Collection ALS/Série 1/Tome 1/n. 3 (avril 1868) : Différence entre versions
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| + | 34 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES continuité de l'impression lumineuse, que l'angle % soit par-couru dans la rotation du miroir en 1/20 de seconde environ. La vitesse angulaire du miroir doit donc être La vitesse de translation de l'image au milieu du champ, par exemple (nous savons qu'elle n'est pas tout à fait constante dans toute l'étendue du champ), sera, d'après la formule (2), dans laquelle on fera t = -|-v 2wS On peut s'assurer aisément qu'elle varie peu dans l'éten-due du champ, si S est assez grand relativement au champ. Ainsi, avec les données précédentes, ses variations n'at-teignent pas les 0,006 de sa valeur. Pour achever l'application qui précède, calculons la vitesse de translation de l'image pour les diverses valeurs de a, on a pour v l'expression 4 v == Jq~9 •- 0,4188 y. , Ce qui donne en mètres la valeur de v 15* 4 gmj4 0m>7 Sm}8 gm ^.Jg Telles devront être les vitesses de translation de l'image, suivant le rayon du miroir, pour que l'impression lumineuse soit continue. Ainsi, par exemple, si la rapidité des vibrations exécutées par le point lumineux demande une vitesse de translation de l'image de 10 mètres environ, on prendra un miroir octogo-nal de 10 centimètres de rayon; mais si la vitesse de transla-tion ne devait pas dépasser 5 mètres, il faudrait employer un miroir pentédécagonal de 25 centimètres de rayon. 11 est clair que le miroir qui convient à une certaine vitesse de translation de l'image convient à des vitesses plus grandes. On a donc intérêt à construire des miroirs de grand rayon et d'un grand nombre de faces. Le rayon'doit être grand, si on ne veut pas trop réduire le champ. Le nombre des faces doit être considérable, si "on ne veut pas donner à l'appareil une grande vitesse de rotation et, par suite, à l'image une- grande | ||
| + | m STBÂSBÛUBG. vitesse de translation. Il serait donc à désirer qu'on pût aug-menter l'angle de deux faces consécutives du miroir sans pour cela augmenter le rayon du miroir. On arrive à ce résultat par l'emploi des miroirs pyramidaux, dont il sera question plus loin. Avant d'examiner le second mode d'observation dont nous avons parlé en commençant, faisons une dernière remarque. Cas particulier. Considérons le cas où a est nul, le miroir passe par l'axe de rotation, la trajectoire de l'image devient un cercle de rayon d et l'image parcourt ce cercle d'un mou-vement uniforme. Dans cette hypothèse, on a sensiblement L , M D'ailleurs ? = ~> en supposant que le miroir réfléchisse sur ses deux faces. Nous voyons que la largeur à donner au miroir est proportionnelle au champ que l'on veut observer. Pour que la rotation du miroir soit possible, il faut que 5 soit su-périeur à b. Dans le cas limité où B = b, on voit aisément que la moitié de la trajectoire est visible pour l'observateur, c'est-à-dire un demi-cercle ayant pour centre le point 0 et 2ôpour rayon (les formules ci-dessus ne peuvent s'appliquer dans cette hypothèse, puisqu'elles sont établies en supposant £ pe-tit, relativement à 3). Quand, au contraire, on s'éloigne du centre À, l'étendue du champ converge vers la largeur du miroir. Il est clair que, pour la continuité de l'impression lumi-neuse, il faudra tourner avec une grande vitesse, puisque 'c'est à chaque demi-tour qu'une image reparait au même lieu. La vitesse de rotation devrait donc être de $0, v. Ce qui est préjudiciable à l'emploi de ces sortes de miroirs, â moins que le mouvement vibratoire â étudier n'ait une vitesse con-sidérable. Deuxième cas. Supposons maintenant que l'observation se fasse dans une direction perpendiculaire à OAsuv la normale à la trajectoire décrite, en sorte que le point l ou cette normale est perpen-diculaire à OA soit le milieu du champ (lîg. 7>, Ce point l peut se construire aisément pur la géométrie. On trouve éga- | ||
