BourbakiV1, Pmc, Corpus, bibRecord, 000006

***** Acces problem to record *****\

Identifieur interne : 000006 ( Pmc/Corpus ); précédent : 0000059; suivant : 0000070 ***** probable Xml problem with record *****

Links to Exploration step

Le document en format XML

<record><TEI><teiHeader><fileDesc><titleStmt><title xml:lang="en">Some properties of the Catalan–Qi function related to the Catalan numbers</title>
<author><name sortKey="Qi, Feng" sort="Qi, Feng" uniqKey="Qi F" first="Feng" last="Qi">Feng Qi</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff1">Institute of Mathematics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo City, 454010 Henan Province China</nlm:aff>
</affiliation>
<affiliation><nlm:aff id="Aff2">College of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao City, 028043 Inner Mongolia Autonomous Region China</nlm:aff>
</affiliation>
<affiliation><nlm:aff id="Aff4">Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
<author><name sortKey="Mahmoud, Mansour" sort="Mahmoud, Mansour" uniqKey="Mahmoud M" first="Mansour" last="Mahmoud">Mansour Mahmoud</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff3">Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura, 35516 Egypt</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
<author><name sortKey="Shi, Xiao Ting" sort="Shi, Xiao Ting" uniqKey="Shi X" first="Xiao-Ting" last="Shi">Xiao-Ting Shi</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff4">Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
<author><name sortKey="Liu, Fang Fang" sort="Liu, Fang Fang" uniqKey="Liu F" first="Fang-Fang" last="Liu">Fang-Fang Liu</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff4">Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
</titleStmt>
<publicationStmt><idno type="wicri:source">PMC</idno>
<idno type="pmid">27478743</idno>
<idno type="pmc">4951397</idno>
<idno type="url">http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4951397</idno>
<idno type="RBID">PMC:4951397</idno>
<idno type="doi">10.1186/s40064-016-2793-1</idno>
<date when="2016">2016</date>
<idno type="wicri:Area/Pmc/Corpus">000006</idno>
<idno type="wicri:explorRef" wicri:stream="Pmc" wicri:step="Corpus" wicri:corpus="PMC">000006</idno>
</publicationStmt>
<sourceDesc><biblStruct><analytic><title xml:lang="en" level="a" type="main">Some properties of the Catalan–Qi function related to the Catalan numbers</title>
<author><name sortKey="Qi, Feng" sort="Qi, Feng" uniqKey="Qi F" first="Feng" last="Qi">Feng Qi</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff1">Institute of Mathematics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo City, 454010 Henan Province China</nlm:aff>
</affiliation>
<affiliation><nlm:aff id="Aff2">College of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao City, 028043 Inner Mongolia Autonomous Region China</nlm:aff>
</affiliation>
<affiliation><nlm:aff id="Aff4">Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
<author><name sortKey="Mahmoud, Mansour" sort="Mahmoud, Mansour" uniqKey="Mahmoud M" first="Mansour" last="Mahmoud">Mansour Mahmoud</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff3">Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura, 35516 Egypt</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
<author><name sortKey="Shi, Xiao Ting" sort="Shi, Xiao Ting" uniqKey="Shi X" first="Xiao-Ting" last="Shi">Xiao-Ting Shi</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff4">Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
<author><name sortKey="Liu, Fang Fang" sort="Liu, Fang Fang" uniqKey="Liu F" first="Fang-Fang" last="Liu">Fang-Fang Liu</name>
<affiliation><nlm:aff id="Aff4">Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</nlm:aff>
</affiliation>
</author>
</analytic>
<series><title level="j">SpringerPlus</title>
<idno type="eISSN">2193-1801</idno>
<imprint><date when="2016">2016</date>
</imprint>
</series>
</biblStruct>
</sourceDesc>
</fileDesc>
<profileDesc><textClass></textClass>
</profileDesc>
</teiHeader>
<front><div type="abstract" xml:lang="en"><p>In the paper, the authors find some properties of the Catalan numbers, the Catalan function, and the Catalan–Qi function which is a generalization of the Catalan numbers. Concretely speaking, the authors present a new expression, asymptotic expansions, integral representations, logarithmic convexity, complete monotonicity, minimality, logarithmically complete monotonicity, a generating function, and inequalities of the Catalan numbers, the Catalan function, and the Catalan–Qi function. As by-products, an exponential expansion and a double inequality for the ratio of two gamma functions are derived.</p>
</div>
</front>
<back><div1 type="bibliography"><listBibl><biblStruct></biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Alzer, H" uniqKey="Alzer H">H Alzer</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Berg, C" uniqKey="Berg C">C Berg</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Bourbaki, N" uniqKey="Bourbaki N">N Bourbaki</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Bullen, Ps" uniqKey="Bullen P">PS Bullen</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Graham, Rl" uniqKey="Graham R">RL Graham</name>
</author>
<author><name sortKey="Knuth, De" uniqKey="Knuth D">DE Knuth</name>
</author>
<author><name sortKey="Patashnik, O" uniqKey="Patashnik O">O Patashnik</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Koshy, T" uniqKey="Koshy T">T Koshy</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Koumandos, S" uniqKey="Koumandos S">S Koumandos</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Lee, J" uniqKey="Lee J">J Lee</name>
</author>
<author><name sortKey="Tepedelenlio Lu, C" uniqKey="Tepedelenlio Lu C">C Tepedelenlioğlu</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Liu, F F" uniqKey="Liu F">F-F Liu</name>
</author>
<author><name sortKey="Shi, X T" uniqKey="Shi X">X-T Shi</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mahmoud, M" uniqKey="Mahmoud M">M Mahmoud</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Mitrinovi, Ds" uniqKey="Mitrinovi D">DS Mitrinović</name>
</author>
<author><name sortKey="Pe Ari, Je" uniqKey="Pe Ari J">JE Pečarić</name>
</author>
<author><name sortKey="Fink, Am" uniqKey="Fink A">AM Fink</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Chapman, Rj" uniqKey="Chapman R">RJ Chapman</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Chen, C P" uniqKey="Chen C">C-P Chen</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Li, W H" uniqKey="Li W">W-H Li</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Luo, Q M" uniqKey="Luo Q">Q-M Luo</name>
</author>
<author><name sortKey="Guo, B N" uniqKey="Guo B">B-N Guo</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
<author><name sortKey="Shi, X T" uniqKey="Shi X">X-T Shi</name>
</author>
<author><name sortKey="Liu, F F" uniqKey="Liu F">F-F Liu</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Shi, X T" uniqKey="Shi X">X-T Shi</name>
</author>
<author><name sortKey="Liu, F F" uniqKey="Liu F">F-F Liu</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Temme, Nm" uniqKey="Temme N">NM Temme</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Vardi, I" uniqKey="Vardi I">I Vardi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Wei, C F" uniqKey="Wei C">C-F Wei</name>
</author>
<author><name sortKey="Qi, F" uniqKey="Qi F">F Qi</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct><analytic><author><name sortKey="Widder, Dv" uniqKey="Widder D">DV Widder</name>
</author>
</analytic>
</biblStruct>
<biblStruct></biblStruct>
</listBibl>
</div1>
</back>
</TEI>
<pmc article-type="research-article"><pmc-dir>properties open_access</pmc-dir>
  <front><journal-meta><journal-id journal-id-type="nlm-ta">Springerplus</journal-id>
<journal-id journal-id-type="iso-abbrev">Springerplus</journal-id>
<journal-title-group><journal-title>SpringerPlus</journal-title>
</journal-title-group>
<issn pub-type="epub">2193-1801</issn>
<publisher><publisher-name>Springer International Publishing</publisher-name>
<publisher-loc>Cham</publisher-loc>
</publisher>
</journal-meta>
<article-meta><article-id pub-id-type="pmid">27478743</article-id>
<article-id pub-id-type="pmc">4951397</article-id>
<article-id pub-id-type="publisher-id">2793</article-id>
<article-id pub-id-type="doi">10.1186/s40064-016-2793-1</article-id>
<article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research</subject>
</subj-group>
</article-categories>
<title-group><article-title>Some properties of the Catalan–Qi function related to the Catalan numbers</article-title>
</title-group>
<contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><contrib-id contrib-id-type="orcid">http://orcid.org/0000-0001-6239-2968</contrib-id>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>Feng</given-names>
</name>
<address><email>qifeng618@gmail.com</email>
</address>
<xref ref-type="aff" rid="Aff1"></xref>
<xref ref-type="aff" rid="Aff2"></xref>
<xref ref-type="aff" rid="Aff4"></xref>
</contrib>
<contrib contrib-type="author"><name><surname>Mahmoud</surname>
<given-names>Mansour</given-names>
</name>
<address><email>mansour@mans.edu.eg</email>
</address>
<xref ref-type="aff" rid="Aff3"></xref>
</contrib>
<contrib contrib-type="author"><name><surname>Shi</surname>
<given-names>Xiao-Ting</given-names>
</name>
<address><email>xiao-ting.shi@hotmail.com</email>
</address>
<xref ref-type="aff" rid="Aff4"></xref>
</contrib>
<contrib contrib-type="author"><name><surname>Liu</surname>
<given-names>Fang-Fang</given-names>
</name>
<address><email>fang-liu@qq.com</email>
</address>
<xref ref-type="aff" rid="Aff4"></xref>
</contrib>
<aff id="Aff1"><label></label>
Institute of Mathematics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo City, 454010 Henan Province China</aff>
<aff id="Aff2"><label></label>
College of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao City, 028043 Inner Mongolia Autonomous Region China</aff>
<aff id="Aff3"><label></label>
Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura, 35516 Egypt</aff>
<aff id="Aff4"><label></label>
Department of Mathematics, School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin City, 300387 China</aff>
</contrib-group>
<pub-date pub-type="epub"><day>19</day>
<month>7</month>
<year>2016</year>
</pub-date>
<pub-date pub-type="pmc-release"><day>19</day>
<month>7</month>
<year>2016</year>
</pub-date>
<pub-date pub-type="collection"><year>2016</year>
</pub-date>
<volume>5</volume>
<issue>1</issue>
<elocation-id>1126</elocation-id>
<history><date date-type="received"><day>2</day>
<month>5</month>
<year>2016</year>
</date>
<date date-type="accepted"><day>7</day>
<month>7</month>
<year>2016</year>
</date>
</history>
<permissions><copyright-statement>© The Author(s) 2016</copyright-statement>
<license license-type="OpenAccess"><license-p><bold>Open Access</bold>
This article is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (<ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/</ext-link>
), which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons license, and indicate if changes were made.</license-p>
</license>
</permissions>
<abstract id="Abs1"><p>In the paper, the authors find some properties of the Catalan numbers, the Catalan function, and the Catalan–Qi function which is a generalization of the Catalan numbers. Concretely speaking, the authors present a new expression, asymptotic expansions, integral representations, logarithmic convexity, complete monotonicity, minimality, logarithmically complete monotonicity, a generating function, and inequalities of the Catalan numbers, the Catalan function, and the Catalan–Qi function. As by-products, an exponential expansion and a double inequality for the ratio of two gamma functions are derived.</p>
</abstract>
<kwd-group xml:lang="en"><title>Keywords</title>
<kwd>Property</kwd>
<kwd>Catalan number</kwd>
<kwd>Catalan function</kwd>
<kwd>Catalan–Qi function</kwd>
<kwd>Asymptotic expansion</kwd>
<kwd>Integral representation</kwd>
<kwd>Logarithmic convexity</kwd>
<kwd>Complete monotonicity</kwd>
<kwd>Logarithmically complete monotonicity</kwd>
<kwd>Minimality</kwd>
<kwd>Inequality</kwd>
<kwd>Ratio of gamma functions</kwd>
</kwd-group>
<kwd-group xml:lang="--"><title>Mathematics Subject Classification</title>
<kwd>Primary 33B15; Secondary 05A10</kwd>
<kwd>05A15</kwd>
<kwd>05A16</kwd>
<kwd>05A19</kwd>
<kwd>05A20</kwd>
<kwd>11B83</kwd>
<kwd>11Y55</kwd>
<kwd>11Y60</kwd>
<kwd>26A48</kwd>
<kwd>26A51</kwd>
<kwd>26D15</kwd>
<kwd>33C05</kwd>
<kwd>44A20</kwd>
</kwd-group>
<custom-meta-group><custom-meta><meta-name>issue-copyright-statement</meta-name>
<meta-value>© The Author(s) 2016</meta-value>
</custom-meta>
</custom-meta-group>
</article-meta>
</front>
<body><sec id="Sec1"><title>Background</title>
<p>It is stated in Koshy (<xref ref-type="bibr" rid="CR11">2009</xref>
), Stanley and Weisstein (<xref ref-type="bibr" rid="CR37">2015</xref>
) that the Catalan numbers <inline-formula id="IEq1"><alternatives><tex-math id="M1">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M2"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq1.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 for <inline-formula id="IEq2"><alternatives><tex-math id="M3">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M4"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq2.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 form a sequence of natural numbers that occur in tree enumeration problems such as “In how many ways can a regular <italic>n</italic>
-gon be divided into <inline-formula id="IEq3"><alternatives><tex-math id="M5">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n-2$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M6"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq3.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 triangles if different orientations are counted separately?” whose solution is the Catalan number <inline-formula id="IEq4"><alternatives><tex-math id="M7">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_{n-2}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M8"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq4.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. The Catalan numbers <inline-formula id="IEq5"><alternatives><tex-math id="M9">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M10"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq5.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 can be generated by<disp-formula id="Equ1"><label>1</label>
<alternatives><tex-math id="M11">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \frac{2}{1+\sqrt{1-4x}\,} &= \frac{1-\sqrt{1-4x}\,}{2x} =\sum _{n=0}^\infty C_nx^n \\ &= 1+ x+ 2x^2+ 5x^3+ 14x^4+ 42x^5+ 132x^6+ 429x^7+ 1430x^8+\cdots . \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M12" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>5</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>14</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>42</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>132</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>6</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>429</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>7</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1430</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ1.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Two of explicit formulas of <inline-formula id="IEq6"><alternatives><tex-math id="M13">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M14"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq6.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 for <inline-formula id="IEq7"><alternatives><tex-math id="M15">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M16"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq7.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 read that<disp-formula id="Equ2"><label>2</label>
<alternatives><tex-math id="M17">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n=\frac{4^n\Gamma (n+1/2)}{\sqrt{\pi }\,\Gamma (n+2)} ={}_2F_1(1-n,-n;2;1),$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M18" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:msqrt><mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ2.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
where<disp-formula id="Equ38"><alternatives><tex-math id="M19">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Gamma (z)=\int ^\infty _0t^{z-1} e^{-t}{{\text{d}}}t, \quad {\mathfrak {R}}(z)>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M20" display="block"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ38.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
is the classical Euler gamma function and<disp-formula id="Equ39"><alternatives><tex-math id="M21">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${}_pF_q(a_1,\ldots ,a_p;b_1,\ldots ,b_q;z)=\sum _{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots (a_p)_n}{(b_1)_n\cdots (b_q)_n}\frac{z^n}{n!}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M22" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mi>q</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>…</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>…</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>q</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>p</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>q</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ39.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
is the generalized hypergeometric series defined for complex numbers <inline-formula id="IEq8"><alternatives><tex-math id="M23">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_i\in {\mathbb {C}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M24"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq8.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq9"><alternatives><tex-math id="M25">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b_i\in {\mathbb {C}}{\setminus} \{0,-1,-2,\ldots \}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M26"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi>
<mml:mo lspace="0.15em" rspace="0.15em" stretchy="false">\</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>…</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">}</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq9.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, for positive integers <inline-formula id="IEq10"><alternatives><tex-math id="M27">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$p,q\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M28"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>q</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq10.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, and in terms of the rising factorials <inline-formula id="IEq11"><alternatives><tex-math id="M29">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(x)_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M30"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq11.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 defined by<disp-formula id="Equ3"><label>3</label>
<alternatives><tex-math id="M31">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} (x)_n=\prod _{\ell =0}^{n-1}(x+\ell ) = {\left\{ \begin{array}{ll} x(x+1)\cdots (x+n-1), &\quad n\ge 1\\ 1, &\quad n=0 \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M32" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∏</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ3.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
and<disp-formula id="Equ4"><label>4</label>
<alternatives><tex-math id="M33">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-x)_n=(-1)^n(x-n+1)_n.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M34" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ4.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
In Graham et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR6">1994</xref>
), Koshy (<xref ref-type="bibr" rid="CR11">2009</xref>
), Stanley and Weisstein (<xref ref-type="bibr" rid="CR37">2015</xref>
), Vardi (<xref ref-type="bibr" rid="CR39">1991</xref>
), it was mentioned that there exists an asymptotic expansion<disp-formula id="Equ5"><label>5</label>
<alternatives><tex-math id="M35">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x\sim \frac{4^x}{\sqrt{\pi }\,}\biggl (\frac{1}{x^{3/2}}-\frac{9}{8}\frac{1}{x^{5/2}} +\frac{145}{128}\frac{1}{x^{7/2}}+\cdots \biggr )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M36" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>∼</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:msqrt><mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>9</mml:mn>
<mml:mn>8</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>5</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>145</mml:mn>
<mml:mn>128</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>7</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ5.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for the Catalan function <inline-formula id="IEq12"><alternatives><tex-math id="M37">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M38"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq12.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. What is the general expression for the asymptotic expansion (<xref rid="Equ5" ref-type="">5</xref>
)?</p>
<p>In Qi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR31">2015b</xref>
, Remark 1) an analytical generalization of the Catalan numbers <inline-formula id="IEq13"><alternatives><tex-math id="M39">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M40"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq13.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and the Catalan function <inline-formula id="IEq14"><alternatives><tex-math id="M41">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M42"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq14.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 was given by<disp-formula id="Equ6"><label>6</label>
<alternatives><tex-math id="M43">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;z)=\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^z \frac{\Gamma (z+a)}{\Gamma (z+b)}, \quad {\mathfrak {R}}(a),{\mathfrak {R}}(b)>0, \quad {\mathfrak {R}}(z)\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M44" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>z</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ6.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
