Voir la source de CTHS (2009) Alfonsi

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 |titre=De l’oubli à la reconnaissance : l’exemple des résultats mathématiques d’Étienne Bézout (1730-1783).
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;Titre:[[A pour titre::De l’oubli à la reconnaissance : l’exemple des résultats mathématiques d’Étienne Bézout (1730-1783).]]
;Auteur: [[A pour premier auteur::Liliane Alfonsi]] - Enseignant-chercheur (MCF) 
;Affiliations: [[A pour premier affiliation::Université Paris sud]], Laboratoire GHDSO-Orsay 
;In:Congrès national des Sociétés historiques et scientifiques à Bordeaux du 20<br/>au 26 avril 2009 session ”Savants célèbres ou obscurs”, Apr 2009, Bordeaux, France.
;En ligne (HAL):
* https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00425064v1
}}
;Résumé : Trois éléments mathématiques sont connus aujourd’hui sous le nom de <b>Bézout</b>, une identité (en  algèbre), un théorème (en géométrie algébrique), et un outil (un invariant). Pourtant ces résultats ne lui ont pas été attribués de son vivant. 
:*Le 1er, l’<b>identité de Bézout</b>, qui peut se déduire de ses écrits mais n’y apparaît pas  clairement, ne porte définitivement son nom que depuis Bourbaki (vers 1950) 
:* Le 2e, le <b>théorème de Bézout</b>, lui a été attribué en 1795 mais a été fortement transformé par la suite tout en gardant son nom 
:* Le 3e, le <b>Bézoutient</b>, ne lui a été reconnu qu’en 1853, après avoir été diffusé, soit comme un résultat anonyme, soit comme découvert par un autre 
:Ce sont les différents contextes, mathématiques, académiques, politiques, nationalistes et sociaux qui ont entraîné cette reconnaissance de Bézout que nous nous proposons d’analyser ici. 
__TOC__
{{Clr}}
==L'article original==
{{Début corps article}}
[[Est une biographie de::Étienne Bézout]], qui fut mathématicien, académicien et professeur au siècle des Lumières, 
est l’auteur d’une œuvre mathématique qui fut longtemps négligée et méconnue. Aujourd’hui trois 
résultats mathématiques portent son nom. En allant du plus répandu au plus utilisé de nos jours au 
niveau recherche, on peut les citer dans cet ordre : 

:- L’Identité de Bézout que l’on peut déduire d’un de ses mémoires, présenté à l’Académie en 1764, aujourd’hui enseigné en Terminale, lui a été attribuée vers 1948. 
:- Le Théorème de Bézout, l’un des plus importants de la Géométrie algébrique, exposé dans sa <i>Théorie générale des équations</i> de 1779, porte son nom depuis 1795. 
:- Le Bézoutient dont l’on trouve un cas particulier dans son mémoire de 1764 mais qui n’est complètement explicité que dans le volume <i>Algèbre</i> de son <i>Cours de Mathématiques</i>, a de nombreuses applications aujourd’hui dans la mise au point d’algorithmes. Considéré d’abord comme un résultat anonyme, c’est en 1853 que fut reconnue la paternité de Bézout. 

Nous nous proposons ici de comprendre les raisons de la reconnaissance tardive de l’œuvre 
de ce dernier et en particulier de ces trois résultats, raisons liées aussi bien à la vie de l’auteur qu’à 
différents contextes mathématiques, académiques, politiques, sociaux ou nationalistes que nous 
essayerons de cerner. Pour cela il nous paraît indispensable de commencer par situer ce 
mathématicien en le replaçant dans son milieu et dans son époque. 

Sa personnalité et sa vie ne paraissent pas, jusqu’ici<ref>Pour la biographie de Bézout, voir notre thèse de 2005 : L. Alfonsi, <i>Étienne Bézout (1730-1783) : mathématicien, académicien et professeur au siècle des Lumières</i>. </ref>, avoir suscité beaucoup d’intérêt<ref>Une illustration de cela est l’hésitation persistante sur l’orthographe même de son nom, Bezout ou Bézout. </ref>. 

Après l’« Éloge » lu par Condorcet à l’Académie des sciences en 1784, le personnage d’Étienne 
Bézout semble n’avoir été évoqué que lors de célébrations dans sa ville natale de Nemours. Avant 
l’ouvrage cité en note , les seuls textes abordant à la fois la vie et des travaux de cet académicien 
étaient des articles de dictionnaires biographiques<ref>N. Nielsen, <i>Géomètres français du dix-huitième siècle</i>. J. V. Grabiner, <i>Dictionary of Scientific Biography,</i> vol. 2, p. 111-114. </ref>. Bien que sérieux et documentés, leur statut 
même d’articles de dictionnaires leur impose la brièveté. 

Pourtant de nombreux éléments incitent à mieux connaître Étienne Bézout et l’ensemble de ses 
travaux, ne serait-ce que le contexte de l’Ancien régime finissant ainsi que l’environnement 
scientifique marqué par les personnalités de d'Alembert, Euler, Lagrange et Laplace, dans lesquels 
ils se placent.