| + | 36 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES lerneul par l'expérience la position de la normale, ainsi que nous allons l'indiquer. Observons d'abord que d'après un théorème général relatif aux centres instantanés de rotation, la normale en un point quelconque L de la trajectoire (fig. 2) et la normale au cercle au point correspondant M. se coupent sur la perpendiculaire élevée en 0 sur OM, c'est-à-dire sur le cercle, ce qui donne une construction simple de la normale en un point quel-conque. Nous voulons déterminer un point l (fig. 7), tel que la normale In soit perpendiculaire à OA; si cette condition est remplie, la perpendiculaire A\x, élevée sur OA, passe par le milieu de Im. Construisons ce point p., pour cela menons divers rayons vecteurs voisins de om, retranchons-en à partir du cercle des longueurs égales à a, nous obtiendrons un petit arc de courbe qui déterminera le point 4u, joignant o^, nous aurons le point l en prenant pi — a. Construisons la position bc du miroir qui donne l'image en l, cette ligne étant perpendiculaire sur le milieu de ol,le triangle odl est isoscèle. Donc on détermine la normale bi ex-périmentalement en dirigeant le rayon visuel perpendiculaire-ment à OA et faisant en même temps tourner légèrement le miroir de façon que l'image du point lumineux-soit aperçue sur le milieu de la face du miroir. Le rayon visuel sera alors précisément la normale In à la trajectoire. L'œil étant supposé placé sur celte normale à une assez grande distance du point Z, on pourra considérer tous les rayons visuels comme pa-rallèles. Nous ferons cette hypothèse pour déterminer l'angle dont» tourne le miroir, tandis que l'image parcourt le champ. Nom-mons l' un point voisin de l, b'c' la position correspondante du miroir. Pour que l'image l'soit visible, il faut que la pa-rallèle à In, menée par le point l', rencontre la face du mi-roir. La position limite l0 de l'image correspond au cas où celte parallèle passe par l'extrémité ca du miroir; la position limite lt correspond au cas où cette parallèle passe par l'ex-trémité h,. Nommons 6, %, ô, les angles IOA, l0OA, hOA, 6,-00 est l'angle de visibilité, la projection de l0llt sur une perpendi-culaire à h est le champ 2L. • | ||
| + | Ï)E STRASBOURG. Le point l étant défini géométriquement par \d ~ a, on ex-prime cette condition en projetant sur OA, par la relation d — rCosQ = aCosQ. Nous voyons sans difficulté que pour les points l0 et /, on a: d — ro Cos ô„ = a Cos 90 — b Sin 0„ d— fiCosQt s= aCosOi •+• bSinùt Remplaçant r, r», r, en e, o0, e,, on a : (8) 2dCossQ —aCosÙ —d = o (9) 2dCosH0 — aCosGa — d = bSin% (10) 2dCosH( — aCosQi — A = - bSind, D'ailleurs SL = rQCosh0 — r, Cos 6, (11) L = Sm-^-Ce, -f-0o) [b Cos ~ (8. — 80) — a Sin | (8, — 0o)] Il serait impossible, et d'ailleurs inutile, de continuer le calcul rigoureux. Nous nous bornerons à une approximation du reste tout à fait suffisante. Observons que les angles 60 et et diffèrent peu l'un de l'autre, et sont peu éloignés de o, en sorte que si l'on pose 8 = 8 — a„ 6, = 0fa, les angles aD et «, seront petits, on pourra remplacer le sinus par l'arc et le cosinus par l'imité. L'expression de L devient par l'introduction de «„ et a, 2L — b (ÎSinQ +• (a, — o0) CosO) — a (a0 •+• a,) Sin 8 On a d'ailleurs, pour calculer la vitesse de translation de l'image, la formule déjà donnée : (12) i>* = W1 (d* + 9ad Cos Formules approximatives. Discussion, Pour examiner l'in-fluence des divers éléments du calcul, nous allons transfor-mer les équations précédentes, en tenant compte des gran-deurs relatives des données de l'observation. Si on néglige «, — «o, on tire de l'équation (11) : L , «o -h ffi Au lieu d'employer les équations précédentes an calcul de | ||