and the integral representation<disp-formula id="Equ7"><label>7</label>
<alternatives><tex-math id="M45">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C(a,b;x) &= \frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x\frac{(x+a)^x}{(x+b)^{x+b-a}} \\&\quad\times \exp \biggl [b-a+\int _0^\infty \frac{1}{t}\biggl (\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}-a\biggr ) \bigl (e^{-at}-e^{-bt}\bigr )e^{-xt}{{\text{d}}}t\biggr ] \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M46" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ7.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq15"><alternatives><tex-math id="M47">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M48"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq15.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq16"><alternatives><tex-math id="M49">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M50"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq16.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 was derived. For uniqueness and convenience of referring to the quantity (<xref rid="Equ6" ref-type="">6</xref>
), we call <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) the Catalan–Qi function. It is clear that<disp-formula id="Equ40"><alternatives><tex-math id="M51">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;0)=C(a,b;1)=1 \quad \text {and}\quad C(a,b;x)=\frac{1}{C(b,a;x)}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M52" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mtext>and</mml:mtext>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ40.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
The integral representation (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>
) generalizes an integral representation for <inline-formula id="IEq17"><alternatives><tex-math id="M53">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C\bigl (\frac{1}{2},2;x\bigr )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M54"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq17.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in Shi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR36">2015</xref>
). Currently we do not know and understand the combinatorial interpretations of <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) and its integral representation (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>
). Here we would not like to discuss the combinatorial interpretations of them. What we concern here is the asymptotic expansion similar to (<xref rid="Equ5" ref-type="">5</xref>
) for <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
).</p>
<p>In Koshy (<xref ref-type="bibr" rid="CR11">2009</xref>
) and from <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%5fnumber">https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number</ext-link>
, the integral representation<disp-formula id="Equ8"><label>8</label>
<alternatives><tex-math id="M55">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n=\frac{1}{2\pi }\int _0^4\sqrt{\frac{4-x}{x}}\,x^n{{\text{d}}}x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M56" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>4</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ8.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
was listed. In Nkwanta and Tefera (<xref ref-type="bibr" rid="CR17">2013</xref>
, p. 10), there is an integral representation<disp-formula id="Equ41"><alternatives><tex-math id="M57">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n=\frac{2^{2n+5}}{\pi }\int _0^1\frac{x^2\bigl (1-x^2\bigr )^{2n}}{(1+x^2)^{2n+3}}{{\text{d}}}x.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M58" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>5</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ41.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
In Qi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR32">2015c</xref>
, Theorem 1.4), the integral representations<disp-formula id="Equ9"><label>9</label>
<alternatives><tex-math id="M59">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n=\frac{1}{\pi }\int _0^\infty \frac{\sqrt{t}\,}{(t+1/4)^{n+2}}{{\text{d}}}t =\frac{2}{\pi }\int _0^{\infty }\frac{t^2}{(t^2+1/4)^{n+2}}{{\mathrm{d}}}t, \quad n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M60" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ9.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
was established. In Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
, Theorem 1.3), the equivalence relation between (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
) and (<xref rid="Equ9" ref-type="">9</xref>
) was verified. What is the integral representation of the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) similar to either (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
) or (<xref rid="Equ9" ref-type="">9</xref>
)?</p>
<p>From the power series (<xref rid="Equ1" ref-type="">1</xref>
), we observe that the Catalan numbers <inline-formula id="IEq18"><alternatives><tex-math id="M61">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M62"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq18.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is an increasing sequence in <inline-formula id="IEq19"><alternatives><tex-math id="M63">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M64"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq19.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 with <inline-formula id="IEq20"><alternatives><tex-math id="M65">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_0=C_1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M66"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq20.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. What about the monotonicity and convexity of the Catalan numbers <inline-formula id="IEq21"><alternatives><tex-math id="M67">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M68"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq21.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, the Catalan function <inline-formula id="IEq22"><alternatives><tex-math id="M69">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M70"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq22.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, and the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
)? In Temme (<xref ref-type="bibr" rid="CR38">1996</xref>
, p. 67), it was listed that<disp-formula id="Equ42"><alternatives><tex-math id="M71">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\Gamma (z+a)}{\Gamma (z+b)}=\frac{1}{\Gamma (b-a)}\int _0^\infty \bigl (1-e^{-u}\bigr )^{b-a-1}e^{-(z+a)u}{{\text{d}}}u, \quad b>a\ge 0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M72" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ42.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Accordingly, we obtain an alternative integral representation<disp-formula id="Equ10"><label>10</label>
<alternatives><tex-math id="M73">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;x)=\frac{1}{B(a,b-a)}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x \int _0^\infty \bigl (1-e^{-u}\bigr )^{b-a-1} e^{-(x+a)u}{{\text{d}}}u$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M74" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ10.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq23"><alternatives><tex-math id="M75">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M76"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq23.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq24"><alternatives><tex-math id="M77">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M78"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq24.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, where <italic>B</italic>
(<italic>z</italic>
, <italic>w</italic>
) denotes the classical beta function which can be defined (Abramowitz and Stegun <xref ref-type="bibr" rid="CR1">1972</xref>
, p. 258, 6.2.1 and 6.2.2) by<disp-formula id="Equ11"><label>11</label>
<alternatives><tex-math id="M79">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B(z,w)=\int _0^1t^{z-1}(1-t)^{w-1}{{\text{d}}}t =\int _0^\infty \frac{t^{z-1}}{(1+t)^{z+w}}{{\mathrm{d}}}t$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M80" display="block"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ11.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq25"><alternatives><tex-math id="M81">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathfrak {R}}(z)>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M82"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq25.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq26"><alternatives><tex-math id="M83">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathfrak {R}}(w)>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M84"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq26.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and satisfies<disp-formula id="Equ12"><label>12</label>
<alternatives><tex-math id="M85">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B(z,w)=\frac{\Gamma (z)\Gamma (w)}{\Gamma (z+w)}=B(w,z).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M86" display="block"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>w</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ12.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
From the integral representations (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
) and (<xref rid="Equ9" ref-type="">9</xref>
), one can not apparently see any message about the monotonicity and convexity of the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) in <inline-formula id="IEq27"><alternatives><tex-math id="M87">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M88"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq27.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
<p>As showed by (<xref rid="Equ1" ref-type="">1</xref>
), the Catalan numbers <inline-formula id="IEq28"><alternatives><tex-math id="M89">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M90"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq28.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 have a generating function <inline-formula id="IEq29"><alternatives><tex-math id="M91">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{2}{1+\sqrt{1-4x}\,}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M92"><mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq29.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. What is the generating function of the Catalan–Qi numbers <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>n</italic>
)?</p>
<p>The aim of this paper is to supply answers to the above problems and others.</p>
</sec>
<sec id="Sec2"><title>A new expression of the Catalan numbers</title>
<p>In order to establish a new expression for the Catalan numbers <inline-formula id="IEq30"><alternatives><tex-math id="M93">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M94"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq30.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, we need the following lemma which was summarized up in the papers Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR20">2015c</xref>
, Section 2.2, p. 849), Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR23">2016</xref>
, p. 94), and Wei and Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR40">2015</xref>
, Lemma 2.1) from Bourbaki (<xref ref-type="bibr" rid="CR4">2004</xref>
, p. 40, Exercise 5).</p>
<sec id="FPar1"><title><bold>Lemma 1</bold>
</title>
<p><italic>Let</italic>
<italic>u</italic>
(<italic>x</italic>
) <italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq31"><alternatives><tex-math id="M95">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v(x)\ne 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M96"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>≠</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq31.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>be differentiable functions, let</italic>
<inline-formula id="IEq32"><alternatives><tex-math id="M97">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$U_{(n+1)\times 1}(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M98"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>U</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq32.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>be an</italic>
<inline-formula id="IEq33"><alternatives><tex-math id="M99">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(n+1)\times 1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M100"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq33.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>matrix whose elements</italic>
<inline-formula id="IEq34"><alternatives><tex-math id="M101">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u_{k,1}(x)=u^{(k-1)}(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M102"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq34.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>for</italic>
<inline-formula id="IEq35"><alternatives><tex-math id="M103">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1\le k\le n+1,$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M104"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq35.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>let</italic>
<inline-formula id="IEq36"><alternatives><tex-math id="M105">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$V_{(n+1)\times n}(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M106"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq36.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>be an</italic>
<inline-formula id="IEq37"><alternatives><tex-math id="M107">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(n+1)\times n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M108"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq37.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>matrix whose elements</italic>
<disp-formula id="Equ43"><alternatives><tex-math id="M109">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v_{i,j}(x)= {\left\{ \begin{array}{ll} \genfrac(){0.0pt}0{i-1}{j-1}v^{(i-j)}(x), &\quad i-j\ge 0\\ 0, &\quad i-j<0 \end{array}\right. }$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M110" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfenced close=")" open="("><mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac linethickness="0.0pt"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mstyle>
</mml:mfenced>
<mml:msup><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ43.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>for</italic>
<inline-formula id="IEq38"><alternatives><tex-math id="M111">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1\le i\le n+1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M112"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq38.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq39"><alternatives><tex-math id="M113">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1\le j\le n,$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M114"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq39.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>and let</italic>
<inline-formula id="IEq40"><alternatives><tex-math id="M115">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|W_{(n+1)\times (n+1)}(x)|$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M116"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub><mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq40.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>denote the determinant of the</italic>
<inline-formula id="IEq41"><alternatives><tex-math id="M117">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(n+1)\times (n+1)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M118"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq41.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>matrix</italic>
<disp-formula id="Equ44"><alternatives><tex-math id="M119">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$W_{(n+1)\times (n+1)}(x)=\begin{bmatrix}U_{(n+1)\times 1}(x)&V_{(n+1)\times n}(x)\end{bmatrix}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M120" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>U</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ44.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>Then the nth derivative of the ratio</italic>
<inline-formula id="IEq42"><alternatives><tex-math id="M121">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{u(x)}{v(x)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M122"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq42.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>can be computed by</italic>
<disp-formula id="Equ13"><label>13</label>
<alternatives><tex-math id="M123">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}x^n}\biggl [\frac{u(x)}{v(x)}\biggr ] =(-1)^n\frac{\bigl |W_{(n+1)\times (n+1)}(x)\bigr |}{v^{n+1}(x)}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M124" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub><mml:mi>W</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">|</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ13.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
<p>Making use of the formula (<xref rid="Equ13" ref-type="">13</xref>
) in Lemma <xref ref-type="sec" rid="FPar1">1</xref>
, we can obtain the following new expression for the Catalan numbers <inline-formula id="IEq43"><alternatives><tex-math id="M125">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M126"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq43.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar2"><title><bold>Theorem 1</bold>
</title>
<p><italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq44"><alternatives><tex-math id="M127">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M128"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq44.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the nth derivative of the generating function of the Catalan numbers</italic>
<inline-formula id="IEq45"><alternatives><tex-math id="M129">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M130"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq45.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>can be expressed as</italic>
<disp-formula id="Equ45"><alternatives><tex-math id="M131">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}x^n}\biggl (\frac{1-\sqrt{1-4x}\,}{2x}\biggr ) =\frac{(-1)^{n+1}}{2{x^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}4^k \biggl \langle \frac{1}{2}\biggr \rangle _kx^{k}(1-4x)^{1/2-k}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M132" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ45.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>and the Catalan numbers</italic>
<inline-formula id="IEq46"><alternatives><tex-math id="M133">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M134"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq46.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>can be represented as</italic>
<disp-formula id="Equ46"><alternatives><tex-math id="M135">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n=\frac{4^n}{(n+1)!}\biggl (\frac{1}{2}\biggr )_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M136" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ46.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>where</italic>
<inline-formula id="IEq47"><alternatives><tex-math id="M137">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\langle x\rangle _n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M138"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq47.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>is the falling factorial defined by</italic>
<disp-formula id="Equ47"><alternatives><tex-math id="M139">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}\langle x\rangle _n= \prod _{k=0}^{n-1}(x-k)= {\left\{ \begin{array}{ll} x(x-1)\cdots (x-n+1), &\quad n\ge 1,\\ 1,&\quad n=0 \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M140" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∏</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ47.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq48"><alternatives><tex-math id="M141">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(x)_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M142"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq48.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>is the rising factorial defined by</italic>
 (<xref rid="Equ3" ref-type="">3</xref>
).</p>
</sec>
<sec id="FPar3"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>Let <inline-formula id="IEq49"><alternatives><tex-math id="M143">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u(x)=1-\sqrt{1-4x}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M144"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq49.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq50"><alternatives><tex-math id="M145">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$v(x)=x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M146"><mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq50.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. Since<disp-formula id="Equ48"><alternatives><tex-math id="M147">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u^{(k)}(x)=(-1)^{k+1}4^k\biggl \langle \frac{1}{2}\biggr \rangle _k(1-4x)^{1/2-k} \rightarrow (-1)^{k+1}4^k\biggl \langle \frac{1}{2}\biggr \rangle _k$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M148" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ48.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq51"><alternatives><tex-math id="M149">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M150"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq51.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 as <inline-formula id="IEq52"><alternatives><tex-math id="M151">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M152"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq52.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, making use of the formula (<xref rid="Equ13" ref-type="">13</xref>