===I. Qui était Étienne Bézout ?===

Étienne Bézout<ref>Nous avons choisi d’orthographier Bézout (avec un accent sur le e et un t) le nom d’Étienne et des membres de sa famille. Cette orthographe est celle de la signature d’Étienne après 1765 et de ses textes imprimés après 1770. Lui-même et les siens signaient Bezout avant 1765, et c’est ainsi qu’est écrit son nom dans les textes imprimés d’avant 1769. Si dans les archives notariales que nous allons citer, le nom est toujours Bezout, en revanche dans les registres paroissiaux, on trouve deux écritures : Bezou (le plus souvent) ou Bezout. Cela ne semble pas avoir paru important au propre père d’Étienne, qui signe Bezout des actes dans lesquels son nom est écrit sans t. </ref> est né en 1730 à Nemours, petite ville du Gâtinais à 80 kilomètres au sud 
de Paris. Au début du XVIIIe siècle, c’est une cité<ref>Pour la vie de Nemours à cette époque, voir bibliographie : les articles de C. Garmy.</ref> à la population stable de 3000 à 3500 habitants, 
très active sur bien des plans. Protégée et entièrement entourée par le Loing et un de ses bras très 
étroit qui sert de douves à ses murailles, sa situation originale, entièrement entourée d’eau et donc 
aussi de terres fertiles, a permis de développer plusieurs activités liées à la tannerie, puisque le site 
donne à la fois l’eau nécessaire à la force motrice qui fait tourner les moulins à tan, les pâturages 
destinés à l’élevage et les arbres pour le tanin. Cette production favorisant l’artisanat du cuir et son 
commerce a fait de Nemours une ville importante aux activités diversifiées justifiant la création 
d’un bailliage<ref>Un bailliage était une circonscription administrative, financière et essentiellement judiciaire, dotée d’un tribunal. </ref>. Ce dernier entraîne, à son tour, le développement rapide d’une population de 
juristes. En 1698, un document fiscal<ref>E. Thoison, <i>Nemours en 1698</i>.</ref> montre que la population des chefs de famille de la ville est  composée pour un tiers de juristes, pour un autre tiers de commerçants, artisans, agriculteurs, enfin 
d’un dernier tiers constitué de pauvres. 

Les familles paternelles et maternelles d’Étienne font partie des deux derniers tiers : le 
grand-père paternel est un marchand pauvre qui ne sait pas écrire<ref>Arch. dép. Seine et Marne, notaire Chahuet, année 1756 : Arch. dép. Seine et Marne-not56 ; et « <i>Pierre Bezou, le père de l'époux qui a déclaré ne savoir signer » </i>Arch. dép. Seine et Marne, état-civil Nemours, année 1727 : Arch. dép. Seine et Marne-écN27, acte de mariage du père d’Étienne.</ref>, François Filz, son oncle 
maternel est épicier<ref>Arch. dép. Seine et Marne-not50</ref>, les sœurs de son père ont épousé des marchands de villages alentours<ref>Arch. dép. Seine et Marne-not56 </ref>, une 
Marie-Anne Bézout, épouse d’un vigneron très endetté et habitant un quartier pauvre, est obligée en 1736, de demander à la famille de payer l’enterrement de son mari<ref>Arch. dép. Seine et Marne-not36</ref>. Seul son père Pierre, est 
représentatif d’une ascension sociale possible à Nemours entre les trois catégories 
socioprofessionnelles vues plus haut : il est procureur au bailliage de la ville, c’est-à-dire qu’il est 
chargé d’instruire les dossier<b>s</b> des personnes qui lui confient leurs intérêts, mais qu’il n’a pas le 
droit de plaider, ceci ne pouvant être fait que par un avocat. Pierre Bézout aura cinq enfants, qui 
auront eux-aussi des fortunes diverses<ref>Arch. dép. Seine et Marne-écN, Arch. dép. Seine et Marne-not50 et 56.</ref> : 

*Jean-Pierre, le 23 mars 1729, qui deviendra avocat en parlement et au bailliage de Nemours ; 
*Étienne, le 31 mars 1730, futur mathématicien et académicien ; 
*Charles-Antoine, le 3 juin 1732, employé de ferme dans le Languedoc en 1756 ; 
*Charles-Mathurin, le 10 novembre 1733 que l’on retrouvera curé de Fay-lès-Nemours ; 
*Hélène-Élizabeth, le 16 janvier 1738 qui épousa un marchand avec lequel elle vécut à Nemours. 

Quelle fut l’éducation d’Étienne Bézout ? 

Les études à cette époque étaient essentiellement organisées dans des collèges. La scolarité 
complète, durait environ six ou sept ans, et le parcours décrivait successivement les classes de 
Grammaire, Humanités, Réthorique I et II, Philosophie I et II<ref>Les Facultés des arts enseignaient les deux dernières années qui aboutissaient à la maîtrise ès arts.</ref>. La maîtrise ès arts était décernée 
après des examens qui suivaient la classe de Philosophie II, si le collège était autorisé par 
l’Université à la collation des grades. Après l’obtention de ce diplôme, les étudiants pouvaient 
poursuivre leurs études dans trois facultés, celles de droit, de théologie ou de médecine, qui 
attribuaient le titre de bachelier ou de licencié dans leurs différentes spécialités. 
Dans toutes ces étapes, le seul moment où les élèves étudiaient vraiment les mathématiques, 
était la classe de Philosophie II, appelée aussi classe de Physique. Cette étude, à laquelle n’était 
consacrée que très peu de temps dans l’année, comprenait comme le montre le cours de Rivard, 
professeur au collège universitaire de Beauvais à Paris en 1732, un peu d’arithmétique et d’algèbre 
et surtout la géométrie élémentaire. 

Étienne va au collège et fait des études jusqu’à la maîtrise es arts. Il est en dernière année 
quand son père meurt en 1750 et il se désigne lui-même dans les actes notariés de la succession 
comme « estudiant es mathématiques<ref>Arch. dép. Seine et Marne-not50</ref> », alors qu’il n’existe aucune faculté et aucun cursus dans 
cette matière, ce qui montre sa détermination : son choix d’étudier les mathématiques s’affirme 
nettement par la façon dont il se qualifie lui-même à l’âge de vingt ans. 

L’acte du 29 août 1750, réglant la succession entre les cinq héritiers de Pierre Bézout et de 
sa femme morte avant lui, montre la relative aisance financière des deux époux, mais dans 
l’inventaire des biens où tout est recensé, meubles, ustensiles, « hardes », draps et bouts de tissus, il 
n’est fait mention d’aucun livre. La famille d’Étienne Bézout vivait donc de façon confortable mais 
aucune dépense n’était consacrée à la lecture, qu’elle soit religieuse, instructive ou de 
divertissement. C’était un milieu intellectuellement austère et, semble-t-il, assez limité 
culturellement. 