| + | 38 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES dCosft — a Nous avons donc, pour déterminer l'angle de visibilité, la largeur du miroir, et par conséquent son angle au centre en fonction des données, les formules : LSinQ 8, —O0 = dCosQ — a (13) ; L aLSinO b tgy — — a l'angle e est défini par l'équation (S). On en tire, en effet, Cos û = Les relations précédentes n'étant qu'approchées, nous pren-drons pour CQS§ la valeur p n a+[/Ms_ 3 1 a Cos0= 4d ~T + T T d'où, en négligeant le carré de ^, qui est petit, II vient alors : b L Udl —17ad — 6a* (14) tua ==—-=-— _ " • .. \ J Jl a a 6[d~a)V7d\-6ad Introduisons la distance, 3 = d — a, du point lumineux au miroir, il vient : «0 + «,, qui est précisément l'angle de visibilité 9, —• ô0, nous l'évaluerons géométriquement. On reconnaît sans peine sur la figure que nous pouvons écrire en négligeant de petits termes r(a0 4- a,) = ÎLSin 0 d'où LSinQ «o-f-a, = | ||
| + | BE STRASBOURG, Quand — a les valeurs 0,2 0,4 0,6 0,8 '1 1,5 2 3 4 on trouve pour f 50,9 28,4 20,6 16,5 14 10,5 8,6 6,6 5,5 d'où il résulte que pour des valeurs données de L et S, ou du rapport de ces deux grandeurs, tgo diminue rapidement quand le rayon du miroir augmente. En d'autres termes, plus le rayon du miroir est grand, plus le nombre de ses faces peut être considérable. La discussion de la valeur de f montre que f tend vers 1 quand 4r croît indéfiniment. ¡1 faut maintenant rapprocher de ce résultat, les valeurs de la vitesse de translation de l'image. Or nous avons, d'après l'expression donnée de cette vitesse : Pour que l'impression lumineuse soit persistante, il faut, comme on sait, que M = êOv. Désignons par «s la parenthèse, on aura : Les valeurs de u correspondant aux valeurs données plus haut pour !L-, sont: 1,05 1,1 1,14 1,18 1,23 1,32 1,41 1,58 1,73 et v croît indéfiniment avec —. 8 Admettons que le coefficient — soit assez petit pour que Où l'angle <p soit proportionnel à nous aurons une idée de la variation de v en suivant la série des produits auxquels v est proportionnel pour une valeur donnée de L. Or ces pro-duits sont : 53 31 23 19 17 14 12 10 10 et on a v = — L. u. f. Si on se reporte aux hypothèses qui ont permis d'établir v ~ 40s. 3. M | ||
| + | 40 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES les formules dont nous venons de faire usage, on reconnaît (fig. 7) que le champ L l,, ayant été supposé un arc assez petit de la courbe, ne saurait dépasser le quart environ de l'axe B. Mais il peut en être une fraction beaucoup plus pe-tite. Nous admettons donc la condition ± /( ± S v 4 Le calcul qui précède ayant montré que la vitesse de trans-lation de l'image s'approche rapidement de son minimum quand ~ dépassée; si on veut observer avec la moindre vitesse, il faut faire le miroir d'un rayon plus grand que S. Applications. Appliquons les calculs qui précèdent à divers exemples : 1° Soit donné 2L = 0^,i, prenons o — 0,2 et a = 0,8, ô = 0,16, il vient : tg* = ~. 16,5 = 0,68 «¡=35» soit cp == 36. Nous aurons donc à construire un miroir penta-gonal de 16 centimètres de rayon. L'altération de la valeur de <? change un peu le champ; on peut le calculer en résol-vant le problème inverse. Étant donné un miroir circonscrit à un cylindre de 16 centimètres de rayon, le point lumineux étant à 20 centimètres du miroir, déterminer le champ. Nous avons a=0,16, b = 0,116, d=0,36, la formule (13) nous donnera L quand nous mettrons pour 8 sa valeur tirée de l'équation (S). Or elle donne : CosO = 0,827 SinQ '=0,561 d'où, par la formule (13), 1 . 0,2. 0,561 0,9.0,827-= L (1,78 -H 0,315) = L .2,11 / 1 0,2. 0,561 \ °>m~~L\0,561 + 0,9.0,827-0,4) 2L=*£± = 0,11 211 valeur peu différente de celle qu'on s'était donnée. La'vitesse de translation de l'image sera : 20 = 0,055. 19 = 6*93. | ||
| + | MIROIRS TOURNANTS. Ant i'OtsrttmP ?! Buteh. 3S, r dey Serruriers | ||
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| + | BE STRASBOURG. 41 2° Si on prend 21 = 0/1, 3 = 0,2 et a = 0,12, on a f = 24, tgy — 1, ce qui donne le miroir à base carrée, on a alors v = 5,66. 3° Soit encore 21 = 0,05,5 - 0,18, a = 0,6,3 = 0,108, il vient : «p = 55° 40' soit <? = 50. Nous aurons à construire un miroir hexagonal circonscrit à un cylindre de 0,108 de rayon. La vitesse de translation sera : v — 4™,6. La vitesse de rotation serait de moins de deux tours par se-conde. 