) yields<disp-formula id="Equ49"><alternatives><tex-math id="M153">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}x^n}\biggl (\frac{1-\sqrt{1-4x}\,}{2x}\biggr )\\&\quad =\frac{(-1)^n}{2x^{n+1}} \begin{vmatrix} u(x)&\quad x&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u'(x)&\quad \left( {\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}}\right)&\quad x&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u''(x)&\quad 0&\quad \left( {\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}}\right)&\quad x&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u'''(x)&\quad 0&\quad 0&\quad \left( {\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}}\right)&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \ddots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots \\ u^{(n-2)}(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad \left( {\begin{array}{c}n-2\\ n-3\end{array}}\right)&\quad x&\quad 0\\ u^{(n-1)}(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad \left( {\begin{array}{c}n-1\\ n-2\end{array}}\right)&\quad x\\ u^{(n)}(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad \left( {\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}}\right) \end{vmatrix} \\&\quad =\frac{(-1)^n}{2x^{n+1}} \begin{vmatrix} u(x)&\quad x&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u'(x)&\quad 1&\quad x&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u''(x)&\quad 0&\quad 2&\quad x&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u'''(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 3&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \ddots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots \\ u^{(n-2)}(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad n-2&\quad x&\quad 0\\ u^{(n-1)}(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad n-1&\quad x\\ u^{(n)}(x)&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad n \end{vmatrix} = \frac{(-1)^n}{2x^{n+1}} \\&\quad\qquad \times \begin{vmatrix} u(x)&\quad x&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u'(x)-\frac{u(x)}{x}&\quad 0&\quad x&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u''(x)-\frac{2}{x}\bigl [u'(x)-\frac{u(x)}{x}\bigr ]&\quad 0&\quad 0&\quad x&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ u'''(x)-\frac{3}{x}\bigl \{u''(x)-\frac{2}{x}\bigl [u'(x)-\frac{u(x)}{x}\bigr ]\bigr \}&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \ddots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots \\ u^{(n-2)}(x)-\sum _{k=1}^{n-2}(-1)^k \frac{(n-2)!}{(n-k-2)!} \frac{u^{(n-k-2)}(x)}{x^k}&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad x&\quad 0\\ u^{(n-1)}(x)-\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^k \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!} \frac{u^{(n-k-1)}(x)}{x^k}&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad x\\ u^{(n)}(x)-\sum _{k=1}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!} \frac{u^{(n-k)}(x)}{x^k}&\quad 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0 \end{vmatrix} \\&\quad = \frac{1}{2x^{n+1}}\Biggl [u^{(n)}(x)-\sum _{k=1}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!} \frac{u^{(n-k)}(x)}{x^k}\Biggr ] \begin{vmatrix} x&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ 0&\quad x&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ 0&\quad 0&\quad x&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad 0\\ \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \ddots&\quad \vdots&\quad \vdots&\quad \vdots \\ 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad x&\quad 0\\ 0&\quad 0&\quad 0&\quad \cdots&\quad 0&\quad 0&\quad x \end{vmatrix} \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M154" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd></mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfenced close="|" open="|" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋱</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfenced close="|" open="|" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋱</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mspace width="2em"></mml:mspace>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mfenced close="|" open="|" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">{</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">}</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋱</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfenced close="|" open="|" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋱</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋮</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ49.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<disp-formula id="Equ50"><alternatives><tex-math id="M155">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\quad= \frac{1}{2x}\Biggl [u^{(n)}(x)-\sum _{k=1}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!} \frac{u^{(n-k)}(x)}{x^k}\Biggr ] \\&\quad =\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}\frac{u^{(n-k)}(x)}{x^{k+1}}\\&\quad =\frac{1}{2{x^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}u^{(n-k)}(x)\\&\quad =(-1)^n\frac{1}{2{x^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{k!}x^{k}u^{(k)}(x)\\&\quad \rightarrow \frac{(-1)^n}{2(n+1)!} \sum _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{k!}\lim _{x\rightarrow 0}\bigl [x^{k}u^{(k)}(x)\bigr ]^{(n+1)}\\&\quad =\frac{(-1)^n}{2(n+1)!} \sum _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{k!} \lim _{x\rightarrow 0} \sum _{\ell =0}^{n+1}\left( {\begin{array}{c}n+1\\ \ell \end{array}}\right) \bigl (x^{k}\bigr )^{(\ell )} u^{(n-\ell +k)}(x)\\&\quad =\frac{(-1)^n}{2(n+1)!} \sum _{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{k!}\left( {\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}}\right) k!u^{(n)}(0)\\&\quad =\frac{(-1)^n}{2(n+1)} \sum _{k=0}^{n}(-1)^k\left( {\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}}\right) u^{(n)}(0)\\&\quad =\frac{(-1)^n}{2(n+1)}(-1)^{n+1}4^n\biggl \langle \frac{1}{2}\biggr \rangle _n \sum _{k=0}^{n}(-1)^k\left( {\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}}\right) \\&\quad =-\frac{4^n}{2(n+1)}\biggl \langle \frac{1}{2}\biggr \rangle _n \sum _{k=0}^{n}(-1)^k\left( {\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}}\right) \\&\quad =(-1)^{n+1}\frac{4^n}{2(n+1)}\biggl \langle \frac{1}{2}\biggr \rangle _n\\&\quad =\frac{4^n}{n+1}\biggl \langle -\frac{1}{2}\biggr \rangle _n =\frac{4^n}{n+1}\biggl (\frac{1}{2}\biggr )_n \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M156" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd></mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ50.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
as <inline-formula id="IEq53"><alternatives><tex-math id="M157">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M158"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq53.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. By virtue of the second function in the Eq. (<xref rid="Equ1" ref-type="">1</xref>
), we see that<disp-formula id="Equ51"><alternatives><tex-math id="M159">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C_n &= \frac{1}{n!}\lim _{x\rightarrow 0}\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}x^n}\biggl (\frac{1-\sqrt{1-4x}\,}{2x}\biggr )\\ &= (-1)^{n}\frac{4^n}{(n+1)!}\biggl \langle -\frac{1}{2}\biggr \rangle _n =\frac{4^n}{(n+1)!}\biggl (\frac{1}{2}\biggr )_n. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M160" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〈</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">〉</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ51.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar2">1</xref>
 is complete. <inline-formula id="IEq54"><alternatives><tex-math id="M161">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M162"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq54.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
</sec>
<sec id="Sec3"><title>Asymptotic expansions of the Catalan–Qi function <inline-formula id="IEq55"><alternatives><tex-math id="M163">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varvec{C(a,b;x)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M164"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold-italic">C</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">b</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">x</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq55.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</title>
<p>We first derive two asymptotic expansions of the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
). Consequently, from these two asymptotic expansions, we deduce a general expression for (<xref rid="Equ5" ref-type="">5</xref>
) and an asymptotic expansion of the ratio <inline-formula id="IEq56"><alternatives><tex-math id="M165">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\Gamma (a)}{\Gamma (b)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M166"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq56.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 for <inline-formula id="IEq57"><alternatives><tex-math id="M167">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M168"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq57.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
<sec id="FPar4"><title><bold>Theorem 2</bold>
</title>
<p><italic>Let</italic>
<inline-formula id="IEq58"><alternatives><tex-math id="M169">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_k^{(\sigma )}(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M170"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">σ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq58.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>denote the generalized Bernoulli polynomials defined by</italic>
<disp-formula id="Equ14"><label>14</label>
<alternatives><tex-math id="M171">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$e^{xz}\biggl (\frac{z}{e^z-1}\biggr )^\sigma =\sum _{k=0}^\infty \frac{B_k^{(\sigma )}(x)}{k!}z^k, \quad \sigma \in {\mathbb {C}}, \quad |z|<2\pi.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M172" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="italic">σ</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">σ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="italic">σ</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ14.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq59"><alternatives><tex-math id="M173">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M174"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq59.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the Catalan–Qi function</italic>
<italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) <italic>has the asymptotic expansion</italic>
<disp-formula id="Equ15"><label>15</label>
<alternatives><tex-math id="M175">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;x)\sim \frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x \sum _{k=0}^\infty (-1)^k\frac{B_k^{(a-b+1)}(a)}{k!}\frac{\Gamma (b-a+k)}{\Gamma (b-a)}\frac{1}{x^{k+b-a}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M176" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>∼</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ15.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>as</italic>
<inline-formula id="IEq60"><alternatives><tex-math id="M177">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow \infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M178"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq60.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. <italic>Consequently, the Catalan function</italic>
<inline-formula id="IEq61"><alternatives><tex-math id="M179">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M180"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq61.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>has the asymptotic expansion</italic>
<disp-formula id="Equ16"><label>16</label>
<alternatives><tex-math id="M181">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x=C\biggl (\frac{1}{2},2;x\biggr )\sim \frac{4^x}{\sqrt{\pi }\,} \sum _{k=0}^\infty (-1)^k\frac{B_k^{(-1/2)}(1/2)}{k!}\frac{\Gamma (k+3/2)}{\Gamma (3/2)}\frac{1}{x^{k+3/2}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M182" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>∼</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:msqrt><mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ16.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
as <inline-formula id="IEq62"><alternatives><tex-math id="M183">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow \infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M184"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq62.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar5"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>In Temme (<xref ref-type="bibr" rid="CR38">1996</xref>
, p. 67), it was listed that, under the condition <inline-formula id="IEq63"><alternatives><tex-math id="M185">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathfrak {R}}(b-a)>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M186"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq63.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
,<disp-formula id="Equ52"><alternatives><tex-math id="M187">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\Gamma (z+a)}{\Gamma (z+b)}\sim z^{a-b}\sum _{k=0}^\infty (-1)^k\frac{B_k^{(a-b+1)}(a)}{k!}\frac{\Gamma (b-a+k)}{\Gamma (b-a)}\frac{1}{z^k}\quad \text {as } z\rightarrow \infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M188" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>∼</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mtext>as</mml:mtext>
<mml:mspace width="0.333333em"></mml:mspace>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ52.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
in the sector <inline-formula id="IEq64"><alternatives><tex-math id="M189">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$|\arg z|<\pi$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M190"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
<mml:mo>arg</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq64.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, where the generalized Bernoulli polynomials <inline-formula id="IEq65"><alternatives><tex-math id="M191">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_k^{(\sigma )}(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M192"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">σ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq65.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 are defined by (<xref rid="Equ14" ref-type="">14</xref>
) in Temme (<xref ref-type="bibr" rid="CR38">1996</xref>
, p. 4). Consequently, the function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) has the asymptotic expansion (<xref rid="Equ15" ref-type="">15</xref>
) under the condition <inline-formula id="IEq66"><alternatives><tex-math id="M193">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M194"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq66.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 as <inline-formula id="IEq67"><alternatives><tex-math id="M195">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow \infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M196"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq67.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. In particular, when taking <inline-formula id="IEq68"><alternatives><tex-math id="M197">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a=\frac{1}{2}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M198"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq68.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq69"><alternatives><tex-math id="M199">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b=2$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M200"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq69.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in (<xref rid="Equ15" ref-type="">15</xref>
), we obtain the asymptotic expansion (<xref rid="Equ16" ref-type="">16</xref>
). Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar4">2</xref>
 is thus proved. <inline-formula id="IEq70"><alternatives><tex-math id="M201">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M202"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq70.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar6"><title><italic>Remark 1</italic>
</title>
<p>In Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
), there are another two asymptotic expansions for <inline-formula id="IEq71"><alternatives><tex-math id="M203">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M204"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq71.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq72"><alternatives><tex-math id="M205">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M206"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq72.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, which were established by virtue of the integral representations (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
) and (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>
) for <inline-formula id="IEq73"><alternatives><tex-math id="M207">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a=\frac{1}{2}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M208"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq73.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq74"><alternatives><tex-math id="M209">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b=2$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M210"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq74.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar7"><title><italic>Remark 2</italic>
</title>
<p>The asymptotic expansion (<xref rid="Equ16" ref-type="">16</xref>
) is a general expression of the asymptotic expansion (<xref rid="Equ5" ref-type="">5</xref>
). Hence, the asymptotic expansion (<xref rid="Equ15" ref-type="">15</xref>
) is a generalization of (<xref rid="Equ5" ref-type="">5</xref>
).</p>
</sec>
<sec id="FPar8"><title><bold>Theorem 3</bold>
</title>
<p><italic>Let</italic>
<inline-formula id="IEq75"><alternatives><tex-math id="M211">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_i$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M212"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq75.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>denote the Bernoulli numbers defined by</italic>
<disp-formula id="Equ17"><label>17</label>
<alternatives><tex-math id="M213">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{i=0}^\infty B_i\frac{x^i}{i!} =1-\frac{x}{2}+\sum _{j=1}^\infty B_{2j}\frac{x^{2j}}{(2j)!}, \quad \vert x\vert <2\pi .$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M214" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi mathvariant="italic">π</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ17.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>Then the Catalan–Qi function C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) <italic>has the exponential expansion</italic>
<disp-formula id="Equ18"><label>18</label>
<alternatives><tex-math id="M215">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C(a,b;x) &= \frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x\sqrt{\frac{x+b}{x+a}}\, [I(x+a,x+b)]^{a-b} \\&\quad\times \exp \Biggl [\sum _{j=1}^\infty \frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{(x+a)^{2j-1}}-\frac{1}{(x+b)^{2j-1}}\biggr )\Biggr ], \quad a,b>0, \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M216" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ18.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>where</italic>
<inline-formula id="IEq76"><alternatives><tex-math id="M217">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$I(\alpha ,\beta )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M218"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq76.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>denotes the exponential mean defined by</italic>
<disp-formula id="Equ19"><label>19</label>
<alternatives><tex-math id="M219">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$I(\alpha ,\beta )=\frac{1}{e}\biggl (\frac{\beta ^\beta }{\alpha ^\alpha }\biggr )^{1/(\beta -\alpha )}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M220" display="block"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>e</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ19.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>for</italic>
<inline-formula id="IEq77"><alternatives><tex-math id="M221">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha ,\beta >0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M222"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq77.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>with</italic>
<inline-formula id="IEq78"><alternatives><tex-math id="M223">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \ne \beta$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M224"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo>≠</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq78.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. <italic>Consequently, we have</italic>
<disp-formula id="Equ20"><label>20</label>
<alternatives><tex-math id="M225">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\Gamma (a)}{\Gamma (b)}=\sqrt{\frac{b}{a}}\, \frac{a^a}{b^b} \exp \Biggl [\sum _{j=1}^\infty \frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{a^{2j-1}}-\frac{1}{b^{2j-1}}\biggr )\Biggr ], \quad a,b>0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M226" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ20.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar9"><title>Proof</title>
<p>Making use of (<xref rid="Equ17" ref-type="">17</xref>
) in the integral representation (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>