Cinq lots de valeurs égales sont établis, puis tirés au sort. Étienne Bézout hérite du premier 
lot d’une valeur de 8288 livres, dont 2169 livres en argent liquide. Cet héritage, confortable pour un 
habitant de Nemours<ref>Lecuyer, principal du collège de Nemours la même année, est payé 200 livres l’an, voir E. Thoison, <i>Le collège de </i><i>Nemours. </i></ref>, permet à Étienne Bézout de quitter sa ville natale pour la capitale et de 
subvenir à ses besoins pendant quelques années. Sa détermination d’étudier les mathématiques étant 
très forte, il est poussé par le besoin de rencontrer un milieu intellectuel plus favorable à la 
recherche, dans lequel l’émulation et les échanges lui permettraient de progresser et d’être reconnu. 
Ce départ pour Paris ne peut être daté de façon certaine. On est, en tout cas, sûr de sa domiciliation 
à Paris courant 1754 par l’existence d’un titre de rente signé le 7 janvier 1755, en faveur de « Me<ref>Me est l’abréviation de maître.</ref> 
Étienne Bézout, professeur de mathématiques, demeurant à Paris<ref>Arch. dép. Seine et Marne-not55</ref>. » 

Dès 1755 on le rencontre dans l’entourage de d’Alembert. En effet, dans le tome II du 
<i>Traité du calcul intégral</i> de Bougainville, rédigé sous la direction de d’Alembert, on trouve cette 
note de l’auteur : « N’ayant pu revoir moi-même les épreuves de cette seconde partie, à cause d’un 
voyage que j’ai été obligé de faire &amp; d’une maladie assez longue qui l’a suivi, je m’en suis reposé 
sur l’exactitude de M. Bezout, censeur royal &amp; très habile maître de mathématiques, qui a bien 
voulu s’en charger. Ceux qui voudront s’instruire à fonds du calcul intégral et de la géométrie 
transcendante, ne sauroient mieux faire que de le prendre pour guide<ref>L.A. comte de Bougainville, <i>Traité du calcul intégral, </i>t. 2, p. xxij.</ref>. » 

À 25 ans, ses débuts dans le monde des mathématiciens français s’annoncent sous les 
meilleurs auspices. Les compliments ci-dessus prouvent qu’il est déjà considéré comme un 
mathématicien rigoureux, bon connaisseur des domaines les plus en pointe et d’Alembert, l’un des 
académiciens les plus en vue et le brillant chercheur que l’on sait, l’accueille parmi ses disciples. 
 
Il travaille sous l’influence de ce dernier sur des sujets de dynamique et de calcul intégral et 
le 18 mars 1758 il est élu à l’Académie Royale des Sciences, en tant qu’Académicien adjoint (donc 
non rémunéré) dans la classe de Mécanique. Pourtant, à partir de 1762, par goût personnel et sans 
doute pour trouver un domaine de recherches dans lequel il ne subirait plus l’influence prégnante de 
d’Alembert, il commence à travailler sur les équations qui deviendront l’unique objet de ses 
travaux.

===II. 1764 : le grand tournant ===
 
 
En 1764 Choiseul, ministre de la Marine, cherche un jeune académicien et mathématicien 
pour réorganiser les études des officiers de la Marine et leur donner un haut niveau mathématique. 
Ce fut à cette époque que se mirent en place des écoles militaires d’un haut niveau scientifique, 
seuls lieux où l’on enseignait les mathématiques<ref>Pendant 3 ans et à raison de 3 heures par jour. 
</ref>, ce qui n’était pas, on l’a vu, le cas des 
Universités. La responsabilité prévue sera très prenante puisqu’elle implique l’écriture d’un cours 
complet, l’inspection annuelle des trois écoles de Brest, Rochefort et Toulon ainsi que les examens 
à faire passer dans ces trois ports. 

Parmi les académiciens, les Parisiens aristocratiques et (ou) fortunés n’ont pas ce genre de 
charges. Ceux qui ont accepté des responsabilités équivalentes, Camus, Examinateur des écoles du 
Génie et de l’Artillerie et l’abbé Nollet, responsable de l’enseignement de la physique 
expérimentale dans ces deux corps, sont des académiciens venus de province et sans fortune : 
Camus, vient de Crécy en brie et n’a que les 3000 livres de sa charge d’examinateur comme moyen 
de subsistance et Nollet, qui vient de Pimprez, laissera un héritage réduit à quelques objets<ref>Cela restera vrai par la suite : Bossut qui succèdera à Camus au Génie est enseignant et vient de Mézières de même que Monge qui succèdera à Bézout à la Marine, et Laplace, qui succèdera à Bézout à l’Artillerie, vit des cours qu’il donne à l’École militaire et vient de Beaumont sur Auge. </ref>. 

Bézout, qui est père de famille depuis 1761<ref>Un fils est né en 1761, Archives nationales-Marine, C/1/16 (Arch. nat.-Marine,C/1/16) </ref>, n’a toujours que ses leçons de 
mathématiques pour gagner sa vie, et c’est insuffisant : « M. de Chézac<ref>M. de Chézac est le commandant de l'école des Gardes de la Marine de Brest. </ref> mande qu’il {Bézout] manque de moyens, n’ayant d’autre revenu que celui qu’il retire des écoliers auxquels il enseigne à 
Paris<ref>Arch. nat.-Marine, C/7/29, rapport du cabinet du ministre pour celui-ci.</ref>. » Sans doute apprécie-t-il aussi d’avoir une charge reconnue qui le place pour les écoles en 
second après le ministre de la Marine, et sans doute aussi son goût pour l’enseignement a-t-il joué. 
Il accepte donc de devenir « Examinateur » des écoles des Gardes de la Marine et il est 
effectivement nommé le 1er octobre 1764<ref><i>Ibid</i>.</ref>. 