4° Si nous prenions un miroir de 6 décimètres de rayon avec un champ de 1 décimètre, et plaçant le point lumineux à 2 dé-cimètres du miroir, le miroir aurait 22 faces, sa grandeur le rendrait incommode. Quant à la vitesse de translation de l'image, elle ne serait plus que de 3m,33. Conclusion. L'examen des deux conditions principales dans lesquelles les observations peuvent être faites nous conduit à cette conclusion commune, savoir : plus le champ est étendu, plus le rayon du miroir doit être considérable, et plus ses faces doivent être nombreuses, si on veut que l'impression lumineuse reste continue sans que la vitesse de translation de l'image augmente. En outre, le second mode d'observation paraît préférable au premier, malgré le défaut de symétrie du mouvement dans l'étendue du champ. Les conditions d'expérimentation les plus avantageuses consistent à placer l'objet lumineux à une distance du miroir à peu près égale à son rayon, le champ pourra être égal à la moitié du rayon. D'ailleurs les formules approximatives (15) et (17), ou, à leur défaut, les équations (8), (9)', (10), (11) et (12) permettront de faire le calcul dans des conditions données. Miroirs pyramidaux. Lorsqu'il est nécessaire d'avoir un champ étendu et une assez faible vitesse de translation, on peut éviter de cons-truire un miroir prismatique de grand rayon et d'un grand | ||
| + | SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES nombre de faces, et augmenter ainsi l'angle de deux faces consécutives du miroir en adoptant une autre disposition. Pour cela il suffit d'imaginer que les faces successives du mi-roir, au lieu d'être tangentes à un cylindre, soient tangentes à un cône de grande ouverture. Il est clair que, sans augmen-ter le nombre des faces du miroir tournant, on pourra rendre aussi grand que l'on voudra l'angle de deux faces consécu-tives en augmentant l'ouverture du cône. L'appareil gagnera en simplicité, mais la trajectoire de l'image est plus com-plexe. Nous allons voir qu'elle est cependant susceptible d'une définition géométrique simple et qu'une disposition particu-lière des expériences peut permettre des observations qu'il serait aisé de soumettre au calcul. Nous supposerons le point lumineux O et l'observateur V (fig. 8) sur une droite OVrencontrant Taxe du cône S et nor-male à sa surface. La figure représente le cône auquel les faces du miroir sont tangentes. Trajectoire de l'image. Imaginons une sphère ayant pour centre le sommet du cône S et passant par le point lumi-neux 0. Imaginons, d'autre part, le cône de révolution G formé parles perpendiculaires élevées, au sommet du cône £, sur tous les plans tangents a ce cône. Transportons le cône C parallèlement à lui-même, de façon à amener son sommet au point 0. L'intersection AB du cône 0 et de la sphère sera précisément la trajectoire de l'image du point 0 dans un plan tangent au cône S et tournant autour de l'axe de ce cône. Ainsi la trajectoire est une courbe sphérique à double cour-bure et jouissant de cette propriété simple de présenter la forme d'un cercle pour un observateur placé en 0. Si le point 0 se meut sur la sphère, la courbe AB se dé-place sur cette même sphère. Dans le cas particulier où le point 0 vient sur l'axe du miroir, le lieu de l'image devient un cercle dont le plan es.t perpendiculaire à cet axe '(fig. 9). L'observateur placé en un point quelconque Y de l'axe du cône S, vers la droite, voit la trajectoire sous la forme d'un cercle. Vitesse appareille de l'image. Supposons l'observateur très-voisin du point lumineux. Le miroir tournant uniformément autour de son axe, la perpendiculaire à son plan est aussi animée d'un mouvement de rotation uniforme et de même | ||