) yields<disp-formula id="Equ53"><alternatives><tex-math id="M227">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C(a,b;x)&=\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x\frac{(x+a)^x}{(x+b)^{x+b-a}} \exp \biggl [b-a\\&\quad +\int _0^\infty \frac{1}{t}\biggl (\frac{1}{e^t-1}-\frac{1}{t}+1-a\biggr ) \bigl (e^{-at}-e^{-bt}\bigr )e^{-xt}{{\text{d}}}t\biggr ]\\&=\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x\frac{(x+a)^x}{(x+b)^{x+b-a}} \exp \Biggl [b-a\\&\quad +\int _0^\infty \frac{1}{t}\Biggl (\frac{1}{2}-a+\sum _{j=1}^\infty B_{2j}\frac{t^{2j-1}}{(2j)!}\Biggr ) \bigl (e^{-at}-e^{-bt}\bigr )e^{-xt}{{\text{d}}}t\Biggr ]\\&=\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x\frac{(x+a)^x}{(x+b)^{x+b-a}} \exp \Biggl [b-a+\biggl (\frac{1}{2}-a\biggr )\ln \frac{x+b}{x+a}\\&\quad +\sum _{j=1}^\infty \frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{(x+a)^{2j-1}}-\frac{1}{(x+b)^{2j-1}}\biggr )\Biggr ]\\&=\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^x\frac{(x+a)^{x+a-1/2}}{(x+b)^{x+b-1/2}}e^{b-a}\\&\quad \times \exp \Biggl [\sum _{j=1}^\infty \frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{(x+a)^{2j-1}}-\frac{1}{(x+b)^{2j-1}}\biggr )\Biggr ] \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M228" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>×</mml:mo>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ53.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
which can be reformulated as the form (<xref rid="Equ18" ref-type="">18</xref>
).</p>
<p>The exponential expansion (<xref rid="Equ20" ref-type="">20</xref>
) follows from letting <inline-formula id="IEq79"><alternatives><tex-math id="M229">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M230"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq79.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in (<xref rid="Equ18" ref-type="">18</xref>
) and rearranging. Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar8">3</xref>
 is thus proved. <inline-formula id="IEq80"><alternatives><tex-math id="M231">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M232"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq80.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar10"><title><italic>Remark 3</italic>
</title>
<p>When taking <inline-formula id="IEq81"><alternatives><tex-math id="M233">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a=\frac{1}{2}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M234"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq81.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq82"><alternatives><tex-math id="M235">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b=2$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M236"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq82.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, the asymptotic expansion (<xref rid="Equ18" ref-type="">18</xref>
) reduces to one of conclusions in Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
, Theorem 1.2).</p>
</sec>
<sec id="FPar11"><title><italic>Remark 4</italic>
</title>
<p>For more information on the exponential mean <inline-formula id="IEq83"><alternatives><tex-math id="M237">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$I(\alpha ,\beta )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M238"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">β</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq83.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in (<xref rid="Equ19" ref-type="">19</xref>
), please refer to the monograph (Bullen <xref ref-type="bibr" rid="CR5">2003</xref>
) and the papers (Guo and Qi <xref ref-type="bibr" rid="CR8">2009</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR9">2011</xref>
).</p>
</sec>
</sec>
<sec id="Sec4"><title>Integral representations and complete monotonicity of the Catalan–Qi function <inline-formula id="IEq84"><alternatives><tex-math id="M239">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varvec{C(a,b;x)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M240"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold-italic">C</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">b</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">x</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq84.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</title>
<p>Motivated by the first integral representations (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
) and (<xref rid="Equ9" ref-type="">9</xref>
), we guess out the following integral representations for the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
).</p>
<sec id="FPar12"><title><bold>Theorem 4</bold>
</title>
<p><italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq85"><alternatives><tex-math id="M241">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M242"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq85.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq86"><alternatives><tex-math id="M243">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M244"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq86.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the Catalan–Qi function</italic>
<italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) <italic>has integral representations</italic>
<disp-formula id="Equ21"><label>21</label>
<alternatives><tex-math id="M245">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;x)=\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^{b-1} \frac{1}{B(a,b-a)} \int _0^{b/a}\biggl (\frac{b}{a}-t\biggr )^{b-a-1}t^{x+a-1}{{\text{d}}}t$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M246" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ21.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>and</italic>
<disp-formula id="Equ22"><label>22</label>
<alternatives><tex-math id="M247">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;x)=\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^{a}\frac{1}{B(a,b-a)}\int _0^\infty \frac{t^{b-a-1}}{(t+a/b)^{x+b}}{{\text{d}}}t.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M248" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ22.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar13"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>Straightforwardly computing and directly utilizing (<xref rid="Equ11" ref-type="">11</xref>
) and (<xref rid="Equ12" ref-type="">12</xref>
) acquire<disp-formula id="Equ54"><alternatives><tex-math id="M249">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _0^\infty \frac{t^{b-a-1}}{(t+a/b)^{x+b}} {{\text{d}}}t&=\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+b}\int _0^\infty \frac{t^{b-a-1}}{(1+bt/a)^{x+b}} {{\mathrm{d}}}t\\&=\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+b}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{a-b} \int _0^\infty \frac{\bigl (\frac{bt}{a}\bigr )^{b-a-1}}{\bigl (1+\frac{bt}{a}\bigr )^{x+b}} {{\text{d}}}\biggl (\frac{bt}{a}\biggr )\\&=\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+a} \int _0^\infty \frac{u^{b-a-1}}{(1+u)^{b-a+(x+a)}} {{\text{d}}}u\\&=\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+a}B(b-a,x+a)\\&=\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+a}\frac{\Gamma (b-a)\Gamma (x+a)}{\Gamma (x+b)}. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M250" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ54.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
The integral representation (<xref rid="Equ21" ref-type="">21</xref>
) is thus proved.</p>
<p>Similar to the above argument, by virtue of (<xref rid="Equ11" ref-type="">11</xref>
) and (<xref rid="Equ12" ref-type="">12</xref>
), we obtain<disp-formula id="Equ55"><alternatives><tex-math id="M251">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \int _0^{b/a}\biggl (\frac{b}{a}-t\biggr )^{b-a-1}t^{x+a-1}{{\text{d}}}t &= \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+b-1}\int _0^1(1-s)^{b-a-1}s^{x+a-1}{{\text{d}}}s\\ &= \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+b-1}B(b-a,x+a) =\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+b-1}\frac{\Gamma (b-a)\Gamma (x+a)}{\Gamma (x+b)}. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M252" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>s</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ55.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Hence, the integral representation (<xref rid="Equ22" ref-type="">22</xref>
) follows readily. The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar12">4</xref>
 is thus complete. <inline-formula id="IEq87"><alternatives><tex-math id="M253">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M254"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq87.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar14"><title><italic>Remark 5</italic>
</title>
<p>Letting <inline-formula id="IEq88"><alternatives><tex-math id="M255">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a=\frac{1}{2}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M256"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq88.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <inline-formula id="IEq89"><alternatives><tex-math id="M257">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b=2$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M258"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq89.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, and <inline-formula id="IEq90"><alternatives><tex-math id="M259">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x=n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M260"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq90.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in (<xref rid="Equ22" ref-type="">22</xref>
) and (<xref rid="Equ21" ref-type="">21</xref>
) respectively reduce to the first integral representation in (<xref rid="Equ9" ref-type="">9</xref>
) and its equivalent form (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
).</p>
</sec>
<sec id="FPar15"><title><italic>Remark 6</italic>
</title>
<p>In <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%5fnumber">https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number</ext-link>
, it was said that the integral representation (<xref rid="Equ8" ref-type="">8</xref>
) means that the Catalan numbers <inline-formula id="IEq91"><alternatives><tex-math id="M261">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M262"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq91.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 are a solution of the Hausdorff moment problem on the interval [0, 4] instead of [0, 1]. Analogously, we guess that the integral representation (<xref rid="Equ21" ref-type="">21</xref>
) probably means that the Catalan–Qi numbers <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>n</italic>
) are a solution of the Hausdorff moment problem on the interval <inline-formula id="IEq92"><alternatives><tex-math id="M263">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigl [0,\frac{b}{a}\bigr ]$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M264"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq92.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 instead of [0, 1] and [0, 4].</p>
<p>Recall from Mitrinović et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR16">1993</xref>
, Chapter XIII), Schilling et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR35">2012</xref>
, Chapter 1), and Widder (<xref ref-type="bibr" rid="CR41">1941</xref>
, Chapter IV) that an infinitely differentiable function <italic>f</italic>
 is said to be completely monotonic on an interval <italic>I</italic>
 if it satisfies <inline-formula id="IEq93"><alternatives><tex-math id="M265">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le (-1)^kf^{(k)}(x)<\infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M266"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq93.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 on <italic>I</italic>
 for all <inline-formula id="IEq94"><alternatives><tex-math id="M267">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M268"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq94.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. It is known (Widder <xref ref-type="bibr" rid="CR41">1941</xref>
, p. 161, Theorem 12b) that a function <italic>f</italic>
 is completely monotonic on <inline-formula id="IEq95"><alternatives><tex-math id="M269">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M270"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq95.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 if and only if it is a Laplace transform <inline-formula id="IEq96"><alternatives><tex-math id="M271">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f(t)=\int _0^\infty e^{-ts}{{\text{d}}}\mu (s)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M272"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>s</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi mathvariant="italic">μ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq96.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 of a positive measure <inline-formula id="IEq97"><alternatives><tex-math id="M273">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\mu$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M274"><mml:mi mathvariant="italic">μ</mml:mi>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq97.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 defined on <inline-formula id="IEq98"><alternatives><tex-math id="M275">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M276"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq98.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 such that the above integral converges on <inline-formula id="IEq99"><alternatives><tex-math id="M277">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M278"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq99.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar16"><title><bold>Theorem 5</bold>
</title>
<p><italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq100"><alternatives><tex-math id="M279">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M280"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq100.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>we have</italic>
<disp-formula id="Equ23"><label>23</label>
<alternatives><tex-math id="M281">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;x) =\frac{1}{B(a,b-a)}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x} \sum _{k=0}^\infty (-1)^k\frac{\langle b-a-1\rangle _k}{k!} \frac{1}{x+a+k},$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M282" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ23.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>where</italic>
<disp-formula id="Equ56"><alternatives><tex-math id="M283">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} \langle x\rangle _n= \prod _{k=0}^{n-1}(x-k)= {\left\{ \begin{array}{ll} x(x-1)\cdots (x-n+1), &\quad n\ge 1 \\ 1,&\quad n=0 \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M284" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∏</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>⋯</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ56.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>is the falling factorial. Consequently, the function</italic>
<disp-formula id="Equ24"><label>24</label>
<alternatives><tex-math id="M285">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-1)^{\lfloor b-a\rfloor }\Biggl [\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^{x} C(a,b;x)-\frac{1}{B(a,b-a)}\sum _{k=0}^N (-1)^k\frac{\langle b-a-1\rangle _k}{k!} \frac{1}{x+a+k}\Biggr ]$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M286" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>⌊</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>⌋</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ24.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>for</italic>
<inline-formula id="IEq101"><alternatives><tex-math id="M287">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$N\in \{0\}\cup {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M288"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">{</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">}</mml:mo>
<mml:mo>∪</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq101.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq102"><alternatives><tex-math id="M289">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M290"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq102.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>is completely monotonic in</italic>
<inline-formula id="IEq103"><alternatives><tex-math id="M291">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M292"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq103.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>where</italic>
<inline-formula id="IEq104"><alternatives><tex-math id="M293">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lfloor x\rfloor$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M294"><mml:mrow><mml:mo>⌊</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>⌋</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq104.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>denotes the floor function whose value is the largest integer less than or equal to x</italic>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar17"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>The integral representation (<xref rid="Equ21" ref-type="">21</xref>
) can be rearranged as<disp-formula id="Equ25"><label>25</label>
<alternatives><tex-math id="M295">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C(a,b;x)&=\frac{1}{B(a,b-a)}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x-1} \int _0^{b/a}\biggl (1-\frac{a}{b}t\biggr )^{b-a-1}\biggl (\frac{a}{b}t\biggr )^{x+a-1}{{\text{d}}}t\\&=\frac{1}{B(a,b-a)}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x} \int _0^1(1-s)^{b-a-1}s^{x+a-1}{{\text{d}}}s. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M296" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msubsup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ25.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Further utilizing the well-known power series expansion<disp-formula id="Equ57"><alternatives><tex-math id="M297">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(1+x)^\alpha =\sum _{k=0}^\infty \langle \alpha \rangle _k\frac{x^k}{k!}, \quad |x|<1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M298" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ57.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
arrives at<disp-formula id="Equ58"><alternatives><tex-math id="M299">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} C(a,b;x)&=\frac{1}{B(a,b-a)}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x}\sum _{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \langle b-a-1\rangle _k\int _0^1s^{x+k+a-1}{{\text{d}}}s\\&=\frac{1}{B(a,b-a)}\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x}\sum _{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \langle b-a-1\rangle _k\frac{1}{x+a+k} \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M300" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mi>s</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>s</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ58.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
which can be reformulated as (<xref rid="Equ23" ref-type="">23</xref>
).</p>
<p>Rewriting (<xref rid="Equ23" ref-type="">23</xref>
) as<disp-formula id="Equ59"><alternatives><tex-math id="M301">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^{x}C(a,b;x)-\frac{1}{B(a,b-a)}\sum _{k=0}^N (-1)^k\frac{\langle b-a-1\rangle _k}{k!} \frac{1}{x+a+k}\\&\quad=\frac{1}{B(a,b-a)}\sum ^\infty _{k=N+1}(-1)^k\frac{\langle b-a-1\rangle _k}{k!} \frac{1}{x+a+k}\\&\quad=(-1)^{\lfloor b-a\rfloor }\frac{1}{B(a,b-a)}\sum ^\infty _{k=N+1}(-1)^{k-\lfloor b-a\rfloor } \frac{\langle b-a-1\rangle _k}{k!} \frac{1}{x+a+k}, \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M302" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd></mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>N</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>⌊</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>⌋</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>N</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>⌊</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>⌋</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ59.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
considering the non-negativity of <inline-formula id="IEq105"><alternatives><tex-math id="M303">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-1)^{k-\lfloor b-a\rfloor }\langle b-a-1\rangle _k$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M304"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>⌊</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>⌋</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⟨</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">⟩</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq105.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, and employing the complete monotonicity of <inline-formula id="IEq106"><alternatives><tex-math id="M305">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{1}{x+a+k}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M306"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq106.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in <inline-formula id="IEq107"><alternatives><tex-math id="M307">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M308"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq107.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 reveal the complete monotonicity of the function (<xref rid="Equ24" ref-type="">24</xref>
). The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar16">5</xref>
 is complete. <inline-formula id="IEq108"><alternatives><tex-math id="M309">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M310"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq108.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar18"><title><italic>Remark 7</italic>
</title>
<p>When taking <inline-formula id="IEq109"><alternatives><tex-math id="M311">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a=\frac{1}{2}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M312"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq109.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq110"><alternatives><tex-math id="M313">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b=2$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M314"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq110.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar16">5</xref>
 becomes a part of conclusions in Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
, Theorem 1.1).</p>
</sec>
</sec>
