-name>Oxford University Press</publisher-name></element-citation></ref><ref id="CR29"><label>29</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mtisi</surname><given-names>E</given-names></name><name><surname>Rwezaura</surname><given-names>H</given-names></name><name><surname>Tchuenche</surname><given-names>JM</given-names></name></person-group><article-title>A mathematical analysis of malaria tuberculosis co-dynamics</article-title><source>Discrete Continuous Dynamical Syst Ser B</source><year>2009</year><volume>12</volume><issue>4</issue><fpage>827</fpage><lpage>64</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.3934/dcdsb.2009.12.827</pub-id></element-citation></ref><ref id="CR30"><label>30</label><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Okosun</surname><given-names>KO</given-names></name><name><surname>Ouifki</surname><given-names>R</given-names></name><name><surname>Marcus</surname><given-names>N</given-names></name></person-group><article-title>Optimal control analysis of a malaria disease transmission model that includes treatment and vaccination with waning immunity</article-title><source>Biosystems</source><year>2011</year><volume>106</volume><issue>2 - 3</issue><fpage>136</fpage><lpage>45</lpage><pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.biosystems.2011.07.006</pub-id><pub-id pub-id-type="pmid">21843591</pub-id></element-citation></ref></ref-list></back></pmc></record>Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)
EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Wicri/Sante/explor/LymphedemaV1/Data/Pmc/Corpus
HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000C79 | SxmlIndent | more
Ou
HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000C79 | SxmlIndent | more
Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri
{{Explor lien
|wiki= Wicri/Sante
|area= LymphedemaV1
|flux= Pmc
|étape= Corpus
|type= RBID
|clé= PMC:5356380
|texte= Mathematical analysis of a lymphatic filariasis model with quarantine and treatment
}}
Pour générer des pages wiki
HfdIndexSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/RBID.i -Sk "pubmed:28302096" \
| HfdSelect -Kh $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd \
| NlmPubMed2Wicri -a LymphedemaV1
| This area was generated with Dilib version V0.6.31. |  |