| + | DE STRASBOURG. 43 vitesse angulaire; ainsi l'image décrit uniformément son cercle apparent quand le miroir fait une révolution. Il fau-drait donc que le miroir fit 20 tours par seconde pour que le cercle lumineux et par conséquent une portion quelconque de ce cercle fût continuellement visible. Au lieu d'un seul miroir, considérons un ensemble de mi-roirs tangents au même cône et formant une pyramide régu-lière à n faces. Quand la pyramide tournera de —, l'image tournera aussi de et parcourra un certain champ. La rotation de la pyramide continuant, la face suivante fera par-courir à l'image le même champ. S'il y a n faces, l'image par-courra n fois fois le même champ dans une révolution de la pyramide. Donc il suffira que le miroir fasse ~- tours par par seconde, pour que l'image fasse dans un certain champ une impression continue. En prenant n suffisamment grand, on pourra diminuer autant que l'on voudra la vitesse de rota-tion nécessaire à la visibilité de l'image dans toute l'étendue du champ, qui est la ne partie de la trajectoire apparente. Il ne faut pas oublier qu'on suppose l'observateur dans le voisi-nage du point lumineux et dans l'intérieur du cône S pro-longé. Il peut donc, sans inconvénient, se trouver sur l'axe du miroir. Cette hypothèse est, sans aucun doute, la plus simple que l'on puisse faire et la plus avantageuse pour l'observation, puisque l'image décrit un cercle, d'un mouvement uniforme. Influence de l'ouverture du cône. Soit 0 le point lumineux placé sur l'axe du cône S (fig. 9), construisons l'image L du point 0, correspondant à l'instant où le miroir est tangent au cône suivant l'arête SE. Un plan, passant par le point L per-pendiculairement à l'axe du miroir, coupe la sphère suivant un cercle trajectoire de l'image. Celte construction montre que le rayon de ce cercle est maximum quand il est un grand cercle de la sphère ; dans ce cas, la demi-ouverture du cône S est donc de 45°. Le rayon du cercle est alors précisément égal à la distance du point lumineux au sommet du cône et son centre est au sommet S du cône. Si nous examinons maintenant les conditions physiques de | ||
| + | 44 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES. l'expérience, nous voyons que l'image ne peut être visible de l'observateur Fqu'autant que la surface réfléchissante s'étend au moins jusqu'au point de rencontre de SE avec VL, c'est-à-dire que le miroir pyramidal à construire est un miroir con-cave et non convexe, l'intérieur et non l'extérieur de la pyra-mide réfléchira l'image du point 0. Image d'une droite. Nous avons étudié jusqu'ici l'image d'un point. Considérons maintenant une petite ligne droite oo', son image sera à chaque instant la droite symétrique de oo' par rapport au plan réflecteur. Le lieu de ces droites sera une certaine surface; leurs extrémités seront sur deux courbes AB} A'F, trajectoires des images des points o et o'. Si la ligne oo' est dans le plan latigent à la sphère SO et si elle est petite, l'image décrira une sorte de zone de la sphère SO, car cette sphère ne changera pas, et le cône O subira seul un petit déplacement. Si la droite oo' est dirigée vers le point S, l'image oo' décrira une zone conique de sommet S, puisqu'elle sera aussi dirigée vers le point 5. Pour une direc-tion quelconque de oo', le lieu de V image sera plus complexe et il n'y a aucune utilité à le chercher. Si maintenant nous supposons le point lumineux sur l'axe du cône S et si nqus reprenons les deux hypothèses précé-dentes, nous voyons que si oo' est perpendiculaire à OS, son image décrit encore une sorte de zone sur la sphère; mais celte zone se change sensiblement en deux fuseaux opposés, si le cercle décrit est le cercle maximum. Si oo' est dirigé suivant OS, l'image décrit un cône droit qui, dans la dernière hypothèse, se réduit à un plan, et l'image décrit une cou-ronne circulaire (fig. 10). Telle est la trajectoire la plus simple que puisse décrire l'image d'une droite dans le cas qui nous occupe. L'emploi des miroirs/pyramidaux, disposés de cette manière, serait sans doute avantageux à l'observation des phénomènes et à leur mesure. Toutefois les difficultés que pourrait présenter l'installation sont peut-être un obstacle à leur usage. À ce point de vue, les miroirs prismatiques seraient préférables, et les formules précédemment données permettent aisément de traduire en nombres les résultats de l'observation. | ||