<sec id="Sec5"><title>Logarithmically complete monotonicity of the Catalan–Qi function <inline-formula id="IEq111"><alternatives><tex-math id="M315">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varvec{C(a,b;x)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M316"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold-italic">C</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">b</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">x</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq111.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</title>
<p>An infinitely differentiable and positive function <italic>f</italic>
 is said to be logarithmically completely monotonic on an interval <italic>I</italic>
 if <inline-formula id="IEq112"><alternatives><tex-math id="M317">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le (-1)^k[\ln f(x)]^{(k)}<\infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M318"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq112.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 hold on <italic>I</italic>
 for all <inline-formula id="IEq113"><alternatives><tex-math id="M319">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M320"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq113.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. The inclusions<disp-formula id="Equ26"><label>26</label>
<alternatives><tex-math id="M321">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {L}}[I]\subset {\mathcal {C}}[I]\quad \text {and}\quad {\mathcal {S}}\setminus \{0\}\subset {\mathcal {L}}[(0,\infty )]$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M322" display="block"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">L</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
<mml:mo>⊂</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mtext>and</mml:mtext>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi>
<mml:mo lspace="0.15em" rspace="0.15em" stretchy="false">\</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">{</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">}</mml:mo>
<mml:mo>⊂</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="script">L</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ26.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
were discovered in Berg (<xref ref-type="bibr" rid="CR3">2004</xref>
), Guo and Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR7">2010</xref>
), Qi and Chen (<xref ref-type="bibr" rid="CR24">2004</xref>
), Qi and Guo (<xref ref-type="bibr" rid="CR25">2004</xref>
), where <inline-formula id="IEq114"><alternatives><tex-math id="M323">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {L}[I]}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M324"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">L</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq114.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <inline-formula id="IEq115"><alternatives><tex-math id="M325">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {C}[I]}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M326"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq115.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, and <inline-formula id="IEq116"><alternatives><tex-math id="M327">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {S}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M328"><mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq116.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 denote respectively the set of all logarithmically completely monotonic functions on an interval <italic>I</italic>
, the set of all completely monotonic functions on <italic>I</italic>
, and the set of all Stieltjes transforms. See also the monograph Schilling et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR35">2012</xref>
) and plenty of references therein.</p>
<p>Recall from monographs Mitrinović et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR16">1993</xref>
, pp. 372–373) and Widder (<xref ref-type="bibr" rid="CR41">1941</xref>
, p. 108, Definition 4) that a sequence <inline-formula id="IEq117"><alternatives><tex-math id="M329">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\{\mu _n\}_{0\le n\le \infty }$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M330"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">μ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq117.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is said to be completely monotonic if its elements are non-negative and its successive differences are alternatively non-negative, that is,<disp-formula id="Equ60"><alternatives><tex-math id="M331">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-1)^k\Delta ^k\mu _n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M332" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">μ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ60.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq118"><alternatives><tex-math id="M333">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n,k\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M334"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq118.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, where<disp-formula id="Equ61"><alternatives><tex-math id="M335">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\Delta ^k\mu _n=\sum _{m=0}^k(-1)^m\left( {\begin{array}{c}k\\ m\end{array}}\right) \mu _{n+k-m}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M336" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">μ</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">μ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ61.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Recall from Widder (<xref ref-type="bibr" rid="CR41">1941</xref>
, p. 163, Definition 14a) that a completely monotonic sequence <inline-formula id="IEq119"><alternatives><tex-math id="M337">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\{a_n\}_{n\ge 0}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M338"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq119.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is minimal if it ceases to be completely monotonic when <inline-formula id="IEq120"><alternatives><tex-math id="M339">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a_0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M340"><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq120.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is decreased.</p>
<sec id="FPar19"><title><bold>Theorem 6</bold>
</title>
<p><italic>The function</italic>
<disp-formula id="Equ62"><alternatives><tex-math id="M341">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {\mathcal {C}}^{\pm 1}(a,b;x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1, &\quad x=0 \\ {[}C(a,b;x)]^{\pm 1/x}, &\quad x>0 \\ \end{array}\right. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M342" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ62.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>is logarithmically completely monotonic on</italic>
<inline-formula id="IEq121"><alternatives><tex-math id="M343">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M344"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq121.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>if and only if</italic>
<inline-formula id="IEq122"><alternatives><tex-math id="M345">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a\gtrless b$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M346"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≷</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq122.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. <italic>Consequently, the sequence</italic>
<disp-formula id="Equ27"><label>27</label>
<alternatives><tex-math id="M347">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {\mathcal {C}}_n= {\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\quad n=0\\ \dfrac{1}{\root n \of {C_n}\,}, &\quad n\in {\mathbb {N}} \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M348" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mroot><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mroot>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mstyle>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ27.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>is completely monotonic, minimal, and logarithmically convex.</italic>
</p>
</sec>
<sec id="FPar20"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>In Qi and Li (<xref ref-type="bibr" rid="CR28">2015</xref>
, Theorem 1.1), it was proved that, when <inline-formula id="IEq123"><alternatives><tex-math id="M349">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a\gtrless b$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M350"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≷</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq123.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, the function<disp-formula id="Equ28"><label>28</label>
<alternatives><tex-math id="M351">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}{}[h_{a,b;c}(x)]^{\pm 1}= {\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\quad x=0 \\ \biggl [c\dfrac{\Gamma (x+a)}{\Gamma (x+b)}\biggr ]^{\pm 1/x}, &\quad x>0 \end{array}\right. } \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M352" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>c</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfenced close="" open="{" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mstyle>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ28.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq124"><alternatives><tex-math id="M353">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$c>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M354"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq124.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is logarithmically completely monotonic on <inline-formula id="IEq125"><alternatives><tex-math id="M355">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M356"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq125.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 if and only if <inline-formula id="IEq126"><alternatives><tex-math id="M357">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$c\gtreqless \frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M358"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo>⋛</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq126.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. It is easy to see that<disp-formula id="Equ63"><alternatives><tex-math id="M359">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {C}}^{\pm 1}(a,b;x) =\biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{\pm 1}\bigl [h_{a,b;\Gamma (b)/\Gamma (a)}(x)\bigr ]^{\pm 1}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M360" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub><mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ63.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Therefore, the function <inline-formula id="IEq127"><alternatives><tex-math id="M361">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {C}}^{\pm 1}(a,b;x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M362"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq127.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is logarithmically completely monotonic on <inline-formula id="IEq128"><alternatives><tex-math id="M363">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M364"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq128.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 if and only if <inline-formula id="IEq129"><alternatives><tex-math id="M365">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a\gtrless b$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M366"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≷</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq129.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. Consequently, the function <inline-formula id="IEq130"><alternatives><tex-math id="M367">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${\mathcal {C}}^{-1}\bigl (\frac{1}{2},2;x\bigr )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M368"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq130.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is logarithmically completely monotonic, and then completely monotonic and logarithmically convex, on <inline-formula id="IEq131"><alternatives><tex-math id="M369">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M370"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq131.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. As a result, the complete monotonicity, minimality, and logarithmic convexity of the sequence (<xref rid="Equ27" ref-type="">27</xref>
) follows immediately from Widder (<xref ref-type="bibr" rid="CR41">1941</xref>
, p. 164, Theorem 14b) which reads that a necessary and sufficient condition that there should exist a completely monotonic function <italic>f</italic>
(<italic>x</italic>
) in <inline-formula id="IEq132"><alternatives><tex-math id="M371">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0\le x<\infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M372"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq132.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 such that <inline-formula id="IEq133"><alternatives><tex-math id="M373">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$f(n)=a_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M374"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq133.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 for <inline-formula id="IEq134"><alternatives><tex-math id="M375">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M376"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq134.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is that <inline-formula id="IEq135"><alternatives><tex-math id="M377">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\{a_n\}_0^\infty$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M378"><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">{</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq135.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 should be a minimal completely monotonic sequence. The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar19">6</xref>
 is complete. <inline-formula id="IEq136"><alternatives><tex-math id="M379">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M380"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq136.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar21"><title><italic>Remark 8</italic>
</title>
<p>It is interesting that, since the function <inline-formula id="IEq137"><alternatives><tex-math id="M381">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$h_{a,b;c}(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M382"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>c</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq137.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 defined by (<xref rid="Equ28" ref-type="">28</xref>
) originates from the coding gain (see Lee and Tepedelenlioğlu <xref ref-type="bibr" rid="CR13">2011</xref>
; Qi and Li <xref ref-type="bibr" rid="CR28">2015</xref>
), Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar19">6</xref>
 and its proof imply some connections and relations among the Catalan numbers, the coding gain, and the ratio of two gamma functions.</p>
</sec>
<sec id="FPar22"><title><bold>Theorem 7</bold>
</title>
<p><italic>Let</italic>
<inline-formula id="IEq138"><alternatives><tex-math id="M383">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M384"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq138.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq139"><alternatives><tex-math id="M385">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M386"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq139.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. <italic>Then</italic>
<list list-type="order"><list-item><p><italic>when</italic>
<inline-formula id="IEq140"><alternatives><tex-math id="M387">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M388"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq140.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the function C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) <italic>is decreasing in</italic>
<inline-formula id="IEq141"><alternatives><tex-math id="M389">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,x_0)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M390"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq141.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>increasing in</italic>
<inline-formula id="IEq142"><alternatives><tex-math id="M391">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in (x_0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M392"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq142.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
,<italic>and logarithmically convex in</italic>
<inline-formula id="IEq143"><alternatives><tex-math id="M393">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M394"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq143.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
;</p>
</list-item>
<list-item><p><italic>when</italic>
<inline-formula id="IEq144"><alternatives><tex-math id="M395">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b</tex-math>
<mml:math id="M396"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq144.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the function C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) <italic>is increasing in</italic>
<inline-formula id="IEq145"><alternatives><tex-math id="M397">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,x_0)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M398"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq145.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>decreasing in</italic>
<inline-formula id="IEq146"><alternatives><tex-math id="M399">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in (x_0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M400"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq146.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>and logarithmically concave in</italic>
<inline-formula id="IEq147"><alternatives><tex-math id="M401">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in [0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M402"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq147.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
;</p>
</list-item>
</list>
<italic>where</italic>
<inline-formula id="IEq148"><alternatives><tex-math id="M403">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M404"><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq148.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>is the unique zero of the equation</italic>
<disp-formula id="Equ29"><label>29</label>
<alternatives><tex-math id="M405">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\psi (x+b)-\psi (x+a)}{\ln b-\ln a}=1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M406" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ29.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>and satisfies</italic>
<inline-formula id="IEq149"><alternatives><tex-math id="M407">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_0\in \bigl (0,\frac{1}{2}\bigr )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M408"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq149.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. <italic>Consequently, the Catalan numbers</italic>
<inline-formula id="IEq150"><alternatives><tex-math id="M409">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C_n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M410"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq150.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>for</italic>
<inline-formula id="IEq151"><alternatives><tex-math id="M411">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M412"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq151.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>is strictly increasing and logarithmically convex</italic>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar23"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>In Guo and Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR10">2010</xref>
, Theorem 1) closely-related references therein, it was proved that the function<disp-formula id="Equ64"><alternatives><tex-math id="M413">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\theta _\alpha (x)=x^\alpha [\ln x-\psi (x)]$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M414" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi mathvariant="italic">θ</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ64.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
is completely monotonic on <inline-formula id="IEq152"><alternatives><tex-math id="M415">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M416"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq152.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 if and only if <inline-formula id="IEq153"><alternatives><tex-math id="M417">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\alpha \le 1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M418"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">α</mml:mi>
<mml:mo>≤</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq153.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. This means that<disp-formula id="Equ65"><alternatives><tex-math id="M419">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ln a-\psi (a)\lessgtr \ln b-\psi (b), \quad a\gtrless b,$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M420" display="block"><mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≷</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ65.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
that is,<disp-formula id="Equ30"><label>30</label>
<alternatives><tex-math id="M421">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\psi (b)-\psi (a)}{\ln b-\ln a} >1, \quad a\ne b.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M422" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≠</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ30.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