La première tâche d’Étienne Bézout est donc d’écrire « un cours d'élémens des différentes 
sciences qui conviennent au service de la marine ». Commencée vers le milieu de l'année 1764, 
l'<i>Arithmétique</i>, première partie en un volume du <i>Cours de Mathématiques à l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine</i>, est prête dès novembre 1764. Les autres parties de ce cours suivront à un 
rythme à peu près annuel : 
*1765, <i>Élémens de Géométrie, la Trigonométrie rectiligne &amp; la Trigonométrie sphérique</i>, 
*1766, <i>ALGÈBRE</i> &amp; <i>application de cette science à l'Arithmétique &amp; la Géométrie</i>, 
*1767, quatrième partie en deux volumes, <i>Principes généraux de la MÉCHANIQUE, précédés des Principes de Calcul qui servent d'introduction aux sciences Physico-Mathématiques</i>, pour le  premier et <i>Application des Principes généraux de la MÉCHANIQUE, à différents cas de MOUVEMENT &amp; d'ÉQUILIBRE</i>, pour le second. 
*1769, cinquième partie, le <i>Traité de Navigation</i>. 

Enfin en 1766, année où la nouvelle promotion de gardes formée grâce à ses cours a fini la  première classe, Bézout commence ses tournées d’examinateur. À partir de ce moment, sa vie va se 
partager en deux. Il y aura chaque année les longs mois de voyage - Brest, Rochefort et Toulon pour 
faire passer les examens des gardes de la marine<ref>On peut mesurer la longueur des déplacements grâce aux comptes rendus envoyés au ministre par chaque port. En effet, les arrivées et départs d’Étienne Bézout sont scrupuleusement signalés : environ 10 jours entre Paris et Brest, 6 jours entre Brest et Rochefort, 10 jours entre Rochefort et Toulon et 15 jours pour revenir à Paris de cette ville. </ref> et les déplacements pour des leçons de physique 
expérimentale à La Fère et Mézières<ref>On lui a aussi demandé de suppléer dans ces leçons l’abbé Nollet, déjà très âgé. 
</ref>, puis à partir de 1768, date à laquelle il est nommé 
Examinateur des écoles d’artillerie<ref>Il écrit aussi un cours pour les écoles d’artillerie correspondant aux quatre premières parties réaménagées et réadaptées de son cours pour la Marine. </ref>, pour les examens à La Fère ou à Bapaume-, et les séjours 
parisiens pendant lesquels il retrouve l’Académie des sciences. Pour l’année 1766, par exemple, il 
voyage, pour la Marine du 29 janvier au 14 mai donc trois mois et demi, puis du 16 juillet au 23 
août pour des leçons de physique à La Fère, soit un peu moins de cinq mois au total. Sachant que 
l’Académie est fermée du 6 septembre au 12 novembre chaque année, il n’a pu se rendre à ses 
séances que pendant quatre mois et demi. Cela, se reproduira tous les ans et s’aggravera même à 
partir de 1768 (environ six mois de voyage par an). 

Dès 1764, obligé de se rendre à Brest pour mieux cerner l’organisation et les besoins 
scientifiques des élèves officiers d’une part, ayant commencé d’autre part la rédaction de son <i>Cours de mathématiques</i><ref>Ce cours eut un grand succès et fut considéré comme une référence jusqu’au milieu du XIXe siècle. </ref>, il comprend, s’il ne l’avait déjà fait, à quel point il n’aura plus de temps pour 
ses recherches mathématiques. En effet, dans la dernière partie du mémoire qu’il présente à 
l’Académie royale des sciences cette année là, il écrit après avoir présenté ses résultats : « Au reste, 
je crois ces méthodes encore très susceptibles de perfection, &amp; il y a un grand nombre de cas où en 
suivant les principes sur lesquels elles sont fondées, on parvient à trouver des routes plus faciles. 
[...] c'est un travail auquel j'invite ceux qui seront assez heureux pour avoir plus de temps à 
dépenser que moi<ref>É.Bézout, <i>Recherches sur le degré des équations résultantes de l’évanouissement des inconnues et sur les moyens qu’on doit employer pour trouver ces équations</i>, p. 336. 
</ref>. » De fait, en dehors d’un mémoire sur les équations soumis à l’Académie en 
1765<ref>É. Bézout, <i>Sur la résolution générale des équations de tous les degrés</i> </ref>, mais qui n’était que l’approfondissement d’un mémoire présenté en 1762<ref>É. Bézout, <i>Sur plusieurs classes d’équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique</i> </ref>, il ne présentera 
plus aucun travail mathématique à cette assemblée avant son grand traité, la <i>Théorie générale des équations algébriques</i> en 1779. 
 
Sa nomination comme Examinateur de la Marine le 1er octobre 1764 marque donc un grand 
tournant dans sa vie et explique en grande partie le peu de considérations que l’on accorda, de son 
vivant, à ses travaux mathématiques. En effet, ses nouvelles fonctions l’isolent de ses collègues 
académiciens puisqu’il ne peut se rendre à l’Académie des sciences qu’environ quatre mois par an. 

De ce fait il ne peut participer à la vie mouvementée de cette assemblée où les clans ont une grande 
importance et jouent un rôle non négligeable dans les promotions et les réputations des savants. De 
plus ses fonctions en lien étroit avec les ministres de la Marine et la monarchie l’éloignent du 
« clan » d’Alembert progressiste et très puissant à l’Académie. Son éloignement et le manque de 
temps l’empêchent aussi de se tenir au courant et de participer aux recherches sur les sujets à la 
mode en mathématiques, le calcul infinitésimal et la mécanique céleste. Travaillant sur l’élimination 
des inconnues dans les équations en 1764, il continuera dans ce domaine jusqu’à sa mort, alors 
même que ce dernier n’est pas considéré comme vraiment important à l’Académie de Paris et que 
d’Alembert écrit dans l’Encyclopédie : « cela n’a aucune difficulté<ref>J. Le Rond d’Alembert, <i>Encyclopédie</i>, article « évanouissement des inconnues » </ref>. » Il a peu de temps pour ses 
travaux mathématiques et, ayant à écrire un cours, c’est là qu’il publie ses résultats au lieu de les 
réserver à des publications académiques. Tout cela explique la réception et la postérité de ses 
travaux que nous allons maintenant examiner.