| + | DE STRASBOURG. 45 Séance du-IM avril 1868. Présidence de M. le docteur ROBERT. ORDRE DU JOUR. — Sur les genres Atichia, Myriangium et ÏS'&tro-cymbe (M. MILLARDET). — Théorie nouvelle des images consécutives ou couleurs accidentelles (M. MONOYEH). — Nouvelles recherches sur les Buxbaumiacées (M. SCHIMPER). Membres présents: MM. Rameaux, Monoyer, Engel, Hu-gueny, Terquera, Kirschleger, Millardet et Saint-Loup. Ouvrages reçus : Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augicsts-Universüät aus dem Jahre 1867. Berichte über die Verhandlungen der nalurforschenden Gesell-schaft zu Freiburg i. B., B. IV, H. III. Achter Bericht des Offenbacher Vereins für Naturkunde über seine Thätigkeit, vom 34. Mai 4866 bis 4 2. Mai 4 867. Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft in Bern aus dem Jahre 4 866. Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles, t. II, 3e, 4e et 5e livraisons. Nouveaux mémoires de la Société helvétique des sciences naturelles, t. XXII. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg, t.X, n° 4; t. XI, n«s ,| et % Jahrbücher der k. k. Central-Anstalt für Meteorologie und Erdma-gnetismus, von Carl Jelinek; neue Folge; 4 B., Jahrg. 4864. Abhandlungen der königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göt-tingen, 43ter B., von den Jahren 4866 und 4867. Mémoires de la Société d'agriculture du département de la Marne, 4 868 et 1866. Bel kongelige danske videnskabernes selskabs skrifter femie Rœkke, sjette Bind. Sideruin nebu/osorum observaiïones havnienses, auctore D'd'Arrest. Mémoires de l'Académie de Stanislas, 4866. La parole est donnée à M. Saint-Loup, qui présente à la Société un planimètre d'une construction nouvelle, en montre l'usage et en fait connaître la théorie. M. Millardet expose ensuite à la Société, ses observations sur les genres Atichia, Myriangium et Nsetrocymbe. La communication de M. Monoyer est renvoyée à la séance suivante. M. Schimper, n'ayant pu assister à la séance, sa commu-nication est ajournée. •Le secrétaire, SAINT-LOUP. | ||
| + | 48 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES PLANIMÉTRIE. — Nouveau planimètre (M. Saint-Iioup). On sait que les planimètres sont des instruments destinés à mesurer l'aire d'une ligure tracée sur un plan. L'extrême division de la propriété qui s'est produite depuis plus d'un demi-siècle rendait désirable un procédé rapide pour évaluer l'étendue des parcelles et de là répartir l'impôt. Le premier planimètre dont les géomètres du cadastre purent faire avantageusement usage fut le planimètre d'Oppikofer, pour lequel l'Institut décerna le prix Monlhyon à son auteur. L'imperfection de cet instrument, qui parut environ en 1830, en fît chercher d'autres. En 1844, M. Beuvière, géomètre en chef du cadastre, imagina le planimètre sommateur, qui fut adopté par plusieurs administrations. Divers systèmes furent encore proposés depuis ; enfin M. Amsler, géomètre suisse, fit construire, sous le nom de planimètre polaire, un petit instrument fort ingénieux. Tous ces appareils, par leur dis-position même, sont coûteux à établir; ils renferment, en effet, des rouages ou des pièces roulantes qui exigent un assez granAsiHu sans que l'exactitude de l'instrument puisse être garantie, sauf de grandes précau-tions dans son emploi. L'instrument proposé par M. Saint-Loup, sous le nom de planimètre statique, a quelque analogie avec le planimètre de M. Beuvière, mais il repose sur un principe tout différent. Il ne renferme aucun rouage, est d'un maniement très-simple et n'exige que deux lectures. Le principal avantage de l'ins-trument, d'ailleurs d'un prix peu élevé, est que l'on peut opérer à volonté avec plus ou moins d'exactitude, et qu'un dérangement dans quelque partie de l'appareil n'oblige pas à tout recommencer. Voici en quoi consiste cet appareil : Description du planimètre statique. On châssis rectangu-laire (fig. 1) sert de guide à un certain nombre de petites ré-glettes prismatiques égales et indépendantes,, qui peuvent glisser à frottement doux dans ce châssis. Perpendiculaire-ment à la direction des réglettes, le châssis porte un petit axe, xy, fixé à sa face supérieure. L'instrument est renfermé dans une boîte qui porte Un support, sur lequel l'axe peut | ||