This can also be verified by virtue of the inequality<disp-formula id="Equ66"><alternatives><tex-math id="M423">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi '(x)>\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}>\frac{1}{x}, \quad x>0,$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M424" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ66.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
which is a special case of Guo and Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR10">2010</xref>
, Lemma 3), and by virtue of the equality<disp-formula id="Equ67"><alternatives><tex-math id="M425">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\psi (b)-\psi (a)}{\ln b-\ln a}=\frac{\int _a^b\psi '(x){{\text{d}}}x}{\int _a^b1/x{{\text{d}}}x}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M426" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ67.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Since the function <inline-formula id="IEq154"><alternatives><tex-math id="M427">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi (x+b)-\psi (x+a)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M428"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq154.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is increasing (or decreasing, respectively) if and only if <inline-formula id="IEq155"><alternatives><tex-math id="M429">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b</tex-math>
<mml:math id="M430"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq155.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 (or <inline-formula id="IEq156"><alternatives><tex-math id="M431">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M432"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq156.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, respectively) and<disp-formula id="Equ68"><alternatives><tex-math id="M433">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lim _{x\rightarrow \infty }[\psi (x+b)-\psi (x+a)]=0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M434" display="block"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ68.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for all <inline-formula id="IEq157"><alternatives><tex-math id="M435">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M436"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq157.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, we obtain that for all <inline-formula id="IEq158"><alternatives><tex-math id="M437">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M438"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq158.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 with <inline-formula id="IEq159"><alternatives><tex-math id="M439">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a\ne b$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M440"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≠</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq159.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 the function <inline-formula id="IEq160"><alternatives><tex-math id="M441">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\psi (x+b)-\psi (x+a)}{\ln b-\ln a}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M442"><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq160.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is strictly decreasing on <inline-formula id="IEq161"><alternatives><tex-math id="M443">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M444"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq161.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and<disp-formula id="Equ31"><label>31</label>
<alternatives><tex-math id="M445">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\psi (x+b)-\psi (x+a)}{\ln b-\ln a}=0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M446" display="block"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ31.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
It is clear that the first derivative<disp-formula id="Equ69"><alternatives><tex-math id="M447">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\partial [\ln C(a,b;x)]}{\partial x}=(\ln b-\ln a)-[\psi (x+b)-\psi (x+a)]\lesseqgtr 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M448" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">∂</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">∂</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>⋚</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ69.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
if and only if<disp-formula id="Equ70"><alternatives><tex-math id="M449">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\ln b-\ln a\lesseqgtr \psi (x+b)-\psi (x+a)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M450" display="block"><mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>⋚</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ70.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
which can be rewritten as<disp-formula id="Equ71"><alternatives><tex-math id="M451">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\psi (x+b)-\psi (x+a)}{\ln b-\ln a}\gtreqless 1, \quad b>a$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M452" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>⋛</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ71.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
and<disp-formula id="Equ72"><alternatives><tex-math id="M453">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\psi (x+b)-\psi (x+a)}{\ln b-\ln a}\lesseqgtr 1, \quad b</tex-math>
<mml:math id="M454" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>⋚</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ72.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
As a result, considering (<xref rid="Equ30" ref-type="">30</xref>
) and (<xref rid="Equ31" ref-type="">31</xref>
), we see that the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) for all <inline-formula id="IEq162"><alternatives><tex-math id="M455">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M456"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq162.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 with <inline-formula id="IEq163"><alternatives><tex-math id="M457">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a\ne b$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M458"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>≠</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq163.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is not monotonic on <inline-formula id="IEq164"><alternatives><tex-math id="M459">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M460"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq164.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and that<list list-type="order"><list-item><p>when <inline-formula id="IEq165"><alternatives><tex-math id="M461">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M462"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq165.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, the function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) is decreasing in <inline-formula id="IEq166"><alternatives><tex-math id="M463">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in (0,x_0)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M464"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq166.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and increasing in <inline-formula id="IEq167"><alternatives><tex-math id="M465">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in (x_0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M466"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq167.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
;</p>
</list-item>
<list-item><p>when <inline-formula id="IEq168"><alternatives><tex-math id="M467">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b</tex-math>
<mml:math id="M468"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq168.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, the function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) is increasing in <inline-formula id="IEq169"><alternatives><tex-math id="M469">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in (0,x_0)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M470"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq169.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and decreasing in <inline-formula id="IEq170"><alternatives><tex-math id="M471">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\in (x_0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M472"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq170.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
;</p>
</list-item>
</list>
where <inline-formula id="IEq171"><alternatives><tex-math id="M473">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M474"><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq171.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is the unique zero of the Eq. (<xref rid="Equ29" ref-type="">29</xref>
).</p>
<p>The Eq. (<xref rid="Equ29" ref-type="">29</xref>
) can be rearranged as<disp-formula id="Equ73"><alternatives><tex-math id="M475">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi (x+b)-\psi (x+a)=\ln b-\ln a.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M476" display="block"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ73.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Regarding <italic>b</italic>
 as a variable and differentiating with respect to <italic>b</italic>
 give<disp-formula id="Equ74"><alternatives><tex-math id="M477">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi '(x+b)=\frac{1}{b}=\frac{1}{(x+b)-x}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M478" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ74.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
which can be reformulated as<disp-formula id="Equ75"><alternatives><tex-math id="M479">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x=(x+b)-\frac{1}{\psi '(x+b)}\triangleq u-\frac{1}{\psi '(u)},$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M480" display="block"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>≜</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ75.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
where <inline-formula id="IEq172"><alternatives><tex-math id="M481">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lim _{u\rightarrow 0^+}\bigl [u-\frac{1}{\psi '(u)}\bigr ]=0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M482"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:msup><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq172.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and<disp-formula id="Equ76"><alternatives><tex-math id="M483">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{{{\text{d}}}}{{{\text{d}}}u}\biggl [u-\frac{1}{\psi '(u)}\biggr ] =1+\frac{\psi ''(x)}{[\psi '(x)]^2} =\frac{[\psi '(x)]^2+\psi ''(x)}{[\psi '(x)]^2}.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M484" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ76.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Employing the asymptotic expansion<disp-formula id="Equ77"><alternatives><tex-math id="M485">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi '(x) =\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}+\sum _{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{x^{2m+1}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M486" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ77.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
in Abramowitz and Stegun (<xref ref-type="bibr" rid="CR1">1972</xref>
, p. 260, 6.4.11) yields<disp-formula id="Equ78"><alternatives><tex-math id="M487">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u-\frac{1}{\psi '(u)}=\frac{\frac{1}{2u}+\sum _{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{u^{2m}}}{\frac{1}{u}+\frac{1}{2u^{2}}+\sum _{m=1}^\infty \frac{B_{2m}}{u^{2m+1}}} \rightarrow \frac{1}{2}, \quad u\rightarrow \infty .$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M488" display="block"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mi>u</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ78.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Due to <inline-formula id="IEq173"><alternatives><tex-math id="M489">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[\psi '(x)]^2+\psi ''(x)>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M490"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq173.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 on <inline-formula id="IEq174"><alternatives><tex-math id="M491">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M492"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq174.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, see Alzer (<xref ref-type="bibr" rid="CR2">2004</xref>
), Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR19">2015b</xref>
), Qi and Li (<xref ref-type="bibr" rid="CR28">2015</xref>
), Qi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR29">2013</xref>
) and plenty of closely-related references therein, the function <inline-formula id="IEq175"><alternatives><tex-math id="M493">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$u-\frac{1}{\psi '(u)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M494"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq175.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is strictly increasing, and so<disp-formula id="Equ79"><alternatives><tex-math id="M495">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0</tex-math>
<mml:math id="M496" display="block"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>u</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ79.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
on <inline-formula id="IEq176"><alternatives><tex-math id="M497">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M498"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq176.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. Accordingly, the unique zero <inline-formula id="IEq177"><alternatives><tex-math id="M499">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x_0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M500"><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq177.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 of the Eq. (<xref rid="Equ29" ref-type="">29</xref>
) belongs to <inline-formula id="IEq178"><alternatives><tex-math id="M501">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\bigl (0,\frac{1}{2}\bigr )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M502"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq178.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
<p>It is immediate that<disp-formula id="Equ80"><alternatives><tex-math id="M503">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\partial ^2[\ln C(a,b;x)]}{\partial x^2}=\psi '(x+a)-\psi '(x+b).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M504" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">∂</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">∂</mml:mi>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ80.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Since the tri-gamma function <inline-formula id="IEq179"><alternatives><tex-math id="M505">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\psi '(x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M506"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mo>′</mml:mo>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq179.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is completely monotonic on <inline-formula id="IEq180"><alternatives><tex-math id="M507">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M508"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq180.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, inequalities<disp-formula id="Equ81"><alternatives><tex-math id="M509">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-1)^{k+1}\frac{\partial ^{k+1}[\ln C(a,b;x)]}{\partial x^{k+1}} =\psi ^{(k)}(x+a)-\psi ^{(k)}(x+b)\lessgtr 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M510" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">∂</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mo>ln</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="italic">∂</mml:mi>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi mathvariant="italic">ψ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ81.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq181"><alternatives><tex-math id="M511">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$k\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M512"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq181.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 hold if and only if <inline-formula id="IEq182"><alternatives><tex-math id="M513">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b\lessgtr a$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M514"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq182.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar22">7</xref>
 is complete. <inline-formula id="IEq183"><alternatives><tex-math id="M515">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M516"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq183.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar24"><title><italic>Remark 9</italic>
</title>
<p>From Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar22">7</xref>
, we can derive that, for <inline-formula id="IEq184"><alternatives><tex-math id="M517">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M518"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq184.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
,<disp-formula id="Equ82"><alternatives><tex-math id="M519">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\frac{\Gamma (x+a)}{\Gamma (x+b)}\lessgtr \frac{\Gamma (a)}{\Gamma (b)}\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^x, \quad 0</tex-math>
<mml:math id="M520" display="block"><mml:mrow><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ82.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
In other words,<disp-formula id="Equ83"><alternatives><tex-math id="M521">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$0a>0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M522" display="block"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≶</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ83.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar25"><title><bold>Theorem 8</bold>
</title>
<p><italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq185"><alternatives><tex-math id="M523">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M524"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq185.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the function</italic>
<disp-formula id="Equ32"><label>32</label>
<alternatives><tex-math id="M525">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^{x}C(a,b;x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M526" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ32.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>is logarithmically completely monotonic on</italic>
<inline-formula id="IEq186"><alternatives><tex-math id="M527">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M528"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq186.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar26"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>By (<xref rid="Equ6" ref-type="">6</xref>
), it follows that<disp-formula id="Equ84"><alternatives><tex-math id="M529">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^{x}C(a,b;x) =\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \frac{\Gamma (x+a)}{\Gamma (x+b)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M530" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ84.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
which can be straightforwardly verified to be a logarithmically completely monotonic function on <inline-formula id="IEq187"><alternatives><tex-math id="M531">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M532"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq187.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. By the first inclusion in (<xref rid="Equ26" ref-type="">26</xref>
), we obtain the required complete monotonicity of the function (<xref rid="Equ32" ref-type="">32</xref>
). <inline-formula id="IEq188"><alternatives><tex-math id="M533">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M534"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq188.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar27"><title><italic>Remark 10</italic>
</title>
<p>The integral representation (<xref rid="Equ22" ref-type="">22</xref>
) can be rewritten as<disp-formula id="Equ85"><alternatives><tex-math id="M535">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;x)=\frac{1}{B(a,b-a)} \biggl (\frac{b}{a}\biggr )^{x+b-a} \int _0^\infty \frac{t^{b-a-1}}{(bt/a+1)^{x+b}}{{\text{d}}}t$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M536" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ85.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq189"><alternatives><tex-math id="M537">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M538"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq189.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq190"><alternatives><tex-math id="M539">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M540"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq190.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. This formula and both of the integral representations (<xref rid="Equ10" ref-type="">10</xref>
) and (<xref rid="Equ25" ref-type="">25</xref>
) all mean that the function (<xref rid="Equ32" ref-type="">32</xref>
) for <inline-formula id="IEq191"><alternatives><tex-math id="M541">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M542"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq191.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is completely monotonic on <inline-formula id="IEq192"><alternatives><tex-math id="M543">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M544"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq192.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. This conclusion is weaker than Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar25">8</xref>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar28"><title><bold>Theorem 9</bold>
</title>