===III Le devenir de ses travaux===

Parmi les ouvrages publiés de Bézout, les plus importants sont : le mémoire présenté à 
l’Académie des sciences en 1764, <i>Recherches sur le degré des équations résultantes de </i><br/>
<i>l’évanouissement des inconnues et sur les moyens qu’on doit employer pour trouver ces équations</i>, 
dans lequel il démontre que pour deux équations à deux inconnues, de degrés respectifs <i>m</i> et <i>n, </i>le 
degré de la résultante est égal à <i>mn</i>, il introduit la méthode du Bézoutient sans arriver à la 
généraliser et il trouve le PGCD de deux polynômes comme une somme de produits de polynômes 
(Identité de Bézout) ; le volume <i>Algèbre</i> de son <i>Cours de mathématiques pour la Marine</i>, où en 
1766 il généralise complètement la méthode du Bézoutient ; enfin en 1779, la <i>Théorie générale des </i><br/>
<i>équations algébriques</i>, qui contient le Théorème de Bézout, « le degré de la résultante de n 
équations à n inconnues est le produit des degrés ». Nous allons voir, pour chacun de ces résultats, 
les circonstances de leur attribution à ce savant, en les étudiant dans l’ordre chronologique de cette 
reconnaissance, qui est, étonnamment, l’ordre inverse de leurs découvertes. 

====III. 1 Le Théorème de Bézout====
La <i>Théorie générale des équations algébriques</i>, présentée à l’Académie le 17 mars 1779, 
passe inaperçue. À tel point que, la même année, Bézout qui se présente pour être élu académicien 
pensionnaire<ref>C’était la catégorie la plus haute des académiciens et la seule qui valait à ses membres une reconnaissance financière.</ref>, est battu par Bossut, le candidat de d’Alembert, qui n’a pas une œuvre comparable et a moins d’ancienneté. 

Seul Laplace, rapporteur de l’ouvrage<ref>Laplace fut, avec d’Alembert et Duséjour, le rapporteur à l'Académie des Sciences de l'ouvrage de Bézout de 1779, mais le rapport manuscrit est de sa main, ce qui signifie, si l'on en croit les habitudes de l'Académie, que c'est lui qui a étudié l'ouvrage. Cela n'est pas très étonnant car Duséjour était plutôt versé en astronomie et d’Alembert, on l’a vu plus haut, ne voyait pas les difficultés de l'élimination. </ref>, reconnaît son importance et l’intérêt de ses procédés. Son rapport<ref>Registres manuscrits de l’Académie des sciences : <i>RMAS</i> 1779, fol. 83-97. </ref>. est très long, puisqu'il est constitué de 15 pages manuscrites d'une écriture 
très serrée, et, contrairement à ceux dont l'Académie des Sciences a l’habitude - souvent un résumé 
des grandes lignes des ouvrages examinés -, il contient une étude détaillée et minutieuse de l'œuvre. 

Même si Laplace reconnaît que l'exercice est difficile (« Nous allons essayer de donner à 
l'Académie, autant qu'il est possible de le faire sans calcul, une idée du travail de cet 
académicien »), il donne une idée précise du contenu du traité. Il est très admiratif de l'originalité et 
de l'intelligence de la méthode : « Nous remarquerons ici que c'est principalement à cette 
considération fine et importante, que M. Bezout doit l'élégance de sa méthode et la simplicité de ses 
résultats », et il conclut : « Tels sont les principaux objets que M.Bezout a discuté dans son 
ouvrage ; nous n'avons pû dans ce rapport, en donner qu'une idée très imparfaite, par l'impossibilité 
de faire entendre sans calcul des théories difficiles à saisir, lors mesme qu'elles sont présentées avec 
tout le développement dont elles sont susceptibles ; mais nous ne craindrons point d'estre démentis 
par ceux qui liront avec attention cet ouvrage, en assurant qu'il en existe très peu d'aussi utiles au 
progrès de l'analyse par l'importance &amp; la nouveauté de la matièrre, &amp; qui soient également propre à 
intéresser les Géomètres par la finesse et la variété des méthodes ; nous croyons donc qu'il mérite 
d'estre imprimé avec l'approbation et sous le privilège de l'Académie » 

Laplace (1749-1827), beaucoup plus jeune que Bézout, a des points communs avec lui et un 
parcours assez semblable : issu de Beaumont sur Auge, petit village de Normandie, il est venu à 
Paris à 20 ans, est entré dans l’entourage de d’Alembert et grâce à la protection de ce dernier a 
obtenu une place à l’École militaire. Ceci le rapproche de Bézout (qui a rompu avec le clan de 
d’Alembert depuis son échec à l’élection) dont il est l’ami et auquel, grâce à sa recommandation, il 
succèdera à l’Artillerie. Cette amitié est attestée entre autres, par une lettre écrite par Laplace à 
Lagrange à la mort de Bézout en 1783 : « Je regrette infiniment ce dernier [Bézout] auquel j'étais 
fort attaché, et qui a rendu un grand service à l'Analyse par son dernier ouvrage sur la théorie de 
l'élimination. Vous lui avez témoigné toute la satisfaction que la lecture de cet ouvrage vous avait 
causée; et j'ai été témoin du plaisir que lui fit la lettre obligeante que vous lui écrivîtes à ce sujet. Il 
avait pour vous toute l'estime qui vous est due, et votre suffrage le consolait des injustices que 
quelques personnes n'ont cessé de lui faire<ref>Lagrange, <i>Oeuvres</i> t. 14, p. 130] </ref>. » 