| + | DE STRASBOURG. kl être librement posé. Les réglettes latérales sont divisées eu millimètres et demi-millimètres, et l'on peut, à l'aide de ces divisions, connaître la distance à Taxe de l'une des extrémités des réglettes latérales. Un petit repère, fixé au châssis au-dessous de l'axe, facilite cette lecture. Manœuvre du planimètre. L'aire à évaluer est généralement limitée entre une courbe et une droite (%. 3). Sinon, on la divise en deux (fig. 4). Pour mesurer la surface ainsi limitée, placez l'instrument de façon que les extrémités des réglettes puissent être amenées sur la courbe (fig. 3); appuyez le châs-sis sur le plan d'une main et, de l'autre, amenez à peu près les extrémités des réglettes sur la courbe, reprenez ensuite plus exactement cette opération et, si vous voulez opérer avec soin, amenez le milieu de chaque réglette sur la courbe (fig.2). Cela fait, enlevez l'appareil horizontalement en tenant le châs-sis de la main gauche, puis, saisissant entre le pouce et l'in-dex de la main droite l'ensemble des réglettes et serrant suffi-samment, faites glisser l'ensemble dans le châssis de façon à amener sensiblement sous l'axe du châssis le centre de gra-vité du système des réglettes. Essayez, quand cette condition est remplie, en posant l'axe sur son support et examinant si l'ap-pareil reste horizontal : de petits mouvements de l'ensemble des réglettes vers la droite ou vers la gauche permettent d'ar-river rapidement à l'équilibre. Lisez alors en millimètres la longueur des réglettes latérales (ces longueurs sont les dis-tances, Ace, By (fig. 5), des extrémités, A elB, des réglettes à l'axe), ajoutez ces longueurs et cherchez dans la table jointe à l'appareil la somme obtenue. En regard se trouve, en mil-limètres carrés, l'aire comprise entre la ligne courbe ou brisée sur laquelle les réglettes ont été amenées, et la droite qui joint les extrémités des réglettes latérales. La fig. 3 montre la dispo-sition des réglettes pour l'évaluation de l'aire ABC. NOTA. Il est à peine nécessaire de dire que l'instrument doit être placé de façon que chaque réglette ne rencontre qu'en un point la ligne courbe qui limite la surface à mesurer, et que cette ligne courbe ne doit pas franchir la droite qui joint les extrémités des réglettes. Applications du planimètre statique. Le but de l'emploi du planimètre n'est pas toujours l'évaluation de la superfìcie d'un | ||
| + | 48 SOCIÉTÉ DES SCIENCES NATURELLES. SÎRASBOURG, TYPOGRAPHIE DE G. SILBERMANN. terrain. En mécanique, par exemple, l'évaluation du travail des forces est ramenée géométriquement à la quadrature d'une surface. Cette quadrature s'obtiendra aisément avec le plani-mètre. Dans un grand nombre d'applications, on peut avoir à éva-luer une intégrale définie, ou à. construire une courbe dont l'équation est donnée sous forme de quadrature, et d'autres questions analogues. Il est aisé de montrer sur un exemple comment le planimètre statique résout ces diverses questions. 1° Soit à évaluer j [/x — a4 dx o soit y '• = Y~^ZT^r Calculez la valeur de y pour quelques valeurs de as, vous trouvez que pour os ~ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 h y = 0 0,445 0,61 » 0,686 0,625 0 Tracez la courbe OA(fig. 6), et si vous voulez une plus grande exactitude, tracez les tangentes aux points construits. Mesurez l'aire au planimètre, vous trouvez 0,5225 (ce nombre repré-sente sensiblement — dont la valeur est 0,5236). 2° Voulez-vous construire la courbe •y = / \/x — a* dx o abaissez jusqu'à la ligne ox toutes les réglettes comprises entre 0,8 et '1, et évaluez l'aire restante, vous trouvez 0,430; abaissez encore jusqu'à la ligne ox les réglettes comprises entre 0,6 et 0,8, évaluez l'aire restante , vous trouvez 0,302; continuez ainsi, vous formez le tableau suivant : x = 'I 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Aire — 0,323 0,430 0,30â 0,172 0,065 0 Vous pouvez alors construire la courbe 0#(fig. 6). (La fin au prochain numéro.) LE BUREAU. | ||
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