<p><italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq193"><alternatives><tex-math id="M545">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>a>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M546"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq193.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the function</italic>
<disp-formula id="Equ86"><alternatives><tex-math id="M547">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\biggl (\frac{a}{b}\biggr )^x\frac{(x+b)^{x+b-a}}{(x+a)^x}C(a,b;x)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M548" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ86.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>is logarithmically completely monotonic on</italic>
<inline-formula id="IEq194"><alternatives><tex-math id="M549">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$[0,\infty )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M550"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>∞</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq194.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar29"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>This follows from the integral representation (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>
). <inline-formula id="IEq195"><alternatives><tex-math id="M551">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M552"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq195.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar30"><title><italic>Remark 11</italic>
</title>
<p>Theorems <xref ref-type="sec" rid="FPar25">8</xref>
 and <xref ref-type="sec" rid="FPar28">9</xref>
 imply that the sequences<disp-formula id="Equ87"><alternatives><tex-math id="M553">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\biggl \{\frac{C_n}{4^n}\biggr \}_{n\ge 0} \quad \text {and}\quad \biggl \{\frac{(n+2)^{n+3/2}}{(n+1/2)^n}\frac{C_n}{4^n}\biggr \}_{n\ge 0}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M554" display="block"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">{</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mtext>and</mml:mtext>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">{</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>3</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msup><mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">}</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msub>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ87.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
are logarithmically completely monotonic and minimal, which have been concluded in Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
, Theorems 1.1 and 1.2).</p>
</sec>
</sec>
<sec id="Sec6"><title>A generating function of the Catalan–Qi sequence <inline-formula id="IEq196"><alternatives><tex-math id="M555">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varvec{C(a,b;n)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M556"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold-italic">C</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">b</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">n</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq196.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</title>
<p>In this section, we discover that <inline-formula id="IEq197"><alternatives><tex-math id="M557">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${}_2F_1\bigl (a,1;b;\frac{bt}{a}\bigr )$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M558"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq197.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 is a generating function of the Catalan–Qi numbers <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>n</italic>
).</p>
<sec id="FPar31"><title><bold>Theorem 10</bold>
</title>
<p><italic>For</italic>
<inline-formula id="IEq198"><alternatives><tex-math id="M559">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$a,b>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M560"><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq198.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>and</italic>
<inline-formula id="IEq199"><alternatives><tex-math id="M561">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n\ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M562"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq199.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, <italic>the Catalan–Qi numbers</italic>
<italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>n</italic>
) <italic>can be generated by</italic>
<disp-formula id="Equ33"><label>33</label>
<alternatives><tex-math id="M563">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${}_2F_1\biggl (a,1;b;\frac{bt}{a}\biggr )=\sum _{n=0}^\infty C(a,b;n)t^n$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M564" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ33.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
<italic>and, conversely, satisfy</italic>
<disp-formula id="Equ34"><label>34</label>
<alternatives><tex-math id="M565">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;n)=(-1)^n\sum _{k=0}^n(-1)^k\left( {\begin{array}{c}n\\ k\end{array}}\right) {}_2F_1\biggl (a,-k;b;-\frac{b}{a}\biggr ).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M566" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ34.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar32"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>Using the relation <inline-formula id="IEq200"><alternatives><tex-math id="M567">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(z)_n \Gamma (z)=\Gamma (z+n)$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M568"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq200.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 for <inline-formula id="IEq201"><alternatives><tex-math id="M569">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$n \ge 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M570"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq201.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, we have<disp-formula id="Equ88"><alternatives><tex-math id="M571">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$C(a,b;n)=\left( \frac{b}{a} \right) ^n \frac{(a)_n}{(b)_n},\quad a,b>0, \quad n \ge 0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M572" display="block"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:mfenced>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>≥</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ88.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
As a result, we obtain<disp-formula id="Equ89"><alternatives><tex-math id="M573">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\sum _{n=0}^{\infty } C(a,b;n)t^n=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(a)_n(1)_n}{(b)_n} \frac{(b t/a)^n}{n!} ={}_2F_1\biggl (a,1;b;\frac{bt}{a}\biggr ), \quad a,b>0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M574" display="block"><mml:mrow><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>∞</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ89.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Using the relation <inline-formula id="IEq202"><alternatives><tex-math id="M575">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-n)_{n+i}=0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M576"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq202.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 for <inline-formula id="IEq203"><alternatives><tex-math id="M577">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M578"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq203.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
, which can be derived from (<xref rid="Equ4" ref-type="">4</xref>
), we obtain<disp-formula id="Equ90"><alternatives><tex-math id="M579">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${}_2F_1\biggl (a,-n;b;-\frac{b}{a}\biggr )=\sum _{r=0}^{n} \frac{(-1)^r (-n)_r }{r!}C(a,b;r).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M580" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ90.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Further using the relation<disp-formula id="Equ91"><alternatives><tex-math id="M581">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(-1)^r(-n)_r=(n-r+1)_r=\frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-r+1)}=\frac{n!}{(n-r)!},$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M582" display="block"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:msub>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ91.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
we acquire<disp-formula id="Equ35"><label>35</label>
<alternatives><tex-math id="M583">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${}_2F_1\biggl (a,-n;b;-\frac{b}{a}\biggr )=\sum _{r=0}^{n}\left( {\begin{array}{c}n\\ r\end{array}}\right) C(a,b;r).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M584" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>r</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>r</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ35.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
The formula (Graham et al. <xref ref-type="bibr" rid="CR6">1994</xref>
, p. 192, (5.48)) reads that<disp-formula id="Equ92"><alternatives><tex-math id="M585">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$g(k)=\sum _\ell \left( {\begin{array}{c}k\\ \ell \end{array}}\right) (-1)^\ell f(\ell ) \quad \text {if and only if}\quad f(k)=\sum _\ell \left( {\begin{array}{c}k\\ \ell \end{array}}\right) (-1)^\ell g(\ell ).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M586" display="block"><mml:mrow><mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munder><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:munder>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mtext>if and only if</mml:mtext>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi>f</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:munder><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:munder>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mi>g</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>ℓ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ92.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Hence, the inversion of the relation (<xref rid="Equ35" ref-type="">35</xref>
) gives us the relation (<xref rid="Equ34" ref-type="">34</xref>
). The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar31">10</xref>
 is complete. <inline-formula id="IEq204"><alternatives><tex-math id="M587">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M588"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq204.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar33"><title><italic>Remark 12</italic>
</title>
<p>(An alternative proof of (<xref rid="Equ33" ref-type="">33</xref>
) for <inline-formula id="IEq205"><alternatives><tex-math id="M589">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M590"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq205.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
) In Abramowitz and Stegun (<xref ref-type="bibr" rid="CR1">1972</xref>
, p. 558, 15.3.1), it is collected that<disp-formula id="Equ93"><alternatives><tex-math id="M591">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$${}_2F_1(a,b;c;z)=\frac{1}{B(b,c-b)}\int _0^1\frac{t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}}{(1-tz)^a}{{\text{d}}}t, \quad {\mathfrak {R}}(c)>{\mathfrak {R}}(b)>0.$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M592" display="block"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mi mathvariant="fraktur">R</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ93.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
In order to prove the Eq. (<xref rid="Equ33" ref-type="">33</xref>
), it is sufficient to show<disp-formula id="Equ94"><alternatives><tex-math id="M593">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\lim _{t\rightarrow 0}\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}t^n}\biggl [{}_2F_1\biggl (a,1;b;\frac{bt}{a}\biggr )\biggr ]=n!C(a,b;n).$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M594" display="block"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ94.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
In fact, a straightforward calculation reveals<disp-formula id="Equ95"><alternatives><tex-math id="M595">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\lim _{z\rightarrow 0}\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}z^n} \biggl [\frac{1}{B(1,b-1)}\int _0^1\frac{(1-t)^{b-2}}{(1-btz/a)^a}{{\text{d}}}t\biggr ]\\&\quad =(b-1)a^a\lim _{z\rightarrow 0}\frac{{{\text{d}}}^n}{{{\text{d}}}z^n} \int _0^1\frac{(1-t)^{b-2}}{(a-btz)^a}{{\text{d}}}t\\&\quad =(b-1)a^ab^n\frac{\Gamma (n+a)}{\Gamma (a)} \lim _{z\rightarrow 0}\int _0^1\frac{t^n(1-t)^{b-2}}{(a-btz)^{a+n}}{{\text{d}}}t\\&\quad =\frac{(b-1)a^ab^n}{a^{a+n}} \frac{\Gamma (n+a)}{\Gamma (a)}\int _0^1t^n(1-t)^{b-2}{{\text{d}}}t\\&\quad =\frac{(b-1)b^n}{a^{n}}\frac{\Gamma (n+a)}{\Gamma (a)} \frac{\Gamma (b-1) \Gamma (n+1)}{\Gamma (n+b)}\\&\quad =n!\frac{b^n}{a^{n}}\frac{\Gamma (n+a)}{\Gamma (a)}\frac{\Gamma (b)}{\Gamma (n+b)}\\&\quad =n!C(a,b;n) \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M596" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd></mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mrow><mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:msup><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:munder><mml:mo movablelimits="true">lim</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munder>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>z</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msubsup>
<mml:msup><mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>t</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mtext>d</mml:mtext>
<mml:mi>t</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>!</mml:mo>
<mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ95.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq206"><alternatives><tex-math id="M597">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M598"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq206.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. This gives an alternative proof of (<xref rid="Equ33" ref-type="">33</xref>
) for <inline-formula id="IEq207"><alternatives><tex-math id="M599">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$b>1$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M600"><mml:mrow><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq207.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
.</p>
</sec>
<sec id="FPar34"><title><italic>Remark 13</italic>
</title>
<p>Combining (<xref rid="Equ2" ref-type="">2</xref>
) and (<xref rid="Equ34" ref-type="">34</xref>
) brings out<disp-formula id="Equ96"><alternatives><tex-math id="M601">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned} {}_2F_1(1-n,-n;2;1)=(-1)^n\sum _{k=0}^n(-1)^k\left( {\begin{array}{c}n\\ k\end{array}}\right) {}_2F_1\biggl (\frac{1}{2},-k;2;-4\biggr ). \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M602" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:munderover>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mfenced close=")" open="(" separators=""><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mi>k</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:mfenced>
<mml:msub><mml:mrow></mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:msub><mml:mi>F</mml:mi>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>k</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ96.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
</sec>
</sec>
<sec id="Sec7"><title>A double inequality of the Catalan–Qi function <inline-formula id="IEq208"><alternatives><tex-math id="M603">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\varvec{C(a,b;x)}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M604"><mml:mrow><mml:mi mathvariant="bold-italic">C</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">a</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">,</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">b</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold">;</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="bold-italic">x</mml:mi>
<mml:mo mathvariant="bold" stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq208.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</title>
<p>Finally we present a double inequality of the Catalan–Qi function <italic>C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
).</p>
<sec id="FPar35"><title><bold>Theorem 11</bold>
</title>
<p><italic>Let</italic>
<inline-formula id="IEq209"><alternatives><tex-math id="M605">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$B_i$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M606"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mi>i</mml:mi>
</mml:msub>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq209.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>for</italic>
<inline-formula id="IEq210"><alternatives><tex-math id="M607">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$i\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M608"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq210.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
<italic>be the Bernoulli numbers defined by</italic>
 (<xref rid="Equ17" ref-type="">17</xref>
) <italic>and let</italic>
<italic>I</italic>
<italic>be the exponential mean defined by</italic>
 (<xref rid="Equ19" ref-type="">19</xref>
). <italic>Then the Catalan–Qi function C</italic>
(<italic>a</italic>
, <italic>b</italic>
; <italic>x</italic>
) <italic>satisfies the double inequality</italic>
<disp-formula id="Equ36"><label>36</label>
<alternatives><tex-math id="M609">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\exp \Biggl [\sum _{j=1}^{2m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{(x+a)^{2j-1}}-\frac{1}{(x+b)^{2j-1}}\biggr )\Biggr ] \\&\quad<\frac{\Gamma (a)}{\Gamma (b)} \biggl (\frac{a}{b}\biggr )^x\sqrt{\frac{x+a}{x+b}}\, \frac{C(a,b;x)}{[I(x+a,x+b)]^{a-b}} \\&\quad <\exp \Biggl [\sum _{j=1}^{2m-1}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{(x+a)^{2j-1}}-\frac{1}{(x+b)^{2j-1}}\biggr )\Biggr ]. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M610" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd></mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo>;</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ36.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
Consequently, we have<disp-formula id="Equ37"><label>37</label>
<alternatives><tex-math id="M611">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\begin{aligned}&\sqrt{\frac{b}{a}}\, [I(a,b)]^{a-b}\exp \Biggl [\sum _{j=1}^{2m}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{a^{2j-1}}-\frac{1}{b^{2j-1}}\biggr )\Biggr ]<\frac{\Gamma (a)}{\Gamma (b)} \\&\quad <\sqrt{\frac{b}{a}}\, [I(a,b)]^{a-b}\exp \Biggl [\sum _{j=1}^{2m-1}\frac{B_{2j}}{2j(2j-1)} \biggl (\frac{1}{a^{2j-1}}-\frac{1}{b^{2j-1}}\biggr )\Biggr ]. \end{aligned}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M612" display="block"><mml:mrow><mml:mtable columnspacing="0.5ex"><mml:mtr><mml:mtd></mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Γ</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
<mml:mtr><mml:mtd columnalign="right"><mml:mrow></mml:mrow>
</mml:mtd>
<mml:mtd columnalign="left"><mml:mrow><mml:mspace width="1em"></mml:mspace>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:msqrt><mml:mfrac><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>a</mml:mi>
</mml:mfrac>
</mml:msqrt>
<mml:mspace width="0.166667em"></mml:mspace>
<mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo>
<mml:mi>I</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo stretchy="false">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mi>b</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo>exp</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">[</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">(</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mfrac>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em" stretchy="true">)</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em" stretchy="true">]</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>.</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mtd>
</mml:mtr>
</mml:mtable>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ37.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar36"><title><italic>Proof</italic>
</title>
<p>In Koumandos (<xref ref-type="bibr" rid="CR12">2006</xref>
, Theorem 3), it was obtained that<disp-formula id="Equ97"><alternatives><tex-math id="M613">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$1-\frac{x}{2}+\sum _{j=1}^{2m}\frac{B_{2j}}{(2j)!}x^{2j}<\frac{x}{e^x-1} <1-\frac{x}{2}+\sum _{j=1}^{2m-1}\frac{B_{2j}}{(2j)!}x^{2j}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M614" display="block"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:mo><</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mfrac><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mn>2</mml:mn>
</mml:mfrac>
<mml:mo>+</mml:mo>
<mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo>
<mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:munderover>
<mml:mfrac><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msub>
<mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo>!</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mfrac>
<mml:msup><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mi>j</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:msup>
</mml:mrow>
</mml:math>
<graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_Equ97.gif" position="anchor"></graphic>
</alternatives>
</disp-formula>
for <inline-formula id="IEq211"><alternatives><tex-math id="M615">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$m\in {\mathbb {N}}$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M616"><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq211.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 and <inline-formula id="IEq212"><alternatives><tex-math id="M617">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x>0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M618"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo>></mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq212.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
. Substituting this double inequality into the integral representation (<xref rid="Equ7" ref-type="">7</xref>