Bien après la mort de Bézout (1783), c’est pendant un cours de l’École normale de l’an III 
que l’importance du résultat de son dernier ouvrage sera publiquement reconnue et les élèves de 
cette école étant devenus professeurs dans toute la France, il sera définitivement appelé à partir de 
là, le Théorème de Bézout. En effet, le 11 mars 1795 (ou le 21 ventôse de l'an III) Pierre Simon 
Laplace donne sa sixième leçon de mathématiques aux élèves réunis dans le grand amphithéâtre du 
Muséum d'histoire naturelle. Après avoir expliqué comment trouver le degré de la résultante pour 
deux équations à deux inconnues il énonce : « Vous trouverez cette méthode exposée dans un grand 
détail et appliquée à un nombre quelconque d'équations et d'inconnues dans un très bon ouvrage de 
Bézout qui a pour titre : <i>Théorie des équations</i>. L'auteur y démontre, par une application ingénieuse 
du calcul des différences finies, ce théorème général, savoir que, <i>si l'on a un nombre quelconque d'équations complètes entre un pareil nombre d'inconnues, le degré de l'équation finale, résultant de l'élimination de toutes les inconnues, à l'exception d'une seule, est égal au produit des degrés de toutes ces équations</i><ref>cité dans J. Dhombres dir., <i>L’École normale de l’an III : Leçons de mathématiques</i>, p. 83.</ref>. » Ce résultat, après avoir été précisé et développé par la suite, est devenu un 
théorème fondamental de la géométrie algébrique.

====III. 2 Le Bézoutient====
Bien que ce procédé soit exposé dans son mémoire académique de 1764 pour deux 
équations de même degré, ce n’est qu’en 1766 dans le volume d’<i>Algèbre</i> de son <i>Cours de mathématiques à l’usage des Gardes du Pavillon et de la Marine</i> que Bézout publie l’intégralité de 
ce résultat en le généralisant à tous les cas. Il n’abordera plus ce point  dans aucune autre 
publication. 

Cette notion restera en sommeil pendant environ 70 ans, et ce n'est que vers le milieu du 
XIXe siècle qu'on la voit resurgir. Carl Jacobi (1804-1851), qui découvre ce procédé dans le volume 
<i>Algèbre</i> du cours de Bézout<ref>Il le dit lui-même dans son article <i>De eliminatione variabilis e duabus aequationibus algebraicis</i>, p. 101.</ref>, est le premier qui reprend ce problème de l'élimination sous l'angle 
des systèmes linéaires. Partant de la méthode d'Étienne Bézout, qu’il considère comme un résultat 
anonyme puisqu’il l’a trouvée dans un livre d’enseignement<ref><i>Ibid</i>.</ref>, il en tire d’importantes applications 
et une forme plus moderne du procédé, dans un article<ref><i>Ibid</i>  p. 101-124.</ref> publié dans le <i>Journal de Crelle</i> en 1836. 
De ce fait les milieux mathématiques lui en attribuent la paternité. Comme l'a écrit H.S. White, 
president de l’<i>American mathematical society</i>, en 1909: « <i>Yet what a commentary on the futility of the best efforts is found in the fact that both Jacobi and Minding, only 60 years later, published investigations as new whose methods and results were in effect identical with Bézout's ! At least this showed not that his work was unnecessary, but only that he was in advance of his time</i><ref> H.S. White, <i>Bezout’s theory of resultants and its influence on geometry</i>, p. 332.</ref>. » 

C’est grâce à James Joseph Sylvester<ref>Voir sa biographie: K. Parshall, <i>James Joseph Sylvester, jewish mathematician in a victorian world</i>. </ref> (1814-1897) et aux circonstances particulières de sa 
carrière, que le procédé décrit par Bézout en 1766, lui sera enfin attribué en 1853. Sylvester, après 
de brillantes études mathématiques à Cambridge où il fut reçu second au <i>Tripos</i> (concours 
mathématiques de fin d’études) ne peut y avoir de poste, alors que les cinq autres premiers lauréats 
sont immédiatement nommés dans cette université. On ne lui reconnaît même pas l’obtention de son 
diplôme, car pour l’obtenir il faut jurer, « sur la foi chrétienne », appartenir à l’Église d’Angleterre, 
et Sylvester, qui est de religion juive, refuse de se parjurer. 

Il est donc, de ce fait, coupé du milieu mathématique anglais qui s’intéresse, à cette époque, 
essentiellement à la géométrie et aux mathématiques appliquées. Alors que ses deux premiers 
mémoires publiés en 1837 et 1838 dans le <i>Philosophical magazine</i> portaient sur des questions 
d’optique et de mécanique des fluides, en réaction à la situation que lui impose son propre pays, 
Sylvester se tourne vers la France et son école algébriste. 

Dès le début de 1839 il vient à Paris, travaille sur le théorème que Sturm a publié en 1735, 
se lie avec des mathématiciens français (en particulier Charles Hermite dont il deviendra l’ami), et 
assiste à une séance de l’Institut sur l’élimination algébrique<ref>Il décrit cette séance dans J.J. Sylvester, <i>On rational derivation from equations of coexistence, that is to say, a new and extended Theory of elimination</i>, p. 429. </ref>, séance pendant laquelle le ministère 
de l’Instruction publique demande à ce qu’il soit rédigé des tables d’élimination entre deux 
équations à une inconnue jusqu’au cinquième et sixième degré. Sylvester s’intéresse alors à ce sujet 
et, l’Institut ayant rejeté la demande, il suggère dans un article<ref><i>Ibid</i>. </ref> sur la question, que ces tables 
soient faites par la Royal Society. Pour travailler ce thème de recherche, il étudie les mémoires de 
Bézout déposés à l’Institut (ex Académie royale des sciences), entre autres celui de 1764, et 
comprend que le résultat décrit dans le cours d’algèbre de Bézout, n’est pas un résultat anonyme<ref>Encore moins un résultat du à Jacobi. </ref> 
mais le fruit des recherches de ce dernier. 

Après de nombreuses péripéties, Sylvester devient en 1844 juriste dans une compagnie 
d’assurances à Londres mais continue à faire des mathématiques, et, dans un célèbre article<ref>J.J. Sylvester, <i>On a theory of syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraic common measure</i>.</ref> publié 
dans les <i>Philosophical Transactions</i> en 1853, il appelle alors Bézoutient ce procédé et c’est le nom 
qu’il a toujours. Après son utilisation en tant que forme quadratique par de nombreux 
mathématiciens dont Hermite, et un autre temps d’oubli au XXe siècle, il donne lieu depuis 1976 et 
grâce à l’informatique, à des développements importants en algorithmique.

====III. 3 L’Identité de Bézout====

Elle se déduit de son travail de 1764 mais elle n’est pas exprimée clairement : « je me 
contente d’indiquer cet usage<ref>É. Bézout, <i>Recherches sur le degré des équations résultantes de l’évanouissement des inconnues et sur les moyens qu’on doit employer pour trouver ces équations</i>, p. 337.</ref> », écrit-il après avoir décrit le procédé à suivre en utilisant les 
méthodes de son mémoire. Bézout remarque que grâce à sa méthode, on peut trouver le PGCD de 2 
polynômes comme une somme de produits de ces 2 polynômes. Pendant longtemps ce théorème ne 
fut pas reconnu comme spécialement important. Ainsi dans les cours de la fin du XIXe siècle, soit il 
n’apparaît pas<ref>Nous ne l’avons pas trouvé dans de nombreux cours d’algèbre du niveau des classes préparatoires aux grandes écoles : Niewenglowski, 1889, Salmon, 1890, Amigues, 1891, Prévot et Pieron, 1898, par exemple. </ref>48, soit on le trouve mais démontré grâce à l’algorithme d’Euclide et non attribué à 
Bézout<ref>Ni d’ailleurs à quiconque. </ref>. C’est le cas dans les cours les plus célèbres, l’Algèbre supérieure de Joseph-Alfred Serret  – éditions de 1871, 1877, 1885 –, dans Netto – 1896, 1900, 1907 -, et dans Tannery – 1895, 1906. 

Avec l'émergence de la notion d'idéal sur un anneau, développée depuis 1871 par Richard 
Dedekind mathématicien allemand, dernier élève de Gauss, l’identité est retrouvée<ref>R. Dedekind, <i>Theory of algebraic integers</i>, p. 107. </ref> par le fait que 
dans un anneau principal, tout idéal est engendré par son PGCD. Grâce à cette nouvelle approche 
avec les idéaux, la notion de PGCD rejoint celle de Bézout. On comprend, dès lors, que le lien ait 
été fait par certains mathématiciens et que le théorème ait pu prendre son nom, bien que le résultat 
de Bézout ne soit plus qu’un corollaire du résultat de Dedekind. 

La première attribution à Étienne Bézout semble avoir été faite dans le <i>Précis d’algèbre et de trigonométrie<ref>Cours de Mathématiques spéciales. </ref></i> de Georges Papelier en 1903, mais cet exemple n’est pas suivi. On la retrouve en 
1937 dans <i>Leçons d’algèbre et de géométrie à l’usage des étudiants de la Faculté des sciences de Paris</i>, par René Garnier. Mais c’est l’école française Bourbaki en 1948, dans le contexte de la 
victoire de 1945 sur les Allemands<b>, </b>qui attribue à Bézout le résultat le plus général, publié en 
1952<ref>N. Bourbaki, <i>Modules sur les anneaux principaux</i> </ref> : Soit <math>(a_i)_{i \in I}</math> une famille d’éléments d’un anneau principal <i><b>A</b></i>, les éléments de cette famille 
sont premiers entre eux dans leur ensemble si, et seulement si, il existe une famille <math>(u_i)_{i \in I}</math> d’éléments de <i><b>A</b></i> telle que <math>\sum_{i \in I} a_i u_i = 1</math>.
L’autorité des <i>Éléments de mathématiques</i> et des Bourbakistes a consacré le nom d’Identité de Bézout.

===IV De l’oubli à la reconnaissance===
 
Tout au long de cet écrit nous avons essayé de mettre en lumière certaines situations et 
certains états de fait. 

Dans la vie du personnage lui-même d’abord : La personnalité du mathématicien, qui dans 
un contexte familial peu riche culturellement et un contexte institutionnel défavorable aux 
mathématiques, affirme dès l’âge de vingt ans son choix d’études et de vie ; sa classe sociale qui le 
pousse à choisir une charge lui apportant respectabilité et aisance financière au détriment de sa 
carrière d’académicien et de sa notoriété de mathématicien ; l’éloignement qui découle de cette 
charge et qui l’amène à travailler des sujets peu à la mode et à publier ses travaux dans des livres 
d’enseignement et non dans des mémoires de recherches. 

Dans l’historique de la reconnaissance de ses trois résultats principaux ensuite : Ses liens 
d’amitié avec Laplace, dus, en grande partie, à leur situation commune d’académiciens provinciaux, 
peu fortunés et obligés d’enseigner dans les écoles militaires pour gagner leur vie ; les 
bouleversements politiques de la Révolution française qui permirent la création d’une école pour les 
futurs enseignants de toute la France où les plus grands savants dont Laplace furent nommés 
professeurs ; l’histoire personnelle de Sylvester, rejeté comme mathématicien par son propre pays à 
cause de sa religion et choisissant par obligation et en réaction de travailler les œuvres des 
algébristes français ; enfin la deuxième guerre mondiale et la prépondérance mathématique de 
l’école française de Bourbaki qui choisit le nom d’un français plutôt que celui d’un allemand pour 
désigner un résultat. 