) and straightforward computing lead to the double inequality (<xref rid="Equ36" ref-type="">36</xref>
).</p>
<p>The double inequality (<xref rid="Equ37" ref-type="">37</xref>
) follows from letting <inline-formula id="IEq213"><alternatives><tex-math id="M619">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$x\rightarrow 0$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M620"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→</mml:mo>
<mml:mn>0</mml:mn>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq213.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
 in (<xref rid="Equ36" ref-type="">36</xref>
) and simplifying. The proof of Theorem <xref ref-type="sec" rid="FPar35">11</xref>
 is complete. <inline-formula id="IEq214"><alternatives><tex-math id="M621">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$\square$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M622"><mml:mo>□</mml:mo>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq214.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
</p>
</sec>
<sec id="FPar37"><title><italic>Remark 14</italic>
</title>
<p>The double inequality (<xref rid="Equ36" ref-type="">36</xref>
) generalizes a double inequality in Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
, Theorem 1.2).</p>
</sec>
</sec>
<sec id="Sec8"><title>Conclusions</title>
<p>The main conclusions of this paper are stated in Theorems <xref ref-type="sec" rid="FPar2">1</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar4">2</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar8">3</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar12">4</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar16">5</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar19">6</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar22">7</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar25">8</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar28">9</xref>
, <xref ref-type="sec" rid="FPar31">10</xref>
, and <xref ref-type="sec" rid="FPar35">11</xref>
. Concretely speaking, a new expression, several asymptotic expansions, several integral representations, logarithmic convexity, complete monotonicity, minimality, logarithmically complete monotonicity, a generating function, and several inequalities of the Catalan numbers, the Catalan function, and the Catalan–Qi function are presented and an exponential expansion and a double inequality for the ratio of two gamma functions are derived. These conclusions generalize and extend some known results. More importantly, these conclusions provide new viewpoints of understanding and supply new methods of investigating the Catalan numbers in combinatorics and number theory. Moreover, these conclusions connect the Catalan numbers with the ratios of two gamma functions in the theory of special functions. In other words, the main conclusions in this paper will deepen and promote the study of the Catalan numbers and related concepts in combinatorics and number theory.</p>
<sec id="FPar38"><title><italic>Remark 15</italic>
</title>
<p>This paper is a companion of the articles Liu et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR14">2015</xref>
), Mahmoud and Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR15">2016</xref>
), Qi (<xref ref-type="bibr" rid="CR18">2015a</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR21">d</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR22">e</xref>
), Qi and Guo (<xref ref-type="bibr" rid="CR26">2016a</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR27">b</xref>
), Qi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR31">2015b</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR32">c</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR33">d</xref>
, <xref ref-type="bibr" rid="CR34">e</xref>
), Shi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR36">2015</xref>
) and a revised version of the preprint Qi et al. (<xref ref-type="bibr" rid="CR30">2015a</xref>
).</p>
</sec>
</sec>
</body>
<back><ack><title>Authors’ contributions</title>
<p>All authors contributed equally to the manuscript. All authors read and approved the final manuscript.</p>
<sec id="FPar39"><title>Acknowledgements</title>
<p>The authors appreciate anonymous referees for their careful corrections to and valuable comments on the original version of this paper.</p>
</sec>
<sec id="FPar40"><title>Competing interests</title>
<p>The authors declare that they have no competing interests.</p>
</sec>
</ack>
<ref-list id="Bib1"><title>References</title>
<ref id="CR1"><mixed-citation publication-type="other">Abramowitz, M, Stegun IA (ed) (1972) Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, 10th printing, Washington</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR2"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Alzer</surname>
<given-names>H</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Sharp inequalities for the digamma and polygamma functions</article-title>
<source>Forum Math</source>
<year>2004</year>
<volume>16</volume>
<issue>2</issue>
<fpage>181</fpage>
<lpage>221</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1515/form.2004.009</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR3"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Berg</surname>
<given-names>C</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Integral representation of some functions related to the gamma function</article-title>
<source>Mediterr J Math</source>
<year>2004</year>
<volume>1</volume>
<issue>4</issue>
<fpage>433</fpage>
<lpage>439</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s00009-004-0022-6</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR4"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Bourbaki</surname>
<given-names>N</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Functions of a real variable, elementary theory, translated from the 1976 French original by Philip Spain</source>
<year>2004</year>
<publisher-loc>Berlin</publisher-loc>
<publisher-name>Springer</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR5"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Bullen</surname>
<given-names>PS</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Handbook of means and their inequalities, mathematics and its applications</source>
<year>2003</year>
<publisher-loc>Dordrecht</publisher-loc>
<publisher-name>Kluwer</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR6"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Graham</surname>
<given-names>RL</given-names>
</name>
<name><surname>Knuth</surname>
<given-names>DE</given-names>
</name>
<name><surname>Patashnik</surname>
<given-names>O</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Concrete mathematics—a foundation for computer science</source>
<year>1994</year>
<edition>2</edition>
<publisher-loc>Reading</publisher-loc>
<publisher-name>Addison-Wesley Publishing Company</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR7"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>A property of logarithmically absolutely monotonic functions and the logarithmically complete monotonicity of a power-exponential function</article-title>
<source>Politehn Univ Bucharest Sci Bull Ser A Appl Math Phys</source>
<year>2010</year>
<volume>72</volume>
<issue>2</issue>
<fpage>21</fpage>
<lpage>30</lpage>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR8"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>A simple proof of logarithmic convexity of extended mean values</article-title>
<source>Numer Algorithms</source>
<year>2009</year>
<volume>52</volume>
<issue>1</issue>
<fpage>89</fpage>
<lpage>92</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s11075-008-9259-7</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR9"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>The function <inline-formula id="IEq216"><alternatives><tex-math id="M623">\documentclass[12pt]{minimal}
				\usepackage{amsmath}
				\usepackage{wasysym} 
				\usepackage{amsfonts} 
				\usepackage{amssymb} 
				\usepackage{amsbsy}
				\usepackage{mathrsfs}
				\usepackage{upgreek}
				\setlength{\oddsidemargin}{-69pt}
				\begin{document}$$(b^x-a^x)/x$$\end{document}</tex-math>
<mml:math id="M624"><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>b</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo>-</mml:mo>
<mml:msup><mml:mi>a</mml:mi>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:msup>
<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
<mml:mo stretchy="false">/</mml:mo>
<mml:mi>x</mml:mi>
</mml:mrow>
</mml:math>
<inline-graphic xlink:href="40064_2016_2793_Article_IEq216.gif"></inline-graphic>
</alternatives>
</inline-formula>
: logarithmic convexity and applications to extended mean values</article-title>
<source>Filomat</source>
<year>2011</year>
<volume>25</volume>
<issue>4</issue>
<fpage>63</fpage>
<lpage>73</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.2298/FIL1104063G</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR10"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Two new proofs of the complete monotonicity of a function involving the psi function</article-title>
<source>Bull Korean Math Soc</source>
<year>2010</year>
<volume>47</volume>
<issue>1</issue>
<fpage>103</fpage>
<lpage>111</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.4134/BKMS.2010.47.1.103</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR11"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Koshy</surname>
<given-names>T</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Catalan numbers with applications</source>
<year>2009</year>
<publisher-loc>Oxford</publisher-loc>
<publisher-name>Oxford University Press</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR12"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Koumandos</surname>
<given-names>S</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Remarks on some completely monotonic functions</article-title>
<source>J Math Anal Appl</source>
<year>2006</year>
<volume>324</volume>
<issue>2</issue>
<fpage>1458</fpage>
<lpage>1461</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.jmaa.2005.12.017</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR13"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Lee</surname>
<given-names>J</given-names>
</name>
<name><surname>Tepedelenlioğlu</surname>
<given-names>C</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Space-time coding over fading channels with stable noise</article-title>
<source>IEEE Trans Veh Technol</source>
<year>2011</year>
<volume>60</volume>
<issue>7</issue>
<fpage>3169</fpage>
<lpage>3177</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1109/TVT.2011.2160411</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR14"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Liu</surname>
<given-names>F-F</given-names>
</name>
<name><surname>Shi</surname>
<given-names>X-T</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>A logarithmically completely monotonic function involving the gamma function and originating from the Catalan numbers and function</article-title>
<source>Glob J Math Anal</source>
<year>2015</year>
<volume>3</volume>
<issue>4</issue>
<fpage>140</fpage>
<lpage>144</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.14419/gjma.v3i4.5187</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR15"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mahmoud</surname>
<given-names>M</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Three identities of the Catalan–Qi numbers</article-title>
<source>Mathematics</source>
<year>2016</year>
<volume>4</volume>
<issue>2</issue>
<fpage>7</fpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.3390/math4020035</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR16"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Mitrinović</surname>
<given-names>DS</given-names>
</name>
<name><surname>Pečarić</surname>
<given-names>JE</given-names>
</name>
<name><surname>Fink</surname>
<given-names>AM</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Classical and new inequalities in analysis</source>
<year>1993</year>
<publisher-loc>Dordrecht</publisher-loc>
<publisher-name>Kluwer</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR17"><mixed-citation publication-type="other">Nkwanta A, Tefera A (2013) Curious relations and identities involving the Catalan generating function and numbers. J Integer Seq 16(9), Article 13.9.5</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR18"><mixed-citation publication-type="other">Qi F (2015a) Asymptotic expansions, complete monotonicity, and inequalities of the Catalan numbers. ResearchGate technical report. doi:10.13140/RG.2.1.4371.6321</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR19"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Complete monotonicity of a function involving the tri- and tetra-gamma functions</article-title>
<source>Proc Jangjeon Math Soc</source>
<year>2015</year>
<volume>18</volume>
<issue>2</issue>
<fpage>253</fpage>
<lpage>264</lpage>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR20"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Derivatives of tangent function and tangent numbers</article-title>
<source>Appl Math Comput</source>
<year>2015</year>
<volume>268</volume>
<fpage>844</fpage>
<lpage>858</lpage>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR21"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Some properties and generalizations of the Catalan, Fuss, and Fuss–Catalan numbers</article-title>
<source>ResearchGate Res</source>
<year>2015</year>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR22"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Two product representations and several properties of the Fuss-Catalan numbers</article-title>
<source>ResearchGate Res</source>
<year>2015</year>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR23"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Chapman</surname>
<given-names>RJ</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Two closed forms for the Bernoulli polynomials</article-title>
<source>J Number Theory</source>
<year>2016</year>
<volume>159</volume>
<fpage>89</fpage>
<lpage>100</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.jnt.2015.07.021</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR24"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Chen</surname>
<given-names>C-P</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>A complete monotonicity property of the gamma function</article-title>
<source>J Math Anal Appl</source>
<year>2004</year>
<volume>296</volume>
<fpage>603</fpage>
<lpage>607</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1016/j.jmaa.2004.04.026</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR25"><mixed-citation publication-type="other">Qi F, Guo B-N (2004) Complete monotonicities of functions involving the gamma and digamma functions. RGMIA Res Rep Coll 7(1):63–72. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://rgmia.org/v7n1.php">http://rgmia.org/v7n1.php</ext-link>
</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR26"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Logarithmically complete monotonicity of a function related to the Catalan–Qi function</article-title>
<source>Acta Univ Sapientiae Math</source>
<year>2016</year>
<volume>8</volume>
<issue>1</issue>
<fpage>93</fpage>
<lpage>102</lpage>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR27"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Logarithmically complete monotonicity of Catalan–Qi function related to Catalan numbers</article-title>
<source>Cogent Math</source>
<year>2016</year>
<volume>3</volume>
<fpage>1179379</fpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1080/23311835.2016.1179379</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR28"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Li</surname>
<given-names>W-H</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>A logarithmically completely monotonic function involving the ratio of gamma functions</article-title>
<source>J Appl Anal Comput</source>
<year>2015</year>
<volume>5</volume>
<issue>4</issue>
<fpage>626</fpage>
<lpage>634</lpage>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR29"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Luo</surname>
<given-names>Q-M</given-names>
</name>
<name><surname>Guo</surname>
<given-names>B-N</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Complete monotonicity of a function involving the divided difference of digamma functions</article-title>
<source>Sci China Math</source>
<year>2013</year>
<volume>56</volume>
<issue>11</issue>
<fpage>2315</fpage>
<lpage>2325</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1007/s11425-012-4562-0</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR30"><mixed-citation publication-type="other">Qi F, Mahmoud M, Shi X-T, Liu F-F (2015a) Some properties of the Catalan–Qi function related to the Catalan numbers. ResearchGate Technical report. doi:10.13140/RG.2.1.3810.7369</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR31"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
<name><surname>Shi</surname>
<given-names>X-T</given-names>
</name>
<name><surname>Liu</surname>
<given-names>F-F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>An exponential representation for a function involving the gamma function and originating from the Catalan numbers</article-title>
<source>ResearchGate Res</source>
<year>2015</year>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR32"><mixed-citation publication-type="other">Qi F, Shi X-T, Liu F-F (2015c) An integral representation, complete monotonicity, and inequalities of the Catalan numbers. ResearchGate Technical report. doi:10.13140/RG.2.1.3754.4806</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR33"><mixed-citation publication-type="other">Qi F, Shi X-T, Liu F-F (2015d) Several formulas for special values of the Bell polynomials of the second kind and applications. ResearchGate Technical report. doi:10.13140/RG.2.1.3230.1927</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR34"><mixed-citation publication-type="other">Qi F, Shi X-T, Mahmoud M, Liu F-F (2015e) Schur-convexity of the Catalan–Qi function. ResearchGate Technical report. doi:10.13140/RG.2.1.2434.4802</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR35"><mixed-citation publication-type="other">Schilling RL, Song R, Vondraček Z (2012) Bernstein functions—theory and applications, 2nd ed. de Gruyter Studies in Mathematics, vol 37. Walter de Gruyter, Berlin. doi:10.1515/9783110269338</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR36"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Shi</surname>
<given-names>X-T</given-names>
</name>
<name><surname>Liu</surname>
<given-names>F-F</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>An integral representation of the Catalan numbers</article-title>
<source>Glob J Math Anal</source>
<year>2015</year>
<volume>3</volume>
<issue>3</issue>
<fpage>130</fpage>
<lpage>133</lpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.14419/gjma.v3i3.5055</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR37"><mixed-citation publication-type="other">Stanley R, Weisstein EW (2015) Catalan number, from MathWorld—a Wolfram web resource. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html">http://mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html</ext-link>
</mixed-citation>
</ref>
<ref id="CR38"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Temme</surname>
<given-names>NM</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Special functions: an introduction to classical functions of mathematical physics</source>
<year>1996</year>
<publisher-loc>New York</publisher-loc>
<publisher-name>A Wiley-Interscience Publication, Wiley</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR39"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Vardi</surname>
<given-names>I</given-names>
</name>
</person-group>
<source>Computational recreations in mathematica</source>
<year>1991</year>
<publisher-loc>Redwood City</publisher-loc>
<publisher-name>Addison-Wesley</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR40"><element-citation publication-type="journal"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Wei</surname>
<given-names>C-F</given-names>
</name>
<name><surname>Qi</surname>
<given-names>F</given-names>
</name>
</person-group>
<article-title>Several closed expressions for the Euler numbers</article-title>
<source>J Inequal Appl</source>
<year>2015</year>
<volume>2015</volume>
<fpage>219</fpage>
<pub-id pub-id-type="doi">10.1186/s13660-015-0738-9</pub-id>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR41"><element-citation publication-type="book"><person-group person-group-type="author"><name><surname>Widder</surname>
<given-names>DV</given-names>
</name>
</person-group>
<source>The laplace transform (Princeton mathematical series 6)</source>
<year>1941</year>
<publisher-loc>Princeton</publisher-loc>
<publisher-name>Princeton University Press</publisher-name>
</element-citation>
</ref>
<ref id="CR42"><mixed-citation publication-type="other">WikiPedia. Catalan number, from the free Encyclopedia. <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%5fnumber">https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number</ext-link>
</mixed-citation>
</ref>
</ref-list>
</back>
</pmc>
</record>

Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)

EXPLOR_STEP=$WICRI_ROOT/Wicri/Mathematiques/explor/BourbakiV1/Data/Pmc/Corpus

HfdSelect -h $EXPLOR_STEP/biblio.hfd -nk 000006  | SxmlIndent | more

HfdSelect -h $EXPLOR_AREA/Data/Pmc/Corpus/biblio.hfd -nk 000006  | SxmlIndent | more

Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri

{{Explor lien
   |wiki=    Wicri/Mathematiques
   |area=    BourbakiV1
   |flux=    Pmc
   |étape=   Corpus
   |type=    RBID
   |clé=     
   |texte=   
}}

This area was generated with Dilib version V0.6.33.
Data generation: Thu Jul 5 10:00:31 2018. Site generation: Sat Nov 19 17:42:07 2022

	Serveur d'exploration Bourbaki
	Attention, ce site est en cours de développement ! Attention, site généré par des moyens informatiques à partir de corpus bruts. Les informations ne sont donc pas validées.

Serveur d'exploration Bourbaki

Links to Exploration step

Le document en format XML

Pour manipuler ce document sous Unix (Dilib)

Pour mettre un lien sur cette page dans le réseau Wicri