Ce sont ces circonstances et ces contextes, personnels, mathématiques, académiques, 
sociaux, religieux, politiques ou nationalistes qui expliquent, à nos yeux, les importants résultats 
d’Étienne Bézout puis le passage de ceux-ci de l’anonymat à la reconnaissance.

===BIBLIOGRAPHIE===
====Abréviations====
 
:<i>MARS </i>: Histoire de l’Académie royale des sciences, partie Mémoires 
:<i>HARS</i> : Histoire de l’Académie royale des sciences, partie Histoire 
 
:Archives de l’Académie des sciences (Paris) : AAS 
:Registres (manuscrits) de l’Académie des sciences : RMAS (procès-verbaux des séances) 
:Archives départementales de Seine et Marne, à Dammarie-lès-Lys : Arch. dép. Seine et Marne état-civil : éc (suivi de A pour Avon, F pour Fontainebleau, N pour Nemours) notaire Nemours étude Chahuet (1052E ; 749E) : not (suivi de l’année) 
:Archives nationales, à Paris : Arch. nat. 

====Publications====
* Alembert, Jean Le Rond d', article Évanouissement des inconnues, <i>Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers</i>, Paris, 1751-1765 
*Alfonsi, Liliane, <i>Étienne Bézout (1730-1783) : mathématicien, académicien et professeur au siècle </i><br/><i>des Lumières</i>, Paris, Thèse de l’Université Paris VI, 2005 Bézout, Étienne, Sur plusieurs classes d’équations de tous les degrés qui admettent une solution algébrique, <i>MARS </i>1762, p. 17-52 
* Bézout, Étienne, Recherches sur le degré des équations résultantes de l’évanouissement des inconnues et sur les moyens qu’on doit employer pour trouver ces équations, <i>MARS </i>1764, p. 288-338 
* Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon et de la Marine</i>, t. I, Paris, 1764. 
*Bézout, Étienne, Sur la résolution générale des équations de tous les degrés, <i>MARS 1765</i>, p. 533-552 
*Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon et de la Marine</i>, t. II, Paris, 1765. 
*Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon et de la Marine</i>, t. III, Paris, 1766. 
*Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon et de la Marine</i>, t. IV, Paris, 1767. 
*Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon et de la Marine</i>, t. V, Paris, 1767. 
*Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage des gardes du Pavillon et de la Marine</i>, t. VI, Paris, 1769. 
*Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage du Corps royal d’Artillerie</i>, t. I, Paris, 1770. 
* Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage du Corps royal d’Artillerie</i>, t. II, Paris, 1770 
* Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage du Corps royal d’Artillerie</i>, t. III, Paris, 1772 
* Bézout, Étienne, <i>Cours de mathématiques à l’usage du Corps royal d’Artillerie</i>, t. IV, Paris, 1772 
* Bézout, Étienne, <i>Théorie générale des équations algébriques</i>, Paris, 1779. *Bougainville, Louis Antoine, comte de, <i>Traité du calcul intégral</i>, t. II, Paris, 1755. 
* Bourbaki, Nicolas, <i>Modules sur les anneaux principaux</i>, Éléments de mathématiques, <i>Livre II </i><br/>
<i>Algèbre, chap.</i> VII, Paris, Hermann, 1952. 
*Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de, Éloge de M. Bézout, <i>HARS</i> 1783, p. 69-75. 
*Dedekind, Richard, <i>Theory of algebraic integers</i>, 1877. Trad. angl., Cambridge, 1896. 
*Dhombres, Jean, dir., <i>L’École normale de l’an III : Leçons de mathématiques</i>, Paris : Dunod, 1992. 
* Garmy, Christine, Le déclin de l’abbaye de la Joye au XVIIIe siècle, <i>Paris et Ile de France</i>, 1997. 
*Garmy, Christine, Les tanneries de la vallée du Loing, Nemours de la naissance au déclin, <i>Paris et </i><br/>
<i>Ile de France</i>, 2000. 
* Grabiner, Judith V., Bezout, Etienne, <i>Dictionary of Scientific Biography,</i> vol. 2, New-York, 1970, p. 111-114. 
*Jacobi, Carl Gustav Jacob, De eliminatione variabilis e duabus aequationibus algebraicis, <i>J.reine </i><br/>
<i>angew. Math</i>. 1836, t. 15, p. 101-124. 
* Lagrange, Joseph-Louis, <i>Œuvres de Lagrange</i>, t. 14, Paris, 1867-1892. Nielsen, Niels, <i>Géomètres français du dix-huitième siècle</i>, Paris, 1935. Parshall, Karen Hunger, <i>James Joseph Sylvester: Jewish mathematician in a Victorian world,</i> The 
Johns Hopkins University press, Baltimore, 2006. 
* Serret, Joseph-Alfred, <i>Cours d'algèbre supérieure</i>, 2 vol., 4e éd., Paris, 1877 ; rééd. J. Gabay, Paris,  1992. 
*Sylvester, James Joseph, On rational derivation from equations of coexistence, that is to say, a new 
and extended theory of elimination, <i>Philosophical Magazine</i>, 1839, t. 15, p. 428-<br/>435. 
*Sylvester, James Joseph, On a theory of syzygetic relations of two rational integral functions, 
comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraic common measure, <i>Philosophical Transactions</i>, 1853, t. 143, p. 407-548. 
Thoison, Eugène, <i>Nemours en 1698</i>, Nemours, 1896. Thoison, Eugéne, <i>Le collège de Nemours</i>, Nemours, 1907 White, Henry S., Bezout’s theory of resultants and its influence on geometry, <i>Bulletin of the </i><br/>
<i>american mathematical society</i>, 15, 1909, p. 325-338.

===Notes===
<references/>
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==Voir aussi==
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